b Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất... PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6đ) Cho biÓu thøc P = - + ( víi x≥ ; x≠ 1) a) Rót gän biÓu thøc P b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc víi x = + + c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P Câu 2: (4đ) a) Giải phương trình: √ x − x+ 4+ √2 x −1=√ x +21 x −11 b) Tìm giá trị nhỏ A= xy yz zx + + z x y với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = Câu 3: (3đ) a)Tìm các nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 1 6 b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x y y z z x 1 Chứng minh rằng: 3x y z 3x y 3z x y 3z Câu 4: (6đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với ABtạiI Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Xác định vị trí M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Câu 5: (1đ) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -Hết - (2) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu (6đ) ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2015– 2016 ý Nội dung trình bày a P = - + = = = = = = b §Æt y = + y = 7+5 + - + 3( + ) y = 14 - 3y y +3y -14 = ………… (y- 2)( y + 2y + 7) = ( vì y + 2y + + ≥ 6) …… y = x=4 Thay x =4 vµo biÓu thøc rót gän cña P ta đợc P=4 c P = = … = +3 + -6 Áp dụng bất đẳng thức Cụ si sè d¬ng ta cã P = +3 + - ≥ -6 P ≥ 10 - = VËy Min P = +3 = x=4 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 (4đ) a ĐK: x ≥ x=0,5 0,5 (3) Biến đổi: √ x −9 x +4 +3 √2 x − 1=√ x +21 x −11 ⇔ √( x − ) ( x − ) +3 √2 x − 1=√ ( x+ 11 ) ( x − ) ⇔ √ ( x − )( x − )+ √ x − 1− √( x +11 ) ( x −1 ) =0 ⇔ √ x − 1( √ x − 4+3 − √ x +11)=0 1,0 ⇔ √2 x −1=0(1) Hoặc √ x − 4+3 − √ x +11=0 (2) Giải (1) 0,5 x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) x=5 (thỏa mãn) b xy yz zx + + z x y A= Nên A2 = x2 y2 y2 z2 z2 x2 + + +2 0,75 z2 x y ( vì x2+y2+z2 =1) = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 + ≥ =2 y 2 2 z x z x √ Tương tự y z2 z2 x2 + ≥2 z 2 x y 2 2 x y z x + ≥2 x 2 z y 0,75 Cộng vế với vế ta 2B ⇒ B≥ Do đó A2 = B +2 0,5 nên A √3 Vậy Min A = √ ⇔ x=y=z= (4) √3 3 a (3đ) Từ 2x6 + y2 – 2x3y 0,5 = 320 <=>(x3-y)2 + (x3)2=320 => (x3)2 £ 320 mà x nguyên nên 0,75 x£2 b Nếu x=1 x=-1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình 0,25 đã cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2);(2;6); (-2;-6);(-2;2) Áp dụng BĐT 0,5 1 a b a b (với a, b > 0) 1 1 a b a b Ta có: 1 1 3x y z x y z x y z x y z x 11 1 1 1 x y x z x y y z x y x z x y 1 1 16 x y x z y z (5) Tương tự: 1 1 x y 3z 16 x z x y y z 1 0,5 1 x y 3z 16 y z x y x z Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 x y z x y 3z x y z 16 x y x z 4 1 16 x y x z y z 4 1,0 C (6đ) J A I a D M O O’ Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB CD : gt) ACMD là hình thoi AC // DM, mà AC CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB) DM CB; MJ CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB) D, M, J thẳng hàng Ta có : IDM + IMD = 900 ( vì DIM = 90 ) B 0,5 0,5 0,5 0,5 (6) Mà IJM = IDM (do IC = IJ = ID : CJD vuông J có JI là trung tuyến) MJO' = JMO' = IMD (do O’J = O’M : bán kính đường ˆ ' tròn (O’); JMO và ˆ đối đỉnh) IMD IJM + MJO' 900 0,5 900 IJO IJ b là tiếp tuyến (O’), J là tiếp điểm Ta có: IA = IM AB 0,5 IO’ = = R (R là bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’) JIO’ vuông I : 0,5 IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + O’J2 0,5 2IJ.O’J = 4SJIO’ Do đó SJIO’ R2 R2 SJIO’ = IJ = O’J và JIO’ 0,5 vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên : 2O’J2 = O’I2 = R2 R O’J = Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 0,5 (7) (1đ) Tìm x,y nguyên 0,5 dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 xy x y 167 (2 x 1)(2 y 1) 167 Do x,y nguyên dương 0,5 (2 x 1);(2 y 1) Z (2 x 1);(2 y 1) Ư(167) Lập bảng tìm (x,y)=(0;83); (83;0) (8)