Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành. Tìm tọa độ đỉnh của hình chữ nhật. Tính thể tích của khối lăng trụ... b)..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 THPT _ NĂM HỌC 2011 - 2012 Mơn : TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(3 điểm)
Cho hàm số f(x) = x3 - 2x2 – (m - 1)x + m (C) a) Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hồnh b) Tìm m để
1 f(x)
x
với x
Bài 2:(4 điểm)
a) Giải phương trình sau : (2x 9x23) (4 x2)( 1 x x2 1) 0
b) Giải phương trình sau :
4
1
+ cos x - cos x + + cos x - cos x =
16 16 2
Bài 3: (3 điểm)
Chứng minh :
n 2n 2n
1
C < ( n ; n 1)
2 2n+1
Bài 4:(3 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, có tâm I thuộc đường thẳng (d) : x – y – = có hồnh độ I
9 x =
2, trung điểm cạnh giao
điểm đường thẳng (d) với trục hoành Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Bài 5: (5 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC vuông A Khoảng cách từ AA’ đến mặt phẳng BCC’B’ a, mặt phẳng (ABC’) cách C khoảng b hợp với đáy góc .
a) Tính thể tích khối lăng trụ
b) Cho a = b khơng đổi, cịn thay đổi Định để thể tích khối lăng trụ nhỏ nhất.
Bài 6:(2 điểm)
Tính giới hạn :
cotx cotx cotx cotx
0
A = lim[ ln (1 tanx) (1 tanx) (1 tanx) (1 tanx) ]
x
vô hạn dấu (1)
Hết
Giám thị coi thi khơng giải thích thêm
(2)Sở Giáo dục - Đào tạo Kú thi chän häc sinh giái tØnh Thõa Thiªn HuÕ Khối 12 THPT - Năm học 2011 - 2012
CHÍNH THỨC MƠN TOÁN
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Bài NỘI DUNG ĐIỂM
Bài 1 Cho hàm số f(x) = x3 - 2x2 – (m - 1)x + m (C) (3đ)
a) Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành. 1.0đ
f(x) tiếp xúc với trục hoành
f(x) = f (x)=0
3 2
x - 2x - (m -1)x + m = (a) 3x - 4x + 1= (b)
0.5
Từ (a) (b) ta có : 2x3 - 5x2 + 4x – = 0.
2
(x - 1) (2x - 1) =
x = m =
1
x = m =
-2
0.5
b) Tìm m để
1 f(x)
x
với x
2.0đ
1 f(x)
x
với x
3
x - 2x - (m - 1)x + m x
2
x(x - 1)(x - x - m)
2
2
1 m x - x -
x - x
0.5
Đặt t = x2 – x
2
t
m t
Khi x t 2 (vì x t = g(x) = x - x hàm số tăng g(2) = )
Xét
2
t 1
y = = t -
t t
với t 2
2
2
1 t +
y = + = >
t t
1.0
x
y’ +
y
3
Vậy
3 m
2
0.5
Bài 2 (4đ)
a) Giải phương trình: 3 (2x 9x23) (4 x2)( 1 x x2 1) 0 (1) 2.0 Ta thấy pt có nghiệm
1
( ;0)
2
(3) 2
2
3 (2 ( ) 3) (2 1)(2 (2 1) 3)
(2 3) (2 3) (1)
pt x x x x
u u v v
Với u = - 3x, v = 2x + 1; u,v >0
Xét hàm số f t( ) 2 t t4 3t2 với t>0
Ta có
3
4
2
'( ) 0 ( ) ( )
3
t t
f t t f u f v u v
t t
- 3x = 2x + 1
1
x
nghiệm phương trình
1.0
b) Giải phương trình sau :
4
1
+ cos x - cos x + + cos x - cos x =
16 16 2 (1)
2.0
2 2
2
1
(1) (cos x - ) + (cos x - ) =
4
1
cos x - + cos x - =
4
Đặt cos2x = t ; ≤ t ≤
1
t - + t - =
4
Xét trục Ox, điểm : M(t) ; A(
1 4) ; B(
3 4)
Suy : MA + MB =
1
1.0
Mà AB =
1
2, nên M nằm A B, suy
4 ≤ t ≤ 4.
1
cos x
2
π
+ kπ x + kπ
6 (l;k )
π
+ lπ x - - lπ
3
1.0
Bài
Chứng minh :
n 2n 2n
1
C < ( n ; n 1)
2 2n+1
(3đ)
Ta có :
n 2n
2n 2n n n n n
1 (2n)! 1.2.3.4 (2n - 1).(2n) 1.3.5 (2n - 1).2.4.6 (2n)
C = =
2 n!n! 2 (1.2.3.4 n).(1.2.3.4 n) (1.2.3.4 n).2 (1.2.3.4 n)
1.3.5.7 (2n - 1) =
2.4.6.8
(2n)
(4)Ta chứng minh :
1.3.5.7 (2n - 1)
<
2.4.6.8 (2n) 2n+1
Ta có :
2
2
(2k - 1) (2k - 1)
(2k - 1) 2k -
= = < =
(2k) (2k) 4k - 2k +
1.0
Sử dung quy nạp nhân BĐT vế theo vế ta có :
1.3.5.7 (2n - 1)
<
2.4.6.8 (2n) 2n+1 (đpcm)
1.0
Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, có tâm I thuộc đường thẳng (d) : x – y – = và có hoành độ I
9 x =
2 , trung điểm
của cạnh là giao điểm đường thẳng (d) với trục hoành Tìm tọa độ đỉnh của hình chữ nhật.
(3 đ)
Điểm I có I
9 x =
2 I thuộc đường thẳng (d) : x – y – =
9 I( ; )
2
Vì vai trị A; B; C; D nên giả sữ trung điểm M cạnh AD giao điểm (d) với trục Ox, suy M(3;0)
9
AB = 2IM = =3
4 4
1.0
ABC ABC
12
AB.AD = 12 AD = 2
AB
S
S
AD (d)
M AD
suy phương trình AD : x + y – = 0
1.0
Mặt khác MA = MD = Vậy tọa độ A; D nghiệm vủa hệ phương trình :
2
x + y - = x = 2 x = 2
y = y = -1
(x - 3) + y =
hc
Vậy A(2; 1), D(2; -1)
9 I( ; )
2 trung điểm AC BD nên C(7; 2) B(4; - 1)
1.0
Bài 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC vuông A Khoảng cách từ AA’ đến mặt phẳng BCC’B’ là a, mặt phẳng (ABC’) cách C khoảng b và hợp với đáy góc .
(5đ)
a) Tính thể tích khối lăng trụ. 3.0
Ta có AA’ || ( BCC’B’), kẻ AH BC (H BC ) AH ( BCC’B’)
vì (ABC) ( BCC’B’), : AH = d(AA’,( BCC’B’))
1.0
_A'
(5)= a
Ta có AB = (ABC’) (ABC) ; ABAC (gt) ; AC hình chiếu AC’ trên (ABC)
AB AC’ CAC sd((ABC),(ABC )) =
( góc nhọn)
Kẻ CK AC’; ta có : AB (ACC’) (ABC’)(ACC’) ; AC’ = (ABC’)(ACC’)
AK (ABC’) CK = d(C,( ABC’)) = b
Thể tích khối lăng trụ : V = ABC
1
.CC = AB.AC.CC
S
(1) Trong tam giác vuông ACK :
CK b
AC = =
sinα sinα
Trong tam giác vuông ACC’ :
b b
CC = AC.tanα = tanα
sinα cosα
1.0
Trong tam giác vuông ABC :
2 2
2 2 2 2
1 1 sinα b a sin α
= = - =
AB AH AC a b a b
2 2
ab AB =
b a sinα
Thay kết vào (1) ta có :
2 2
2 2
2 2
1 ab b b
V = AB.AC.CC =
2 b a sinα sinα cosα
ab =
2sinαcosα b a sin α
ab V =
sin2α b a sin α
1.0
b) Cho a = b khơng đổi, cịn thay đổi Định để thể tích khối lăng trụ nhỏ
nhất.
2.0
Với a = b :
3
2
a a
V =
2sinα.cos α
sin2α sin α
V nhỏ sin .cos2 lớn
Ta có:
2 2
2 2 2sinα + cos α + cos α
sinα.cos α = 2sin α.cos α.cos α ( )
2
(bđt Côsi)
1.0
_a _b _K _B
_A
(6)
2
8
sin cos
54
3
3a V
4
Ta có V nhỏ :
3
3a
V =
4 2sin2 = cos2
2
tan tan
2
arctan
2
Vậy
2
arctan
2
thể tích nhỏ
1.0
Bài Tính giới hạn :
cotx cotx cotx cotx
0
A = lim[ ln (1 tanx) (1 tanx) (1 tanx) (1 tanx) ]
x
v« hạn dấu (1)
(2)
Xột
cotx
cotx 2
1 0 0
0
A = lim[ ln (1 tanx) ] = lim[ ln(1 tanx) ]
cotx ln(1 tanx)
= lim[ ln(1 tanx)] = lim =
2 tanx
x x
x x
2
cotx cotx
2
2 0 0
2 2
0
A = lim[ ln (1 tanx) ] = lim[ ln(1 tanx) ]
cotx ln(1 tanx)
= lim[ ln(1 tanx)] = lim =
2 tanx
x x
x x
……… ………
n n
cotx cotx
2
n 0 0
n n n
0
A = lim[ ln (1 tanx) ] = lim[ ln(1 tanx) ]
cotx ln(1 tanx)
= lim[ ln(1 tanx)] = lim =
2 tanx
x x
x x
……… ………
1.0
Từ (1) ta có :
2 n
2 n
cotx cotx cotx
cotx
2 2
0
cotx cotx cotx
cotx
2 2
0
A = lim[ ln[(1 tanx) (1 tanx) (1 tanx) (1 tanx) ]]
= lim[ ln(1 tanx) + ln(1 tanx) ln(1 tanx) ln(1 tanx) + ]
= x
x
1 n
A A A A
(7)2 n
1
1 1 2
A = + + + + + = = 1
2 2 1
2
Vậy A =
Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa. Đáp án gồm 06 trang.