Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình toán THCS

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài nhằm giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng tuyển sinh vào lớp 10 ở các trường THCS.

UBND HUYỆN GIA LÂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN THCS Tác giả: Hồ Thị Lan Mơn: Tốn học Cấp học: THCS NĂM HỌC: 2016 - 2017 Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS MỤC LỤC Trang A Đặt vấn đề …………………………………………… B Giải vấn đề ……………………………………… I Thực trạng ………………………………………… II Một số kiến thức liên quan ……………………… III Một số dạng toán ………………………………… IV Biện pháp thực …………………………… 27 C Kết học kinh nghiệm ……………… 28 D Kết luận ……………………………………………… 29 E Tài liệu tham khảo …………………………………… 30 Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS A ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở lí luận Trong q trình phát triển, xã hội đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy tốn khơng ngừng bổ sung đổi để đáp ứng với đời địi hỏi xã hội Vì người giáo viên nói chung phải ln tìm tịi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong chương trình mơn tốn lớp THCS kiến thức hàm số phần học quan trọng chương trình lớp THCS, phần mà đề thi học sinh giỏi tuyển sinh vào lớp 10 thường Đó tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT Cơ sở thực tiễn Hàm số dạng toán mà học sinh THCS coi dạng tốn khó chứa đựng nhiều khái niệm mới, đồng thời hàm chứa nhiều dạng tập hay Trong kì thi vào lớp 10 THPT, kiến thức hàm số ln đóng vai trị quan trọng điểm số song học sinh lại hay điểm phần dễ lẫn lộn khái niệm khơng phân dạng tốn để giải Hàm số chương học tương đối khó, bái tốn hàm số đa dạng khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề nêu cách giải chung chưa phân dạng phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, công tác tự bồi dưỡng giáo viên Vì việc nghiên cứu để “Phân dạng tốn hàm số chƣơng trình Toán THCS” thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng tuyển sinh vào lớp 10 trường THCS Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I THỰC TRẠNG: Nguyên nhân: a) Hiểu biết hàm số học sinh hạn chế nên tiếp thu chậm, lúng túng từ khơng nắm kiến thức, kĩ b) Đa số em chưa có định hướng chung phương pháp giải, vận dụng khái niệm, tính chất để hình thành cách giải tốn c) Học sinh khơng phân dạng toán nên làm toán thường bị lệch đề Một số nhược điểm HS q trình giải tốn hàm số: a) Đọc đề qua loa, khả phân tích đề, tổng hợp đề cịn yếu, lượng thơng tin cần thiết để giải tốn cịn hạn chế b) Chưa có thói quen định hướng cách giải cách khoa học trước c) Trình bày cẩu thả không theo phương pháp cụ thể II MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Khái niệm hàm số Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x cho giá trị x cho giá trị y y gọi hàm số x Kí hiệu: y = f(x) Tính chất chung hàm số Với x1 x2 thuộc R: - Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R - Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R Hàm số bậc a) Khái niệm hàm số bậc Hàm số bậc hàm số có dạng y = a.x + b a, b số cho trước a  b) Tính chất: (tính đồng biến, nghịch biến hàm số) Hàm số bậc y = a.x + b (a  0) +) Đồng biến  a > +) Nghịch biến  a < Ví dụ: Hàm số y = 2x – hàm số đồng biến (vì a = > 0) Hàm số y = - 3x + hàm số nghịch biến (vì a = - < 0) Khái niệm đồ thị hàm số Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) mặt phẳng tọa độ Chú ý: Dạng đồ thị: Hàm Đồ thị hàm y = m Đường thẳng x = m (trong m  R ) (trong x biến, m  R ) đường thẳng song song y đường thẳng song với trục Oy x=m song với trục Ox y y=m m O m x x O Đồ thị hàm số y = ax ( a  0) đường thẳng (hình ảnh tập hợp điểm) qua gốc tọa độ Yy Yy (II) (I) (II) x < 0, y > x > 0, y > x < 0, y > (I) x > 0, y > Yy ax > 0) O Xx Y O = ia (ví Xx y = ax a íi (v < 0) (III) (III) (IV) x < 0, y < x < 0, y < x > 0, y < (IV) x > 0, y < Đồ thị hàm số y = a x + b (a, b  0) đường thẳng (hình ảnh tập hợp điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm (  b a ; 0) Cách vẽ: Bước Xác định hai điểm thuộc đồ thị hàm số cách: Cho x =  y = b  Giao điểm đồ thị với trục tung có tọa độ (0;b) Cho y = (  x = b a  Giao điểm đồ thị với trục hồnh có tọa độ b a ;0) Bước Biểu diễn hai điểm vừa xác định hệ trục toạ độ Bước Kẻ đường thẳng qua hai điểm vừa vẽ để có đồ thị hàm số Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS Yy Yy (II) (I) (II) x < 0, y > x > 0, y > x < 0, y > O Yy = ax + b i (ví a> 0) (I) x > 0, y > O Y Xx Xx y = ax + b a íi (v < (IV) (III) 0) (III) x < 0, y < (IV) x < 0, y < x > 0, y < x > 0, y < Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Hai đường thẳng y = ax + b ( a  ) y = a’x + b’ ( a '  ) Trùng a = a’ b = b’ Song song với a = a’ b  b’ Cắt a  a’ Vng góc a.a’ = -1 Cắt điểm trục tung a  a’ b = b’ Góc tạo đƣờng thẳng y = ax + b (a  0) trục Ox Giả sử đường thẳng y = ax + b ( a  ) cắt trục Ox điểm A Góc tạo đường thẳng y = ax + b ( a  ) góc tạo tia Ax tia AT (với T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương) Nếu a > góc  tạo đường thẳng y = ax + b với trục Ox tính theo cơng thức sau: tan  = a Nếu a < góc  tạo đường thẳng y = ax + b với trục Ox tính  = 180o -  với tan  = a b theo công thức sau: ax + y Y y = y T T (a < 0) (a > 0)  O x O A x Y A   y = ax + b III MỘT SỐ DẠNG TỐN Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS  Dạng 1: Bài tốn tính giá trị hàm số, biến số Phƣơng pháp giải - Thay giá trị biến số, hàm số vào hàm số - Tính giá trị hàm số hay tìm biến số Ví dụ Ví dụ 1: a) Cho hàm số y = f(x) = 2x Tính f(0); f(-1); f( b) Cho hàm số y = g(x) = 2x2 Tính g(1); g( 1 ); g( ); f( 1 ); f(a); f(a + b) ); g(-2); g(a); g(a - b) Hướng dẫn: Thay giá trị x vào cơng thức xác định hàm số để tính giá trị hàm số giá trị cho biến Ví dụ 2: Cho hàm số y = f  x  = 2x + a) Tính giá trị hàm số x = -2; - 0,5; 0; 3; b) Tìm giá trị x để hàm số có giá trị 10; -7 Giải: a) Ta có: Khi x = -  f    = 2.(-2) + 3= - + = - x=      f     2.     1      2   f x=3  f        x= 2x = 10 -      3   f      b) +) Để hàm số y =  0  x=0  f x  2x + 2x =  3 có giá trị 10 x=  2x + 3=10  2x + = -7 Vậy x = hàm số có giá trị 10 +) Để hàm số y = f  x  = 2x + có giá trị -7 2x = -7 -  2x = - 10  x = - Vậy x = - hàm số có giá trị -7  Bài tập tƣơng tự: Bài 1: Cho hàm số y = 2x - Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS a) Tính giá trị hàm số với x = 0; b) Tìm x để hàm số nhận giá trị Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = x2 + a) Tính f(0); f( 1 );f( ); b) Tìm x biết f(x) = 2; f(x) = 17; f(x) = 25  Dạng 2: Bài toán hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Kiến thức liên quan: Hàm số bậc y = a.x + b (a +) Đồng biến  a > +) Nghịch biến  a <  0) Ví dụ: Ví dụ 1:Trong hàm số sau, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến R Vì ? a) y =  x  b) y = c) y = 2   x   d) y = x  n  x  (x biến số, Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 3)x + 2m - (m ≠ 3) a) Tìm m để hàm số đồng biến ? b) Tìm m để hàm số nghịch biến ? Hướng dẫn: a) Hàm số đồng biến  a = m – >  m > Vậy m > hàm số đồng biến b) Hàm số nghịch biến  a = m – <  m < Vậy m < hàm số nghịch biến Bài tập tƣơng tự: Bài 1: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – a) Chứng tỏ y hàm số bậc b) Hàm số y hàm số đồng biến? hay nghịch biến? Bài 2: Cho hàm số y = (5m2 - 20)x + 11 (m ≠  2) a) Tìm m để hàm số đồng biến ? b) Tìm m để hàm số nghịch biến ? c) Với m = -3 hàm số đồng biến? hay nghịch biến? n  ) Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS  Dạng Điểm thuộc đồ thị, không thuộc đồ thị hàm số Phƣơng pháp: - Thay hoành độ (hoặc tung độ) điểm vào hàm số - Nếu giá trị hàm số tung độ (hoặc hoành độ) điểm thuộc đồ thị hàm số - Nếu giá trị hàm số không tung độ (hoặc hồnh độ) điểm khơng thuộc đồ thị hàm số Ví dụ: Cho hàm số y = 2x – a) Điểm sau thuộc đồ thị hàm số? Vì sao? A(0; 1) B(1; 1) C(-2; 5) b) Tìm điểm D thuộc đồ thị hàm số trên? Giải: a) Xét điểm A Thay x = vào hàm số ta có: y = 2.0-1 = -1 ≠  A  đồ thị hàm số y = 2x - Xét điểm B Thay x = vào hàm số ta có: y = 2.1-1 =  B  đồ thị hàm số y = 2x - b) Cho x =  y = 2.2-1 =  D(2;3)  đồ thị hàm số y = 2x – Bài tập tƣơng tự; Cho hàm số y = 2x2 + Điểm sau thuộc đồ thị hàm số? Vì sao? A(-1; 3) B(1; 2) C(3; 18) D( ; 9)  Dạng Bài toán xác định hàm số Phƣơng pháp: Thay tọa độ điểm thuộc đồ thị hàm số ta tính hệ số Lưu ý: - Điểm nằm trục tung có hồnh độ - Điểm nằm trục hồnh có tung độ Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số bậc y = ax + Tìm a để đồ thị hàm số qua điểm A (-2; 3) Giải: Để đồ thị hàm số y = ax + qua điểm A (-2; 3)  = a.(-2) + Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS -2a + =  -2a = -  -2a = -  a = Vậy a = đồ thị hàm số y = ax + qua điểm A (-2; 3) Ví dụ 2: a) Tìm hệ số a hàm số y = ax + biết x =  y =  b) Xác định hệ số b biết đồ thị hàm số y= -2x + b qua điểm A ( 2; - 3) Giải: a) Khi x =  y =  ta có:  = a.(  ) +1 a.(1  ) =  -1  a.(1  ) =    a=  2 1 2 =  1 1   Vậy x =  y =  a = b) Vì đồ thị hàm số y = - 2x + b qua điểm A ( 2; -3) nên ta có:  -3 = -2.2 + b b =1  - + b = -3  Vậy b = đồ thị hàm số y= - 2x + b qua điểm A ( 2; -3) Ví dụ 3: Cho hàm số y = ( m - ) x + m + ( * ) a) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt trục tung điểm có tung độ - b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = -2x + c) Tìm m để đồ thị hàm số (*) vng góc với đường thẳng y = 2x -3 Giải: a) Để đồ thị hàm số y = (m - )x + m + (* ) cắt trục tung điểm có tung độ – m+2=-3  m=-5 Vậy với m = - đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - b) Để đồ thị hàm số y = ( m - ) x + m + ( * ) song song với đường thẳng  y = - 2x +  m   2  m    m  2   m   Vậy với m = đồ thị hàm số thẳng m    m  1  m =1 y = (m - )x + m + (* ) song song với đường y = - 2x + c) Để đồ thị hàm số y = (m - )x + m + (* ) y = 2x -  a.a’ = -1  (m - 3) = -1 vng góc với đường thẳng Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS a + b + c = nên phương trình có hai nghiệm : x1  , x  2 Thay x = vào hàm số y = - 2x2  y = - 2, ta giao điểm thứ (1; - 2) Thay x= -2 vào hàm số y = - 2x2  y = - 8, ta giao điểm thứ hai (-2; - 8) Vậy ta tìm hai giao điểm (P) (d) (1; - 2) (-2; - 8) Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm (P) y = x2 (d) y = x + Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điểm (P) y = x2 (d) y = 2x + 3 Tìm điều kiện để hai đƣờng thẳng cắt nhau, song song, trùng a) Phương pháp: Cho hai đường thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 +) (d1) cắt (d2)  a1  a2 +) (d1) // (d2)  a1 = a2 +) (d1)  (d2)  a1 = a2 b1 = b2 +) (d1)  (d2)  a1.a2 = -1 (phải chứng minh dùng) +) (d1) cắt (d2) điểm  Oy  a1  a2 b1 = b2 b) Ví dụ : Ví dụ : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị a, b đường thẳng (d) : y = ax + - b đường thẳng (d’) : y = (3-a)x+b song song với ? trùng ? cắt ? Giải: (d) // (d’)   a   a a     b   b b   Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng: (d1) : y  (a  )x  2, (a  1) (d2): y  (3  a )x  1, (a  ) a) Tùy theo giá trị tham số a, xác định vị trí tương đối (d1) (d2) b) Nếu hai đường thẳng cắt nhau, xác định tọa độ giao điểm Giải: a) Ví có hệ số tự ≠ nên hai đường thẳng trùng (d1) // (d2):  a – = – a  a =  d1  c¾ t d1   d2  d2   a 1  a  a   ( a  )(  a )    a 15  4a   Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS b)  d  c¾ t  a    d  a  hc a = + Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình ( a  ) x   (  a ) x    y  (a  )x  Ta tìm tọa độ giao điểm (x ; y) = (  2a ;  3a  2a )  Dạng 8: Xác định điểm cố định hàm số Phƣơng pháp: Để tìm điểm cố định mà đường thẳng y = ax + b (a  0; a,b có chứa tham số) qua với giá trị tham số m, ta làm sau: Bước 1: Gọi điểm cố định A(x0; y0) mà đường thẳng y = ax + b qua với giá trị tham số m Bước 2: Thay x = x0; y = y0 vào hàm số y0 = ax0 + b, ta biến đổi dạng  A ( x , y ) m  B ( x , y )  , đẳng thức với giá trị tham số m hay phương trình có vơ số nghiệm m Bước 3: Đặt điều kiện để phương trình có vơ số nghiệm (Phương trình A ( x , y ) m  B ( x , y )  , có vơ số nghiệm  A (x 0, y )  )   B ( x , y )  0  Ví dụ: Chứng minh đồ thị hàm số y = (m - 1)x + 2m – qua điểm cố định với giá trị tham số m Tìm điểm cố định Hướng dẫn: - Giả sử A(x0; y0) điểm cố định mà đồ thị hàm số y = (m - 1)x + 2m – qua với giá trị tham số m - Thay x = x0; y = y0 vào hàm số y0 = (m - 1)x0 + 2m – 3, m  R m x0  x0  2m   y0  , m  R  ( x  )m  x  y   , m  R    x       x  y    x     y   Vậy đồ thị hàm số y = (m - 1)x + 2m – qua điểm cố định A(-2; -1) với giá trị tham số m  Dạng 9: Tìm số giao điểm đƣờng thẳng Parabol 16 Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS Tổng qt: Cho (P) : y = ax2 (a  0) (d) : y = mx + n Xét phương trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n (*) + Phương trình (*) vô nghiệm (  < 0)  (d) (P) khơng có điểm chung + Phương trình (*) có nghiệm kép (  = 0)  (d) tiếp xúc với (P) + Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (  > 0)  (d) cắt (P) hai điểm phân biệt + Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương (  > 0; P> ; S >0)  (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung + Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương (  > 0; P> ; S 0, m  R 17 Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS Ví dụ 3: Cho parapol (P) : y = 2x2 đường thẳng (d) : y = 2(a + 1)x - a - a) Tìm a để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt Tìm tọa độ giao điểm b) Tìm a để (P) (d) tiếp xúc Xác định tọa độ tiếp điểm Giải: a) (P) (d) cắt hai điểm phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm : 2x  2(a  )x  a   x  2(a  )x  a   (1 ) có hai nghiệm phân biệt Ta cần có điều kiện  '  ( a  )( a  )   a   h o Ỉ c a  Vậy (P) (d) cắt hai điểm phân biệt a  1 hc a  Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình (1) x1  Thay a 1  a 1 , x1 , x x2  a 1  a 1 vào y = 2(a + 1)x - a - ta tìm tung độ giao điểm y  ( a  )( a  a  ); y  ( a  )( a  Vậy tìm hai giao điểm  x ; y  , ( x ; y b) (P) (d) tiếp xúc 2x  2(a  )x  a    (1 ) a 1 ) ) phương trình hồnh độ giao điểm: có nghiệm kép   '  ( a  )( a  )   a   h o Ỉ c a = - Với a = - 1, nghiệm kép x1  x  2(a  1) = Vậy tọa độ điểm tiếp xúc (0 ; 0) - Với a = 1, nghiệm kép x1  x  2(a  1) = Vậy tọa độ điểm tiếp xúc (1 ; 2) Ví dụ 4: Cho ®-êng thẳng (d): y = x + 2m parabol (P): y =-x2- x + 3m a)Với giá trị m th× (d) tiÕp xóc víi parabol (P) b) Víi giá trị m (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A B Tìm ta ®é giao ®iĨm A vµ B m = Nhận xét: t-ơng tự nh- ví dụ ta xét có nghiệm ph-ơng trình bậc hai có nghiệm (d) (P) có điểm chung có hai nghiệm (d) (P) có hai điểm chung Giải: a) Hoành độ giao điểm chung (d) (P) nghiệm ph-ơng tr×nh: 18 Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS -x2 - x + 3m = x + 2m  - x2- 2x + m = Đ-ờng thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) ph-ơng trình (3) có nghiệm kép  + 4m =  m = -1 b) Đ-ờng thẳng (d) cắt parabol (P) ph-ơng trình (3) có nghiệm phân biệt  + 4m >  m > -1 Khi m = hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm ph-ơng trình -x2 - 2x + =  x = x = Từ suy ta độ giao điểm A, B (d) (P) là: A(1; 7) B(3; 9) Bài tập tƣơng tự: Bài 1: Cho hàm số y = -x2 (P) y = mx - (d) a, Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) ln cắt parabol (P) điểm phân biệt b, Gọi x1, x2 giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Tìm giá trị m để: x12x2 + x22x1 - x1x2 = 2016 Bài 2: Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = -2x – m2 + a Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục tung b Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt bên trái trục tung Bài 3: Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx + m + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt bên phải trục tung Bài 4: Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx – Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn 3 x1  x  4 Bài 5: Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx + m + a Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt A, B b Gọi x1, x2 hoành độ A B Tìm m cho x  x  Bài 6: Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = 2mx – m2 + Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 =  Dạng 10 Bài tốn tính diện tích chu vi tam giác Công thức cần nhớ: S  = a.ha (Trong S  diện tích tam giác, a cạnh đáy, đường cao tương ứng) C  = a + b + c (với a, b, c độ dài cạnh tam giác) 19 Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS Trong tam giác vng: a2 = b2 + c2 (Trong a cạnh huyền, cịn b, c cạnh góc vuông) Cách giải Bước Vẽ đường thẳng cho hệ trục toạ độ Bước Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bước Tính độ dài cạnh tương ứng Bước Thay vào cơng thức liên quan để tính Ví dụ : Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = x + (d2): y = – x Gọi A, B, C giao điểm (d1) với (d2), (d1) với trục hoành Ox (d2) với trục hoành Ox Vẽ đường thẳng (d1) (d2) hệ trục toạ độ Tìm toạ độ điểm A, B, C Tính diện tích chu vi tam giác ABC Giải: a) Xét đường thẳng (d1): y = x + Với x = y = Với y = x = -2  Đồ thị đường thẳng (d1) qua hai điểm (0; 2) (-2; 0) Xét đường thẳng (d2): y = – x Với x = y = Với y = x =  Đồ thị đường thẳng (d1) qua hai điểm (0; 2) (2; 0) b) Vì (d1) (d2) qua điểm (0; 2)  A(0; 2) Theo câu (a) ta có B(-2; 0) C(2; 0) c) Ta có: AO = 2(đvđd); BC = 4(đvđd)  S ABC  A O B C  2  (đvdt) Mặt khác: Áp dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác vng AOB AOC ta có: AB2 = AO2 + OB2 = 22 + 22 =  AB = = 2 (đvđd) AC2 = AO2 + OC2 = 22 + 22 =  C ABC  A B  B C  C A =2  +4+2 AC = =4 (đvđd) =2 + (đvđd) Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d1): y = x + ; (d2): y = – 3x (d3): y =  x– Gọi A, B, C giao điểm (d1) với (d2), (d2) với (d3) (d3) với (d1) 20 Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS a) Vẽ đường thẳng (d1) (d2) hệ trục toạ độ b) Tìm tọa độ điểm A, B, C c) Tính diện tích chu vi tam giác ABC Giải: a) Xét đường thẳng (d1): y = x + Với x = y = Với y = x = -3  Đường thẳng (d1) qua hai điểm (0; 3) (-3; 0) Xét đường thẳng (d2): y = – 3x Với x = y = Với y = x =  Đường thẳng (d1) qua hai điểm (0; 3) (1; 0) Xét đường thẳng (d3): y = Với x = y = –  x– 5 Với y = x = -  Đường thẳng (d1) qua hai điểm (0; – ) (- 3; 0) b) Theo câu (a) ta có: (d1) (d2) qua điểm (0; 3)  A(0; 3) (d1) (d3) qua điểm (-3; 0)  C(-3; 0) Giả sử B(x0; y0) Thay x = x0 y = y0 vào (d2) ta được: y0 = – 3x0 (1) Thay x = x0 y = y0 vào (d3) ta được: y0 = Từ (1) (2) ta được: – 3x0 =  3x0 –  5 x0 – (2) x0 – x0 = +  15x0 – 3x0 = 15 +  12x0 = 24  x0 = Thay x0 = vào (1) ta y0 = -3  B(2; -3) c) Gọi M giao điểm đường thẳng (d2) với trục hoành Ox, ta có:  S ABC  S ACM  S BCM    2 21 Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có: AB2 = 32 +32 = 18  AB = BC2 = 32 + 52 = 34  BC = AC2 = 62 + 22 = 40  AC = 10 =3 +  C ABC  A B  B C  C A + 34 10 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = x + m (d2): y = – 2x (với m tham số, m  0) Gọi A, B, C giao điểm (d1) với (d2), (d1) với trục hoành Ox (d2) với trục hồnh Ox a) Tìm tọa độ điểm A, B, C b) Tìm giá trị tham số m để tam giác ABC có diện tích 2016 c) Tìm giá trị tham số m để diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ Giải: a) Dể thấy B( ; 0) C(-m; 0) Giả sử A(x0; y0) Thay x = x0 y = y0 vào (d1) ta được: y0 = x0 + m Thay x = x0 y = y0 vào (d3) ta được: y0 = – 2x0 Từ (1) (2) ta được: x0 + m = – 2x0 3x0 = 1– m  Thay x0 = A(  1 m 1 m ; = S ABC 1  2m  1 m x0 = vào (2) ta y0 =  2m  2m ) 3 b)  (1) (2) y0.(m + )= 2  2m (m + ) = 2 12 Để S ABC = 2016 1  2m  = 2016 12  (1 + 2m)2 = 24192 22  (1 + 2m)2 = ( 42 )2 Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS 1  m  4     m   4 Vậy với m = 24 42   24 42  m    24 42  m    (T M D K ) (L oai) tam giác ABC có diện tích 2016 c) Vì m   + 2m   (1 + 2m)2   S ABC  12 Dấu “=” xảy m = Vậy với m = S ABC đạt giá trị nhỏ Và giá trị nhỏ 12  Dạng 11 Bài tốn tính khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đƣờng thẳng (d): y = ax + b Cách giải: Bước Vẽ đường thẳng (d) điểm M(x0; y0) hệ trục tọa độ Bước Kẻ MH vng góc với đường thẳng (d) Bước Xác định tam giác vng AMB có MH đường cao Bước Tìm tọa độ điểm A, B độ dài cạnh tam giác AMB Bước Vận dụng hệ thức đường cao cạnh tam giác vng để tính MH Ví dụ Ví dụ Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng y = – x (d) a) Phân tích tìm lời giải Đầu tiên em vẽ đường thẳng (d) xác định điểm A, B, H Ta nhận thấy tam giác AOB có OH đường cao, có cạnh OA = OB = 3, dựa vào định lí Pi – ta – go ta củng tính cạnh AB = Từ đó, áp dụng hệ thức đường cao cạnh tam giác vuông a.h = b.c hay h  b c để tính độ dài OH a b) Giải: Kẻ OH  (d) (với H  (d)) Gọi A, B giao điểm đường thẳng (d) với trục toạ độ Ox Oy Ta có: Tam giác vng AOB có OA = OB = Áp dụng định lí Pi ta go ta được: AB2 = OA2 + OB2 = 33 + 32 = 18  AB = = Mặt khác: áp dụng hệ thức đường cao cạnh tam giác vuông ta có : 23 Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS a.h = b.c  h  b c hay OH  O A O B a  AB 3  2 Vậy khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng y = – x 2 Ví dụ Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng y = 2x + (d) a) Phân tích tìm lời giải Tương tự, em vẽ đường thẳng (d) xác định điểm A, B, H Ta nhận thấy tam giác AOB có OH đường cao, có cạnh OA = OB = 5, dựa vào định lí Pi – ta – go ta tính cạnh AB = Từ đó, áp dụng hệ thức đường cao cạnh tam giác vuông a.h = b.c hay h  b c để tính độ dài OH a b) Giải: Kẻ OH  (d) (với H  (d)) Gọi A, B giao điểm đường thẳng (d) với trục Ox Oy Ta có: Tam giác vng AOB có OA = OB = Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vng AOB ta được: AB2 = OA2 + OB2 = 5    5   = 125  AB = 125 = 5 Mặt khác: áp dụng hệ thức đường cao cạnh tam giác vng ta có a.h = b.c  h  b c a hay OH  O A O B AB   5 Vậy khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng y = 2x + Ví dụ Cho đường thẳng y = – x + m (d) (Với m tham số, m > 0) a) Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) theo m 24 Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng (d) Giải: a) Kẻ OH  (d) (với H  (d)) Gọi A, B giao điểm đường thẳng (d) với trục tọa độ Oy Ox Tam giác vng AOB có OA = m OB = m Áp dụng định lí Pi ta go ta được: AB2 = OA2 + OB2 = ( m )2 + m2 = 4m2 AB = m = 2m (Vì m > 0) Mặt khác: Áp dụng hệ thức đường cao cạnh tam giác vng ta có :  a.h = b.c  h  b c hay OH  O A O B  AB a m m 2m  m b) Để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) OH =  m=3 Vậy với m =  m =6  m= =2 3 khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) 25 Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS IV BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Việc quan trọng để thành công dạy học theo người thầy phải chuẩn bị giảng thật tốt, chuẩn bị hệ thống câu hỏi, tập trắc nghiệm, tự luận phù hợp Việc phân tích “bài tập mẫu” cho học sinh qua học phụ đạo nhà trường tổ chức học tự chọn mơn tốn thực cần thiết Tuy nhiên để truyền tải thông tin cho học sinh cách nhanh dễ dàng Với tôi, thường soạn số tập trắc nghiệm nhỏ để em học sinh tiếp cận cách đơn giản Học sinh nên chia thành nhóm nhỏ, nhóm có nhóm trưởng (những học sinh có lực, có uy tín với bạn) tổ chức nhóm thảo luận “bài tập mẫu” dạng mà giáo viên đưa dựa tảng kiến thức giới thiệu, từ vận dụng để giải tập liên quan Sau đó, nhóm lên thuyết trình giải mình, nêu lên ý tưởng cho toán Song song với việc đó, thành viên cịn lại lớp lắng nghe đưa câu hỏi để “phỏngvấn” nhóm bạn, thảo luận vấn đề thuyết trình có câu hỏi hay, câu trả lời ấn tượng giáo viên kịp thời khen ngợi Giáo viên chuẩn bị tập tương tự theo dạng cho em Bản thân thường photo đề dạng tương tự, phát cho em nhà luyện tập Sau tuần, thu vở, kiểm tra chấm chữa giải em Không vậy, giáo viên nên sửa lỗi nhỏ cho em, từ chữ viết đến cách trình bày hay lỗi sai mà em hay mắc phải,…Tất khơng cần nhiệt tình, u nghề mà cịn tận tâm, lịng tận tụy, có trách nhiệm với cơng việc bậc thầy giáo Ngồi ra, giáo viên nên thường xuyên nhấn mạnh, nhắc lại chuyên đề kiến thức quan trọng học, tạo mối liên hệ, móc nối kiến thức với kiến thức kia, so sánh điểm gống khác chuyên đề để em không đơn tiếp thu kiến thức mà cịn hiểu cách sâu sắc Việc sử dụng sơ đồ tư thực cần thiết Giáo viên nên khuyến khích, hướng dẫn em dùng sơ đồ tư để tổng kết lại học cách ngắn gọn, khoa học, logic giúp em nhớ nhanh 26 Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS Cuối việc học không đơn giáo viên giới thiệu tập, em làm chữa mà việc học trở nên thú vị, tạo cho em hứng thú cách giáo viên nên sáng tạo, đưa vào số trị chơi có liên quan đến kiến thức học Nó khơng giúp em thư giãn sau học căng thẳng mà cịn góp phần khơng nhỏ vào việc củng cố kiến thức cho em cách hiệu đặc biệt em hào hứng học C KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM I KẾT QUẢ: Sau thời gian áp dụng đề tài “Phân dạng toán hàm số” giảng dạy rèn luyện cho học sinh khảo sát thấy kết học sinh khả quan Hầu hết em làm bài, biết phân tích, tìm tịi cách giải Học sinh yếu biết làm tập đơn giản, học sinh giỏi tự tin gặp tốn khó Điểm - 10 tăng nhiều, khơng cịn điểm - Nhìn chung tất em cảm thấy thích thú giải toán hàm số Kết đợt khảo sát sau thời gian áp dụng đề tài: Lớp Sĩ số Điểm - 10 Số Tỷ lệ lượng % Điểm - Số Tỷ lệ lượng % Điểm - Số Tỷ lệ lượng % Điểm - Số Tỷ lệ lượng % 9A 34 10 29 19 56 15 0 9B 39 12 31 20 51 18 0 9C 36 18 50 18 50 0 0 Khối 109 40 37 57 52 12 11 0 II BÀI HỌC KINH NGHIỆM Bài toán hàm số dạng tốn thường gặp chương trình tốn bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải toán liên quan đến hàm số thân giáo viên phải phân dạng toán liên quan đến hàm số biết cách giải cụ thể dạng toán Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, ngồi cịn giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt 27 Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS trình dạy học Đề tài cịn giúp giáo viên học sinh phân dạng toán hàm số từ có kết cao giảng dạy học tập D KẾT LUẬN Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt công tác ôn tuyển sinh bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xun học tập, nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo Trong trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo rút số kinh nghiệm nêu Hy vọng đề tài “Phân dạng tốn hàm số chƣơng trình Tốn THCS” làm kinh nghiệm để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn kỹ giải toán hàm số cho học sinh Trong q trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì vậy, tơi mong quan tâm hội đồng giám định sáng kiến kinh nghiệm cấp bạn đọc góp ý chân thành để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 28 Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS E TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Sách giáo viên lớp SGK sách giáo viên lớp Một số vấn đề phát triển Đại số Bài tập nâng cao Đại số Vũ Hửu Bình Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 9” Bùi Văn Tuyên Tuyển tập đề thi vào lớp 10 mơn Tốn Báo tốn học tuổi thơ Bộ Giáo Dục Một số chuyên đề hàm số 29 ... MỘT SỐ DẠNG TOÁN Phân dạng toán hàm số chương trình tốn THCS  Dạng 1: Bài tốn tính giá trị hàm số, biến số Phƣơng pháp giải - Thay giá trị biến số, hàm số vào hàm số - Tính giá trị hàm số hay... - hàm số có giá trị -7  Bài tập tƣơng tự: Bài 1: Cho hàm số y = 2x - Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS a) Tính giá trị hàm số với x = 0; b) Tìm x để hàm số nhận giá trị Bài 2: Cho hàm. .. Hàm số y = 2x – hàm số đồng biến (vì a = > 0) Hàm số y = - 3x + hàm số nghịch biến (vì a = - < 0) Khái niệm đồ thị hàm số Phân dạng tốn hàm số chương trình tốn THCS Đồ thị hàm số y = f(x) tập