Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 08
Trang 1Trung tâm BDVH & LTĐH
QUANG MINH
Đề số 8
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x
x
1
-=
-
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: cos x cos x cos 3 x sin 2 x 0
2) Giải phương trình: 4x - x2- + 1 x + x2+ = 1 2
Câu III (1 điểm): Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): x = ( y - 1)2+ 1, (d): y = - + x 4 Tính thể tích
khối tròn xoay tạo thành do hình (H) quay quanh trục Oy
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, · ABC = 600, chiều cao SO của hình chóp bằng a 3
2 , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi M là trung điểm của AD, mặt phẳng (P)
chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K Tính thể tích khối chóp K.BCDM
Câu V (1 điểm): Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x2+ y2+ z2 = 1 Chứng minh:
y2 z2 z2 x2 x2 y2
3 3 2
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có diện tích lớn nhất
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 3 0 + + + = và điểm A(0; 1; 2) Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
Câu VII.a (1 điểm): Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các số đó có
bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3) Biết phương trình đường phân giác trong
(AD): x + 2 y - = 5 0, đường trung tuyến (AM): 4 x + 13 y - 10 0 = Tìm toạ độ đỉnh B
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d 1):
z t
23 8
10 4
ì = - + ï
= - + í
ï = î
và (d 2): x 3 y 2 z
- Viết
phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ), (d 2)
Câu VII.b (1 điểm): Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm:
x x
2 4
ì
í
î
============================
Trang 2Hướng dẫn:
I PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2) Gọi M(a; b) Î (C) Þ b a
a
1
-=
- (a ¹ 1)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y x a a
a
a 2
1 ( 1)
-Phương trình đwòng thẳng MI: y x
a 2
( 1)
-Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có:
a 0 ( 2 ( b 1) 3)
ë
Vậy có 2 điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3)
Đặt t x
2 6
p
= - ,
PT trở thành: cos t + cos2 cos3 cos 4 t + t + t = 0 Û 4 cos cos cos t t 5 t 0
t t t
2
5
2
é
= ê
ê
êë
Û
k t
2 2
p
p p
ê
= + ê
ê
ê = + êë
· Với t (2 m 1) x (4 m 2)
3
p
· Với t l x 4 2 l
· Với t 2 k x 11 4 k
2) Điều kiện: x
2 2
1 0 1
ï í
4
4 - 2- + 1 4 + 2- 1 ³- 28 - 2- 1 + 2- 1 = 2
Þ PT vô nghiệm
Câu III: Phương trình tung độ giao điểm của (C) và (d): ( y - 1)2+ = - 1 4 y Û y
y 2 1
é =
ê = -ë
V = 2 y2 y 2 y dy2
1
p
5
p
Câu IV: Gọi N = BM Ç AC Þ N là trọng tâm của DABD
Kẻ NK // SA (K Î SC) Kẻ KI // SO (I Î AC) Þ KI ^ (ABCD) Vậy VK BCDM. 1 KI S BCDM
3
=
Ta có: DSOC ~ DKIC Þ KI CK
SO CS = (1), DKNC ~ DSAC Þ
CK CN
CS = CA (2)
Từ (1) và (2) Þ KI CN CO ON CO CO
1
2 3
+ +
Ta có: DADC đều Þ CM ^ AD và CM = a 3
2 Þ SBCDM = DM BC CM a
2
Trang 3Þ VK.BCDM = 1 KI S . BCDM a3
y2+ z2 = 1 - x2 Ta cần chứng minh:
x
2 2
3 3 2
Thật vậy, áp dụng BĐT Cô–si ta có: 2 x2( 1 x2)2 2 (1 x2 x2)(1 x2) 2 x2 1 x2 1 x2 2 8
Þ x (1 x2) 2
3 3
x
2 2
3 3 2
y z
2
3 3 2
³
x z
2
3 3 2
³
x y
2
3 3 2
³
Dấu "=" xảy ra Û x y z 3
3
II PHẦN TỰ CHỌN
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) Tam giác OAB có diện tích lớn nhất Û DOAB vuông cân tại O Khi đó d O d ( , ) 5 2
2
Giả sử phương trình đường thẳng d: A x ( - + 2) B y ( - = 6) 0 ( A2+ B2 ¹ 0)
Ta có: d O d ( , ) 5 2
2
A2 B2
2
-=
24 5 55 47
24 5 55 47
-= ê ê
- +
ê = êë
· Với B 24 5 55 A
47
-= : chọn A = 47 Þ B = - - 24 5 55 Þ d: 47( x - - 2) 24 5 55 ( ( + ) y - 6) 0 =
· Với B 24 5 55 A
47
- +
= : chọn A = 47 Þ B = - + 24 5 55 Þ d: 47( x - + - + 2) ( 24 5 55 ( ) y - 6) 0 =
2) (P) có VTPT n (1;1;1) r = Giả sử A¢(x; y; z) Gọi I là trung điểm của AA¢ Þ I x y ; 1 ; z 2
Ta có: A¢ đối xứng với A qua (P) Û AA n cuøng phöông
I (P) ,
ìï ¢ í Î ïî
uuur r
Û
-ï
î
Û
x y z
4 3 2
ì = -ï
= -í
ï = -î
Vậy: A¢(–4; –3; –2)
Câu VII.a: Số các số gồm 6 chữ số khác nhau lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là: 6! (số)
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau mà có 2 số 1 và 6 đứng cạnh nhau là: 2.5! (số)
Þ Số các số thoả yêu cầu bài toán là: 6! – 2.5! = 480 (số)
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) Ta có A = AD Ç AM Þ A(9; –2) Gọi C¢ là điểm đối xứng của C qua AD Þ C¢ Î AB
Ta tìm được: C¢(2; –1) Suy ra phương trình (AB): x 9 y 2
- - + Û x + 7 y + = 5 0
Viết phương trình đường thẳng Cx // AB Þ (Cx): x + 7 y - 25 0 =
Gọi A¢ = Cx Ç AM Þ A¢(–17; 6) M là trung điểm của AA¢ Þ M(–4; 2)
M cũng là trung điểm của BC Þ B(–12; 1)
2) Giả sử A ( 23 8 ; 10 4 ; ) - + t1 - + t t1 1 Î d1, B (3 2 ; 2 2 ; ) + t2 - - t t2 2 Î d2
Trang 4Þ uuur AB = (2 t2- 8 t1+ 26; 2 - t2- 4 t1+ 8; t2- t1)
AB // Oz Û uuur r AB k cuøng phöông ,
Û t t
t t
í- - + =
t t
1 2
17 6 5 3
ì
= ï í
ï = -î
Þ A 1 4 17 ; ;
3 3 6
Þ Phương trình đường thẳng AB:
x y
1 3 4 3 17 6
ì
= -ï ïï
= í ï
ï = + ïî
Câu VII.b:
x x
2 4
ì
í
î
· (1) Û
x
3 - 5 - ³ 4 0 Đặt f(x) =
x
3 - 5 - 4 Ta có: f¢(x) =
x
2
- > " Î
Þ f(x) đồng biến Mặt khác f(2) = 0, nên nghiệm của (1) là: S1 = [2; +¥)
· (2) Û log 2(2[ a x - ) ] ³ log (2 x4+ 1) Û 2( a x - ) ³ x4+ 1 Û a x4 x 1
³ + + (*)
· Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm thuộc [2; +¥)
Đặt g(x) = x4 x 1
2 + + 2 Ta có: g¢(x) = 2 x3+ 1 > 0, "x ³ 2 Þ g(x) đồng biến trên [2; +¥) và g(2) =
21
2
Do đó (*) có nghiệm thuộc [2; +¥) Û a 21
2
³
Vậy để hệ có nghiệm thì a 21
2
³
=====================