Đề thi thử đại học môn toán lần 5 năm 2010

Đề thi thử đại học môn toán lần 5 năm 2010

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2 ựiểm) Cho hàm số y 2x 3

x 2

−

=

− có ựồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ựồ thị của hàm số (C)

2 Tìm trên (C) những ựiểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Câu II (2 ựiểm)

1 Giải phương trình: 2( tanx Ờ sinx ) + 3( cotx Ờ cosx ) + 5 = 0

2 Giải phương trình: x2 Ờ 4x - 3 = x 5+

Câu III (1 ựiểm) Tắnh tắch phân:

√1  

√





Câu IV (1 ựiểm)

Khối chóp tam giác SABC có ựáy ABC là tam giác vuông cân ựỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) ựể thể tắch khối chóp lớn nhất

Câu V (1 ựiểm)

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

x y z+ + = CMR:

1

2x y z x+ + + +2y z x y+ + + +2z≤

PHẦN TỰ CHỌN: Thắ sinh chọn một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a.( 2 ựiểm )

1 Tam giác cân ABC có ựáy BC nằm trên ựường thẳng : 2x Ờ 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên

ựường thẳng : 12x Ờ y Ờ 23 = 0 Viết phương trình ựường thẳng AC biết rằng nó ựi qua ựiểm (3;1)

2 Trong không gian với hệ tọa ựộ đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P):

x Ờ 2y + z Ờ 2 = 0 và hai ựường thẳng :

(d) x 1 3 y z 2

+ = − = +

− và (dỖ)

x 1 2t

y 2 t

z 1 t

= +





= +



 = +

 Viết phương trình tham số của ựường thẳng (∆) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai ựường thẳng (d) và (dỖ) CMR (d) và (dỖ) chéo nhau và tắnh khoảng cách giữa chúng

Câu VIIa ( 1 ựiểm )

Tắnh tổng : S=C C50 57+C C15 47+C C52 37+C C35 27+C C54 17+C C55 07

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b.( 2 ựiểm )

1 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ựường tròn :

(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x Ờ 1)2 + ( y Ờ 2)2 = 25

2 Trong không gian với hệ tọa ựộ đêcác vuông góc Oxyz cho hai ựường thẳng:

(d)

x t

y 1 2t

z 4 5t

=





= +





và (dỖ)

x t

z 3t

=





= − −



 = −



a CMR hai ựường thẳng (d) và (dỖ) cắt nhau

b Viết phương trình chắnh tắc của cặp ựường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (dỖ)

Câu VIIb.( 1 ựiểm )

Giải phương trình : log 5 ( x 3 )

- Hết -

Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao ựề)

đáp án đề thi thử đại học lần 2 năm học 2009 - 2010

Môn thi: toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

I

2.0đ

1 1.25đ

Hàm số y = 2x 3

x 2

ư

ư có :

- TXĐ: D = R\ {2}

- Sự biến thiên:

+ ) Giới hạn:

x

Lim y 2

→∞ = Do đó ĐTHS nhận đường thẳng y = 2 làm TCN ,

lim y ; lim y

→ = ư∞ → = +∞ Do đó ĐTHS nhận đường thẳng x = 2 làm TCĐ

+) Bảng biến thiên:

Ta có : y’ =

( )2

1

x 2

ư

ư < 0 ∀ ∈x D

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (ư∞;2) và hàm số không có cực trị

- Đồ thị + Giao điểm với trục tung: (0 ; 3

2) + Giao điểm với trục hoành : A(3/2; 0)

- ĐTHS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng

0,25

0,25

0,25

0,5

2 0,75ủ

Lấy ủiểm M m; 2 1

m 2

+

 ∈( )C Ta cú : ( )

( )2

1

y ' m

= ư

ư Tiếp tuyến (d) tại M cú phương trỡnh :

ư

ư

Giao ủiểm của (d) với tiệm cận ủứng là : A 2; 2 2

m 2

+

0,25ủ

0,25ủ

8

6

4

2

-2

-4

y’

y

-

+∞

ư∞

2

-

2

2

Giao ủiểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)

2

1

m 2

−

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2

1

m 2

m 1

m 2

=



=

Vậy ủiểm M cần tỡm cú tọa ủộ là : (3; 3); (1; 1)

0,25ủ

II

2,0đ

1

1,0đ

Phương trỡnh ủó cho tương ủương với : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0

2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x

0

⇔  + −  + + − =

cosx sin x cosx.sin x 0 cosx sin x

− + = ⇔ = = α ⇔ = α + πk

• Xột : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 ðặt t = sinx + cosx với t∈ − 2; 2 Khi ủú phương trỡnh trở thành:

2

2

t 1

2

−

− = ⇔ − − = ⇔ = −

4

π

⇔ = ± β + πk

0,25

0,25

0,5

2

1,0đ

x2

- 4x + 3 = x 5+ (1) TXĐ : D = [− +∞5; )

1 ⇔ x−2 − =7 x+5

đặt y - 2 = x 5+ , ( )2

y≥2⇒ y−2 = +x 5

Ta có hệ :

2



2

2

x 2

y 2

 − = +



⇔  − = + ⇔

  + + =  = −

 



≥



0,25

0,25

0,5

III

1.0đ 1đ

ðặt t = x + 2

2

ðổi cận : Khi x = -1 thỡ t = 2 1− và khi x = 1 thỡ t = 2 1+

0,5

Do ñó :

( )

1 1 ln t 2 ln t 1 | 2 12 1 1

+

−

0,5

IV

2® 1.0®

Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC)

Ta có : ϕ =SCA; BC = AC = a.cosϕ ; SA = a.sinϕ Vậy

Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1)

Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 ( ) 1

f ' x 0 x

3

= ⇔ = ±

Từ ñó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một ñiểm cực trị là ñiểm cực ñại, nên tại ñó hàm số ñạt GTLN hay

( ) ( )

x 0;1

Max f x f

∈

=  =

Vậy MaxVSABC =

3 a

9 3, ñạt ñược khi sinϕ = 1

3 hay

1 arc sin

3

ϕ =

( với 0 <

2

π

ϕ < )

0,25

0,5

V 1.0®

x y z+ + ≤ x y z+ + ;

x+ y z+ ≤ y x z+ + ;

x y+ + z≤ z y x+ + + Lại có : 1 1 1( 1);

x y≤4 x+y

+

1 1 1( 1);

y z≤4 y+z

+

1 1 1( 1);

x z≤4 x+z

+ cộng các BðT này ta ñược ñpcm

1®

VIa

1®

ðường thẳng AC ñi qua ñiểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 ≠0) Góc của nó tạo với BC bằng góc của

AB tạo với BC nên:

=

5

−

+ ( )2 ( 2 2)

0,25

0,25

0,25

C S

ϕ

⇔9a2 + 100ab – 96b2 = 0

8

9

= −





⇒

 =

 Nghiệm a = -12b cho ta ñường thẳng song song với AB ( vì ñiểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác

Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0

0,25

2

1®

Mặt phẳng (P) cắt (d) tại ñiểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại ñiểm B(9 ; 6 ; 5) ðường thẳng ' cần tìm ñi qua A, B nên có phương trình:

x 9 t

y 6 8t

z 5 15t

= −





= −





+ ðường thẳng (d) ñi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2( )

v

+ ðường thẳng (d’) ñi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1( )

uur

Ta có :

• MM 'uuuuur=(2; 1;3− )

• ( ) (1 2 2 1 1 1)

1 1 1 2 2 1

MM ' u, u ' = 2; 1;3− ; ; = − ≠8 0

uuuuur r uur

Do ñó (d) và (d’) chéo nhau (ðpcm) Khi ñó :

( ) ( )

d d , d '

11

u, u '

uuuuur r uur

r uur

0,25

0,25

0,25

0,25

VIIa 1ñ

Chọn khai triển :

x 1+ =C +C x+C x + +L C x

x 1+ =C +C x+C x + +L C x =C +C x+C x + +L C x +L

Hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)5.(x + 1)7 là:

C C50 57+C C15 47+C C52 37+C C35 27+C C54 17+C C55 07 Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)12 là : C125

Từ ñó ta có : C C05 57+C C15 47+C C25 37+C C35 27+C C45 17+C C55 07 = C125 = 792

.0,25

0,25 0,25

0,25

VIb

2ñ

1

1ñ

ðường tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , ðường tròn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = 5 Nếu ñường thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠0) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) thì khoảng cách từ I1 và I2 ñến ñường thẳng ñó lần lượt bằng R1 và R2 , tức là :

( ) ( )

5A 12B C

15 1

=



 + +



Từ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C = ±3(A + 2B + C)

TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) ⇒ C = A – 9B thay vào (2) : |2A – 7B | = 5 A2+B2 ⇒21A2+28AB 24B− 2=0

14 10 7

21

− ±

Nếu ta chọn B= 21 thì sẽ ñược A = - 14 ±10 7, C = −203 10 7± Vậy có hai tiếp tuyến :

(- 14 ±10 7)x + 21y −203 10 7± = 0 TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) C 4A 3B

2

− +

⇒ = , thay vào (2) ta ñược : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 Phương trình này vô nghiệm

0,25

0,25

0,25

0,25

2

1®

a) + ðường thẳng (d) ñi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5( )

v

+ ðường thẳng (d’) ñi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3uur( − − )

Nhận thấy (d) và (d’) có một ñiểm chung là I 1; 0;3

−

  hay (d) và (d’) cắt nhau (ðPCM)

b) Ta lấy

u '

= = − − 

r

Ta ñặt : a u v 1 15; 2 2 15;5 3 15

= + = + − − 

b u v 1 15; 2 2 15;5 3 15

= − = − + + 

Khi ñó, hai ñường phân giác cần tìm là hai ñường thẳng ñi qua I và lần lượt nhận hai véctơ a, b

r r

làm VTCP và chúng có phương trình là :

15

7

= − + +





= − 



 = + − 



và

15

7

= − + −





= + 



 = + + 



VIIb 1®

ðK : x > 0

PT ñã cho tương ñương với : log5( x + 3) = log2x (1) ðặt t = log2x, suy ra x = 2t

5

2 ⇔log 2 + = ⇔ + =3 t 2 3 5

⇔  +   =

    (2) Xét hàm số : f(t) =

3

+

f'(t) =

ln 0, 4 3 ln 0, 2 0, t

+ < ∀ ∈

Suy ra f(t) nghịch biến trên R Lại có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghiệm duy nhất t = 1 hay log2x = 1 hay x =2 Vậy nghiệm của PT ñã cho là : x = 2

0,25

0,25

0,25

0,25