Bài 3: Chứng minh rằng nếu trong một lục giác lồi mỗi một trong 3 đường chéo chính nối các cặp đỉnh đối diện chia lục giác thành 2 phần tương đương thì 3 đường chéo này đồng quy.. Chứng [r]
(1)TOÁN HỌC ĐA GIÁC (2) I LÝ THUYẾT Đa giác 2 Đa giác đơn 3 Đa giác lồi Đường chéo đa giác Đa giác .3 II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC IV MỘT SỐ BÀI TOÁN Tính số cạnh đa giác Tính số đo góc đa giác Bài Toán liên quan đến đường chéo đa giác .13 Diện tích đa giác .17 4.1 Hàm diện tích: 18 4.2 Diện tích đa giác đơn 18 4.3 Diện tích các hình phẳng 18 a Hình đơn giản: 18 b Hình khả diện 18 c Các tính chất diện tích đa giác 18 4.4 Các công thức tính diện tích .18 Các khoảng cách đa giác .23 Một số bài toán khác 26 IV KẾT LUẬN CHUNG 28 1.Kết luận: 28 Lời cảm ơn .28 V TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 (3) I LÝ THUYẾT Đa giác Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n 3) A1A2…An+1 cho đỉnh đầu Aa và đỉnh cuối An+1 trùng nhau, cạnh đầu A1A2 và cạnh cuối AnAn+1 ( coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm trên đường thẳng Đa giác kí hiệu là A1A2…An Đa giác n cạnh còn gọi là n – giác Các điểm Ai gọi là các đỉnh đa giác , các đoạn thẳng A iAi+1 gọi là các cạnh đa giác Góc Ai-1AiAi+1 gọi là góc đa giác đỉnh Ai Đa giác đơn ĐN: đa giác đơn là đa giác mà bất kì cạnh không liên tiếp nào không có điểm chung Đa giác lồi ĐN: Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm phía đường thẳng chứa bất lì cạnh nào đa giác đó (4) Đường chéo đa giác ĐN: Một đoạn thẳng nối đỉnh không kề củamột đa giác gọi là đường chéo đa giác đó ĐL: Bằng đường chéo thích hợp n – giác đơn có thể phân hoạch thành đa giác có số cạnh bé n Đa giác ĐN: Đa giác là đa giác có tất các cạnh và các góc II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC VD1: Cho hình n_ giác lồi a Chứng mính tổng các góc hình n_giác (n - 2)1800 b Tính tổng các góc ngoài hình n_giác Giải: a Vẽ các đường chéo xuất phát từ định n_ giác đó Khi đó các đường chéo và các cạnh đa giác tạo thành n – tam giác Tổng các góc hình n_ giác tổng các góc (n - 2) tam giác và tổng (n - 2).1800 b Tổng số đo góc và góc ngoài đỉnh hình n_giác 1800 Tổng số đo các góc và góc ngoài n đỉnh hình n_giác n.1800 Tổng số đo các góc hình n_giác (n - 2).1800 Vậy tổng số đo các góc ngoài hình n_giác n.1800 – (n - 2).1800 = 3600 = 4v Tổng số đo các góc ngoài hình n_ giác không phụ thuộc vào số cạnh đa giác VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất Giải: A đường chéo (5) Cách 1: Từ đỉnh hình n_ giác ta có thể vẽ (n - 1) đoạn thẳng nối từ đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại đa giác (trong đó có đoạn thẳng trùng với hai cạnh đa giác) Qua đỉnh hình n_giác vẽ n – – = n – đường chéo Do đó hình n_ giác vẽ n(n - 3) đường chéo Vì đường chéo tính lần nên hình n_ giác có tất n(n 3) đường chéo Cách 2: Từ đỉnh hình n_ giác ta có thể vẽ n -1 đoạn thẳng nối đỉnh đó với n – đỉnh còn lại đa giác + Với n đỉnh ta vẽ n(n - 1) đoạn thẳng (trong đó đoạn thẳng tính lần) => số đoạn thẳng thực là n(n 1) + Mặt khác số này có n đoạn thẳng là cạnh hình n _ giác Vậy hình n_ giác có n(n 1) -n= n(n 3) đường chéo III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC Tính số cạnh đa giác Tính số đo góc đa giác Bài toán liên quan đến đường chéo đa giác Diện tích đa giác Các khoảng cách đa giác Một số bài toán (6) IV MỘT SỐ BÀI TOÁN Tính số cạnh đa giác Bài 1: Tổng số đo các góc đa giác n _ cạnh trừ góc A nó 5700 Tính số cạnh đa giác đó và A Giải: Ta có (n - 2) 1800 – Vì 00 < A < 1800 A = 5700 A = (n - 2).1800 – 5700 < (n - 2) 1800 – 5700 < 1800 0<n- 56 <1 56 <n< 63 Vì n N nên n = Đa giác đó có cạnh và A = (6 - 2) 1800 – 5700 = 1500 Bài 2: Tính số cạnh đa giác, biết đa giác đó có: a Tổng các góc tổng các góc ngoài ( đỉnh đa giác kẻ góc ngoài) b Số đường chéo gấp đôi số cạnh c Tổng các góc trừ góc đa giác 25700 Giải: a Gọi số cạnh đa giác là n (n > 3) + Tổng số đo các góc đa giác là (n - 2).1800 + Tổng số đo các góc ngoài đa giác là 3600 Theo giả thuyết ta có: (n - 2).1800 = 3600 n=4 Vậy số cạnh đa giác đó là n = b Gọi số cạnh đa giác là n (n > 3) Số đường chéo đa giác gấp lần sô cạnh đa giác nên ta có: n(n-3) = 2n n2 – 3n = 4n n = Vậy đa giác đó có cạnh c Tổng các góc trừ góc đa giác 25700 nên: (7) (n - 2).1800 A Vì 00 < A < 1800 A = 25700 = (n - 2).1800 – 25700 ( n 2)180 2570 180 14, n 15, Vì n N n = 15 Vậy đa giác đó có 15 cạnh Bài 3: Tỉ số số đo các góc đa giác là Tính số cạnh đa giác đó Giải: Gọi số cạnh đa giác là n,m (m,n Z, m,n > 2) Theo bài ta có: (n-2).1800 (m-2).180 : n m = Vì m Z, m > nên m + Z và m + > n–6<0 n < Khi đó m,n có trường hợp sau TH 1: n = n - = -2 m = m + = 12 TH2: n - = - m + = TH3: n - = - m + = n = m = n = m = Vậy các cạnh đa giác là và 20; và 8; và (8) Bài 4: Một mảnh giấy hình vuông cắt đường cắt thẳng thành mảnh Một hai mảnh lại cắt làm Ta làm nhiều lần Hỏi số lần cắt ít là bao nhiêu để có thể nhận đa giác 20 cạnh Giải: + Giả sử sau n lần cắt ta nhận 100 đa giác 20 cạnh Sau lần cắt số đỉnh tăng nhiều là đỉnh Vậy sau n lần cắt số đỉnh không vượt quá 4n + đỉnh + Sau lần cắt số mảnh giấy tăng thêm Sau n lần cắt số mảnh giấy là n + + Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh n + – 100 = n – 99 Tổng số đỉnh các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh + Ta có 4n + 100.20 + (n - 99) n 1699 Vậy số lần cắt ít là 1699 + Trước hết cắt 99 lần đường thẳng song song với cạnh hình vuông để 100 hình chữ nhật Sau đó với hình chữ nhật ta cắt đúng 16 lần để hình đa giác 20 cạnh Vậy tổng số lần cắt là: 99 + 100.16 = 1699 (lần cắt) Bài 5: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi cắt và không có đường thẳng nào đồng quy Chứng minh rằng: a Khi n 1 thì đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn = b Khi n 3 thì Pn phần nói trên có Qn = n - 3n + 2 n2 + n + 2 phần đa giác Chứng minh: a n = ta có: P1 = thành phần 1+ + 2 = 2, tức là đường thẳng chia mặt phẳng mệnh đề nói đúng với n = (9) Giả sử mệnh đề đúng có n – đường thẳng và ta chứng minh mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn, thoả mãn điều kiện bài toán Vì mệnh đề đúng n – đường thẳng d1, d2, …dn- nên n -1 đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn phần với Pn = (n - 1) + (n - 1) + n - n + = 2 Đường thẳng dn bị n – đường thẳng nói trên chia thành n phần (trong đó có n – đoạn thẳng và tia), ta gọi các phần đó là 1 , ,… Δ n Mỗi Δi nằm và D j nào đó và chia Dj thành phần số phần mà n đường thẳng phân chia là: Pn = Pn-1 + n= n - n + n2 + n + = 2 Vậy mệnh đề đúng với trường hợp n đường thẳng b Khi n = ta có Q3 = 32 - 3.3 + 2 đpcm = tức là số phần mà là đường thẳng (đôi cắt và không đồng quy) chia mặt phẳng thì có phần là tam giác Mệnh đề b đúng n = Bây ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – đường thẳng (n 4) và ta chứng minh b, đúng cho trường hợp n đường thẳng Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn (đôi cắt và không có đường thẳng nào đồng quy) Vì mệnh đề đúng n – đường thẳng d 1, d2, …dn -1 nên số phần chúng phân chia mặt phẳng có : Qn - = (n - 1) - 3(n - 1) + n - 5n + = 2 là : D1,D2 , Dk (với k= phần là đa giác mà ta kí hiệu các phần đó n - 5n + ) Đường thẳng dn bị n – đường thẳng nói trên chi thành n phần đó có n – đoạn thẳng mà ta ký hiệu là Δ1,Δ , Δ n-2 Mỗi đoạn 1 nằm (10) đa giác D j nào đó và chia D j thành đa giác, số đa giác mà n đường thẳng phân chia là: Q n = Qn-1 + n-2 = n -5n+6 n - 3n + +n-2= 2 Mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng đpcm Bài tập đề nghị: Bài 1: Chứng minh ngũ giác có cạnh và góc liên tiếp là ngũ giác Bài 2: Chứng minh đa giác cạnh, đường chéo lớn và nhỏ cạnh nó Bài 3: a Tìm số n cho mặt phẳng có thể phủ kín đa giác có n cạnh b Có tồn các ngũ giác để phủ kín mặt phẳng không? Bài 4: Cho lục giác ABCDEF Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ là trung điểm các cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA Chứng minh A’B’C’D’E’F’ là lục giác Bài 5: Tổng tất các góc và các góc ngoài đa giác là 22250 Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? Bài 6: Tìm số cạnh đa giác biết các đường chéo nó có độ dài Bài 7: Người ta đánh dấu đỉnh đa giác 1995 cạnh màu xanh đỏ Chứng minh luôn luôn tìm đỉnh đa giác là đỉnh tam giác cân đánh dấu cùng màu Tính số đo góc đa giác Bài tập mẫu: Bài 1: Tính số đo góc hình cạnh đều, cạnh đều, 15 cạnh Giải: (11) + Số đo góc hình cạnh là: (5 - 2).1800 = 1080 + Số đo góc hình cạnh là: (9 - 2).1800 = 1400 + Số đo góc hình 15 cạnh là: (15 - 2).1800 = 1560 15 Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE a Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm MP Chứng minh CD IK b Chứng minh tồn đường chéo ngũ giác tạo với góc không vượt quá 360 Giải: a Gọi F là trung điểm EC QM =// (EBt ; FN =// EB, QM = FN QMNF là hình bình hành Mà IQ = IN I là giao điểm hai đường chéo hình bình hành I,M,F thẳng hàng và IM = IF Ta có: Mà IM IF KM KP PE PD EF FC IK = PF = PF CD (1) (2) (12) Từ (1), (2) IK = CD b Lấy điểm bất kì mặt phẳng ngũ giác Vẽ năm đường thẳng song song với các đường chéo ngũ giác, chúng tạo thành 10 góc không có điểm chung, có tổng 3600 Tồn góc nhỏ 360 Bài 3: Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E thuộc miền hình vuông cho ΔCDE EAB = EBA B = 150 Chứng minh A 15o E Giải: F + Dựng Δ EFB cho F và C cùng phía EB FBC = 900 – ( EBA + EPF ) = 150 Δ ABE FCB AB = BC ABE = CBF = 150 + C D = CBF BE = PF AE = CF mà AE = EB = FB FCB = 150 Δ CBF FCE cân C = 150, FCB Δ CBF = 1500 cân F EFC CE = CB = CD Vậy = 1500 CEF = 150 ΔCDE Bài 4: Chứng minh đa giác lồi không thể có quá góc nhọn Giải: Giả sử đa giác lồi có K góc nhọn Nếu đa giác lồi có góc đỉnh đó là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng đỉnh đó là góc tù Vì đa giác có K góc nhọn thì có K góc ngoài là góc tù tổng các góc ngoài nó lớn 3600 (vô lí vì đa giác lồi bất kì tổng các góc ngoài 3600) (13) Vậy đa giác lồi không thể có quá góc nhọn Bài 5: Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất các cạnh và Hãy tính ABC = 2DBE ABC Giải: Ta có DBE ABC = +B B Vì EA = EB ΔEAB cân E = ABC = (1) 1 B EAB 1 B = 900 - BCD Vì CB = CD B = 900 - BCD EAB Thay vào (1) ta được: 90 ABC + 90 - 2 = AD + BCD = 3600 EAB + CDE + DEA = 5400 – 3600 = 1800 D + E = 900 - CDE + 900 - DEA = 900 Mặt khác ΔEAD cân E, ΔCDE cân D điểm đường AC = DE Vậy ABC ABC = 600 CE AD và CE cắt trung AEDC là hình bình hành AB = BC = CA ΔABC ABC = 600 (14) Bài 6: Lục giác ABCDEF có số đo các góc (tính theo độ) là số nguyên và A - B = B -C =C - D = D - E = E - F Giá trị lớn A có thể bao nhiêu? Giải: + Tổng các góc lục giác : (6 - 2).1800 = 7200 + Đặt α = A -B =B -C =D - E = E - F Ta có A +B +C +D + E + F = 7200 A + (A - α ) + (A - 2α ) + (A - 3α ) + (A - 4α ) + (A - α ) = 7200 6A - 15 α = 7200 2A = α + 2400 Do A là số tự nhiên và chia hết cho nên A 1750 Nếu A = 1750 thì α = 220 Vậy giá trị lớn A là 1750 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho lục giác ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm CD và DE Gọi I là giao điểm AM và BN a Tính b OID AIB (Với O là tâm lục giác đều) Bài 2: Lục giác lồi ABCDEF có tất các cạnh nhau, ngoài B+D+F A+C+E = Chứng minh các cặp cạnh đối lục giác này là song song Bài 3: Cho cân ABC (AB = AC) và A = 1000 M là điểm tam giác cho MBC = 100 và MCB = 200 Tính AMB Bài 4: Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh và các góc bé 1200 Chứng minh các góc ngũ giác lồi đó là góc tù (15) Bài 5: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE, BC và EF, CD và AE vừa song song vừa Lục giác ABCDEF có thiếy là lục giác hay không? Bài 6: Cho lục giác lồi có tất các góc Chứng minh hiệu các cạnh đối diện thì Bài 7: Cho ABC với AB = BC và ABC = 800 Lấy tam giác đó điểm I cho IAC = 100 và ICA = 300 Tính AIB Bài 8: Cho Δ ABC,kẻ các đường phân giác BD và CE Hãy xác định các góc A , B , C biết BDE = 240 và CED = 180 Bài 9: Cho hình vuông ABCD Ta lấy các điểm P, Q trên các cạnh AB và BC tương ứng cho BP = BQ Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B xuống cạnh PC Chứng minh DHQ = 1v Bài 10: Cho hình thang cân ABCD( BC AD) Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA a Chứng minh MP là tia phân giác góc QMN b Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì đường chéo để MNQ = 450 Bài 11: Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh đơn vị Gọi P và Q là điểm trên các cạnh AB và AD Chứng minh: Chu vi APQ 2 và QCP 45 Bài 12: Khoảng cách chân đường vuông góc hạ từ đỉnh hình thoi xuống hai cạnh nó ½ độ dài đường chéo hình thoi Tính các góc hình thoi Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M là trung điểm AH, K là trung điểm CD Tính BMK (16) C B + 200 Bài 14: Cho tứ giác lồi ABCD, biết , D 180 C 120 B , D a Tính các góc tứ giác b Các tia phân giác góc A và góc B cắt I CM: AIB C D Bài 15: Chứng minh tứ giác lồi có các góc không thì có ít góc là góc tù Bài 16: Cho tứ giác ABCD có BAC 25 , CAD 75 , ABD 40 , CBD 85 Tính số đo BCD Bài Toán liên quan đến đường chéo đa giác Bài tập mẫu: Trong hình n_ giác có tất n(n 3) đường chéo Từ công thức trên ta nhận rằng, cho số cạnh đa giác thì biết số đường chéo đa giác đó Ngược lại cho số đường chéo đa giác thì biết số cạnh đa giác đó Chằng hạn: 10(10 3) 35 + Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là + Nếu đa giác có số đường chéo là 35 thì số cạnh là bao nhiêu? Ta có n(n 3) = 35 n – 3n = 70 (n 17 ) ( ) n 10 2 Vậy đa giác đó có 10 cạnh + Nếu đa giác có số đường chéo là 36 thì số cạnh là bao nhiêu? Giải pt n(n 3) = 36 với n nguyên dương ta thấy phương trình này vô nghiệm, nghĩa là không tồn đa giác có số đường chéo đúng là 36 Nhận xét: Không phải bất lì số nguyên dương nào là số đường chéo đa giác (17) + Một câu hỏi đặt là có tồn đa giác có số cạnh số đường chéo không? Giải phương trình: n(n 3) = n(n 3) n n2 – 5n = = n ( n Z n 3 ) ta tìm câu trả lời n = Vậy đa giác có số cạnh số đường chéo là ngũ giác + Tương tự chúng ta có thể trả lời câu hỏi có tồn hay không đa giác có số đường chéo lớn gấp k lần số cạnh hay là tìm số cạnh đa giác biết số đường chéo nằm khoảng xác đinh VD: Cho 14 < n( n - 3) < 27 28 < n2 – 3n < 54 11 15 11 15 ( ) ( n )2 ( ) n 2 2 2 7<n<9 n=8 Bài 1: Tính số đường chéo củ hình cạnh đều, cạnh Giải: + Số đường chéo hình cạnh là: + Số đường chéo hình cạnh là 5(5 3) 5 9( - 3) = 18 Bài 2: Chứng minh ngũ giác lồi, tổng độ dài các cạnh nhỏ tổng độ dài các đường chéo ngũ giác đó Giải: Theo bất đẳng thức tam giác ta có: (18) AB + BC + CD + DE + EA < (AA’ + A’B) + (BB’ + B’C) + (CC’ + C’D) + (DD’ + D’E) + (EE’ + E’A) Mặt khác: AA’ + B’C < AC BB’ + C’D < BD CC’ + D’E < CE DD’ + E’A < DA EE’ + A’B < EB AB + BC + CD + DE + EA < AC + BD + CE + DA + EB Bài 3: Chứng minh lục giác lồi đường chéo chính nối các cặp đỉnh đối diện chia lục giác thành phần tương đương thì đường chéo này đồng quy Chứng minh: + Giả sử ABCDEF là lục giác đã cho B K H F c I E Ta có SADEF = SCDEF = SAFH Gọi H là giao điểm AD và CF D = SCDH SABCDEF AC // BF + Gọi K,I theo thứ tự là trung điểm AC và FD H KI và HI KI = FI CK = Vì KA = KC, FI = ID FD AC (19) SKICD + Mà = SACDF S EID = SEFD ; S EID + SDIKC + SBKC Mặt khác: SEDCB = + H’ = BE KI = SABCDEF SABCDEF SEDCB = SEDI + SDIKC + SBKC SBKH' = SEIH' BI // KE Ta có KE // IB; KC // IF, CE // BF (theo chứng minh trên) EKC đồng dạng + Mà BI // BE BI BIF EK BI KE = IF KC = = FD AC H'I H'K H'I FD H'K = AC Vậy Từ (1) , (2) H'I H'K = HI HK H H’ Vậy AD, BE, CF đồng quy Bài 4: Các đường chéo hình thang ngoại tiếp ABCD (AD//BC) cặt O Bán kính đường tròn nội tiếp các r2, r3, r4 Chứng minh r1 + r3 = r2 + r4 ΔAOD , ΔAOB , ΔBOC , ΔCOD là r1, Giải: B A O D C Giả sử ΔAOD , ΔAOB , ΔBOC , ΔCOD có chu vi là S1, P1, S2, P2, S3, P3, S4, P4 diện tích và nửa (20) S2 =S4 S1 S2 = S4 S3 P1 +P3 =P2 +P4 Dễ thấy: (1) (2) (3) Từ (1), (2) ta suy S1S3 = S22 = S42 r1 Do S = P.r nên ta có P1 P3 + S1 S3 P1 P3 + S1 S3 = = Mặt khác (4) P32 P1 = r2 + S4 = S1 +S3 r4 P2 P4 + S2 S4 P1 +P3 S4 P1 P3 + S1 S3 ΔAOD đồng P1 S3 P12 P3 + r3 = dạng P1 +P3 S1S3 (4) ΔCOD nên S1 S3 = P12 P32 P1 P3 + P3 S3 = + P3 = P3 + Vậy (4) đúng S3P12 S3 P32 r1 P32 P1 + (đúng) r3 = r2 + r4 đpcm S1 = P12S3 P32 (21) O B O A C M O D O Bài 5: Tìm các cạnh tứ giác bất kì, phía ngoài nó, dựng các hình vuông Chứng minh tâm các hình vuông đó là đỉnh tứ giác có các đường chéo và vuông góc với Giải: Gọi M là trung điểm AC + Dễ thấy ΔO1AB , ΔO BC , ΔO3CD , ΔO DA là các tam giác vuông cân Theo kết O1M = O2M, O1M O2M Suy và O3M = O4M, O3M ΔO1 NO3 = ΔO MO O1O3 = O2O4 và vì O4M O1M O M O M = O M O1MO3 =O MO =90 +O1MO O =MO O MO Từ các tam giác O1O2I và O1O2M suy O1I O2I tức là O1O3 O2O4 Bài tập đề nghị: Bài 1: Trên các cạnh AB,BC,CD,DA hình vuông ABCD lấy các điểm P,Q,R,S cho tứ giác PQRS là hình chữ nhật Chứng minh hình chữ nhật PQRS là hình vuông có các cạnh song song với các đường chéo hình vuông đã cho (22) Bài 2: Một hội nghị gồm 20 người ngồi xung quanh bàn Thật tình cờ người không biết không ngồi cạnh Hỏi có tất bao nhiêu cặp không biết (dựa vào bài toán xác định số đường chéo đa giác) Bài 3: Cho đa giác n cạnh (n > 3) Có bao nhiêu tam giác có cạnh là ba đường chéo đa giác Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD) a Đường thẳng m song song với đáy và qua giao điểm O hai đường chéo cắt các cạnh bên E và F Chứng minh: OE = OF b Đường thẳng n song song với đáy và cắt đường chéo H và K, cắt hai cạnh bên M,N Chứng minh NH = KN Bài 5: Chứng minh có vô số hình bình hành MNPQ nội tiếp hình bình hành ABCD cho trước (mỗi đỉnh hình bình hành MNPQ nằm trên cạnh hình bình hành ABCD) và các hình bình hành này có chung tâm đối xứng Diện tích đa giác 4.1 Hàm diện tích: là tập hợp tất các đa giác đơn mặt phẳng ánh xạ S: R+ (R+ là tập hợp tất các số thực dương) gọi là hàm diện tích nó thoả mãn các tính chất sau đây + Nếu đa giác H1 và H2 thì S(H1) = S(H2) + Nếu đa giác H phân hoạch thành các đa giác H1, H2,…,Hn thì n S(H) = S (H ) i 1 + Nếu V là hình vuông có cạnh thì S (V) = 4.2 Diện tích đa giác đơn Định lí: Nếu hàm diện tích tồn thì nó là (23) 4.3 Diện tích các hình phẳng a Hình đơn giản: Một hình H gọi là hình đơn giản nó là hợp số hữu hạn miền tam giác, đôi không có điểm chung b Hình khả diện + ĐN: Một hình X gọi là khả diện (có diện tích) với trước luôn luôn có các hình đơn giản G và H cho G X ε > cho H và S(H) – S(G) < ε + Diện tích hình khả diện: Diện tích S(X) hình X là giá trị S(X) = S (X) = S (X) c Các tính chất diện tích đa giác + Hai đa giác có diện tích + Nếu hai đa giác chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích nó tổng diện tích các đa giác đó + Hình vuông có cạnh đơn vị dài thì diện tích đơn vị vuông 4.4 Các công thức tính diện tích a Diện tích hình chữ nhật: S = ab b Diện tích hình vuông: S = a2 c Diện tích tam giác: + Tam giác vuông: S = + Tam giác bất kì: S = d Diện tích hình thang: S = ab a.h (a+b)h e Diện tích hình bình hành: S = a.h f Diện tích hình thoi: S = a.h = m.n (m.n là đường chéo) (24) * Diện tích hình có cạnh trở lên dựa vào việc phân chia thành các tam giác và các tứ giác đặc biệt để tính Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình vuông ABCD, qua giao điểm O đường chéo ta kẻ đường thẳng vuông góc MON và POQ cắt các cạnh AD,BC,CD,AB theo thứ tự M,N,P,Q Chứng minh đường thẳng này chia hình vuông thành tứ giác có diện tích Giải: + Vì AC,BD là các đường chéo hình vuông ABCD Q A M o 1 D B P N C Mà AC BD, MN nên B A = = C PQ nên = D = 450 O 2= O 4= O O OA = OB = OC = OD ΔOAM=ΔOBQ=ΔONC=ΔODP SOAM = SOBQ = SONC = SODP + Chứng minh tương tự ta có: SOAQ = SONB = SOPC = SOMD + Các tứ giác AMOQ, BNOQ,CNOP,DPOM đó tứ giác chia thành tam giác không có điểm chung nên diện tích tứ giác tổng diện tích tam giác đó Vậy SAMOQ = SBNOQ = SCNOP = SDPOM đpcm (25) A A A Bài 2: Trong lục giác lồi A1A2A3A4A5A6 có cặp cạnh đối song song với A A A Chứng minh rằng: SA1A3A5 = SA A A Giải: Ta có SA1A3A5 = SA A A = (S + S1) S: Là diện tích lục giác đã cho S1: diện tích tam giác T có các cạnh hiệu các cạnh đối lục giác và song song với chúng Để chứng minh ta đưa lục giác đã cho thành hình hành và tam giác T hình vẽ Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh tồn hình bình hành có diện tích diện tích tứ giác này Giải: Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm các cạnh DC, CB,BA,AD Gọi I là điểm đối xứng với F qua E, K là điểm đối xứng với G qua H (26) C F B G E A H I Ta có K + HA = HD HG = HKΔAHG=ΔDHK AHG =DHK SAHG = SDHK (1) EI = EF EC = EDΔCEF = ΔDEI CBF = IED SCEF = SDEI (2) BG=DK (3) ΔAHG = ΔDHK Mà BG = AG AG = DK FB=DI (4) ΔCEF = ΔDEI Mà FC = FB FC = DI BD HG //= EF GK //= IF EF//= BD HG //= + >> GFIK là hình bình hành GF = IK (5) Từ (3),(4),(5) ΔBGF = ΔIDK SBGF =SIDK (6) Từ (1), (2), (6) suy SABCD = SGFIK Vậy tồn hình bình hành có diện tích diện tích tứ giác đã cho (27) A F I E D B J G C Bài 4: Giả sử M là điểm bất kì tam giác ABC Qua M kẻ các đường thẳng DE,IJ,FG song song với BC,CA,AB (trong đó G, J BC, E, F CA; D, I AB) Chứng minh rằng: Giải: + Ta thấy ΔMDI đồng dạng ΔJGM (g.g) DM IM S = = MDI S JGM GJ MJ + Tứ giác BGMD là hình bình hành SBGMD S BG DM IM BGM SJGM SJGM GJ GJ MJ SMDI SJGM SBGMD SMDI SJGM = = + Chứng minh tương tự ta có: SCEMJ = SMEF SJGM SAIMF = SMDI SMEF (7) (8) (9) Từ (7), (8), (9) và áp dụng bất đẳng thức xy + yz + zx x2 + y2 + z2 ta có S BGMD SCEMJ SAIMF 2( S MID S JMG S MEF S JMG S MDI S MEF ) ( S MDI S MEF S JGM ) 3( S BGMD SCEMJ SAIMF 2( S MID S MEF S JMG S BGMD SCEMJ SAIMF ) 3( S BGMD SCEMJ SAIMF ) 2 S ABC S BGMD SCEMJ SAIMF S ABC Dấu “=” xảy và M là trọng tâm ABC Bài 5: Có viên gạch kích thước 20x20(cm) xếp liền và kẻ hình vẽ Tính diện tích phần bị gạch (28) A B I E H Giải: + Ta có EB EH D C F G ABE GHE Vì AB = HG BAE = HGE B = H = 90° E là trung điểm BH + Chứng minh tương tự ta có F là trung điểm CG + Mặt khác EH // FG; EH // HG EHGF là hình bình hành EG, HF + Do ΔIGH, EHG có chung đường cao hạ từ H, có đáy IG = I là trung điểm EG S HG SIGH = EHG = EH = 50(cm ) AB // QR 2 Bài 6: Ba tam giác nội tiếp Cho ABC nội tiếp KMN và KMN nôi tiếp PQR đó 2 AB // QR, BC // PQ, CA // RQ Biết S ABC = 3cm ; SPQR=12cm Tính SKMN = ? Giải: + Ta thấy ABC tương đương RQP ( Vì có các cạnh tương ứng song song) AB = RQ SABC = SRPQ Mặt khác AB // QR nên Δ KAB và hình thang ABQR có chung chiều cao (29) SAKB AB 1 = SABQR AB+QR 1+2 + Tương tự ta có SNAC S = MBC = SACPR SBCPQ SKMN = SABC + SKAB + SNAC + SNBC = SABC + (SABC + SABQR + SACPR + SBCPQ ) 3 2 = SABC + SPQR = + 12 = 6(cm ) 3 3 Vậy SKMN= 6cm2 * Tổng quát ta có S2MNK = SABC SPQR Bài tập đề nghị: Bài 1: Tứ giác lồi ABCD có các cạnh AB, CD chia thành 2n+1 đoạn Gọi MN là đoạn nằm chính AB và EK là đoạn nằm chính CD (đoạn thứ n+1 tính từ A và từ D) Chứng mính rằng: SMNKE = SABCD Bài 2: Cho tứ giác ABCD Trên tia đối các tia BA, CB, CD, AD lấy tương ứng các điểm M, N, P, Q cho MB = BA, NC = CB, PD = DC, QA = AD Chứng minh rằng: SMNPQ = 5SABCD Bài 3: Cho ngũ giác lồi ABCDE Gọi A1, B1, C1, D1, E1 là trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh SA1B1C1D1E1 > SABCDE Bài 4: tam giác ABC có góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE Gọi H, K là hình chiếu B, C trên đường thẳng ED Chứng minh rằng: a EH = Dk b SBEC + SBDC = SBHKC Bài 5: Cho hình chữ nhật có các kích thước là a, b Các tia phân giác các góc hình chữ nhật cắt tạo thành tứ giác Xác định dạng tứ giác đó và tính diện tích nó (30) Bài 6: Cho tứ giác lồi ABCD, E và F theo thứ tự là trung điểm AD và CD Biết BE + BF = a Chứng minh SABCD a2 Bài 7: Các cặp cạnh đối lục giác lồi ABCDEF là song song với Chứng minh rằng: a SACE SABCDEF b SACE = SBDF Bài 8: Một mảnh vườn hình tam giác có giếng D trên cạnh BC Hãy chia mảnh vườn thành phần có diện tích đường thẳng qua D Bài 9: Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm AB Qua A kẻ đường thẳng song song với ID cắt CD E, qua B kẻ đường thẳng song song với IC cắt CD F Biết diện tích tứ giác ABCD là 60cm2 Chứng minh: a SIED = SIAD b Tính S IEF c Gọi M là trung điểm EF Tính SAIMD Bài 10: Cho tam giác vuông có = 90°, BC = a, CA = b, AB = c A Về phía ngoài tam giác vẽ hình vuông BCPQ, ACGF, ABDE Chứn minh rằng: SDEFGPQ = 2b2 + 2c2 + bc Các khoảng cách đa giác Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình vuông ABCD Gọi I là điểm nằm A và B Tia ID và tia Cb cắt K kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI Đường thẳng này cắt đường thẳng BD L Chứng minh rằng: a DIL là tam giác cân (31) b Tổng 1 DI DK không đổi I thay đổi trên cạnh AB Giải: a)Xét tam giác vuông DAI và DCL có DC = DA CDL = IDA vuông b) ( cùng cộng với góc DAI = vuông DCL IDC 90 DI = DL ) DIL cân 1 1 + = + = = Const 2 2 DI DK DL DK DC2 Nhận xét: Với P AD, Q BC ma PQ // DL thì PQ DI, PQ = DI Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn, e đường cao AA 1, BB1, CC1 Gọi H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: HA1 HB1 HC1 + + =1 AA1 BB1 CC1 Kết trên có gì thay đổi ABC có góc tù? Vì sao? Giải: S ABC BC.AA1 S BHC BC.HA1 S BHC BC.HA1 HA1 S ABC BC.AA AA +) Ta có +) Chứng minh tương tự ta có các kết sau: SAHC HB1 SAHB HC1 = ; = SABC BB1 SABC CC1 (32) Vậy S +S +S S HA1 HB1 HC1 + + = BHC AHC HB = ABC =1 AA1 BB1 CC1 SABC SABC * Nếu tam giác ABC có góc tù, không tính tổng quát Ta giả sử A tù đó SABC = SBHC – SAHC - SAHD Do đó: S -S -S HA1 HB1 HC1 = BHC CHA AHB = AA1 BB1 CC1 SABC Chứng minh tương tự: Góc B tù thì: HB1 HA1 HC1 =1 BB1 AA1 CC1 Góc C tù thì: HC1 HB1 HA1 =1 CC1 BB1 AA1 Bài 3: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm tuỳ ý tam giác đến các cạnh nó là không đổi Giải: * Từ M tam giác ABC, ta kẻ đường // với BC, Cắt AB, AC tương ứng P, Q * Vì tam giác ABC nên tam giác APQ * Từ M kẻ đường thẳng // với AC cắt AB R Suy tam giác MPR (33) * Do đó MI, MJ, MK tương ứng là khoảng cách từ M đến BC, CA, Ab thì MI + MJ + MK = MI + ST + SP ( S là trực tâm tam giác APQ, T = PS AC) * Vậy MI + MJ + MK = MI + PT = AH = Const suy (đpcm) Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho lục giác lồi có tất các góc Chứng minh hiệu các cạnh đối diện thì Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm thuộc hình chữ nhật.Chứng minh rằng: MA + MB + MC + MD < AB + AC + Ad Bài 3: Cho tứ giác ABCD I, J là trung điểm các đường chéo AC, BD Chứng minh rằng: AC + BD + 2Ị < AB + BC + CD + AD Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, B=54° Trên AC lấy D cho DBC 18 Chứng minh rằng: BD < AC Bài 5: Ngũ giác ABCDE có các cạnh a nội tiếp (o) Các đường thẳng kẻ từ đỉnh ngũ giác và vuông góc với các cạnh ngũ giác tạo thành ngũ giác có cạnh b ( hình vẽ ) Giả sử cạnh ngũ giác ngoại tiếp (o) C Chứng minh rằng: a2 + b2 = c2 (34) Bài 6: Cho lục giác lồi A1A2…A6 Gọi B1,B2,…,B6 theo thứ tự là trung điểm các cạnh A1A2, …, A6A1 Chứng minh tam giác B1B3B5 và tam giác B2B4B6 có cùng trọng tâm Bài 7: Cho tam giác ABC Xác định vị trí M trên cạnh BC cho tổng khoảng cách từ B và C đến AM là lớn Một số bài toán khác Bài tập mẫu: Bài 1: Một tứ giác lồi có đường chéo chia tứ giác thành phần có diện tích Chứng minh tứ giác là hình bình hành Giải: +) Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt O Theo giả thiết: đường chéo AC chia tứ giác thành hai tam giác ABC và ACD có diện tích SABC = 1 BH.AC = SADC = DK.AC 2 Suy BH = DK +) Xét ΔvOBH, ΔvODK: BH = DK HBO = ODK (35) Suy tam giác vuông OBH = tam giác vuông ODK theo (g.c.g) Suy OD = OB +) Chứng minh tương tự ta có: OA = OC +) Tứ giác ABCD có đường chéo AC và BD cắt trung điểm đường nên là hình bình hành F A B E O D C Bài 2: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE; BC và EF; CD và AE vừa song song vừa Lục giác ABCDEF có thiết là lục giác hay không? Giải: Lục giác ABCDEF không thiết phải là lục giác Thật vậy: +) Trên mặt phẳng lấy điểm O tuỳ ý, vẽ tia OA, OC, OE cho độ dài đoạn OA, OC, OE đôi khác và độ lớn góc AOC, COE, EOA đôi khác +) Vẽ các hình bình hành OABC, OCDE, OAEF đó ta có lục giác lồi ABCDEF +) Rõ ràng AB//=ED; BC//=EF, CD//=FA ABCDEF không phải là lục giác Bài 3: Tìm tất các hình chữ nhật hình chữ nhật đó có thể cắt thành 13 hình vuông Giải: Giả sử cạnh hình chữ nhật chia thành m phần nhau, cạnh chia thành n phần ( m, n N) ta có m.n = 13 Vì 13 là số nguyên tố nên số m, n còn số 13 Vậy hình chữ nhật có cạnh và 13 thoả mãn đk đề bài (36) Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho tam giác ABCD có đường phân giác BB’, CC’ Chứng minh tam giác ABC cân Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy CD = BC + AD Chứng minh phân giác góc A và góc B cắt điểm thuộc đáy CD Bài 3: Chứng minh tứ giác lồi ABCD có AD = BC, góc A = góc B thì tứ giác đó là hình thang cân Bài 4: Cho tứ giác ABCD; E, F là trung điểm các cạnh AB, CD G, H, I, K theo thứ tự là trung điểm các cạnh AF, ED, BF, EC Chứng minh GHIK là hình bình hành Bài 5: Cho lục giác lồi tuỳ ý Nối trung điểm cạnh với các trung điểm cạnh kề với cạnh đối diện nó Ta thu tam giác Chứng minh trọng tâm tam giác đó trùng Bài 6: Cho lục giác lồi có tất các góc Chứng minh hiệu các cạnh đối diện thì băng IV KẾT LUẬN CHUNG 1.Kết luận: Qua quá trình nghiên cứu, tìm tòi để thực đề tài và hoàn tất đề tài, em rút số kinh nghiệm cho thân sau: Việc hệ thống các bài toán tính toán đa giác là công việc cần thiết và bổ ích Qua đó ta có kiến thức, kĩ các bài toán liên quan đến đa giác Các bài toán liên quan đến đa giác cho chúng ta cách nhì tổng quan Đồng thời ta thấy các bài toán này còn có thể ứng dụng vào sống thực tế để giải số khó khăn mà ta thường gặp Tuy nhiên: “Các bài toán liên quan đến tính toán đa giác” vô cùng phong phú và sinh động vì thời gian có hạn và kiến thức em còn hạn chế nên chủ yếu em (37) tập trung vào tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác còn đa giác có số cạnh lớn ít đề cập Và em xét đa giác lồi, còn đa giác không lồi em không đề cập đến Lời cảm ơn Đề tài em chủ yếu nghiên cứu tài liệu, tổng kết và thu thập tài liệu đã có cách giải sáng tạo cá nhân còn hạn chế Với thời gian và lực còn hạn chế em hy vọng đề tài giúp ích nho nhỏ cho người đọc Và em hy vọng qua đề tài này người yêu Toán có thái độ đúng đắn và sau sắc Đề tài này em thực giúp đỡ các thầy cô và các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! V TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học sơ cấp và thực hành giải toán – tác giả: Văn Như Cương Những bài toán chọn lọc cho học sinh lớp chuyên – tác giả: Đỗ Đức Thái Một số vấn đề phát triển hình học – tác giả: Vũ Bình (38) (39)