Hệ nhiều vật chịu các liên kết chương trình có thể xem thuộc vào tập hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng. Các phương trình chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng thường là hệ các phương trình vi phân – đại số. Trong báo cáo này trình bày việc áp dụng các phương trình Lagrange dạng nhân tử để thiết lập hệ phương trình vi phân-đại số của hệ nhiều vật chịu các liên kết chương trình.
Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 177-182, DOI 10.15625/vap.2019000275 Động lực học tay máy robot có liên kết chương trình Nguyễn Văn Khang1), Nguyễn Văn Quyền1), Lương Bá Trường2), Nguyễn Văn Long3) 1) Bộ môn Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2) 3) Bộ môn Cơ điện tử, Trường Đại học Thủy Lợi Bộ môn Cơ điện tử, Trường Đại học Kinh doanh Công nghệ Hà Nội E-mail: 1){khang.nguyenvan2, quyen.nguyenvan}@hust.edu.vn, 2)truonglb@tlu.edu.vn, 3)chitietmay1011@gmail.com Tóm tắt Hệ nhiều vật chịu liên kết chương trình xem thuộc vào tập hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng Các phương trình chuyển động hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng thường hệ phương trình vi phân – đại số Trong báo cáo trình bày việc áp dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử để thiết lập hệ phương trình vi phân-đại số hệ nhiều vật chịu liên kết chương trình Sau trình bày chi tiết tốn động lực học thuận robot có liên kết chương trình Từ khóa: Tay máy Robot, liên kết chương trình, phương trình vi phân-đại số, phương pháp khử nhân tử Lagrange, động lực học thuận Mở đầu Động lực học hệ nhiều vật chịu liên kết chương trình lĩnh vực khoa học có ý nghĩa thực tế quan tâm nghiên cứu [1-7] Hệ nhiều vật chịu liên kết chương trình thực chất thuộc vào tập hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng Để thiết lập phương trình chuyển động hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng, người ta thường sử dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử, phương trình Kane dạng nhân tử, phương pháp tách cấu trúc,… [8, 9] Các phương trình mơ tả chuyển động hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng thường hệ phương trình vi phân – đại số Các phương pháp giải hệ phương trình vi phân – đại số thường phân thành hai nhóm: Các phương pháp biến đổi hệ phương trình vi phân-đại số hệ phương trình vi phân thường Sau sử dụng thuật tốn số giải hệ phương trình vi phân thường [8,9] Các phương pháp số giải trực tiếp hệ phương trình vi phân đại số [8, 9] Trong báo trình bày việc áp dụng phương pháp khử nhân tử Lagrange tính tốn động lực học thuận robot có liên kết chương trình Phương pháp số giải phương trình Lagrange dạng nhân tử Sử dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử, thu hệ phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động hệ nhiều vật hôlônôm chịu liên kết giữ lý tưởng [8, 9] M (s, t )s + C (s, s, t )s + g (s, t ) = t (t ) - FsT (s, t ) l f (s, t ) = (1) (2) T Trong s = éêës1, s2 , , sn ùûú toạ độ suy rộng dư, M (s, t) ma trận khối lượng suy rộng hệ, t (t ) véctơ lực suy rộng ứng với lực hoạt động khơng có T thế, l = éêël1, l2 , , lr ùúû véctơ nhân tử Lagrange, T f = éëê f1, f2 , , fr ùûú =0 điều kiện ràng buộc, Fs ma trận Jacobi f cỡ r ´ f , C (s, s, t ) ma trận quán tính ly tâm Coriolis Để thuận tiện cách viết ta đưa vào ký hiệu p1 (s, s, t ) = t (t) - C (s, s, t )s - g (s, t ) (3) Phương trình (1) có dạng M (s, t)s + FsT (s, t ) l = p1 (4) Đạo hàm hai lần phương trình liên kết (2) ta thu phương trình ¶f ¶f = ss + ft = f = s + (5) ¶s ¶t f = Fss + Fss + ft = Fss = -(Fss + ft ) =: p2 (6) Các phương trình (4) (6) viết lại dạng ma trận sau éM FT ù é s ù é p ù s ú ê ú ê ê 1ú (7) êF ú êl ú = ê p ú êë s úû êë úû êë úû Xác định điều kiện đầu toạ độ suy rộng phụ thuộc vận tốc suy rộng phụ thuộc [10, 11] Để tích phân phương trình vi phân dạng tọa độ dư, việc xác định điều kiện đầu tọa độ suy rộng phụ thuộc vận tốc chúng cần thiết Vì trước tiện ta trình bày vấn đề Khi giải hệ phương trình vi phân chuyển động hệ nhiều vật có f bậc tự do, ta phải cho trước f giá trị đầu toạ độ suy rộng độc lập vận tốc suy rộng độc lập q1 (0), , q f (0), q1 (0), , qf (0) Trong hệ phương trình (2) cịn có r toạ độ suy rộng dư z1 (t ), , z r (t ) Vì ta cịn phải xác định điều kiện đầu toạ độ suy rộng vận tốc suy rộng dư Từ phương trình (2) (5) ta có Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Quyền, Lương Bá Trường, Nguyễn Văn Long fj (q1 (0), , q f (0), z1 (0), , z r (0), 0) = 0, ( j = 1, r ) (8) f ¶f j r ¶f j ¶f j å ¶q (0)q (0) + å ¶z (0) z (0) + ¶t (0) = 0, i =1 i i k =1 k k (9) ( j = 1, , r ) Từ phương trình liên kết (8) biết q1 (0), , q f (0) ta dễ dàng xác định giá trị gần z1 (0), , z r (0) (chẳng hạn phương pháp đồ thị) Lấy giá trị làm giá trị đầu, giải hệ phương trình đại số phi tuyến (8) phương pháp lặp Newton-Raphson tìm giá trị đầu toạ độ suy rộng dư xác Để xác định giá trị đầu vận tốc suy rộng dư, ta xét hệ phương trình (9) f ¶f r ¶f ¶f å ¶zj (0) zk (0) = -å ¶qj (0)qi (0) - ¶tj (0), (10) k =1 i =1 k i ( j = 1, , r ) Hệ (10) hệ r phương trình đại số tuyến tính r ẩn z1 (0), , zr (0) Giải hệ phương trình đại số ta xác định giá trị đầu vận tốc suy rộng dư Phương pháp khử nhân tử Lagrange [8, 9, 12] Khử nhân tử Lagrange, biến đổi hệ phương trình vi phân đại số (1), (2) hệ phương trình vi phân thường với số phương trình số tọa độ suy rộng có dư hệ Từ (4) ta suy RT Ms + RT FsT l = RT p1 (11) é E ù Trong R(q, z ) = êê -1 úú , êë-Fz Fq úû é ¶f ù ê ¶f1 ú ê ú ¶z r ú ê ¶z ê Fz = ê úú , Fq = ê ú ¶fr ú ê ¶fr ê ú ê¶ ¶z r úû ë z1 Sử dụng định lý trực giao [9] RT FsT = é ¶f ê ê ê ¶q ê ê ê ê ¶fr ê ê ¶q ë ¶f1 ùú ú ¶q f ú ú ú ú ¶fr ú ú ¶q f ú û Từ (11) ta có RT Ms = RT p1 thỏa mãn phương trình ràng buộc vị trí phương trình ràng buộc vận tốc dẫn đến sai lệch: f (sk , tk ) ¹ , k = 1, 2, , f (sk , sk , tk ) ¹ , k = 1, 2, (17) Theo phương pháp Baumgarte, thay giải phương trình f(s, s, t ) = ta tiến hành giải phương trình: f(s, s, t ) + 2a f (s, s, t ) + b f (s, t ) = (18) Trong hệ số chọn thỏa mãn điều kiện sau: < a £ b Các số hạng 2af b f đóng vai trị số hạng điều khiển Nhờ việc sử phương trình (18) thay cho phương trình (6) ta khử dần khử hồn tồn sai số tích lũy q trình tích phân Như thay cho giải hệ phương trình: M (s, t)s + FsT (s, t ) l - p1 (s, s, t ) = (19) f(s, s, t ) = ta tiến hành giải hệ phương trình sau: M (s, t)s + FsT (s, t ) l - p1 (s, s, t ) = f(s, s, t ) + 2a f (s, s, t ) + b f (s, t ) = (20) Hệ phương trình (20) viết lại dạng ma trận T é ùé ù é ù êM (s, t ) F (s, t)ú ê s ú = ê p1 (s, s, t )ú (21) ê F s, t ú ê ú ê 0r´r ú êl ú ê p3 (s, s, t )úú êë ( ) ë û ë û û p3 (s, s, t ) = p2 (s, s, t ) - 2a êé F (s, t)s + ft ùú - b f (s, t ) ë û é ¶F ù F ¶ E Ä s ) + = -ê + 2aF (s, t)ú s - 2a ft - ftt ê ¶s ( n ú ¶t ë û (22) Bài toán động lực học thuận tay máy robot hai khâu có liên kết chương trình (12) (13) Hệ hai phương trình (13) (6) viết lại dạng ma trận sau éRT M ù é T ù ê ú s = êR p1 ú (14) ê F ú ê p ú ëê s ûú ëê ûú Nếu ta đưa vào ký hiệu éRT M ù ú D = êê ú F êë s úû từ (14) ta suy hệ phương trình vi phân sau : éRT p ù 1ú (16) s = D-1 êê ú = g(s, s, t ) p êë úû Hệ (16) phương trình vi phân chuyển động hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng dạng toạ độ suy rộng có dư Chú ý : Phương pháp tích phân số phương trình (16) thường gặp phải sai số tích phân Sau bước tích phân, sai số tính tốn, giá trị si , si khơng cịn (15) Áp dụng phương pháp giải hệ phương trình vi phân – đại số trình bày mục trên, ta nghiên cứu toán động lực học thuận tay máy robot hai khâu có liên kết chương trình hình Liên kết chương trình địi hỏi điểm thao tác E chuyển động quỹ đạo cho trước Cho tay máy khâu chuyển động mặt phẳng thẳng đứng Thanh OO1 đồng chất chiều dài l1 , khối lượng m1 , khối tâm C1 Thanh O1E đồng chất chiều dài l2 , khối lượng m2 , khối tâm C2 Điểm thao tác E có khối lượng mE chuyển động đường thẳng AB Động lực học tay máy Robot có liên kết chương trình (26) Các lực suy rộng lực hoạt động không Q1* = t1,Q2* = t2 (27) Phương trình ràng buộc điểm thao tác E ln chuyển động đường thẳng AB xE - xA y - yA x y hay E + E - = = E xB - xA yB - yA l3 l4 Thay tọa độ điểm E từ (24) vào phương trình ràng buộc ta có phương trình liên kết: f (q1, q2 ) = l1l sin q1 + l1l cos q1 (28) +l2l sin (q1 + q2 ) + l2l cos (q1 + q2 ) - l 3l = Hình Tay máy Robot hai khâu Chọn tọa độ suy rộng q1 q2 Mơmen qn tính khối trục quay qua khối tâm khâu lần 1 lượt JC = m1l12 ,JC = m2l22 12 12 Vận tốc góc khâu: w1 = q1, w2 = q1 + q2 Tọa độ khối tâm điểm thao tác él ù éx ù êê cos q1 úú ê C1 ú ú; êy ú = êê l êë C1 úû ê sin q úú êë úû (23) é ù l2 ê ú éx ù êl1 cos q1 + cos (q1 + q2 )ú ê C2 ú = ê ú êy ú ê êë C úû ê l sin q + l2 sin q + q úú ( )ú 1 ëê û éx ù él cos q + l cos (q + q )ù 2 ú ê Eú = ê1 (24) êy ú ê l sin q + l sin q + q ú ( ê 2 ) úû ëê E ûú ë Động tay máy: 1 1 T = m1vC2 + JC w12 + m2vC2 + JC w22 + mE vE2 1 2 2 2 Với vC2 = xC2 + yC2 ;vC2 = xC2 + yC2 ;vE2 = xE2 + yE2 1 2 Ta dễ dàng tính biểu thức động tay máy: éỉ ù ỉ ờỗỗ m1 + m2 + mE ữữl + ỗỗ m2 + m ÷÷l l cos q ú ÷÷ ç ÷12 êçç 2ú E÷ ÷ø ÷ø è ốỗ ỳ q2 T = ờờ ỳ ổ ỗ m2 mE ữữ ỳ + ờ+ çç ú ÷÷l2 ê çè ú ÷ø ë ỷ ộổ m ửữ ổm ửữ ự + ờờỗỗỗ + mE ữữl1l2 cos q2 + ỗỗỗ + mE ữữl22 ỳỳ q1q2 (25) ữứữ ỗ ốỗ ứữữ ỷỳ ởờố ổm m ửữ + ỗỗỗ + E ữữl22 q22 ữứữ ốỗ Th nng ca tay máy: = m1gyC + m2gyC + mE gyE ổm ửữ ổm ửữ ỗ = ỗỗ + m2 + mE ữữl1 sin q1 + ỗỗỗ + mE ữữl2 sin (q1 + q2 ) ỗố ữữứ ốỗ ứữữ S dng phng trỡnh Lagrange loi dng nhõn t d ổỗ ảT ửữữ ảT ảP ảf çç =+ Qk* - l (k = 1, 2) ÷÷ dt ốỗ ảqk ứữ ảqk ảqk ảqk Ta thu hai phương trình chuyển động robot éỉ m ự ờỗỗ + m + m ữữl + (m + 2m )l l cos q ú ÷ ờỗỗ Eữ E 12 2 2ỳ ứữ êè ú q ê ỉ ú m ê ç ú ÷ + mE ÷÷l22 ê+ çç ú ữữứ ỗố ỳ ỷ ộổ m ổm ửữ ự ửữ ỗ 2 ỳ ỗ + ờỗỗ + mE ữữl1l2 cos q2 + ỗỗ + mE ữữl2 ỳ q2 ỗố ữữứ ỳ ứữ ờởỗố ỷ ổm ữử ỗ (29) - (m2 + 2mE )l1l2 q1q1 sin q2 - ỗỗ + mE ữữl1l2 q22 ữữứ ỗố ổm ửữ + ỗỗỗ + m2 + mE ữữ gl1 cos q1 ữứữ ốỗ ổm ữử + ỗỗỗ + mE ữữ gl2 cos (q1 + q2 ) ỗố ữữứ ổ ữữử çl l cos q1 - l1l sin q1 = t1 - l ỗỗ ữ ỗỗố+l2l cos (q1 + q2 ) - l2l sin (q1 + q2 )ữữứ ộổ ổ ự ờỗỗ m2 + m ữữl l cos q + ỗỗ m2 + m ữữl ỳ q ữ12 ờỗỗ ỗ Eữ Eữ 2ỳ ỗố ứữ ứữữ ỳỷ ờởố ổm ửữ ổm ửữ + ỗỗỗ + mE ữữl22 q2 + ỗỗỗ + mE ữữl1l2 q22 sin q2 ỗố ữữứ ốỗ ứữữ (30) ổm ửữ + ỗỗỗ + mE ÷÷ gl2 cos (q1 + q2 ) ữứữ ốỗ = t2 - l1 l2l cos (q1 + q2 ) - l2l sin (q1 + q2 ) ( ) Các phương trình vi phân (29), (30) phương trình đại số (28) tạo thành hệ phương trình vi phân – đại số mơ tả chuyển động tay máy robot Mô số Để giải hệ phương trình vi phân đại số ta cần biết tham số hệ điều kiện đầu Các tham số robot cho sau l1 = éëêm ùûú , l2 = 3.5 éëêm ùûú , l = éëêm ùûú , l = éëêm ùûú , m1 = 200 éëêkg ùûú , m2 = 35 éëêkg ùûú , mE = 25 éëêkg ùûú , J = 450 éêkg ⋅ m ùú ,J = 35 éêkg ⋅ m ùú ë û ë û Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Quyền, Lương Bá Trường, Nguyễn Văn Long Giả sử lực tác dụng lên khâu dẫn có dạng t1 = 0.1 ⋅ sin(2pt ) éëêN ⋅ m ùûú , t2 = 0.1 ⋅ sin(2pt ) + 15000 éëêN ⋅ m ùûú Các điều kiện đầu tọa độ suy rộng độc lập cho trước, điều kiện đầu tọa độ suy rộng dư xác định từ phương trình liên kết Ta có é rad ù ú, q1 (0) = 0.5781 éêërad ùúû , q1 (0) = 1.5457 ê ê s ú ë û é rad ù é ù ê ú q2 (0) = -0.8957 ëêrad ûú , q2 (0) = -1.7494 ê s ú ë û Sử dụng phần mềm MATLAB tính tốn mơ số Một phần kết tính tốn trình bày hình từ đến Trong hình đồ thị góc quay q1 q2 Hình đồ thị vận tốc góc Hình đồ thị biểu thị sai số tính tốn thể qua phương trình liên kết Kết đồ thị cho ta độ xác cao thuật tốn Hình Hình Sai số phương trình liên kết Để kiểm tra độ xác thuật tốn biểu diễn dịch chuyển góc vận tốc góc hình vẽ hình Trong hình đồ thị q1 q1 cịn hình đồ thị q2 q2 Hình đồ thị nhân tử Lagrange Trong [9] ý nghĩa nhân tử Lagrange Đồ thị góc khớp Hình Đồ thị q1 q1 Hình Đồ thị vận tốc góc khớp Hình Đồ thị q2 q2 Động lực học tay máy Robot có liên kết chương trình Trên hình biểu diễn cấu hình tay máy (robot arm configuration) theo thời gian Trong đường màu đỏ vị trí ban đầu tay máy, đường màu tím vị trí cuối tay máy Kết luận Hình Đồ thị nhân tử Lagrange theo thời gian Một yêu cầu toán động lực học tay máy robot có liên kết chương trình kiểm tra xem điểm thao tác E (hoặc khâu thao tác) có thực chuyển động quỹ đạo chương trình hay không Vấn đề tài liệu [1-7] chưa đề cập đến Trong báo đặc biệt quan tâm đến vấn đề Dựa kết giải hệ phương trình vi phân đại số, hình biểu diễn quỹ đạo chuyển động điểm thao tác E Động lực học tay máy robot chịu liên kết chương trình tốn có ý nghĩa khoa học thực tế Bài tốn liên quan trực tiếp với tốn lập trình quỹ đạo cho chuyển động robot Trong báo trình bày nghiên cứu tốn động lực học thuận robot có liên kết chương trình Các kết mô số cho thấy phương pháp nghiên cứu thuật tốn đề xuất có khả áp dụng cao Bài toán động lực học ngược nghiên cứu nhóm cơng bố thời gian tới Lời cảm ơn Bài báo hoàn thành với tài trợ Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) Tài liệu tham khảo [1] Rosen A., E Edelstein, Investigation of a new formulation of the Lagrange method for constrained dynamic systems, ASME-Journal of Applied Mechanics, vol 64, pp.116-122, 1987 [2] Rosen A., Applying the Lagrange method to solve problems of control constraints, ASME-Journal of Applied Mechanics, vol 66, pp.1013-1015, 1989 [3] Jankowski K., Dynamics of controlled mechanical systems with material and program constraints - I Theory, Mechanism and Machine Theory, vol.24, No.3, pp.175-179, 1989 [4] Jankowski K., Dynamics of controlled mechanical systems with material and program constraints-II Methods of solution, Mechanism and Machine Theory, Hình Quỹ đạo điểm E mặt phẳng vol.24, No.3, pp.181-185, 1989 [5] Jankowski K., Dynamics of controlled mechanical systems with material and program constraints-III Illustrative examples, Mechanism and Machine Theory, vol.24, No.3, pp.187-193, 1989 [6] Do Sanh, Dinh Văn Phong, Do Dang Khoa, Tran Duc, Control of program motion of dynamic system using relative motion, Technische Mechanik, Band 28, Heft 3-4, pp 211-218, 2008 [7] Vu Duc Binh, Do Dang Khoa, Phan Dang Phong, Do Sanh, Program motion of unloading manipulatos, Vietnam Journal of Science and Technology 56(5), 662-670, Hanoi 2018 [8] Hình Cấu hình robot De Jalon J G., E Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems Springer-Verlag, New York, 1994 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Quyền, Lương Bá Trường, Nguyễn Văn Long [9] Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật (in lần thứ 2) NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2017 [10] Nguyen Van Khang: Ein Beitrag zur dynamischen Analyse ebener Koppelgetriebe mit mehreren Freiheitsgraden mit Hilfe der numerischen Lösung der Bewegungsdifferentialgleichungen Diss A, TH Karl-Marx-Stadt, 1973 [11] Nguyen Van Khang, Über eine Methode zur Lösung der Bewegungs- gleichungen von Mechanismen mit mehreren Freiheitsgraden WZ der TH Karl-Marx-Stadt 17, N.1, S.59-70, 1975 [12] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Quyền, Nghiên cứu so sánh vài phương pháp giải hệ phương trình vi phân-đại số hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, 03-05/8/2015, Tập 2, Tr 147-158, Đà Nẵng 2016 ... cứu toán động lực học thuận tay máy robot hai khâu có liên kết chương trình hình Liên kết chương trình địi hỏi điểm thao tác E chuyển động quỹ đạo cho trước Cho tay máy khâu chuyển động mặt phẳng... thao tác E có khối lượng mE chuyển động đường thẳng AB Động lực học tay máy Robot có liên kết chương trình (26) Các lực suy rộng lực hoạt động không Q1* = t1,Q2* = t2 (27) Phương trình ràng... thao tác E Động lực học tay máy robot chịu liên kết chương trình tốn có ý nghĩa khoa học thực tế Bài toán liên quan trực tiếp với toán lập trình quỹ đạo cho chuyển động robot Trong báo trình bày