bộ đề chọn HSG toán cấp trường môn toán lớp 10 các năm gần đây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn – Lớp 10 – THPT Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3.0 điểm) Cho hàm số y  x  x   m ; Pm  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn  1;4 Cho x1 x hai nghiệm phương trình x  3x  a  ; x3 x hai Câu (3.0 điểm) nghiệm phương trình x  12 x  b  Biết x x3 x   Tìm a b x1 x x3 Câu (6.0 điểm) a)Giải phương trình: x  x   x    x  3x  x   y  y 4 x  x    4 x  1 y b)Giải hệ phương trình:  Câu (3.0 điểm) a) Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b Gọi C, D, E điểm cho AC  AB, OD  1 OB, OE  OA Hãy biểu thị vectơ OC , CD, DE theo vectơ a, b Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC vng cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED Câu (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vng B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vuông cân A Câu (2.0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x 2019  x  y 2019  y -Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Họ tên, chữ ký: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH Câu Cho hàm số y  x  x   m ; HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: Tốn – Lớp 10 – THPT ĐÁP ÁN Pm  Điểm 3.0 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn  1;4 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  2.0 Với m=1 y  x  x  0.5 TXĐ: R Đồ thị parabol, có:Đỉnh I ( 2;-1) hệ số a   parabol có bề lõm hướng lên 0.5 Lập BBT 0.5 Tìm giao parabol với trục hồnh, trục tung vẽ 0.5 1.0 b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn  1;4 Xét pt hoành độ giao điểm x  x   m   x  x   m  Dựa vào đồ thị tìm   m     m  Chú ý: HS dùng bảng biến thiên cho hàm y  x  x  y  x  x  0.5 0.5 Cho x1 x hai nghiệm phương trình x  x  a  ; x3 x hai nghiệm x x x phương trình x  12 x  b  Biết   Tìm a b x1 x x3 3.0     4a  Điều kiện có nghiệm  '1   36  b   x  kx1 x x3 x      x3  kx  k x1 Đặt k  x1 x x3  x  kx  k x  Theo định lý viet ta có hệ  x1 1  k    x k 1  k   12    x1 k  a  x12 k  b  k  2 Với k  x1  ta a  2, b  32 (tm) 0.5 Với k  2 x1  3 ta a  18, b  288 (tm) 0.5 Giải phương trình: x  x   x   2.0 Điều kiện: x  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 x  x   Phương trình    x 1   x  1   x   x  Đối chiếu điều kiện , ta nghiệm x  1;2 0.5  x  3x  x   y  y Giải hệ phương trình:  4 x  x    4 x  1 y 4.0 Phương trình thứ  ( x  3x  3x  1)  x   y  y  x  13  x  1  y  y Đặt a  x  ta a  a  y  y  a  y a  ay  y  1   a  y  0.5 0.5 0.5 0.5 y 3y    0; a, y Vì a  ay  y    a    2  Ta y  x  thay vào pt thứ hai ta 0.5 x   x   x ĐK: x  0.5     x    2 x  x    2x  x   x   2x     x2 y3  x   2 x  32 Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y   2;3 Chú ý: +) pt thứ hệ, hs dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa tích 0.5 0.5 0.5 0.5 +) pt x   x   x , hs chuyển vế bình phương, đưa tích a) Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b Gọi C, D, E điểm cho 1 AC  AB, OD  OB, OE  OA Hãy biểu thị vectơ OC , CD, DE theo vectơ a, b Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC vng cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED 3.0 a) Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b Gọi C, D, E điểm cho 1 AC  AB, OD  OB, OE  OA Hãy biểu thị vectơ OC , CD, DE theo vectơ a, b Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng 2.0 OC   a  2b 0.5 CD  a  b 0.5 0.5 1 DE  a  b Ta CD  3DE Vậy C,D,E thẳng hàng 0.5 b) Cho tam giác ABC vng cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm 1.0 cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn O  A; B  Ox; C  Oy Giả sử AB  AC  0.5 A0;0; B0;2; C 2;0  ta H 1;1; E 0;1; D 1;1 Khi EC  2;1; ED   1;2 Nhận thấy EC.ED  chứng tỏ EC  ED 0.5 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 3.0 a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vng B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vuông cân A a) Gọi C  x;0 0.5 Sử dụng AB.BC   C 6;0 0.5  AB AD  b) Gọi D x; y  Giải hệ   AB  AD 1.0 Tìm D2;2 D 4;4  1.0 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y P  2019  x 2019  y 2.0 P 2019  y y P  2019 Lại có   2019  x x x y x y  Ta P  2019    1   2019    x y   x y   x  y Áp dụng 1   , a, b  a b ab  0.5  2. x  y   4038  x  y  4038 4038 1.0  4038  4038 Dấu "=" xảy x  y  2019 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, không làm tròn điểm 0.5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn – Lớp 10 – THPT Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3.0 điểm) Cho hàm số y  x  x   m ; Pm  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  b) Tìm m để Pm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn  1;4 Cho x1 x hai nghiệm phương trình x  3x  a  ; x3 x hai Câu (3.0 điểm) nghiệm phương trình x  12 x  b  Biết x x3 x   Tìm a b x1 x x3 Câu (6.0 điểm) a)Giải phương trình: x  x   x    x  3x  x   y  y 4 x  x    4 x  1 y b)Giải hệ phương trình:  Câu (3.0 điểm) a) Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b Gọi C, D, E điểm cho AC  AB, OD  1 OB, OE  OA Hãy biểu thị vectơ OC , CD, DE theo vectơ a, b Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED Câu (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vuông B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vuông cân A Câu (2.0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x 2019  x  y 2019  y -Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Họ tên, chữ ký: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH Câu Cho hàm số y  x  x   m ; HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: Tốn – Lớp 10 – THPT ĐÁP ÁN Pm  Điểm 3.0 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  b) Tìm m để Pm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn  1;4 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  2.0 Với m=1 y  x  x  0.5 TXĐ: R Đồ thị parabol, có:Đỉnh I ( 2;-1) hệ số a   parabol có bề lõm hướng lên 0.5 Lập BBT 0.5 Tìm giao parabol với trục hồnh, trục tung vẽ 0.5 1.0 b) Tìm m để Pm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn  1;4 Xét pt hoành độ giao điểm x  x   m   x  x   m  Dựa vào đồ thị tìm   m     m  Chú ý: HS dùng bảng biến thiên cho hàm y  x  x  y  x  x  0.5 0.5 Cho x1 x hai nghiệm phương trình x  x  a  ; x3 x hai nghiệm x x x phương trình x  12 x  b  Biết   Tìm a b x1 x x3 3.0     4a  Điều kiện có nghiệm  '1   36  b   x  kx1 x x3 x      x3  kx  k x1 Đặt k  x1 x x3  x  kx  k x  Theo định lý viet ta có hệ  x1 1  k    x k 1  k   12    x1 k  a  x12 k  b  k  2 Với k  x1  ta a  2, b  32 (tm) 0.5 Với k  2 x1  3 ta a  18, b  288 (tm) 0.5 Giải phương trình: x  x   x   2.0 Điều kiện: x  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 x  x   Phương trình    x 1   x  1   x   x  Đối chiếu điều kiện , ta nghiệm x  1;2 0.5  x  3x  x   y  y Giải hệ phương trình:  4 x  x    4 x  1 y 4.0 Phương trình thứ  ( x  3x  3x  1)  x   y  y  x  13  x  1  y  y Đặt a  x  ta a  a  y  y  a  y a  ay  y  1   a  y  0.5 0.5 0.5 0.5 y 3y    0; a, y Vì a  ay  y    a    2  Ta y  x  thay vào pt thứ hai ta 0.5 x   x   x ĐK: x  0.5     x    2 x  x    2x  x   x   2x     x2 y3  x   2 x  32 Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y   2;3 Chú ý: +) pt thứ hệ, hs dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa tích 0.5 0.5 0.5 0.5 +) pt x   x   x , hs chuyển vế bình phương, đưa tích a) Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b Gọi C, D, E điểm cho 1 AC  AB, OD  OB, OE  OA Hãy biểu thị vectơ OC , CD, DE theo vectơ a, b Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED 3.0 a) Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b Gọi C, D, E điểm cho 1 AC  AB, OD  OB, OE  OA Hãy biểu thị vectơ OC , CD, DE theo vectơ a, b Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng 2.0 OC   a  2b 0.5 CD  a  b 0.5 0.5 1 DE  a  b Ta CD  3DE Vậy C,D,E thẳng hàng 0.5 b) Cho tam giác ABC vng cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm 1.0 cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn O  A; B  Ox; C  Oy Giả sử AB  AC  0.5 A0;0; B0;2; C 2;0  ta H 1;1; E 0;1; D 1;1 Khi EC  2;1; ED   1;2 Nhận thấy EC.ED  chứng tỏ EC  ED 0.5 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 3.0 a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vuông B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vng cân A a) Gọi C  x;0 0.5 Sử dụng AB.BC   C 6;0 0.5  AB AD  b) Gọi D x; y  Giải hệ   AB  AD 1.0 Tìm D2;2 D 4;4  1.0 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y P  2019  x 2019  y 2.0 P 2019  y y P  2019 Lại có   2019  x x x y x y  Ta P  2019    1   2019    x y   x y   x  y Áp dụng 1   , a, b  a b ab  0.5  2. x  y   4038  x  y  4038 4038 1.0  4038  4038 Dấu "=" xảy x  y  2019 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh q trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, khơng làm trịn điểm 0.5 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Lớp 10 – Năm học: 2018 - 2019 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề) -THẠCH THẤT- Câu 1.(5,0 điểm) 1) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (P) Tìm m để đường thẳng d : y  2 x  m cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc tọa độ) 2) Tìm tất giá trị tham số m ( m  R ) để phương trình x   3m  1 x  6m   có bốn nghiệm phân biệt lớn 4 Câu 2.(5,0 điểm ) 1) Giải bất phương trình:  2x   x  x  25  x2  5x   3 x  y  x  y   2) Giải hệ phương trình: 2 x  y   x  10 y   Câu 3.(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c diện tích S Biết S  b2  (a  c)2 Tính tan B Câu 4.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b BAC  600 Các điểm M, N xác định MC  2MB NA  1 NB Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vuông góc với Câu 5.(3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A 1;2  , B  3; 4  Tìm tọa độ điểm C cho ABC vng C có góc B  600 Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: y x z 1  2  2 2 2 x y y z z x x y z Hết - Họ tên thí sinh:……………………………………………………… Số báo danh: …… SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN -THẠCH THẤT- ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Lớp 10 - Năm học: 2018 - 2019 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút Câu 1.1 (3,0 đ) 1) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (P) Tìm m để đường thẳng d: y  2 x  m cắt đồ thị (P) điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (O gốc tọa độ) PT hoành độ giao điểm: x  3x   m  (1) Để d cắt (P) điểm phân biệt  PT (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 13     13  4m   m  (*) Giả sử A( x1; 2 x1  m); B( x2 ; 2 x2  m) 1,0  x1  x2  3  x1.x2  m  Theo hệ thức Vi-et:  0,5 Ta có OAB vng O  OA.OB   x1 x2  2m  x1  x2   m   m  m    m  Đối chiếu đk (*) có giá trị m m   21  21 1,0 0,5 Câu 1.2(2,0 điểm) 2) Tìm tất giá trị m để phương trình x   3m  1 x  6m   có bốn nghiệm phân biệt lớn - Đặt t  x  , thay vào phương trình ta t   3m  1 t  6m   t  phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt  t  3m  1  3m   m    Khi pt cho có nghiệm  2;  3m  3m   m  17 Để nghiệm lớn 4  3m   4  3m    m  17 Vậy giá trị m m   ;  \ 1 3  Câu 2.1(3,0 điểm) Giải bất phương trình:  2x   x  x  25  0,5 0,5 0,5 x2  5x   x  Điều kiện:  x  *) Nếu x = x = bất phương trình nghiệm x  *) Nếu  bất PT cho  x   x  x  25  (a) x  (a )  0,5 2 x   (Do x  x  25  0) (1)  x  x  25  x    2 x   (2)   x  x  25  x  20 x  25  0,5 0,5 0,5 0,5 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm Phương trình x  x  m  5,0 a) Giải phương trình (1) m  1,5 Khi m  PT (1) có dạng: x  x   0,5 Ta có:  '     0,5 PT (1) có nghiệm phân biệt: x1  x2  0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5 Lập ∆ = 25 - 4m Phương trình có nghiệm x1 , x2 ∆ ≥ hay m  0,5 25 Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1  x2  5; x1 x2  m 0,5 ìïx + x > hay m > Hai nghiệm x1 , x2 dương ïí ïïỵx1x > Điều kiện để phương trình có nghiệm dương x1, x2 < m  Ta có: Suy ( x1 + x ) 0,5 = x1 + x + x1 x = + m x1 + x = + m Ta có x1 x  x x1   x1.x Hay 25 (*)   0,5 x1  x  m  m   2m m  5m  36  (1) Đặt t  m  , (1) thành:  2t3 + 5t2 - 36 = 0,5  (t - 2)(2t2 + 9t + 18) =  t - = 2t2 + 9t + 18 = Với t - = => t = => m = (thoả mãn (*)) 0,5 Với 2t2 + 9t + 18 = : phương trình vơ nghiệm Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5 x1 x  x x1   x  x3 y  xy  xy  y  Giải hệ phương trình:   x  y  xy (2 x  1)  3,0 ( x  y )  xy ( x  y )  xy  Hệ   2  x  y   xy  1,0 a  x  y Đặt  Hệ trở thành: b  xy a  ab  b  (*)  a  b  0,5 a  a  2a  a (a  a  2)  Hệ (*)    2 b   a b   a 0,5 Từ tìm (a; b)  (0; 1); (1; 0); (2;  3)  x2  y  Với (a; b)  (0; 1) ta có hệ   x  y   xy   x2  y   ( x; y )  (0; 1);(1;0);(1;0) Với (a; b)  (1; 0) ta có hệ   xy  0,5 Với (a; b)  (2; 3) ta có hệ 3    x  y  2 y   y      x  1; y  x x  xy    x  2x   ( x  1)( x  x  3)    0,5 Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y )  (1; 1);(0;  1);(1; 0);(1; 0);(1; 3) 5,0 a) Cho góc  thỏa mãn tan   Tính giá trị biểu thức P   4sin   cos    sin   cos   4sin   cos  P  sin   cos3  sin   cos3  sin   co s  sin   co s  2,5 1.0  4sin   sin  cos   4sin  cos   cos3  sin   cos3  0,5  tan   tan   tan   tan   0,5  4.8   4.2   8 2 0,5     b) AD đoạn thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK b) Cho tam giác ABC Gọi D, E BD  BC; AE  AC Điểm K  Vì AE  2,5 A     AC  BE  BC  BA (1) 4 E K 0,5 B D C      Giả sử AK  x AD  BK  xBD  1  x  BA (1)      Mà BD  BC nên AK  x.AD  BK    Do BC; BA không phương nên   2x  BD  (1  x)BA 0,5 m 2x 3m   &1  x  0 4 0.5  0,5 Từ suy x  ; m  Vậy AK  AD  0,5 AD 3 AK Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình  16  CD : x  3y 1  , E  ;1    5,0 Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao 2,5 a) CD BE Ta có BA EA    E chân đường phân giác BC EC A 0,5 D I B E C Do BD = BC  BE  CD  BE : x  y  17  0,5 x  3y 1  I  BE  CD  tọa độ điiểm I nghiệm hệ  3x  y  17  0,5 Giải hệ phương trình  I  5;  1,0 b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Đặt BC  a   AB  2a, AC  a 5, CE  2,5 a 0,5   450  IB  IC  BC  a Do CBE (1) Tam giác EIC vuông I  IE  EC  IC  IE   0,5 a (2)  Từ (1) (2)  IB  3IE  B (4;5) Gọi C (3c  1; c) từ 0,5 c  BC   c  4c     c  0,5 Với c   C (2;1), A(12;1) (KTM) Với c   C (8;3), A(0; 3) (TM) 0,5 Vậy A(0; 3), B (4;5), C (8;3) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1  2 a b c abc 2,0 Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab  bc  ca  33 a b c 1= a + b + c  3 abc  abc  P P 0,5  ab  bc  ca  33 abc 3 abc  9abc  2 a b c ab  bc  ca 1    2 a b c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca 0,5 0,5    30 a  b  c  2ab  2bc  2ca a  b  c 2 2 Vậy giá trị nhỏ P 30 chẳng hạn a  b  c  0,5 SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP Ngày thi: 30/01/2018 *** Câu I ( 2+2=4 điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG Năm học 2017 – 2018 Mơn thi: Tốn – Lớp 10 (Thời gian làm bài: 150 phút) Cho parabol ( P) : y  ax  bx   3 11  1) Tìm giá trị a; b để parabol có đỉnh S  ;   2  2) Với giá trị a; b tìm câu 1, tìm giá trị k để đường thẳng  : y  x(k  6)  cắt parabol hai điểm phân biệt M ; N cho trung điểm đoạn thẳng MN nằm đường thẳng d : x  y   Câu II ( điểm)     Cho tam giác ABC điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  CA ,   AP  AB Tìm k để AM vng góc với PN 15 Câu III( 3+3+3=9 điểm) 1) Tìm m để phương trình x  x   m x  x    x  3m  có hai nghiệm x1 , x cho x1  10  x 2) 3) Giải phương trình x   x  x   x  x   x  x  Giải hệ phương trình  x  y  y   2 y   ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2 2 Câu IV( 1.5+1.5=3 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh có độ dài a Gọi E; F điểm xác định     CF   CD, đường thẳng BF cắt đường thẳng AE điểm I BE  BC ,   1) Tính giá trị EA.CE theo a AIC  900 2) Chứng minh  Câu V ( điểm) Cho số dương a, b, c có a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a a b b c c   2c  a  b 2a  b  c 2b  c  a - - - - Hết - - - - “CHÚ Ý : HỌC SINH KHƠNG ĐƯỢC SỬ DỤNG MÁY TÍNH” Bài Bài Câu HƯỚNG DẪN CHẤM Tìm Điểm điểm điểm … Do Parabol nên có trục đối xứng mà Tọa độ đỉnh có tung độ hay Ta có hệ pt vào ta được: nên nên ta có: Nếu loại Nếu thỏa mãn Vậy giá trị cần tìm Câu Tìm m … với parabol ý2 Để đường thẳng cắt Parabol hai điểm phân biệt pt có hai nghiệm phân biệt hay pt: x  kx   có hai nghiệm phân biệt có Khi đó, giao điểm nên trung điểm đoạn Bài , điểm , 0,5 0,5    3k  k   k k Theo định lý Viet ta có x1  x2  nên I  ;  2 4    nên k  8k   hay Do I thuộc đường thẳng k  4  18 thỏa mãn toán   Cho tam giác ABC điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , 0,5 0,5     CN  CA , AP  AB Tìm k để AM vng góc với PN 15       A +) BM  k BC  AM  AB  k ( AC  AB)     AM  (1  k ) AB  k AC P N      +) PN  AN  AP   AB  AC 15 B M 0,5 1,0 , 0,5 C   Để AM vng góc với PN AM PN         (1  k ) AB  k AC    AB  AC    15  4(1  k ) k  k 4k    ) AB AC  AB  AC  ( 15 3 15 4(1  k ) k  k 4k   (  )cos600  15 3 15 k  KL: k  Câu 1) Tìm m để phương trình x6 x9 m x2 x9 8  x 3m  Giải: PT  x    m  x   1  x  3m  đặt t  x  9, t  PT trở thành : 3m   2t   m  1 t  m  13  (1) PT ban đầu có nghiệm x1  10  x t   m  t  1  t    '    (1) có nghiệm  t   t    t1  1 t  1    t1  t   m  1   m  13   m  25     m  13   m     13  m   m  13   m  1  m    2) Giải phương trình x   x  x   x  x   x  x giải: Điều kiện: x  Đặt  x  a ;  x  b ;  x  c với a, b, c số thực khơng âm Ta có x   a   b   c  a.b  b.c  c.a Do 3  a  ab  bc  ca  a  b  c  a     4  b  ab  bc  ca   b  c  a  b      c  a  b  c   5  c  ab  bc  ca Nhân vế ba phương trình ta  a  b  b  c  c  a   15  15 a  b    15 15 15 15 Suy b  c  abc     15 c  a   671 671 Thử lại x  thỏa mãn phương trình 240 240 671 Vậy phương trình có nghiệm x  240 Suy x   3) Giải hệ phương trình  x  y  y   2 y   ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2 2 Giải  Giải hệ phương trình  x  y  y   2 y   2 2 ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  (1) (2) ĐKXĐ: y  1, (2)  x3  y  3x  y   x  y     x  1   y  1  x   y   y  x  3 Thay vào pt thứ ta được: 2  2x 1   x 1  1  x  3x    x    x     x      2  2   x   x (Có thể bình phương pt:  x  1 ( x  x  2)  ) Giải hai pt ta x  1, x   2 Vậy hệ có hai nghiệm  x; y   1; 1 ,   2,   Câu Giải: Tính Ta có theo a ; Ta có Mặt khác: Trong tam giác vng Nên Chứng minh Ta có Do Nên nên ta có Giả sử thẳng hàng nên: nên nên Nên Câu Cho số dương a, b, c có a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a a b b c c   2c  a  b 2a  b  c 2b  c  a Giải a a a3 a3 a3 c3 c3   (   ) 16 2c  a  b c  (a  b  c) c  c3 a3 a c  c  3a c     16 16 c3 c3 a a 3a c  Suy ra:   16 2c  a  b b b 3b a  c c 3c b  Tương tự     16 16 2a  b  c 2b  a  c  33 Cộng vế tương ứng ba BĐT chiều ta P  , P  a=b=c=1 KL 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn – Lớp 10 – THPT Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3.0 điểm) Cho hàm số y  x  x   m ; Pm  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  b) Tìm m để Pm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn  1;4 Cho x1 x hai nghiệm phương trình x  3x  a  ; x3 x hai Câu (3.0 điểm) nghiệm phương trình x  12 x  b  Biết x x3 x   Tìm a b x1 x x3 Câu (6.0 điểm) a)Giải phương trình: x  x   x    x  3x  x   y  y 4 x  x    4 x  1 y b)Giải hệ phương trình:  Câu (3.0 điểm) a) Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b Gọi C, D, E điểm cho AC  AB, OD  1 OB, OE  OA Hãy biểu thị vectơ OC , CD, DE theo vectơ a, b Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED Câu (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vuông B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vuông cân A Câu (2.0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x 2019  x  y 2019  y -Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Họ tên, chữ ký: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH Câu Cho hàm số y  x  x   m ; HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: Tốn – Lớp 10 – THPT ĐÁP ÁN Pm  Điểm 3.0 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  b) Tìm m để Pm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn  1;4 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  2.0 Với m=1 y  x  x  0.5 TXĐ: R Đồ thị parabol, có:Đỉnh I ( 2;-1) hệ số a   parabol có bề lõm hướng lên 0.5 Lập BBT 0.5 Tìm giao parabol với trục hoành, trục tung vẽ 0.5 1.0 b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn  1;4 Xét pt hoành độ giao điểm x  x   m   x  x   m  Dựa vào đồ thị tìm   m     m  Chú ý: HS dùng bảng biến thiên cho hàm y  x  x  y  x  x  0.5 0.5 Cho x1 x hai nghiệm phương trình x  x  a  ; x3 x hai nghiệm x x x phương trình x  12 x  b  Biết   Tìm a b x1 x x3 3.0     4a  Điều kiện có nghiệm  '1   36  b   x  kx1 x x3 x      x3  kx  k x1 Đặt k  x1 x x3  x  kx  k x  Theo định lý viet ta có hệ  x1 1  k    x k 1  k   12    x1 k  a  x12 k  b  k  2 Với k  x1  ta a  2, b  32 (tm) 0.5 Với k  2 x1  3 ta a  18, b  288 (tm) 0.5 Giải phương trình: x  x   x   2.0 Điều kiện: x  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 x  x   Phương trình    x 1   x  1   x   x  Đối chiếu điều kiện , ta nghiệm x  1;2 0.5  x  3x  x   y  y Giải hệ phương trình:  4 x  x    4 x  1 y 4.0 Phương trình thứ  ( x  3x  3x  1)  x   y  y  x  13  x  1  y  y Đặt a  x  ta a  a  y  y  a  y a  ay  y  1   a  y  0.5 0.5 0.5 0.5 y 3y    0; a, y Vì a  ay  y    a    2  Ta y  x  thay vào pt thứ hai ta 0.5 x   x   x ĐK: x  0.5     x    2 x  x    2x  x   x   2x     x2 y3  x   2 x  32 Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y   2;3 Chú ý: +) pt thứ hệ, hs dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa tích 0.5 0.5 0.5 0.5 +) pt x   x   x , hs chuyển vế bình phương, đưa tích a) Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b Gọi C, D, E điểm cho 1 AC  AB, OD  OB, OE  OA Hãy biểu thị vectơ OC , CD, DE theo vectơ a, b Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED 3.0 a) Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b Gọi C, D, E điểm cho 1 AC  AB, OD  OB, OE  OA Hãy biểu thị vectơ OC , CD, DE theo vectơ a, b Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng 2.0 OC   a  2b 0.5 CD  a  b 0.5 0.5 1 DE  a  b Ta CD  3DE Vậy C,D,E thẳng hàng 0.5 b) Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm 1.0 cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn O  A; B  Ox; C  Oy Giả sử AB  AC  0.5 A0;0; B0;2; C 2;0  ta H 1;1; E 0;1; D 1;1 Khi EC  2;1; ED   1;2 Nhận thấy EC.ED  chứng tỏ EC  ED 0.5 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 3.0 a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vuông B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vng cân A a) Gọi C  x;0 0.5 Sử dụng AB.BC   C 6;0 0.5  AB AD  b) Gọi D x; y  Giải hệ   AB  AD 1.0 Tìm D2;2 D 4;4  1.0 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y P  2019  x 2019  y 2.0 P 2019  y y P  2019 Lại có   2019  x x x y x y  Ta P  2019    1   2019    x y   x y   x  y Áp dụng 1   , a, b  a b ab  0.5  2. x  y   4038  x  y  4038 4038 1.0  4038  4038 Dấu "=" xảy x  y  2019 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh q trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, khơng làm trịn điểm 0.5 ... ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn – Lớp 10 – THPT Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu... ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn – Lớp 10 – THPT Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu... ta có Chú ý: Các cách giải khác cho điểm tương tự 1 0,5 0,5 0,5 SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn : TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC