Dinh ly talet tam giac dong dang toan 8

CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DẠNG A ĐỊNH LÝ TALET Định lý Ta Lét A N M ABC  AM AN AM AN  ;   MN // BC  AB AC MB NC Hệ định lý Ta Let ABC ( M  AB, N  AC )  AM AN MN    MN // BC AB AC BC  B C Định lý đảo - Nếu: AM AN   MN // BC MB NC Chú ý: Định lý trường hợp sau C' - Ta có: B' A AB ' AC ' B ' C '   AB AC BC A C B B' C' C B Định lý Ta Lét mở rộng m a Thuận: Nếu m cắt a, b, c A, B, C n Nếu N cắt a, b, c A’, B’, C’ A A' a  B' B AB A ' B ' AB A ' B ' BC B ' C '  ;  ;  BC B ' C ' AC A ' C ' AC A ' C ' b b Đảo: Nếu a, b, c, cắt hai cát tuyến m, n có tỉ C' c C số sau:  AB A ' B ' AB A ' B ' BC B ' C '  ;  ;   a // b / c BC B ' C ' AC A ' C ' AC A ' C ' p *) Hệ quả: ( đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song ) Hệ 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ AB AC OA  ( ) A ' B ' A ' C ' OA ' Hệ 2: Nhiều đường thẳng không song song định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ chúng đồng quy điểm O C A a B a A B C O b C' A' B' b C' B' d d' d d'' d' - d’, d’’, d’’’ không song song cắt hai đường thẳng song song a b A, B, C A’, B’,C’ Và thảo mãn: AB AC AB  ;   d ', d '', d ''' O A' B ' A'C ' A' B ' Bài 1: Cho hình bình hành ABCD điểm E thuộc đoạn BD Gọi M, N giao điểm BC, BD với AE Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt MN F Chứng minh a AE  EM EN A D E N B C b 1   AE AM AN c AM FM  AN FN F M Lời giải EA EN  EM EA EA ED EN   Ta có: ( Các đường thẳng song song ) EM EB EA a AE  EM EN  1 AE AE AE      AE AM AN AE AM AN b Ta có: AE DE AE BE AE AE DE  EB  ;     1 AM DB AN BD AM AN BD Chia hai vế cho AE, ta được: 1   AE AM AN FE BC   FE BC AN FN CN CN MN FM CM    (1); CF // ED     (2) c Ta có:  BC AN  FM CM NM FE CD AB MA AB // CD   CM NM  FC // BE  Từ (1)(2)  FE FN AN MN FN AM    (dpcm) FM FE MN MA FM AN Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Kẻ đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC F GỌi M, N giao điểm FE với AD, B Chứng minh rằng: a EM = FN B A b AB2  FE.CD N M Lời giải F E Ta phải chứng minh FE // AB // CD Hay D Q P C AE AF  EP FC - Ta có: ABQD ABCP hình bình hành nên AB = DQ = CP  DP  CQ +) AE AB AB FA     FE // PC (Ta.Let.Dao)  FE // CD // AB EP DP CQ FC a Ta có: EM // AB  EM DE CN FN     EM  FN AB DB CB AB EM AE FA BN FN       Hoặc: DP AP CA BC CQ   EM  FN  DP  CQ  FE FE BE BE AB BE AB AB BE FE AB   ;         AB?  FE.CD AB DQ BD DE DP BE  DE AB  DP CD BD AB CD b Bài 3: Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC D E Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE F Gọi H giao điểm AC với BF Đường thẳng qua H song song với BC I Chứng minh a A DA ED  DB FE b HC  HA.HE c E D F Lời giải H I B 1   IH AB CF C b HC HF HE   HA HB HC c IH IH IC BI      dpcm AB CF BC IC a DA ED EA   DB FE EC Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) Gọi M trung điểm CD, gọi I giao điểm AM với BD, K giao điểm BM với AC, đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh rằng: A a IK // AB B b EI = IK = KF K E Lời giải F I a D M C AI AB AB AK     IK // MC IM DM MC KC b Có : IK EI DI KM CF KF       EI  IK  KF AB AB DB MB CB AB Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi D điểm đối xứng với A qua B, E điểm đối xứng với B qua C F điểm đối xứng với C qua A Chứng minh rằng: ABC, DFE có trọng tâm Lời giải - Dựa vào tâm đối xứng hình bình hành - Hướng dẫn: G trọng tâm DFE  PG   PM // FA  PN // AC  ANPC hình bình GF hành Giải F Gọi M, N, P trung điểm BC, DE, AB A  CP đường trung bình BDE N G  CP // BD; CP  C B CP // BN BD    BNCP CP  BN E M Là hình bình hành  M trung điểm NP P +) MN đường trung bình ABC D  MN // AC; MN  Theo định lý Ta Lét: 1 AC  MP // AC; MP  AC  FA 2 MG PG MP     G trọng tâm hai tam giác GA GF FA Bài 6: Cho hình thang ABCD ( AB // CD, AB < CD ) AC cắt BD M Kẻ qua M đường thẳng song song với AB cắt AD, BC I K a Chứng minh rằng: MI = MK b Kẻ Bx // AD, Bx cắt AC, CD E, F Kẻ Ay // BC, Ay cắt BD, CD P, Q Chứng minh rằng: DE // IK c Biết AB = a, CD = b Tính IK theo a b Lời giải a Xét ADC, IM // CD  B A M K I - Tương tự ta có: E P MK BK  (2) CD DC Lại có: IK // AB // CD  F D IM AI  ( Hệ TaLet) (1) CD AD AI BK  ( TaLet mở rộng ) (3) AD BC C Q Từ (1)(2)(3)  IM  MK b Ta chứng minh: Thật vậy: BE BP   PE // DF FE PD BE AB BP AB  ( AB // CF )(4);  ( AB // DQ)(5) FE FC PD DQ ABFD; ABCQ hình bình hành  AB  DF  CQ  DQ  CF (6) Từ (4)(5)(6)  BE PB AB AB  (  )  PE / DF (Ta Lét đảo ) FE PD FC DQ c Ta có: IK = MI = MK Xét BCD(MK // CD)  MK BM  ( He.qua.TaLet )(1) CD BD Xét MCD( AB // CD)  MB AB a   ( He.qua.TaLet )(1) MD CD b  MB a BM a    (2) MB  MD a  b BD a  b Từ (1)(2)  MK a ab 2ab   MK   IK  CD a  b ab a b Bài 7: Cho hình hình bình ABCD, đường thẳng qua A cắt BD, CD, BC E, I, K CMR: A B a AE  EI EK E b I AE AE  1 AI AK C D K c DI BK không đổi Lời giải AE AE AE BE DE 1 1 1 a AE  EI EK  EI EK EI EK ED EB AE AE AE EK  1  b AI AK AI AK AE BE AE BE     EI DE AI BD   AE  EK  AE  AE  EK  AE  Ta có:  EK EB EK BE  AI AK AI AK AK AK    AE DE AK BD  c Ta cần chứng minh: DI.BK=AD.AB  Chứng minh: Xét DEI , DI // AB  Xét AED, AD // BK  Từ (1)(2)  DI.BK DI BK DE BE 1 1  1 AD.AB AB AD EB ED DI DE  ( He.qua.Ta.Let )(1) AB EB BK BE  ( He.qua.Ta.Let )(1) AD ED DI BK   DI BK  AB AD ( không đổi ) AB AD Hoặc cách khác: DI DE AD    DI BK  AB AD ( không đổi ) AB EB BK Bài 8: Cho Tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G a Chứng minh rằng: EG // CD b Giả sử AB // CD Chứng minh rằng: AB2  CD.EG Lời giải A a Hướng dẫn: EG // CD  B O E D G C OE OG  OD OC OE OA   OB OC  OE OG   EG // CD ( TaLet đảo )  OB OG  OD OC BG // AB   OD OA  AE // BC  AB2 AB AB AB  CD.EG  1 1 CD.EG GE CD b Hướng dẫn: Giải: OA OB OG   ( BG // AD) OG OD OA AB OA OA OD CD OD AB // EG   (1); AD // BD   (2); AB // CD   (3) EG OG OG OB AB OB Từ (1)(2)(3)  AB OA OD CD     AB  CD.EG EG OG OB AB BÌ TẬP TỰ LUYỆN: Cho tam giác ABC vng A, có: AB = a, AC = b Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vng cân ABD cân B tam giác ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Chứng minh a AH = AK b AH  BH CK B TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Định lý: Trong tam giác, đường phân giác cảu góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn A ABC ( D  BC )  DB AB    Aˆ1  Aˆ  DC AC B D C Chú ý: Định lý tia phân giác tam giác D ' B AB  ( AB  AC ) D ' C AC A D B C Chú ý 2: Nếu D thuộc BC mà: DB AB ˆ   AD phân giác BAC DC AC Chú ý tính hất tỉ lệ thức: a c a c    b d ab cd Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có AB > CD Phân giác góc BAD cắt BD M Phân giác góc ADC cắt AC N Chứng minh rằng: MN // AD A Lời giải B a - Ta có: N b M MB a BD a  b 2.DI a  b DM 2b 1  1       (1) MD b MD b DM b DI ab I C D Lại có: NC DC a NC a AC a  b AI a  b AI 2b    1  1       (2) NA DA b NA b NA b AN b AN a  b Từ (1)(2)  MN // AD ( Ta Lét đảo ) Bài 2: Cho tam giác ABC, AB < AC, phân giác AD, M trung điểm BC Đường thẳng qua M song song với AD cắt AB, AC P Q Chứng minh rằng: BP = CQ Lời giải *) Chú ý: Nếu M  BC mà: MB AB   AM phân giác góc BAC MC AC a Cách 1: BA BD CQ CM  ( AD // PM );  ( MQ // AD) BP BM CA CD BA CQ BD CM BD AB CQ        CQ  BP BP CA BM CD CD AC BP P A Q b Cách 2: B D M C  BP BA CA CQ      BM BD CD CM  BP  CQ  BM  CM Bài 3: Khó: Cho tam giác vng ABC vng A có trọng tâm G, phân giác BD, biết ˆ GD  AC Tính ABC Lời giải B Lời giải Gọi M, E trung điểm BC AG M G  DE  EA  EG  GM  EGD cân E E A Mặt khác, tam giác ABC vng A, có AM = MB = MC C D  ABM cân M ˆ  DEG ˆ  MBA ˆ  BAM ˆ - Có: GD // AB( AC )  Aˆ1  Gˆ1 (slt )  DGE  Mˆ  Eˆ AD AE AB 1   ED // BC       AB  BC  AB  BM  AM DC EM BC 2  Mˆ , Eˆ : so.le.trong ˆ  600 Vậy tam giác ABM tam giác  ABC Bài 4: Khó: Cho tam giác ABC ( AB < AC ), phân giác BD, CE a Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K Chứng minh E nằm B K b Gọi M giao điểm DE CB Chứng minh rằng: CD > DE > BE A Lời giải a E nằm B K  KB  EB D K Ta có: BD phân giác góc B I E 2 AD AB AC AE AD AE      (1) DC BC BC EB DC EB AD AK AK AE AK AE AB AB  (2)    1  1   Lại có: DK // BC  DC KB KB AB KB AB KB EB M B C   KB  EB  E nằm B K ˆ  Bˆ ( slt )  Bˆ  KDB ˆ b Có: KD // BC  KDB ˆ  KDB ˆ  EDB ˆ  Bˆ  EB  ED ( cạnh đối diện với góc lớn Lại có E nằm K B  EDB ) 10 Lời giải Phân tích: - Khoảng cách từ M đến DE MH ˆ Ta chứng minh: MH  MK  DM phân giác BDE  BDM  MDE (cgc)  MD BD ˆ ˆ ( gt )  MD  BD  ; B  DME ME BM ME MC  BDM  CME ( g  g )  Dˆ1  Mˆ Giải: ˆ  1800  Bˆ  Dˆ1  BMD  MD BD BD     0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ta có: BMD  DME  M  180   D1  M  BDM  CME ( g  g )   ME CM BM   ˆ ( gt )  Bˆ  EMD Bˆ  Mˆ  ˆ ˆ  BDM ˆ  MD phân giác BDE  BDM  MDE (cgc)  EDM - Gọi K hình chiếu M AB suy K cố định M cố định  MH  MK ( cố định ) Bài 4: Trên đường thẳng d lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự cho: điểm M nằm đường thẳng d cho BA DA   Từ BC DC MA  , Nối M với A, B, C, D Qua C kẻ đường MC thẳng a song song với MA, đường thẳng a cắt tia MB, MD I K M a Biết MB = 6cm, MD = 8cm Tính BD K A b Tính chu vi tam giác ADM biết chu vi tam giác ADM chu vi tam giác KCD cộng thêm 6cm B C 10 D c Chứng minh C trung điểm IK Lời giải I a 14 MA BA ˆ   BM phân giác AMC MC BC DA MA ˆ  MB  MD ( hai tia phân giác    MD phân giác góc ngồi xMC DC MC hai góc kề bù )  BMD vuông M  BD  10 - Lại có: b Xét ADM , có CK // AM  DCK  DMA(dinh.ly)  chuviDMA DA  (tinh.chat. )  chuviDCK DC chuviDMA chuviDAM chuviDCK chuviDAM  chuviDCK       chuviDCK  c C trung điểm IK  CI  CK  AM AM BA DA     CI CK BC DC Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ DH  AC  H Gọi M, N, K trung điểm BC, AH, DH a Tứ giác MNKC hình gì? A B N b Chứng minh rằng: ADN  CDK H M K Lời giải D c Chứng minh rằng: DN  MN C a MC // NK //  AD  MNKC hình bình hành b Hướng dẫn câu b AN DK AN AD AH AD ADN  CDK  Aˆ1  Dˆ1 ;      ( dựa vào đồng dạng tam giác AD DC DK DC DH DC vuông  AD AH Aˆ : chung  (1) giải: Xét ADC, ADH có:  ˆ ˆ DC HD ADC  AHD  90  Xét AHD, NK // AD  AN AH AD AN AD DC  (2)     DK HD DC DK AN DK Lại có: Aˆ1  Dˆ1  ADN  CDK (cgc)  Dˆ  Cˆ1 ( hai góc tương ứng ) ˆ  Cˆ  KCM ˆ  900 ˆ  900  DNK ˆ  KNM ˆ  Dˆ  KCM c DN  MN  DNM Cách khác: Chứng minh K trực tâm DCN  CK  DN ; MN // CK  MN  DN  N 15 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, AH  BC  H , HD phân giác ˆ ( D  AC ) AHC a Chứng minh rằng: AB2  BH BC AD AB  DC BC b c Biết chu vi tam giác ABC 24cm, chu vi tam giác AHC 12cm, chu vi tam giác AHB 9cm Tính cạnh tam giác ABC Lời giải C a AB2  BH BC  D b H 12 A AB BC   ABC  HBA( gg ) BH AB AD AB AH AH     ABH  CAH ( gg ) DC BC CH CH c AHB  CHA( gg )  B chuviAHB AB     k  AB  3k ; AC  4k (k  N * ) chuviCHA AC 12 Xét ABC ( Aˆ  900 )  BC  5k  chuviABC  12k  24  k   AB  6; AC  8; BC  10 16 CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB), đường cao AH ( H thuộc BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a Chứng minh rằng: BEC  ADC , tính độ dài đoạn BE theo AB = m ˆ ? b Gọi M trung điểm BE Chứng minh BHM  BEC Tính AHM c Tia AM cắt BC G Chứng minh rằng: GB HD  BC AH  HC A Lời giải m a BEC, ADC có: m E Cˆ : chung m Cần thêm: M 45° B G H D C CD CA   CDE  CAB( g  g ) CE CB ˆ  ADC ˆ Vậy BEC  ADC (cgc)  BEC ˆ  450  ADC ˆ  1350  Eˆ  45  ABE vuông cân +) AHD vuông cân theo giả thiết  DAH A  BE  AB  m b BEC, ADC có: Bˆ : chung Cần thêm: - Ta có: BH BE BH BM  , hoac :   c  g  c BM BC BE BC BM BE AD   (do : BEC  ADC ) BC BC AC +) AHD vuông cân H  AD  AH  BM AD AH AH BH AH BH BH     (do : ABH  CBA   ) ( BE  AB) BC AC AC AC BA BE AC BA ˆ  BÊC=1350  AHM ˆ  450 Vậy BHM  BEC (cgc)  BHM 17 ˆ  c Ta có: ABE vng cân A nên AM phân giác BAC mà: Vậy: GB AB  GC AC AB ED AH HD  (ABC  DEC )  ( ED // AH )  ( AH  DH ) AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD      GC HC GB  BC HD  HC BC AH  HC Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: BD.DC  DH DA b HD HE HF   1 AD BE CF c Chứng minh H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d Gọi M, N, P, Q, J, K trung điểm BC, CA, AB, EF, FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy điểm Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P Gọi M điểm đối xứng điểm C qua P a Tứ giác AMDB hình gì? b Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB Chứng minh EF // AC ba điểm E, F, P thẳng hàng c Chứng minh tỷ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P d Giả sử CP vng góc với BD CP = 2,4 cm, tính cạnh hình chữ nhật biết: PD  PB 16 Bài 4: [ Việt n – Bắc Giang – 30/04/2013 ] Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH  BF (H  BF ), AH cắt DC BC M, N a Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b Biết S BCH  4.S AEH Chứng minh rằng: AC = 2.EF c Chứng minh rằng: 18 1   2 AD AM AN Lời giải E A B H F D C M N  = ABF  (cùng phụ BAH ) (2.0 Ta có DAM điểm) AB = AD ( gt)  = ADM  = 900 (ABCD hình vng) BAF  ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành  = 900 (gt) Mặt khác DAE Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật Ta có ΔABH  ΔFAH (g.g)  (2.0 điểm) AB BH BC BH hay ( AB=BC, AE=AF) = = AF AH AE AH  = HBC  (cùng phụ ABH ) Lại có HAB  ΔCBH  ΔEAH (c.g.c) 2 S SΔCBH  BC   BC  2  ΔCBH =  = (gt)    = nên BC = (2AE)  , mà SΔEAH AE SΔEAH  AE     BC = 2AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 19 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có:  AD AM AD CN =  = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: (2.0 điểm)  MN MC AB MC AD MC hay =  = = AN AB AN MN AN MN 2 2 CN + CM MN  AD   AD   CN   CM  + = + = = =1          MN MN  AM   AN   MN   MN  (Pytago) 2 1  AD   AD       +  =  2 AM AN AD  AM   AN  (đpcm) Bài 5: [ n Phong – 20/03/2018 ] Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M ( CM < CD), vẽ hình vng CMNP ( P nằm B C), DP cắt BM H, MP cắt BD K a Chứng minh rằng: DH  BM b Tính Q  PC PH KP   BC DH MK c Chứng minh rằng: MP.MK  DK.BD  MD2 Bài 6: [ Yên Phong – 2015 - 2016 ] Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu H AC AB Cho D điểm BC Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu D AB AC Chứng minh a AC  CH BC; AC HC  AB2 HB CE AC  b BF AB3 c DB.DC  MA.MB  NA.NC Bài 7: [ Chương Mỹ, 2018 - 2019 ]   900 , AB < AC, đường cao AH Gọi M, N hình chiếu H Cho ∆ABC có BAC cạnh AB AC a Chứng minh rằng: MN = AH 20 b Chứng minh rằng: AM.AB = AN.AC = AH2 c Gọi K giao điểm NM BC Chứng minh rằng: KB.KC = KH2; d Gọi O trung điểm BC, I giao điểm MN AH Chứng minh OI vng góc với AK AH 40 AB  e Giả sử AO 41 Tính tỉ số AC C O H N I B A M K HM ⊥ AB M (vì M hình chiếu H AB)   AMH  900 HN ⊥ AC N (N hình chiếu H AC) a)   ANH  900 2đ   900 AMH   ANH  MAN Xét tứ giác AMHN có   AMHN hình chữ nhật  AH = MN (t/c hình chữ nhật) Ta có AMHN hình chữ nhật (CMT) AHM   ANM (t/c hình chữ nhật)   AHM   ABH (cùng phụ với góc HAB) Mà    ANM   ABH hay  ANM   ABC b) 2đ Xét ∆ANM ∆ABC có Góc A chung,  ANM   ABC  ∆ANM đồng dạng với ∆ABC (góc – góc)  AN AM  AB AC 21  AM.AB = AN.AC Chứng minh được: AM.AB = AH2 Chứng minh ∆KHM đồng dạng với ∆KNH (góc K chung, góc KHM = góc KNH góc HAB)  KH KM   KH  KM KN (1) KN KH c) 1đ Chứng minh ∆KMB đồng dạng với ∆KCN (góc K chung, góc KMB góc C góc AMN)  KM.KN = KB.KC (2) Từ (1) (2) => KH2 = KB.KC ∆ABC vuông A, trung tuyến AO  AO = OB = OC (t/c trung tuyến ∆ vuông)   OCA  (T/c ∆ cân)  ∆OAC cân O => OAC  AMN (∆ANM đồng dạng với ∆ABC) Mà OCA d)  AMN  OAC 1đ ANM   AMN  900 Mà    OAC ANM  900 => OA ⊥ MN hay OA ⊥ KN Xét ∆KAO Có AH ⊥ KO, KN ⊥ OA mà AH cắt KN I => I trực tâm ∆KAO => OI ⊥ AK AH 40 AH AO    t AO 41 40 41  AH = 40t, AO = 41t Xét ∆HAO vuông H ta có: OA2 = OH2 + AH2 (đli Pitago) e)  OH2 = OA2 – AH2 = (41t)2 – (40t)2 = 81t2 1đ  OH = 9t Mà OA = OB = OC (t/c trung tuyến ∆ vuông ABC)  OC = 41t => HC = 41t + 9t = 50t Chứng minh: ∆HAC đồng dạng với ∆ABC (g.g)  HA HC AB HA 40t      AB AC AC HC 50t Bài 8: [ Vĩnh Lộc, 2016 - 2017 ] Cho tam giác ABC phân giác AD Trên nửa phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia Cx cho  = BAC  Cx cắt AD E ; I trung điểm DE Chứng minh : BCX 22 b AE2 > AB.AC d Trung trực BC qua E a ΔABD đồng dạng với ΔCED c 4AB.AC = 4AI2 – DE2 Lời giải A B C D I E a) Xét  ABD  CED có:   BCE  ( BAC ) BAD   (đối đỉnh)=>  ABD   CED (g -g) ADB  CDE b) Xét  ABD  AEC có:   EAC  ( BAC ) BAD  ABD   AEC (  ABD =  CED) =>  ABD   AEC (g-g) => AB AE => AB.AC = AD.AE < AE2 (AD < AE)  AD AC Vậy AE2 > AB.AC c) Ta có: 4AI2 - DE2 = 4AI2 - 4DI2 = 4(AI - DI)(AI +DI) = 4AD(AI + IE) = 4AD.AE 23 Mà AD.AE = AB.AC (câu b) => 4AB.AC = 4AI2 - DE2 d) Chứng minh trung trực BC qua E +)  ABE   ADC   DAC  ; AB  AD ( AD.AE = AB.AC) =>  ABE   ADC (c.g.c) =>  BAD AEB   ACB AE AC + )  BDE;  ADC  BDE ADC (đối đỉnh)  BED ACD   DAC   BCE  =>  BEC cân E =>  BDE   ADC (g-g) => DBE => Trung trực BC qua E Bài 9: [ Cẩm Thủy, 2013 - 2014 ] Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a Chứng minh : ∆OEM vuông cân b Chứng minh : ME // BN c Từ C kẻ CH  BN ( H  BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Lời giải E A B 1 O M H' H D C 24 N Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC Và B1  C1  450 a BE = CM ( gt ) Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) đ  O   OE = OM O   900 tứ giác ABCD hình vng  O   BOC Lại có O   900 kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân O  O   EOM O Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng  AB = CD AB // CD + AB // CD  AB // CN  AM BM ( Theo ĐL Ta- lét) (*)  MN MC b Mà BE = CM (gt) AB = CD  AE = BM thay vào (*) 2đ Ta có : AM AE  ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét)  MN EB Gọi H’ giao điểm OM BN   OH  ' E ( cặp góc so le trong) Từ ME // BN  OME   450 ∆OEM vuông cân O Mà OME    MH ' B  450  C  ∆OMC  ∆BMH’ (g.g) c  1đ OM MH '   CMH ' ( hai góc đối đỉnh) ,kết hợp OMB  OB MC   MH  ' C  450  ∆OMB  ∆CMH’ (c.g.c)  OBM 25    Vậy BH ' C  BH ' M  MH ' C  900  CH '  BN Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Bài 10: [ Duy Tiên, 2012 - 2013 ] Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE=AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2   900 b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh rằng: MKN c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất? Lời giải a) Vì ABCD hình vng AB / /CD  AB / /CN, AB / /ND   EC AF AD  BC mà AF  EC  FD  BE  BE  FD (1) CM CE Vì AB//CM   (2) AB BE AB AF Vì AB//DN   (3) DN FD CM AB Từ (1)(2)(3)    CM.DN  AB2  a AB DN CM AB CM AD b) Theo câu a, ta có:     ( AD  BC  AB) AB DN BC DN   DAN  Do CMB  DAN (c.g.c)  CMB (4)   AND   900 (Vì DADN vng tai D) Mà DAN (5) 26   AND   900 Từ (4)(5)  CMB   900 Do MKN c) Áp dụng BĐT cơsi ta có DN  CM  DN.CM  a  2a (Vìa  0) DN  CM  CD  3a (VìCD  a ) hay MN  3a Dấu "=" xảy DN = CM = a Khi CE AF CM a    1 BE FD AB a CE  BE  AF  FD hay  Vậy E F trung điểm BC AD MN có độ dài nhỏ 3a Bài 11: [ Gia Viễn, 2014 - 2015 ] Câu (6,5 điểm) Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M (CM < CD), vẽ hình vng CMNP (P nằm B C), DP cắt BM H, MP cắt BD K a) Chứng minh: DH vng góc với BM b) Tính Q = PC PH KP   BC DH MK c) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM2 Lời giải A B K H P D N C M a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vng góc với BM - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 - CM:  DPC =  BMC (cgc) - Chứng minh BHP = 900 b) (2,0 điểm) Tính Q = PC PH KP   BC DH MK 27 - CM : MP  BD - D M PC PC S   PDM BC S BDM D M BC ; 1 DB.KP DB.KP S PBM PH S PH 2     PBD Tương tự : DH DB.MK S BDM DH DB.MK S BDM 2 S S S  Q = PDM PBM PBD  SBDM c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM2 - CM:  MCP  MKD (g.g)  MP MK = MC MD (1) - CM: DBC  DKM (g.g)  DK BD = DC DM (2) - Từ (1) (2)  MP MK + DK BD = DM (MC + DC)  MP MK + DK BD = DM2 28 ...    AB  CD.EG EG OG OB AB BÌ TẬP TỰ LUYỆN: Cho tam giác ABC vuông A, có: AB = a, AC = b Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vng cân ABD cân B tam giác ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao... (tính.chat.phan .giac) (3) +)  (tính.chat.phan .giac) (4) DC BC BC IC Từ (1)(2)(3)(4)  AB AB   EC  FC(dpcm) EC CF C CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Nếu ba cạnh tam giác... với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng AB BC CA    ABC  A ' B ' C '(c.c.c) A' B ' B 'C ' C ' A' Trường hợp đồng dạng thứ hai: Nếu hai cạnh tam giác tỷ lệ với hai cạnh tam giác hai