PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5 điểm) a a b b a b với a, b > a �b ab a b b a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết a b ab a Cho biểu thức M= 18 ab ab c Cho a, b, c thỏa mãn a b c ; a b c 23 ; abc 1 Tính giá trị biểu thức H= ab c bc a ca b b Tìm số nguyên a, b thoả mãn Bài 2: (4,5 điểm) a Tính giá trị biểu thức N= 4 4 13 27 10 b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn a b a b + (1 ab) 4ab Chứng minh ab số hữu tỉ c Giải phương trình x x x x Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5 y xy b Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh 1 � ab a bc b ca c 2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH Q, K, P a Chứng minh MNCO hình thang cân b MB cắt CH I Chứng minh KI son song với AB c Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để A= 427 + 42016 + 4n số phương Họ tên thí sinh SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-207 MƠN: TỐN LỚP Câu Bài a/ 1,5đ Nội Dung -Rút gọn M= ab với a, b>0 a �b a b Điểm 4đ 0,75 -Ta có a b � ab a b ab � ab a b ab �( ab ) 1� a b ab 1 a b 0,25 + Nếu a>b>0 � a b � a b 0; ab � � ab 0 a b ab ab ab � 1� M 1 a b a b a b 0,25 + 00 ta có x y�2�� � x y 4� �x y � 0,5 áp dụng ta có 1 1 ab a ab a ab abc a ab(c 1) ( a 1) 1� 1 � � abc � 1�c � � � � � � � � �ab( c 1) a � �ab(c 1) a � �c a � 1�c � � � Vây ta có � ab a �c a � 1�a � 1�b � � � � � Tương tự ta có �; �nên bc b �a b � ca c �b c � 1 � � 3� � �ab a bc b ca c � 1�c a b � � 3� � � �c a a b b c � 1 � dấu “=” có a=b=c=1 Vậy ab a bc b ca c 2 0,5 0,25 6đ Bài N M E Q F K A C I T G O H B P a/ 2đ -Ta có ACB nội tiếp đường tròn (vì ) mà AB đường kính nên ACB vuông C � AC BN 0,5 Ta có MA=MC ( ), OA=OC ( ) nên MO trung trực AC � NBO � � MO AC � MO // NB � MOA � NOB � 900 ; xét MAO NOB có -Ta có OA MA ( ) � MAO � NOB � 900 ; MOA � NBO � ; OA OB R � MAO NOB � MO NB MAO b/ 2đ -Ta có MO // NB; MO NB � MNBO hình bình hành.Ta có MAO = NOB (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC ( ) nên NO=MC MNBO hình thang cân 0,75 � NOB � 900 ; CBH � MOA � -Xét CHB MAO có MAO ( cm trên) 0,5 � CHB : MAO � CH HB HB MA AO R -Ta có CH AB (gt) ; MA AB ( ) � CH // MA � IH // MA � IH HB HB MA AB R CH HB HB IH IH 2� 2� � CH IH � IC IH MA R 2R MA MA -Chi KI đường trung bình tam giác ACH � KI // AB -Nên ta có � c/ 2đ Bài 0,75 -Chưng minh FQIO hình bình hành � QF // IO -Chưng minh O trục tâm tam giác GIP 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 1đ 0,25 � PG OI � PG QF * A 27 42016 4n 227 41989 4n 27 Vì A 227 số phương nên 41989 n27 số phương Ta có 41989 4n27 > 4n 27 (2n 27 )2 *mà 41989 4n27 số phương nên ta có n 27 1 ۣ n 27 41989 4n27 � 2 23977 n 0,5 4004 Với n=4004 ta có A= A 427 42016 44004 227 24004 số phương Vậy n=4004 A=427+42016+4n số phương 0,25