Đang tải... (xem toàn văn)
trong của góc ABC Câu 5: 4 điểm Cho tam giác ABC có độ dài đường phân giác trong CD và độ dài đường phân giác ngoài CE bằng nhau, D, E thuộc AB nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS, THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN- CẤP THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) Câu 1: ( điểm) x −1 x x −2 Cho biểu thức A = − + : 1 − − 9x x − x + x +1 1) Rút gọn A 2) Tìm các giá trị x để A = Câu 2: ( điểm) mx + 4y = m + Cho hệ với m ≠ và m ≠ −4 x + (m + 3)y = 2m + 1) Với giá trị nào m hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x ≥ y 2) Với các giá trị m tìm ý hãy tìm giá trị nhỏ tổng x + y Câu 3: ( điểm) Một nhóm người chơi đấu cờ với nhau, người nào đấu với người khác nhóm ván Hỏi có bao nhiêu người nhóm biết tổng số ván cờ là 15 Câu 4: ( điểm) = 120 O , AB = (cm), BC = 12 (cm), phân giác Cho tam giác ABC có góc ABC cắt AC D Tính diện tích tam giác ABD góc ABC Câu 5: ( điểm) Cho tam giác ABC có độ dài đường phân giác CD và độ dài đường phân giác ngoài CE nhau, ( D, E thuộc AB) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 90O + BAC 1) Chứng minh: ABC 2) Chứng minh hệ thức: R = (AC + BC ) Câu 6: ( điểm) Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [0;2] và thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: x + y + z ≤ Hết _ (Thí sinh không sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:…………… Họ tên, chữ ký giám thị 1:…………………………………………………… (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS, THPT CÂP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - CẤP THCS (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu ( điểm) ý (2đ) (4 điểm) Nội dung x ≥ Điều kiện mẫu thức chung: 9x – x ≠ ( x − 1)(3 x + 1) − (3 x − 1) + x x + − x + A= : − + (3 x 1)(3 x 1) x +1 3x + x − x − − x + + = (3 x − 1) 3x + x = (3 x − 1).3 = x+ x x −1 x+ x ⇔ = ⇔ 5x − 13 x + = x −1 t = 2 Đặt t = x t ≥ ta có phương trình: 5t − 13t + = ⇔ t = (2đ) Với t = thì x = Với t = thì x = 25 Vậy với x = hoÆc x = thì A = 25 Với đ/k đã cho A = Thang điểm 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 mx + 4y = m2 + (1) Hệ: với m ≠ và m ≠ −4 x + (m + 3)y = 2m + (2) thay vào (1) ta được: Từ (2)2 có x = 2m + – (m + 3) y (3) 2m + 3m − m(m + 3)y + 4y = m + (2đ) ⇔ (m2 + 3m − 4)y = m + 3m − (4 điểm) ⇔ y = (do m ≠ vµ m ≠ - 4) 0,5 0,5 (3) Thay y = vào (3) ta x = m 0,25 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (m;1) 0,25 x ≥ y ⇔ m ≥ , vì m ≠ nên ta có m > 0,5 Ta có x + y = m + ( m > 1) (2đ) Hàm số f(m) = m + đồng biến trên khoảng (1; +∞) và có miền giá 0,5 0,5 trị là (2; +∞) (3 điểm) Do đó không có giá trị nhỏ trên khoảng (1; +∞) 0,5 Vậy với m > tổng x + y không đạt giá trị nhỏ 0,5 Gọi số người chơi cờ là n ( n là số tự nhiên và n ≥ ) 0,5 Vì người đấu với n-1 người còn lại đó có n(n – 1) ván cờ 0,5 Có tất n người nên có n(n – 1) ván cờ, cặp đấu 0,5 với ván nên có tất n(n − 1) ván cờ n(n − 1) = 15 ⇔ n − n − 30 = n = −5 (Lo¹i) ⇔ n = (NhËn) Vậy có người tham gia đấu cờ Ta có pt: 0,5 0,5 Vẽ hình đúng, đẹp 0,5 Kẻ AK//BC cắt BD kéo dài K, đó: DK DA AB = = = = Do BD là đường phân giác góc B DB DC BC 12 0,75 (4) = KBC (so le trong) = ABK = 60 o (gt) nên Tam giác ABK có AKB (3 điểm) tam giác ABK đều, đồng thời DK = nên BD = (cm) DB Kẻ đường cao AH tam giác ABK ta có: 0,5 0,5 AH = sin 60 o = 3 (cm) 1 Khi đó : S ∆ABD = BD.AH = 4.3 = (cm ) 2 Vậy S ∆ABD = (cm ) 0,5 0,25 Vẽ hình đúng, đẹp (2đ) (4 điểm) 0,25 = 45O = BAC + ACD Ta có: CDB 0,5 = 135O = ABC + BCD ADC − CDB = 90 = ABC − BAC (vì BCD = ACD ) ⇒ ADC = 90O + BAC Vậy ABC = 90O Vẽ đường kính CK ⇒ KAC 0,75 0,5 0,5 = 90O + BAC = ABC ⇒ KAB (2đ) = BC ⇔ AK = BC ⇒ AK 0,5 Xét tam giác vuông AKC: CK = AK + AC ⇔ 4R = BC + AC ⇔ R = (BC + AC ) 0,5 0,5 (5) Vì x ∈ [0;2] nên (x − 2)(y − 2)(z − 2) ≤ (1) ⇔ (xy − 2x − 2y + 4)(z − 2) ≤ ⇔ xyz − 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) − ≤ 0,5 ⇔ xyz − (x + y + z)2 − (x + y + z ) + 4(x + y + z) − ≤ (2 điểm) ⇒ x + y + z ≤ − xyz (2) ( x + y + z = 3) Mặt khác x ≥ ; y ≥ ; z ≥ nên từ (2) ta có: 0,5 0,5 x + y + z ≤ (3) (x − 2)(y − 2)(z − 2) = Từ (1), (2) đẳng thức xảy (3) ⇔ xyz = x + y + z = 0,5 ⇔ Trong số x, y, z có số 0, số và số -Hết -Lưu ý chung toàn bài: + Điểm câu bài thi là tổng các điểm thành phần câu Điểm bài thi là tổng điểm các câu bài thi, phần lẻ tính đến 0,25 điểm theo thang điểm 20 + Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì cho điểm tối đa bài đó (6)