Qua các ví dụ trên , ta thấy rằng việc sử dụng các đẳng thức một cách hợp lí có thể giải quyết được rất nhiều bài toán và giúp chúng ta tạo ra những bất đẳng thức khá đẹp mắt , tôi và cá[r]
(1)CÁC BÀI TOÁN LÝ THÚ VỀ SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Nguyễn Duy Liên -Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Thế giới chúng ta sống luôn tiềm ẩn vô vàn quy luật tự nhiên và xã hội, khách quan chủ quan Việc nắm bắt, vận dụng quy luật đó đã trở thành chìa khóa giải nhiều vấn đề quan trọng khoa học nói riêng và sống nói chung Bất đẳng thức là dạng toán khó thường xuất các kỳ thi quan trọng thi tuyển sinh đầu cấp học trung học phổ thông, thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp trung học sở, trung học phổ thông và thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế…Có người tạo bài toán bất đẳng thức ngẫu nhiên từ việc giải các bài toán người khác Có người lại tạo bài toán bất đẳng thức từ các đẳng thức quen thuộc với đa số người…Bài viết nhỏ này tôi giới thiệu số đẳng thức và ứng dụng vào giải các bài toán bất đẳng thức Để bài viết ngắn gọn, tôi xin không chứng minh lại số kiến thức I CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA a Đẳng thức 2 b c d ac bd ad bc , với a, b, c, d Sau đây là số bài toán áp dụng đẳng thức Ví dụ 1:(Wolfgang Berndt) Chứng minh với số thực a, b, c ta có abc a b c a b c Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 2 a b c a b ab 1 c 1 c a b c 1 ab 1 c , suy VT 2 abc a b c 1 ab 1 c a b c VP (đpcm) Ví dụ 2:(Titu Andresscu,Gabriel Dospinescu) Giả sử a, b, c, d là các số thực thỏa a b c d 16 mãn điều kiện , chứng minh bất đẳng thức sau ab bc ca da ac bd abcd 5 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có (2) 2 2 16 a b2 c d ab a b cd 1 c d ab cd 1 a b c d ab bc cd da ac bd abcd 1 ab bc cd da ac bd abcd 4 từ đó có điều phải chứng minh Ví dụ 3:(KTĐT CVP).Giả sử a, b, c, d là các số thực,chứng minh bất đẳng thức sau a b c 2 ab bc cd da ac bd a ,b ,c , d Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có a b c a b ab 1 2 2 c 12 a b c ab 1 Hoàn toàn tương tự ta có b c d b c d bc 1 , 2 c d a c d a cd 1 , 2 d a b d a b da 1 Từ đó suy a ,b ,c , d 2 a b c 2 ab bc cd da ac bd 2 , Đẳng thức xẩy a b c d bài toán chứng minh 1 1 Đẳng thức a ab b bc c ca , với a, b, c , abc 1 Sau đây là số bài toán áp dụng đẳng thức Ví dụ 4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh 1 1 2 a 1 b b 1 c c 1 a 2 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 a 1 b 2a a b 2 a ab tương tự ta (3) 1 1 ; 2 b 1 c b bc c 1 a c ca từ đó ta có 1 1 2 a ab b bc c ca a ,b ,c a 1 b Đẳng thức xẩy a b c 1 bài toán chứng minh Ví dụ 5: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh 3 2a b 3 2b c 2c a 1 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có a ,b ,c 1 1 3 3 3 2a b 2b c 2c a 2a b3 theo bất đẳng thức AM-GM ta có 2a b3 a b3 1 a 1 3 a ab a ,b , c Từ đó suy 1 1 a ab b bc c ca 2a b Đẳng thức xẩy a b c 1 bài toán chứng minh Đẳng thức a b b c b c c a c a a b 0 với a, b, c , a b c a Sau đây là số bài toán áp dụng đẳng thức Ví dụ 6:(Việt Nam MO 2008) Cho a, b, c là các số thực không âm đôi khác 1 a b b c c a ab bc ca Chứng minh : Chứng minh Giả sử c min a, b, c Áp dụng đẳng thức ta có (4) 1 1 2 a ,b , c a b a ,b , c a b a ,b , c a b b c a b b c c a Ta có 2 2 a b a b 2 a ,b , c a b a b a c b c a b a c b c a c b c Từ đó theo bất đẳng thức AM-GM thì 2 a b 2 2 a a c b c a c b c a b a c b c ,b , c a b Mà ta có a c b c ab ab bc ca Vậy 1 a b b c c a ab bc ca a 3 , c 0 Đẳng thức xẩy b cùng các hoán vị nó, bài toán CM Ví dụ 6:(Đào Hải Long) Cho a, b, c là các số thực đôi khác a Chứng minh : 1 b2 c 2 a b b c c a Chứng minh Ta có 2 2 2 a b c a b b c c a a b b c c a 2 a b c 3 Bài toán quy chứng minh 27 a b b c c a a b b c c a * Không tính tổng quát , giả sử a b c Khi đó đặt x a b , y b c thi c a x y và x, y Bất đẳng thức * trở thành (5) 27 x y x y 12 12 x y x y 1 27 x xy y ** x y x y 1 3 2 2 x xy y x y x y x y x y xy x y 4 Ta có: , 1 27 x xy y x y y x y x y x Từ đó suy 2 Bài toán giải hoàn toàn Qua các ví dụ trên , ta thấy việc sử dụng các đẳng thức cách hợp lí có thể giải nhiều bài toán và giúp chúng ta tạo bất đẳng thức khá đẹp mắt , tôi và các bạn có thể vận dụng thêm số đẳng thức khác để chứng minh bất đẳng thức phù hợp, và tạo các bất đẳng thức a b b c c a b c c a c a a b a b b c Đẳng thức với a, b, c , a b c a a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b Đẳng thức với a, b, c , a b c a ab bc bc ca ca ab 1 b c c a c a a b a b b c Đẳng thức với a, b, c , a b c a ab bc bc ca ca ab 1 b c c a c a a b a b b c Đẳng thức với a, b, c , a b c a a b c d c d ad bc ad bc a b 1 a b c d c d ac bd ac bd a b Đẳng thức (6) với a, b, c, d , a b c d ac bd 0 Để kết thúc bài viết tôi xin giới thiệu số bài tập để bạn đọc rèn luyện II.BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Cho a, b, c, d thỏa mãn abc bcd cda dab a b c d 2014 a Chứng minh 1 b 1 c 1 d 1 2014 Bài Cho a, b, c, d thỏa mãn ad bc 1 2 2 Chứng minh rằng: a b c d ac bd Bài Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh a a 3ab b5 b2 3bc c5 c 3ca 1 Bài Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh a b ab b c bc c a ca 1 Bài Cho a, b, c là các số thực dương đôi khác Chứng minh : 1 11 5 2 a b c 2 a b b c c a Bài Cho a, b, c là các số thực đôi khác Chứng minh a b c 2 b c c a a b Bài Cho a, b, c là các số thực đôi khác Chứng minh a b b c c a 2 a b b c c a Bài Cho bốn số a, b, c, d là các số thực Chứng minh : (7) a b c d ad bc a b c d ac bd Bài Cho bốn số a, b, c, d là các số thực không âm thỏ mãn a b c d 4 a b2 c d 81 Chứng minh : Hết (8)