ỨNG DỤNG của một bất ĐẲNG THỨC đơn GIẢN

ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Đinh Thị Quyến-Ngơ Văn Thái Trong Tốn học sơ cấp có nhiều bất đẳng thức đơn giản, hiệu áp dụng lại không nhỏ, bất đẳng thức Cho bốn số thực a1, a2, b1, b2 thỏa mãn a1  a2 ;b1  b2 a1  a2 ;b1  b2 Thì a1b1  a2b2  a1b2  a2b1 (*) Chứng minh: Dễ thấy: (*)  a1 b1  b2   a2 b1  b2    a1  a2 b1  b2   Với giả thiết cho điều cuối đúng, đẳng thức xảy a1 = a2 b1 = b2 Bất đẳng thức chứng minh  Một số ví dụ áp dụng minh họa Ví dụ Cho a, b hai số thực dương Chứng minh a b   b a Lời giải Khơng tính tổng qt giả sử a  b   a b a b    2 b a a b Đẳng thức xảy a=b Bài toán chứng minh  Ví dụ (Bất đẳng thức AM-GM ba số) Cho a, b, c ba số thực không âm Chứng minh a  b  c  3abc Lời giải * Nếu abc  ta bất đẳng thức ĐINH THỊ QUYẾN – NGÔ VĂN THÁI Theo (*) 1  b a ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN * Trường hợp ba số a, b, c dương, khơng tính tổng qt giả sử a  b  c   a  b  c ; 1   bc ca ab Theo (*) suy a b2 a b2 a b      bc ca ca bc c c b2 c2 b2 c2 b c      ca ab ab ca a a a c2 a c2 a c      bc ab ab bc b b (1) (2) (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) được:  a b2 c2   a c   b c   b a  2           222 6  bc ca ab   c a   c b   a b   a b2 c2     a  b  c  3abc bc ca ab Đẳng thức xảy a=b=c Bài tốn chứng minh  Ví dụ (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh a b c    b c c a a b Lời giải Đặt vế trái tốn A Khơng tính tổng quát giả sử a  b  c   1   b c c a a b Theo (*) Cộng vế với vế (4), (5), (6) ta 2A  c a b c a b   3A c a b c a b Đẳng thức xảy a=b=c Bài toán chứng minh  Ví dụ (4) (5) (6) ĐINH THỊ QUYẾN – NGÔ VĂN THÁI a b a b    b c c a c a b c a c a c    b c a b a b b c b c b c    c a a b a b c a ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c   3 b c a c a b a b c Lời giải Đặt vế trái toán B Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: b  c  a  0; c  a  b  0; a  b  c  Khơng tính tổng quát giả sử a b c  1   b c a c a b a b c Theo (*) a b a b    b c a c a b c a b b c a a c a c    b c a a b c a b c b c a b c b c    c a b a b c a b c c a b (7) (8) (9) Cộng vế với vế (7), (8), (9) rút gọn được: a c c b b a   c a b b c a a b c a c b c b a b a c B      3 c a b c a b b c a b c a a b c a b c 2B  Đẳng thức xảy tam giác cho tam giác Bài toán chứng minh  Chứng minh a1b1  a2b2  a 3b3   a1  a2  a b1  b2  b3  Lời giải Theo (*) a1b1  a2b2  a1b2  a2b1 (10) (11) a1b1  a 3b3  a1b3  a 3b1 a2b2  a 3b3  a2b3  a 3b2 (12) a1b1  a2b2  a 3b3  a1b1  a2b2  a 3b3 (13) Cộng vế với vế (10), (11), (12), (13) rút gọn ta điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a1=a2=a3 b1=b2=b3  ĐINH THỊ QUYẾN – NGƠ VĂN THÁI Ví dụ (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho sáu số thực a1, a2, a3, b1, b2, b3 thỏa mãn a1  a2  a ;b1  b2  b3 a1  a2  a ;b1  b2  b3 ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Ví dụ (IMO 1964) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b  c  a   b c  a  b   c a  b  c   3abc Lời giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: b  c  a  0; c  a  b  0; a  b  c  Khơng tính tổng qt giả sử a  b  c   a  bc  b  ca  c  ab Theo (*)                       a a  bc  b b  ca  a b  ca  b a  bc (14)  a a  bc  c c  ab  a c  ab  c a  bc (15)  b b  ca  c c  ab  b c  ab  c b  ca (16) Cộng vế với vế (14), (15), (16) rút gọn được: a  b  c  3abc  a 2b  ab  b 2c  bc  c 2a  ca  a b  c  a  b c  a  b  c a  b  c  3abc       Dấu đẳng thức xảy a=b=c Khi tốn cho tam giác Bài toán chứng minh  Ví dụ Cho a, b, c ba số thực dương a3 b3 c3 a  b2  c2    b c c a a b Lời giải Đặt vế trái toán C Khơng tính tổng qt giả sử a  b  c   1   b c c a a b Theo (*) a3 b3 a3 b3    b c c a c a b c b3 c3 b3 c3    c a a b a b c a a3 c3 a3 c3    b c a b a b b c (17) (18) (19) ĐINH THỊ QUYẾN – NGÔ VĂN THÁI Chứng minh ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Cộng vế với vế (17), (18), (19) ta được: 2C  a  c3 b3  a c3  b3    (a  ac  c )  (b  ab  a )  (c  bc  b ) c a a b b c 2  2C  a  b  c C  2 a  b   b  c   c  a   2  a  b2  c2 a b c Đẳng thức xảy a=b=c Bài toán chứng minh  Ví dụ Cho a, b, c ba số thực dương, n  N , n  Chứng minh an bn cn a n 1  b n 1  c n 1    b c c a a b Lời giải Đặt vế trái tốn D Khơng tính tổng quát giả sử a  b  c  a n  bn  cn ; 1   b c c a a b Theo (*) an bn an bn    b c c a c a b c bn cn bn cn    c a a b a b c a an cn an cn    b c a b a b b c (20) (21) (22) 2D  a n  bn bn  cn cn  a n   a b b c c a Mặt khác dễ thấy với x, y hai số thực dương n  N , n  x  y  , x n 1  y n 1  trái dấu suy x  y  x n 1  y n 1   Hay x n  y n x n 1  y n 1  x y a n  c n b n  a n c n  b n a n 1  b n 1 b n 1  c n 1 c n 1  a n 1      c a a b b c 2 n 1 n 1 n 1 a b c Do 2D  a n 1  b n 1  c n 1  D  Vậy Đẳng thức xảy a = b = c ĐINH THỊ QUYẾN – NGÔ VĂN THÁI Cộng vế với vế (20), (21), (22) ta được: ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Bài tốn chứng minh  Ví dụ Cho bốn số thực không âm a1, a2, b1, b2, thỏa mãn a1  a2 ;b1  b2 a1  a2 ;b1  b2 a Chứng minh  b1   a  b2   a  b2   a  b1  Lời giải * Xét trường hợp a1  a2  0;b1  b2   a12  a22, b12  b22 Theo (*) a12b1  a22b2  a12b2  a22b1 a1b12  a2b22  a1b22  a2b12 (23) (24) Cộng vế với vế (23), (24), ta được:   (a12b1  a1b12 )  a22b2  a2b22  (a12b2  a1b22 )  (a22b1  a2b12 )    (3a12b1  3a1b12 )  3a22b2  3a2b22  (3a12b2  3a1b22 )  (3a22b1  3a2b12 ) Cộng vào hai vế bất đẳng thức với a13  b13  a23  b23 rút gọn ta điều cần chứng minh * Trường hợp a1  a2 ;b1  b2 chứng minh tương tự Dấu đẳng thức xảy a1=a2 b1=b2 Bài toán chứng minh  Lời giải Với giả thiết cho a  ab, ab  b ; a  ac, ac  c ;b  bc, bc  c Theo (*) ta a 2ab  b 2ab  2a 2b (25) (26) a 2ac  c 2ac  2a 2c 2 2 (27) b bc  c bc  2b c Cộng vế với vế (25), (26), (27) a b  b c  c a   a c  b a  c b   2(a b 3 3 3 2  b 2c  c 2a ) Mặt khác lại từ giả thiết suy a  b b  c  a  ab  b   b  bc  c    a  b  b  c   b  c  a  b   3 2  a 3b  b 3c  c 3a  a 3c  b 3a  c 3b Vậy 2(a 3b  b 3c  c 3a )  2(a 2b  b 2c  c 2a ) ĐINH THỊ QUYẾN – NGƠ VĂN THÁI Ví dụ 10 Cho a, b, c ba số thực không âm, thỏa mãn a  b  c Chứng minh a 2b a  b   b 2c b  c   c 2a c  a   ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN  a 3b  b 3c  c 3a  a 2b  b 2c  c 2a  a 2b a  b  b 2c b  c  c 2a c  a        Dấu đẳng thức toán xảy khi: Hoặc a  b  c , a  b  0, c  Bài tốn chứng minh  Ví dụ 11 Cho bốn số thực không âm a1, a2, b1, b2, thỏa mãn a1  a2 ;b1  b2 a1  a2 ;b1  b2 m  N , m  m m m m Chứng minh a1  b1   a2  b2   a1  b2   a2  b1  Lời giải * Xét trường hợp a1  a2  0;b1  b2   a1m k  a2m k , b1k  b2k ; k, m  N ,  k  m Theo (*) a1m kb1k  a2m kb2k  a1m kb2k  a2m kb1k  C mk a1m kb1k  C mk a2m kb2k  C mk a1m kb2k  C mk a2m kb1k (28) Từ (28) cho k 0,1,…,m m+1 bất đẳng thức chiều, sau cộng vế với vế m+1 bất đẳng thức lại áp dụng nhị thức Newton điều cần phải chứng minh Tức a  b1 m    a2  b2 m    a1  b2 m    a2  b1 m  Bài tập tự giải Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh a2 b2 c2   1 b  bc  c c  ca  a a  ab  b 2 Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh ab bc ca a b c    a  4b  4c b  4c  4a c  4a  4b Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh  a b c    b c a    c a b   Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh ĐINH THỊ QUYẾN – NGÔ VĂN THÁI * Trường hợp a1  a2 ;b1  b2 chứng minh tương tự Dấu đẳng thức toán xảy a1=a2 b1=b2, m  Bài toán chứng minh  ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b   0 b2  c2 c2  a a  b2 Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh a 2b  b 2c  c 2a  27 Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh a8  b8  c8 1    a b c a 3b 3c Cho a, b, c ba số thực dương n  N , n  thỏa mãn abc=1 1    a n (b  c) c n (c  a ) c n (a  b) ĐINH THỊ QUYẾN – NGÔ VĂN THÁI Chứng minh ... 1  c n 1  D  Vậy Đẳng thức xảy a = b = c ĐINH THỊ QUYẾN – NGÔ VĂN THÁI Cộng vế với vế (20), (21), (22) ta được: ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Bài toán chứng minh  Ví dụ Cho bốn...  Bài toán chứng minh  ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b   0 b2  c2 c2  a a  b2 Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh a 2b...    b c a b a b b c (17) (18) (19) ĐINH THỊ QUYẾN – NGÔ VĂN THÁI Chứng minh ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Cộng vế với vế (17), (18), (19) ta được: 2C  a  c3 b3  a c3  b3 