Chứng tỏ rằng các số tự nhiên có dạng: abcabc chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố... TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN.[r]
(1)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN Đề gồm trang Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) 2 2 A= + + + + 11.15 15.19 19.23 51.55 a Cho Tính tích: A.B æ ö 11 æ1 ö B =ç ç- ÷ ÷× ×ç ç +1÷ ÷ 3 ø è ø è ; b Chứng tỏ các số tự nhiên có dạng: abcabc chia hết cho ít số nguyên tố Câu (4,0 điểm) a Tìm số tự nhiên n lớn có ba chữ số, cho chia nó cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, cho ta các số dư theo thứ tự là: 1; 2; 3; 4; 5; b Tìm số nguyên a để 2a + chia hết cho a - 5; Câu (4,0 điểm) - x =x - a Tìm x biết: y 1 b Tìm các số nguyên x; y cho: x a, b a, b c Tìm số tự nhiên a và b biết: a - b = và Câu (3,0 điểm) Cho: M = +3 + 32+ 33 +…+ 3upload.123doc.net+ 3119 N 22 32 42 20092 20102 Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho 13 b) N <1 Câu (5,0 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz cho xOy 800 , xOz 1300 a) Chứng tỏ tia Oy nằm hai tia Ox và Oz b) Gọi Ot là tia đối tia Ox Tia Oz có phải là tia phân giác tOy không? Vì sao? c) Lấy các điểm A thuộc tia Ot; B thuộc tia Oz; C thuộc tia Oy; D thuộc tia Ox, (các điểm đó khác điểm O) Qua điểm A, B, C, D, O vẽ bao nhiêu đường thẳng phân biệt? -Hết Họ và tên: Số báo danh: (2) TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN Câu a HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KĐCL HSG Môn thi: TOÁN Nội dung cần đạt Điểm 2 2 æ1 1 1 1 ç A= + + + + = ç + + + 11.15 15.19 19.23 51.55 51 51 0,5 è11 15 15 19 19 æ1 ö 4 = ç = ç - ÷ ÷= = è11 55 ø 55 2.55 55 æ ö 11 æ1 ö æ ö 11 40,5 55.2 B =ç ç- ÷ ÷ ç ç +1÷ ÷=ç ç- ÷ ÷ =9 è ø è3 ø è ø 0,25 55.2 -4 A.B = 55 ( ) = b abcabc =1000.abc +abc =1001abc =7.11.13abc 0,75 chia hết cho ít ba số a b nguyên tố: 7; 11; 13 Vì n chia 3; 4; 5; 6; dư là 1; 2; 3; 4; nên n+2 chia 0.5 hết cho 3; 4; 5; và nghĩa là 0.5 n+2 là BC(3;4;5;6;7) Mà BCNN(3;4;5;6;7) = 420 Vậy n+2 = 840 suy n = 838 (Vì n là số TN lớn có chữ số) Ta có: 0.5 2a 2( a 5) 11 11 2 a a a Để 2a+1 chia hết cho a- thì a5 là ước 11 0.25 0.25 Suy ra: a -5 = a -5 = -1 a - = 11hoặc a - = -11 Suy ra: a =6 a= a = 3.a b 16 a = -6 - x +1 =4 Û - x =3 *) - x =3 x = *) - x =- x = Ta 0.25 0.25 0.25 có: 0.25 y 1 y 1 y 1 x 3 x x Nên: (y - 1).x = ta có bảng x 0.5 (3) c y-1 y a, b 1 a, b 6.( a, b) a, b 0.25 Gọi d = (a,b) suy ra: a = d.a' ; b = d b' Ta có: a.b = [a,b].(a,b) 0.5 nên d.a'.d.b' = 6.(a,b).(a,b) hay d2.a'.b' = 6.d2 a'.b' = (a' = 3; b' = 2); (a’ = 6; b’=1) (Vì 0.25 a>b a'>b' ) Mặt khác a - b = d.a' - d.b' =5 TH1: d(a' - b') = d = 5, a = 15; b = 10 TH2: d(a' - b') = 5d = 5, d = a = 6; b = HS làm cách khác đúng yêu cầu đề chấm điểm tối đa (4)