Thi thử đại học môn toán năm 2011-2012 - gv Nguyễn Sơn Tùng
www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng Mathematics and Youth Magazine Thử sức trước kì thi THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG NĂM 2011-2012 Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề GV ra đề :Nguyễn Sơn Tùng-Phước Bình-Tỉnh Bình Phước PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I.(2 điểm) Cho hàm số 4 22 2 1y x mx m= − + − 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =2 2) Tìm m để hàm số có ba cực trị và 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có chu vi bằng 4(1 65)+ Câu II(2 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác: ( )os2 os6 4 sin3 1 0c x c x x− + + =(1) 2) *Giải hệ phương trình sau: ( )( ){2 3 4 63 332 2 118 9 24 0 2x y y x xy x x y x+ = ++ + + + − − − = Câu III.(1 điểm) Tính tích phân sau: 680621 xI dxx+=∫ Câu IV. .(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. Tâm O có cạnh AB = a. đường cao SO của hình chóp vuông góc với mặt đáy ( ABCD) và có SO = a. tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB. Câu V. ** (1 điểm) Cho, ,x y z dương và . . 3x y z = Chứng minh rằng: ( )1119. . 3 *xy yz zxyxzx y z+ +≤ PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2 điểm) 1.cho đường tròn ( )Ccó phương trình ( ) ( )2 21 2 9x y− + − = xác định tọa độ các đỉnh B,C của tam giác đều nội tiếp đường tròn ( )C biết A( )2,2− . 2 .Lập phương trình mặt phẳng ( )α đi qua M( )1,2,3 và cắt 3 tia ox, ,oy oz lần lượt tại A,B,C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Câu VIb.(1 điểm) Tìm các số nguyên dương ,x y sao cho:z x yi= + thỏa mãn: 318 26z i= +. B. Theo chương trình Nâng Cao: CâuVIIa. (2 điểm) 1.cho hai đường thẳng : ( )1d:2 5 0x y− + =, ( )2d:3 6 1 0x y+ − = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( )2, 1− sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng ( )1d và ( )2d tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng ( )1d và ( )2d. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( )5,5,0 và đường thẳng d: 1 1 72 3 4x y z+ + −= =−. a.Tìm tọa độ điểm ,A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. b.Tìm tọa độ các điểm B,C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông tại C và BC=29 www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng CâuVIIb: (1 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thoa mãn :2 2 227a b c+ + =. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:3 3 3P a b c= + + ĐÁP ÁN THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI 2011-2012 giải đề: Nguyễn Sơn Tùng-Trường THPT Phước Bình CÂU I: 1. Đồ thị học sinh tự vẽ. 2. giải và biện luận điều kiện để hàm số có 3 cực trị… Gọi A( )0;2 1m − , B( )2; 2 1m m m+ − và C2( ; 2 1)m m m− + − là tọa độ các điểm cực trị . Ta có 4AB m m= +. 4BC m=. 4AC m m= +. Theo đề 4(1 65)AB BC AC+ + = + 42 4 4(1 65)m m m⇔ + + = + giải pt này bằng 2 cách : - cách 1: sử dụng tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số ta được m=4 -cách 2:trục căn thức ở tử số thu được m=4 thỏa yêu cầu bài toán. Câu II: 1.giải pt lượng giác: ( )os2 os6 4 sin3 1 0c x c x x− + + = (1) Ta có : 2 2cos2 2cos 1; os6 1 2sin 3x x c x x= − = − do đó (1) ⇔ ( )2 22cos 1 1 2sin 3 4sin3 4 0x x x− − − + + = ( )22 2 2 2 22cos 2sin 3 4sin3 2 0 cos sin 3 2sin3 1 0 cos sin3 1 0x x x x x x x x⇔ + + + = ⇔ + + + = ⇔ + + = {cos 0sin3 12 ,2xxx k k Zππ==−⇔ ⇔ = + ∈ 2.Giải hệ phương trình sau: ( )( ){2 3 4 63 332 2 118 9 24 0 2x y y x xy x x y x+ = ++ + + + − − − = Theo tôi đây là một bài hệ phương trình vô tỷ mà khá nhiều học sinh phải bó tay.Bài này nhằm phát hiện học sinh giỏi toán.(dành cho học sinh từ khá trở lên) Theo tôi nghĩ đây có lẽ là cách giải tối ưu nhất! Trình bày như sau: Từ pt (1) ( ) ( ) ( )( )( )( )22 2 2 432 2 3 6 2 2 2 2 42 yx 0 42 0 2 yx 0y xx y xx y x y x y x x y x=+ + + =⇔ − + − = ⇔ − + + + = ⇔ Dễ thấy (4) vn bởi 2 2 2 42 yxx y x+ + + luôn dương ,x y∀ từ (3) ta có 2y x= thay 2y x= vào (2) ta có phương trình: 32 3 3 218 9 24 0x x x x x+ + + + − − − =(5) Đk:39; )x∈ − +∞ pt đã cho ⇔32 3 3 218 3 9 6 15 0x x x x x+ − + + − + − − − = ⇔ 2232 2 2 33( 3)( 3) ( 3)( 3 9)( 3)( 2 5) 0( 18) 3 18 9 9 6x x x x xx x xx x x− + − + ++ + − + + =+ + + + + + 2232 2 2 33( 3) ( 3 9)( 3) ( 2 5) 0( 18) 3 18 9 9 6x x xx x xx x x + + +⇔ − + + + + = + + + + + + www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng ( 3) 0x⇔ − = hoặc 2232 2 2 33( 3) ( 3 9)( 2 5) 0( 18) 3 18 9 9 6x x xx xx x x+ + ++ + + + =+ + + + + +(*) Dễ thấy (*) vn bởi 23 9x x+ +=23 27 272 4 4x + + ≥ và 22 5x x+ +=( )21 4 4x + + ≥ Với 39; )x∈ − +∞ thì (*) luôn dương ⇒(*) vn vậy pt (5) có nghiệm 3x = . với 3x =⇒ 9y = Tóm lại hệ pt ban đầu có nghiệm ( ) ( ){ }, 3;9x y = CâuIII.(1 điểm) Tính tích phân sau: 680621 xI dxx+=∫ Câu tích phân này cũng ở mức độ trung bình. Đặt 6 2 6 51 1 2 6u x u x udu x dx= + ⇒ = + ⇒ =. Đổi cận: khi 2 3x u= ⇒ =. và khi 680 9x u= ⇒ = .Ta viết lại 6806 5621 x xI dxx+=∫ khi đó tích phân cần tính có dạng: ( ) ( )( )( )9 99 9 9 9 92 22 2 23 33 3 3 3 31 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81 2 ln 2 ln3 1 3 1 3 3 1 3 6 1 1 6 1 6 5u uu u uI du du du du u duu u u u u u+ − −− + −= = = + = + = + = +− − − + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ vậy 1 82 ln6 5I = + CÂU IV: HD: HS tự vẽ hình . dễ cm được khoảng cách giữa SC và AB chéo nhau bằng kc giữa AB và ( )SCD chứa SC song song AB .Gọi I,K là trung điểm của AB,CD thì ta có O là trung điểm của IK và IK⊥CD giải tiếp tục ta được đáp số là : ( ) ( )( )( )( )2 5, , 2 ,5ad SC AB d AB SCD d O SCD= = = Câu V. ** (1 điểm) Cho, ,x y z dương và . . 3x y z = Chứng minh rằng: ( )1119. . 3 *xy yz zxyxzx y z+ +≤ • Đây là một câu bất đẳng thức rất khó. Mang tính phân loại rất cao. Học sinh phải thực sự giỏi mới có thể hoàn tất câu này! Tôi xin trình bày cách giải : • CÁCH 1: lôgarít hóa hai vế của (*) theo cơ số 3 ta có: ( )3 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1log log log 3. log log log **3xy yz zxx y z x y zx y z xyz x y z x y z + ++ + ≤ ⇔ + + ≤ + + Đặt 3 3 3log ; log ; logu x v y w z= = = 3 , 3 , 3 ; . . 3 1.u v wx y z x y z u v w⇒ = = = = ⇒ + + =ta có : www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1** 33 3 3 3 3 31 1 1 1 1 10 ***3 3 3 3 3 3u v w u v wu v v w w uu v wu v wu v v w w u ⇔ + + ≤ + + + + ⇔ − − + − − + − − ≤ xét hàm đặc trưng ( )13tf t =.hàm số luôn nghịch biến t R∀ ∈, nên với ( ) ( )u v f u f v≤ ⇒ ≥ hay ( )1 1 1 103 3 3 3u v u vu v ≥ ⇒ − − ≤ tương tự ta cũng có :( )1 103 3v wv w − − ≤ và :( )1 103 3w uw u − − ≤ vậy (***) được chứng minh hoàn toàn . • CÁCH 2:Trước hết dễ dàng cm nhận xét : nếu ;a b c A B C≥ ≥ ≥ ≥ thì ta có: ( ) ( )( )3 aA bB cC a b c A B C+ + ≥ + + + +(1) Áp dụng (1) ta có thể thấy (***) được cm dễ dàng như sau : - giả sử 1 1 13 3 3u v wu v w≥ ≥ ⇒ ≤ ≤ vậy ( ) ( )1 1 1 1 1 13 . . .3 3 3 3 3 3u v w u v wu v w u v w dpcm + + ≤ + + + + Nếu 1 1 1;3 3 3u v wu v w≤ ≤ ⇒ ≥ ≥ chứng minh tương tự. bdt (*) được chứng minh hoàn toàn. A. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa: 1.Bài này có tới 4 cách để giải ở đây tôi trình bày cách giải tối ưu nhất: -Gọi 1A là điểm đối xứng với A qua I⇒ tọa độ điểm 1A ( )4,2 . Đường tròn ( )1C thỏa mãn: ( )1C có tâm 1A ( )4,2 và bán kính 3R = vậy ( )1C có pt:( ) ( )2 24 2 9x y− + − = khi đó : ( )C∩( )1C ={ },B C , tọa độ B,C là nghiệm của hệ:( ) ( )( ) ( ){2 22 21 2 94 2 9x yx y− + − =− + − =( ) ( ){2 25 3 3,22 21 2 96 15 05 3 3,22 2Bx yxC − − + − = − = + ⇔ ⇒ 2. Gọi giao điểm của ( )α với 3 tia ox, ,oy oz lần lượt là : ( ),0,0A a,( )0, ,0B b,( )0,0,C c (, ,a b c dương) mp( )α có pt theo đoạn chắn là:1x y za b c+ + =(1) do ( )α đi qua M( )1,2,3 nên thay tọa độ M vào (1) ta có: 1 2 31a b c+ + =. Thể tích tứ diện OABC là :1 1 1. . . .3 3 2OABCV B h OAOB OC= =16abc=. Áp dụng bdt Cauchy ta có:1 2 31a b c= + +36 27.63 1 27.6 27abc Vabc abc≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ Vậy thể tích đạt GTNN 27V⇔ ≥ ⇔1 2 3a b c= = ⇔3a=,6b=,9c=. Vậy ptmp( )α thỏa mãn yêu cầu bài toán là: www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng 6 3 2 18 0x y z+ + − = Câu VIb.(1 điểm) Tìm các số nguyên dương ,x y sao cho:z x yi= + thỏa mãn: 318 26z i= +. Ta có: ( ){( ) ( )( )3 22 333 18 2 3 3 23 2618 26 18 3 26 30x xyx yx iy i x y x xyy tx x− =− =+ = + ⇔ ⇔ − = −= ≠ đặt Ta được 133t x= ⇒ =,1y = vậy số phức thỏa đề bài là:3Z i= + B. Theo chương trình Nâng Cao: CâuVIIa. 1.Gọi 1k,2ktheo thứ tự là hsg của ( )1d và ( )2d, ta có 12k=,212k= − Nhận xét rằng 1 2. 1k k= −( ) ( )1 2d d⇔ ⊥ vậy gọi ( )d là đường thẳng qua P( )2.1−có phương trình ( )d:( ) ( )2 1 0A x B y− + + =…( ) ( )( )1,4g d dπ=… đáp số:( )( ),:3 5 0: 3 5 0d x yd x y+ − =− − = 2.Ôi đề dài quá đáp số: a. ( ),1,5, 2A− b.( )1,2,3B,( )3,5, 1C− hoặc( )5,8, 5B−,( )3,5, 1C− CâuVIIb: Áp dụng Bdt bcs hoặc Bdt cauchy .(bài này có tới 4 cách để giải,các cách còn lại xem như bài tập cho các em) ( )( )2 2 2 2 2 2.1 .1 .1 1 1 1a b c a b c+ + ≤ + + + +9a b c⇒ + + ≤ và ( )( )2 2 2 3 3 3 3 3 3. . .a b c a a b b c c a b c a b c+ + = + + ≤ + + + +( )3 3 3.9a b c≤ + + do đó:3 3 381a b c+ + ≥ vậy min P=81 Ra đề và làm đáp án : NGUYỄN SƠN TÙNG-Trường THPT Phước Bình –Tỉnh Bình Phước. Do đây là lần đầu tiên tôi ra đề và làm trên Microsoft Word nên không tránh được những sai xót nếu có thắc mắc gì về đề thi vui lòng liên hệ tác giả qua SDT:01659199199 www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các em học sinh ,gv toán đánh giá về đề thi.(hay,dở…ở phần nào?) để hoàn thiện hơn trong các lần ra đề tiếp theo. . Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng Mathematics and Youth Magazine Thử sức trước kì thi THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG NĂM 201 1-2 012 . ĐÁP ÁN THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI 201 1-2 012 giải đề: Nguyễn Sơn Tùng- Trường THPT Phước Bình CÂU I: 1. Đồ thị học sinh tự vẽ.