Bồi dưỡng Học Sinh Giỏi Toán lớp 8 ( có Lời Giải chi Tiết)

CHUYÊN ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ MỤC LỤC Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp nhóm hạng tử: Phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp tách hạng tử 11 Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc hai Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc ba Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc bốn Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc cao Phương pháp thêm bớt hạng tử 16 Phương pháp đổi biến số (hay đặt ẩn phụ) 18 Dạng Đặt biến phụ (x + ax + m)(x + ax + n) +p 18 Dạng Đặt biến phụ dạng (x + a)(x + b(x + c)(x + d) + e Dạng Đặt biến phụ dạng (x + a) + (x + b) + c 21 Dạng Đặt biến phụ dạng đẳng cấp 21 Dạng Đặt biến phụ dạng khác 22 Phương pháp hệ số bất định 25 Phương pháp tìm nghiệm đa thức: 30 Phương pháp xét giá trị riêng: 32 2 10 11 11 13 15 19 Các phương pháp Phương pháp đặt nhân tử chung a Phương pháp - Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng ) b Bài tập vận dụng Chứng minh với số nguyên n thì: b a c d Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn đẳng thức sau: a) x + y = xy b) xy – x + 2(y – 1) = 13 HD: a) Ta có viết thành: Do suy ra: hay Mà Do nên: hoặc Vậy ta có hai cặp số ngun cần tìm b) Phân tích vế trái thừa số ta có: Vế phải Hay: Vậy ta có cặp số ngun cần tìm là: nên ta có: Phương pháp dùng đẳng thức a Phương pháp: Sử dụng HĐT học số HĐT bổ sung sau đây: b Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a b d c HD: a Ta có: b Ta có: = = = = c Ta có: = = d Ta có: Ta lại có: Nếu x + y + z = Mặt khác: Suy Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Ta có: Đặt Suy ra: Chứng minh với số nguyên n thì: c b d e f a HD: e Ta có: Đặt n = 5k; n = 5k + 1; n = 5k + 2; n = 5k + 3; n = 5k + (k ) Ta chứng minh Vậy chia hết cho 3, 4, nên chia hết cho 60 f Với số nguyên n ta ln có: Lại có (3; 4) = Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn đẳng thức sau: x – y = 21 2 Phương pháp nhóm hạng tử: a Phương pháp Bước 1: Chọn nhóm …hạng tử thành nhóm cho nhóm sau phân tích thành nhân tử nhóm có thừa số chung, liên hệ nhóm đẳng thức Bước 2: + Nếu nhóm có thừa số chung: Đặt thừa số chung nhóm làm Nhân tử chung ngồi ngoặc ngoặc tổng các thừa số lại nhóm Chú ý: + Nhiều để làm xuất thừa số chung (nhân tử chung) ta cần đổi dấu hạng tử + Tính chất đổi dấu hạng tử: A = – (– A) + Nếu liên hệ nhóm tạo thành đẳng thức vận dụng đẳng thức b Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a b c d f e HD: a Ta có: b Ta có: c Ta có: = d Ta có: e Ta có: e Ta có: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b a c d HD: a Ta có: = b c Ta có: d Ta có: Chứng minh với số nguyên n thì: a b c d e f g h j i k l HD: j Ta có: đặt n = 2k Thay n = 2k ta được: Với k = 3; 4; Do đó: k Ta có: Ta có: 512 = Vì n lẻ nên Vậy l Ta có: 1152 = Vì n lẻ nên Mặt khác ta có: (1) = Phối hợp nhiều phương pháp Phân tích đa thức sau thành nhân tử: đpcm b a d c HD: a b = = = = c Ta có: d Ta có: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Cách 1: Khai triển hai ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu nhóm số hạng làm xuất thừa số chung z – x Cách 2: Để ý rằng: Do ta có: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c a + b + c = Khi ta có: hay Vậy: Cách 2: Để ý rằng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a c HD: b a Ta có: b Ta có: c Ta có: Phân tích đa thức sau thành nhân tử b a d c HD: a Ta có: b Ta có : c Ta có : = = = Phân tích thành nhân tử đa thức P(x) = x – x – 10x + 2x + HD: Đa thức dạng: P(x) = x + bx + cx + dx + e với Cách giải: Đặt biến phụ đưa P(x) dạng có chứa y + bxy sử dụng HĐT Dễ thấy b = 1, d = 2, e = 4, đặt y = x – y = x – 4x + Biến đổi P(x) = x – 4x + – x – 6x + 2x = (x – 2) – x(x – 2) – 6x Từ P(y) = y – xy – 6x Tìm m, n cho m.n = – 6x m + n = – x chọn m = 2x, n = –3x Ta có P(y) = y + 2xy – 3xy – 6x = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do dó, P(x) = (x + 2x – 2)(x – 3x – 2) Nếu đa thức P(x) có chứa ax xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách 2 2 2 2 2 Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Đa thức khơng có hai nghiệm –1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: Nên ta biến đổi sau: Đặt Đa thức trở thành : Thay t trở lại ta : Vậy Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c d e f 2 2 g h HD: a Ta có: Đặt Đa thức trở thành: Thay t trở lại ta : Vậy b Ta có: Đặt c Đặt Đa thức trở thành: Thay t trở lại ta được: d Ta có: Đặt Vậy Đa thức trở thành: e Đặt Đa thức trở thành: Thay t trở lại ta : f Ta có: Đặt h i Phân tích đa thức thành nhân tử: a b d c e HD: a Ta có Đặt b Ta biết: Nếu Đặt c Đặt d Đặt e Vậy Ta có: f Đặt Phương pháp hệ số bất định a Kiến thức ĐĐ̣ịnh lý : a Nếu đa thức với x ∈ Q a = b Nếu hai đa thức bậc mà đẳng với với giá trị biến hệ số hạng tử đồng dạng i VD: Cho hai đa thức Nếu f(x) = g(x) a = b ( i = 0; 1; 2; 3; .n ) Bài tập áp dụng Phân tích đa thức sau thành nhân tử: i b i f g h i j k HD: a Ta nhận thấy giá trị không nghiệm đa thức cho Do đó, ta có: Hoặc: Giả sử TH1 ta có : Đồng hệ số ta có: Vậy b Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có nghiệm x = – nên có nhân tử x + Do đó: Đồng hệ số ta có: Cách 2: Giả sử Đồng hệ số: c Ta có: = Đồng hệ số ta có: d Ta có: = Đồng hệ số ta có: Ta có: Đồng hệ số hai vế, ta : 2a + 2b = 4, ab + = 5, a + b = Vậy a = 1, b = e Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b a c d e f HD: a Ta có: Đồng hệ số hai vế, ta Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = –30, a, c ước –30 hay Với a = 2, c = 15 b = –2 thoả mãn hệ Đó số phải tìm Vậy: b Ta có: Đồng hệ số ta có: c Dễ thấy ±1 khơng phải nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỉ Do đó: Đồng đa thức với đa thức cho, ta có Vậy: d Ta có: Đồng hệ số, ta được: e Ta viết: Đồng hệ số hai vế, ta được: 3d + c = 11, + cd = – 7, c + d = – Khi đó, ta chọn cách viết khác: với x Đồng hệ số hai vế ta được: Xét hai trường hợp: TH : m = q = – 1, giải n = 4, p = – ( nhận ) TH : m = q = – 1, giải (loại ) Vậy: f Ta có: Đồng hệ số ta có: Vậy Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a b d c HD: a Ta có: Đặt: ta được: (loại) b Đặt c Đặt d Đặt Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a b c HD: a Đặt: Khi ta có: Lại có : Thay vào ta : b Đặt c Đặt Ta có: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a b d c HD: a Đặt , ta có: b Đặt: , ta có: c Đặt: c Ta có: Đặt: Thay , ta có: , ta được: Phương pháp tìm nghiệm đa thức: a Lý thuyết:  Định lý nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên  Giả sử đa thức đa thức với hệ số nguyên, Khi đó, P(x) có nghiệm hữu tỉ nghiệm hữu tỉ P(x) có dạng , r ước a , s ước a (r, s) =  Nếu P(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, P(x) có nhân tử x – a P(x) viết dạng P(x) = (x – a).q(x)  Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x = b ta phân tích đa thức P(x) thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) Q(x) Khi P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)  Vậy đa thức P(x) có nghiệm kép x = x = a P(x) = (x – a) R(x) n 2  Hệ quả: Đa thức , a nguyên i Khi P(x) có nghiệm hữu tỉ nghiệm hữu tỉ P(x) số nguyên ước số hệ số a Ví dụ: Cho đa thức: x + 3x  Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x  a)) nhân tử cịn lại có dạng (x + bx + c) Tức là: x + 3x  = (x  a)(x + bx + c) ac =  a ước  Vậy đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ước hạng tử 3 tự  Định lý Bezout: Số x nghiệm đa thức P(x)  P(x) (x – x )  Sơ đồ Horner: 0  Giả sử chia đa thức a  Bậc đa thức thương Q(x) nhỏ bậc P(x) đơn vị cho nhị thức x – (Số dư r số)  Ta có:  Cân hệ số, ta có: … a b Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x + x – 2x – 6x – HD: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt –1 Vì P(–1) = P(2) = Do P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x – x – , ta thương phép chia là: Q(x) = x + 2x + = (x + 1) + > Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x + 2x + 2) 2 2 2 Phân tích đa thứcsau thành nhân tử: a b c d e f g h ĐS: a b c d e f g h 10 Phương pháp xét giá trị riêng:  Phương pháp áp dụng số đa thức nhiều biến, hốn vị vòng quanh  Trong phương pháp trước hết ta xác định nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử cịn lại  Ngồi ta cịn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử, a, b, c có vai trị biểu thức Nếu F(a,b,c) = a = b F(a,b,c) chứa nhân tử a  b, b  c, c  a Nếu F(a,b,c) biểu thức đối xứng a ,b, c F(a,b,c) ≠ a = b ta thử xem a =  b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng, thoả mãn F(a,b,c) chứa nhân tử a + b từ chứa nhân tử b + c, c + a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: HD: Nhận xét: Nếu thay x y P = 0, nên P chia hết cho x – y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi (Ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh) Do đó: P chia hết cho x – y P chia hết cho y – z z – x Từ đó: ; k số (khơng chứa biến) Vì P có bậc tập hợp biến, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến Ta có: (*) với x, y, z ∈ R nên ta chọn giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a xong Chú ý: Các giá trị x, y, z ta chọn tuỳ ý, cần chúng đôi khác để tránh P = Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*), ta tìm k = –1 Vậy: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: HD: Nhận xét: Với a = Q = 0, a nhân tử Q Do vai trị bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q = k.abc Chọn a = b = c = k = Vậy Q = 4abc Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a b c d HD: a Nhận xét: Nếu thay x = –y P = 0, nên P chia hết cho x + y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi Do đó: P chia hết cho x + y P chia hết cho y + z z + x Từ đó: ; k số (khơng chứa biến) Vì P có bậc tập hợp biến, cịn tích (x + y)(y + z)(z + x) có bậc tập hợp biến Với x = 0; y = z = 1, ta có: k = Vậy b Khi x =  y nên B chứa nhân tử x + y Lập luận tương tự, ta có c Khi thay a = b M = nên M chia hết cho a – b Lập luận tương tự, ta có: Chọn a = 0, b = 1, c = ta R = Vậy d Khi thay a = b A = nên A chia hết cho a – b Lập luận tương tự, ta có: Chọn a = 0, b = 2, c = 1, ta được: k = 1 Vậy Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a b c d f e g HD: e e e ... Ta có: b Ta có: c Ta có: d Ta có: e Ta có: f Ta có: g Ta có: h Ta có: i Ta có: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b c a d e f g h i HD: a Ta có: b Ta có: b Ta có: b Ta có: b Ta có: b Ta có: ... Khi đó, P(x) có nghiệm hữu tỉ nghiệm hữu tỉ P(x) có dạng , r ước a , s ước a (r, s) =  Nếu P(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, P(x) có nhân tử x – a P(x) viết dạng P(x) = (x – a).q(x)  Nếu... thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x = b ta phân tích đa thức P(x) thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) Q(x) Khi P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)  Vậy đa thức P(x) có nghiệm kép x = x = a P(x)