Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 08

Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 08

Trung tâm BDVH & LTĐH

QUANG MINH

Đề số 8

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x

x

1

-=

-

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI

Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình: cos x cos x cos 3 x sin 2 x 0

2) Giải phương trình: 4x - x2- + 1 x + x2+ = 1 2

Câu III (1 điểm): Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): x = ( y - 1)2+ 1, (d): y = - + x 4 Tính thể tích

khối tròn xoay tạo thành do hình (H) quay quanh trục Oy

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, · ABC = 600, chiều cao SO của hình chóp bằng a 3

2 , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi M là trung điểm của AD, mặt phẳng (P)

chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K Tính thể tích khối chóp K.BCDM

Câu V (1 điểm): Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x2+ y2+ z2 = 1 Chứng minh:

y2 z2 z2 x2 x2 y2

3 3 2

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có diện tích lớn nhất

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 3 0 + + + = và điểm A(0; 1; 2) Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với A qua mặt phẳng (P)

Câu VII.a (1 điểm): Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các số đó có

bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3) Biết phương trình đường phân giác trong

(AD): x + 2 y - = 5 0, đường trung tuyến (AM): 4 x + 13 y - 10 0 = Tìm toạ độ đỉnh B

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d 1):

z t

23 8

10 4

ì = - + ï

= - + í

ï = î

và (d 2): x 3 y 2 z

- Viết

phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ), (d 2)

Câu VII.b (1 điểm): Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm:

x x

2 4

ì

í

î

============================

Hướng dẫn:

I PHẦN CHUNG

Câu I: 2) Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2) Gọi M(a; b) Î (C) Þ b a

a

1

-=

- (a ¹ 1)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y x a a

a

a 2

1 ( 1)

-Phương trình đwòng thẳng MI: y x

a 2

( 1)

-Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có:

a 0 ( 2 ( b 1) 3)

ë

Vậy có 2 điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3)

Đặt t x

2 6

p

= - ,

PT trở thành: cos t + cos2 cos3 cos 4 t + t + t = 0 Û 4 cos cos cos t t 5 t 0

t t t

2

5

2

é

= ê

ê

êë

Û

k t

2 2

p

p p

ê

= + ê

ê

ê = + êë

· Với t (2 m 1) x (4 m 2)

3

p

· Với t l x 4 2 l

· Với t 2 k x 11 4 k

2) Điều kiện: x

2 2

1 0 1

ï í

4

4 - 2- + 1 4 + 2- 1 ³- 28 - 2- 1 + 2- 1 = 2

Þ PT vô nghiệm

Câu III: Phương trình tung độ giao điểm của (C) và (d): ( y - 1)2+ = - 1 4 y Û y

y 2 1

é =

ê = -ë

V = 2 y2 y 2 y dy2

1

p

5

p

Câu IV: Gọi N = BM Ç AC Þ N là trọng tâm của DABD

Kẻ NK // SA (K Î SC) Kẻ KI // SO (I Î AC) Þ KI ^ (ABCD) Vậy VK BCDM. 1 KI S BCDM

3

=

Ta có: DSOC ~ DKIC Þ KI CK

SO CS = (1), DKNC ~ DSAC Þ

CK CN

CS = CA (2)

Từ (1) và (2) Þ KI CN CO ON CO CO

1

2 3

+ +

Ta có: DADC đều Þ CM ^ AD và CM = a 3

2 Þ SBCDM = DM BC CM a

2

Þ VK.BCDM = 1 KI S . BCDM a3

y2+ z2 = 1 - x2 Ta cần chứng minh:

x

2 2

3 3 2

Thật vậy, áp dụng BĐT Cô–si ta có: 2 x2( 1 x2)2 2 (1 x2 x2)(1 x2) 2 x2 1 x2 1 x2 2 8

Þ x (1 x2) 2

3 3

x

2 2

3 3 2

y z

2

3 3 2

³

x z

2

3 3 2

³

x y

2

3 3 2

³

Dấu "=" xảy ra Û x y z 3

3

II PHẦN TỰ CHỌN

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a: 1) Tam giác OAB có diện tích lớn nhất Û DOAB vuông cân tại O Khi đó d O d ( , ) 5 2

2

Giả sử phương trình đường thẳng d: A x ( - + 2) B y ( - = 6) 0 ( A2+ B2 ¹ 0)

Ta có: d O d ( , ) 5 2

2

A2 B2

2

-=

24 5 55 47

24 5 55 47

-= ê ê

- +

ê = êë

· Với B 24 5 55 A

47

-= : chọn A = 47 Þ B = - - 24 5 55 Þ d: 47( x - - 2) 24 5 55 ( ( + ) y - 6) 0 =

· Với B 24 5 55 A

47

- +

= : chọn A = 47 Þ B = - + 24 5 55 Þ d: 47( x - + - + 2) ( 24 5 55 ( ) y - 6) 0 =

2) (P) có VTPT n (1;1;1) r = Giả sử A¢(x; y; z) Gọi I là trung điểm của AA¢ Þ I x y ; 1 ; z 2

Ta có: A¢ đối xứng với A qua (P) Û AA n cuøng phöông

I (P) ,

ìï ¢ í Î ïî

uuur r

Û

-ï

î

Û

x y z

4 3 2

ì = -ï

= -í

ï = -î

Vậy: A¢(–4; –3; –2)

Câu VII.a: Số các số gồm 6 chữ số khác nhau lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là: 6! (số)

Số các số gồm 6 chữ số khác nhau mà có 2 số 1 và 6 đứng cạnh nhau là: 2.5! (số)

Þ Số các số thoả yêu cầu bài toán là: 6! – 2.5! = 480 (số)

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b: 1) Ta có A = AD Ç AM Þ A(9; –2) Gọi C¢ là điểm đối xứng của C qua AD Þ C¢ Î AB

Ta tìm được: C¢(2; –1) Suy ra phương trình (AB): x 9 y 2

- - + Û x + 7 y + = 5 0

Viết phương trình đường thẳng Cx // AB Þ (Cx): x + 7 y - 25 0 =

Gọi A¢ = Cx Ç AM Þ A¢(–17; 6) M là trung điểm của AA¢ Þ M(–4; 2)

M cũng là trung điểm của BC Þ B(–12; 1)

2) Giả sử A ( 23 8 ; 10 4 ; ) - + t1 - + t t1 1 Î d1, B (3 2 ; 2 2 ; ) + t2 - - t t2 2 Î d2

Þ uuur AB = (2 t2- 8 t1+ 26; 2 - t2- 4 t1+ 8; t2- t1)

AB // Oz Û uuur r AB k cuøng phöông ,

Û t t

t t

í- - + =

t t

1 2

17 6 5 3

ì

= ï í

ï = -î

Þ A 1 4 17 ; ;

3 3 6

Þ Phương trình đường thẳng AB:

x y

1 3 4 3 17 6

ì

= -ï ïï

= í ï

ï = + ïî

Câu VII.b:

x x

2 4

ì

í

î

· (1) Û

x

3 - 5 - ³ 4 0 Đặt f(x) =

x

3 - 5 - 4 Ta có: f¢(x) =

x

2

- > " Î

Þ f(x) đồng biến Mặt khác f(2) = 0, nên nghiệm của (1) là: S1 = [2; +¥)

· (2) Û log 2(2[ a x - ) ] ³ log (2 x4+ 1) Û 2( a x - ) ³ x4+ 1 Û a x4 x 1

³ + + (*)

· Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm thuộc [2; +¥)

Đặt g(x) = x4 x 1

2 + + 2 Ta có: g¢(x) = 2 x3+ 1 > 0, "x ³ 2 Þ g(x) đồng biến trên [2; +¥) và g(2) =

21

2

Do đó (*) có nghiệm thuộc [2; +¥) Û a 21

2

³

Vậy để hệ có nghiệm thì a 21

2

³

=====================