de thi hsg mon toan lop 9 tp bac giang nam 2016 2017

PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5 điểm) a a b b a b   với a, b > a �b ab a b b a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết   a    b   ab  a Cho biểu thức M=   18  ab ab c Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  ; a  b  c  23 ; abc  1   Tính giá trị biểu thức H= ab  c  bc  a  ca  b  b Tìm số nguyên a, b thoả mãn Bài 2: (4,5 điểm) a Tính giá trị biểu thức N= 4  4  13  27  10 b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn  a  b    a  b  + (1  ab)  4ab Chứng minh  ab số hữu tỉ c Giải phương trình x  x   x    x  Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5  y  xy  b Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh 1   � ab  a  bc  b  ca  c  2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH Q, K, P a Chứng minh MNCO hình thang cân b MB cắt CH I Chứng minh KI son song với AB c Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để A= 427 + 42016 + 4n số phương Họ tên thí sinh SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-207 MƠN: TỐN LỚP Câu Bài a/ 1,5đ Nội Dung -Rút gọn M= ab với a, b>0 a �b a b Điểm 4đ 0,75 -Ta có   a    b  � ab   a b ab  � ab  a  b   ab   �( ab ) 1� a b ab 1 a b 0,25 + Nếu a>b>0 � a  b � a  b  0; ab  � � ab 0 a b ab ab ab  � 1� M 1 a b a b a b 0,25 + 00 ta có x y�2�� � x y 4� �x y � 0,5 áp dụng ta có 1 1    ab  a  ab   a  ab  abc  a  ab(c  1)  ( a  1) 1� 1 � � abc � 1�c � � �   �   �  � � � �ab( c  1) a  � �ab(c  1) a  � �c  a  � 1�c � � �  Vây ta có � ab  a  �c  a  � 1�a � 1�b � � �  � �  Tương tự ta có �; �nên bc  b  �a  b  � ca  c  �b  c  � 1 � � 3�   � �ab  a  bc  b  ca  c  � 1�c a b � � 3� �      � �c  a  a  b  b  c  � 1   � dấu “=” có a=b=c=1 Vậy ab  a  bc  b  ca  c  2 0,5 0,25 6đ Bài N M E Q F K A C I T G O H B P a/ 2đ -Ta có ACB nội tiếp đường tròn (vì ) mà AB đường kính nên ACB vuông C � AC  BN 0,5 Ta có MA=MC ( ), OA=OC ( ) nên MO trung trực AC �  NBO � � MO  AC � MO // NB � MOA �  NOB �  900 ; xét MAO NOB có -Ta có OA  MA ( ) � MAO �  NOB �  900 ; MOA �  NBO � ; OA  OB  R � MAO  NOB � MO  NB MAO b/ 2đ -Ta có MO // NB; MO  NB � MNBO hình bình hành.Ta có MAO = NOB (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC ( ) nên NO=MC MNBO hình thang cân 0,75 �  NOB �  900 ; CBH �  MOA � -Xét CHB MAO có MAO ( cm trên) 0,5 � CHB : MAO � CH HB HB   MA AO R -Ta có CH  AB (gt) ; MA  AB ( ) � CH // MA � IH // MA � IH HB HB   MA AB R CH HB HB IH IH   2�  2�  � CH  IH � IC  IH MA R 2R MA MA -Chi KI đường trung bình tam giác ACH � KI // AB -Nên ta có � c/ 2đ Bài 0,75 -Chưng minh FQIO hình bình hành � QF // IO -Chưng minh O trục tâm tam giác GIP 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 1đ 0,25 � PG  OI � PG  QF * A  27  42016  4n   227    41989  4n 27  Vì A  227  số phương nên  41989  n27 số phương Ta có  41989  4n27 > 4n 27  (2n 27 )2 *mà  41989  4n27 số phương nên ta có n 27  1 ۣ n 27  41989  4n27 � 2 23977 n 0,5 4004 Với n=4004 ta có A= A  427  42016  44004   227  24004  số phương Vậy n=4004 A=427+42016+4n số phương 0,25