Đang tải... (xem toàn văn)
Xuất phát từ một bài toán đẹp về hai đường tròn tiếp xúc trong một đề thi, tác giả đã có nhiều nguồn cảm hứng và sáng tác được một số bài toán thú vị khác.. Bài viết nhỏ này là tổng hợp [r]
(1)tiếp xúc nhau Nguyễn Đăng Khoa ∗ Ngày 21 tháng 12 năm 2020
Tóm tắt nội dung
Xuất phát từ toán đẹp hai đường tròn tiếp xúc đề thi, tác giả có nhiều nguồn cảm hứng sáng tác số toán thú vị khác Bài viết nhỏ tổng hợp lại kết mà tác giả mong muốn giới thiệu bạn đọc
Bài toán (Warm up) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A (O)
cắt BC D Đường thẳng OD cắt AC, AB E, F Dựng hình bình hành AEXF lấy Y, Z
lần lượt giao điểm XE, XF với BC Chứng minh đường tròn (XY Z) tiếp xúc với đường tròn (O)
M C'
B'
P
Y Z
X F
E
D
C' B'
Z
Y
J X E
H'
L HA
H
O A
B C
O
C
D A
B
Lời giải Gọi P điểm đối xứng với A quaOD, tức DP tiếp tuyến (O)
Ta lấy BB0 CC0 đường kính đường trịn (O), ta chứng minh P, Y, B0 P, Z, C0
thẳng hàng
∗THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ
(2)Thật vậy, lấyM trung điểmBC ta có bốn điểmA, O, M, D nằm đường trịn đường kính DO
Ta có biến đổi
BY
Y C =
AE
EC =
AD
DC ·
sin∠ADE sin∠CDE =
AB
AC ·
sin∠ADO sin∠M DO =
AB
AC ·
AO
OM =
BP
P C ·
BB0
CB0
Từ theo bổ đề cát tuyến ta có P, Y, B0 thẳng hàng Tương tự ta có P, Z, C0 thẳng hàng Dễ dàng có B0C0 kBC nên (P Y Z) tiếp xúc với (O) P lại có
∠ZP Y = 180◦−∠BP C =∠BAC =∠ZXY,
nên (P Y Z) qua điểm X hay ta có đpcm
Bài tốn 2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) cóH trực tâm Một đường thẳng quaH cắt hai cạnhAC, AB tạiD, E.Đường thẳng qua Dvng góc vớiAC đường thẳng qua E vng góc vớiAB cắt X cắt BC điểmY, Z Chứng minh đường tròn (XY Z) tiếp xúc với đường tròn (O)
C' B'
Z
Y
J X E
H'
L HA
H
O A
B C
D
Lời giải Ta lấy DE cắtBC điểmL,H0 giao điểm thứ hai củaAH với(O)vàJ giao điểm thứ hai LH0 với (O)thì J điểm Anti-Steiner đường thẳngDE tam giác ABC
Do J E, ED đối xứng qua đường thẳng AB, ý EY ⊥ AB nên EY phân giác ∠DEJ, tương tự ta cóDZ phân giác∠EDJ
Từ ta có X, A tâm đường trịn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp tam giácJ DE nên ba điểmJ, X, Athẳng hàng Lập luận tương tự ta rút đượcB tâm đường tròn nội tiếp tam giác LEJ nên J B phân giác ∠EJ L
Suy ∠BJ E =∠BJ L =∠BJ H0 = ∠BAHA= ∠EY B, nên ta có tứ giác BEY J tứ giác
nội tiếp, rút được∠BJ Y = 90◦ Hoàn toàn tương tự ta có ∠CJ Z = 90◦ nên J, Y, B0 vàJ, Z, C0
thẳng hàng, BB0 CC0 đường kính (O)
(3)Bài tốn 3.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn(O)và kẻ đường kínhAA0.Một đường thẳng qua điểm A0 cắt AC, AB D, E Đường thẳng qua D vng góc với AB cắt đường thẳng qua E vng góc với AC X Đường thẳng XD, XE cắt BC Y, Z Chứng minh đường tròn (XY Z)tiếp xúc với (O)
K
Z Y
P X
E
A'
C' B'
Z
Y
J X E
H'
L HA
H
O A
B C
O
C
D A
B
D
Lời giải Ta lấy K giao điểm DX với AB P giao điểm thứ hai DE với (O)
Nhận thấy AA0 đường kính nên∠AP A0 = 90◦ vàX trực tâm tam giác ADE nênA, X, P
thẳng hàng
Ta thấy tứ giác ABP A0 AKP D hai tứ giác nội tiếp nên dễ dàng suy ∠BP K =
∠A0AD =∠OAC =∠KY B, tứ giác BP Y K tứ giác nội tiếp Vậy suy ∠BP Y = 90◦, tương tự ∠CP Z = 90◦, hay ta có đpcm
Bài toán Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt hai cạnh AC, AB D, E Đường thẳng qua D song song với OB cắt đường thẳng qua E song song với OC X DX, EX cắt BC Y, Z Chứng minh đường tròn
(XY Z) tiếp xúc với (O)
Lời giải Ta kẻ đường kính AA0 đường tròn (O) lấy P giao điểm thứ hai AX với
(O).Gọi Qlà giao điểm DE với BC
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với ba điểmD, E, Q thẳng hàng ta có
QB
QC =
EB
EA ·
AD
DC
Nhận thấy,
BE
DC =
BE
BO ·
CO
CD =
sin∠EOB sin∠AEO ·
sin∠ADO sin∠COD =
AE
AD ·
sin∠XDE sin∠XED
Lại áp dụng định lý Cevasin cho tam giác ADE với AX, EX, DX đồng quy ý
∠AEX =∠ADX tam giácABC cân A, ta có
sin∠XDE sin∠XED =
sin∠EAX sin∠DAX =
P B
(4)C'
Q
P
A' X
Z Y
D A
K
Z Y
P X
E
A' O
C
O
C A
B
D
B E
Vậy ta rút QB
QC =
P B
P C nên suy raP, Q, A
0 thẳng hàng Ta kẻ đường kínhCC0của đường trịn (O) giả sử P C0 cắt AB E0 ta áp dụng định lý Pascal cho điểm A, A0, B, C, P, C0
ta có O, E0, Q thẳng hàng Do E0 ≡E nên ba điểmP, E, C0 thẳng hàng
Vì EZ song song với CC0 nên ∠EZB = ∠C0CB = ∠EP B nên tứ giác BP ZE tứ giác nội tiếp
Từ ta rút được∠BP Z = 180◦−∠BEZ = 180◦−3
2∠A.Tương tự thì∠CP Y = 180 ◦−3
2∠A
Suy ∠Y P Z = 360◦−3∠A−∠BP C = 180◦−2∠A = 180◦−∠Y XZ Từ ta có P Y XZ nội tiếp dễ dàng suy đường tròn tiếp xúc với (O)tại P
Bài toán 4.1 (Tổng quát) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng qua O0 (O0 điểm AO) cắt hai cạnh AC, AB D, E Đường thẳng qua D song song vớiO0B cắt đường thẳng qua E song song vớiO0C X DX, EX cắt
BC Y, Z Chứng minh đường tròn (XY Z)tiếp xúc với (O)
Z X
Y E
O' R
Q P Z
X
Y
A'
A O
C O
C A
B
B
(5)Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Dựng hình bình hành ABA0C, đường thẳng qua A0 vng góc vớiOA cắtAC, AB X, Y.Dựng điểm Z choZX kOC
và ZY kOB Chứng minh đường tròn (XY Z) tiếp xúc với đường tròn (O)
R
Q P Z
X
Y
A'
C'
Q
P
A' X
Z Y
D A
O
C
O
C A
B
B E
Lời giải Ta lấy P, Q, R giao điểm thứ hai AA0, AB, AC với đường tròn (O)
Vì A0X ⊥AOvà O tâm (AP C) nên tứ giác P CXA0 tứ giác nội tiếp Suy
∠A0P X =∠A0CX =∠BAC =∠A0BY =∠QP A,
nên ta có ba điểm P, Q, X thẳng hàng Hồn tồn tương tự ta có R, P, Y thẳng hàng Ta có
∠XP Y =∠QP R =∠QA0R+∠P QA0 +∠P RA0 =∠BAC +∠P AB+∠P AC = 2∠BAC =∠BOC =∠XZY,
nên điểm P nằm đường tròn(XY Z)
Và ta có
∠CP X =∠CA0X =∠AY X =∠P Y X+∠AY P =∠P Y X+∠P A0B =∠P Y X +∠P AC
(6)Bài toán Cho tam giácABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Đường thẳng qua H vng góc với AO cắt AC, AB X, Y Lấy điểm Z cho XZ k OC
Y Z kOB Chứng minh đường tròn (XY Z)tiếp xúc với (O)
P
H'
Z
Y
X H
Z X
Y
E
O' A
O
C
O
C A
B
B
D
Lời giải Ta lấy H0 điểm đối xứng với H quaBC Lấy P giao điểm XY với BC
Do XY ⊥ AO nên ta dễ dàng có ∠AXH =∠ABC =∠AH0C nên tứ giác HXCH0 nội tiếp Tương tự ta có Y HH0B tứ giác nội tiếp
Đồng thời ta suy P H tiếp tuyến đường tròn (BHC) nên P H0 tiếp tuyến đường tròn (O) Ta có
∠XH0Y =∠XH0H+∠Y H0H =∠HCA+∠HBA= 180◦−2∠BAC = 180◦−∠XZY,
nên tứ giác XZY H0 nội tiếp Lại có
∠Y H0P =∠Y HB+∠BCH0 =∠Y HB +∠BCH0 =∠HCB+∠BCH0 =∠HCH0 =∠HXH0,
suy P H0 tiếp tuyến đường trịn (H0XY), hay ta có đpcm
Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A (O) cắt BC
T.Lấy A0 đối xứng vớiA qua BC gọi X, Y giao điểm T A0 với AC, AB Lấy điểm Z cho XZ kOC,Y Z kOB Chứng minh đường tròn (XY Z) tiếp xúc với đường tròn(O)
Hướng dẫn Tư tưởng chứng minh tốn giống tốn số
• Lấy D, P giao điểm thứ hai AA0 T D với (O) A0B, A0C cắt lại đường trịn (O)
tại Q, R
• Sử dụng định lý Pascal để cóQ, P, X R, P, Y thẳng hàng
• Biến đổi góc để cóP nằm đường trịn (XY Z)
(7)Một chuỗi tốn đẹp hai đường trịn tiếp xúc
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC: 2020 – 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC: 2020 – 2021
R Q
P Z Y
X A'
D T
O
C A
B
Bài toán (Tổng quát toán toán 4)Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn (O)
Lấy điểm K tam giác cho ∠KBA=∠KCA Một đường thẳng qua K cắt AC, AB
D, E.Đường thẳng quaD song song vớiBK cắt đường thẳng quaE song song vớiCK tạiX.Lấy
Y, Z giao điểm EX, DX với BC Chứng minh rằng(XY Z) tiếp xúc với đường tròn (O)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC: 2020 – 2021
B'
C'
T Z
Y X
D K
P
O
C A
B Q E
Lời giải Ta lấyBK, CK cắt lại đường tròn(O)tại hai điểmB0, C0 Theo định lý Pascal ta có
(8)Khi ∠EY B =∠C0CB =∠ET B nên tứ giác BEY T nội tiếp Tương tự ta có CT ZD tứ giác nội tiếp Từ biến đổi góc trước để có (XY Z) qua T tiếp xúc với (O)
tại T
Nhận xét Đây toán thể cho việc đơi lúc chứng minh tốn tổng qt cịn đơn giản nhiều với tốn cụ thể Trong tốn tính chất A, X, T thẳng hàng bảo tồn Cơng việc xin nhường cho bạn đọc
Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng qua O
cắt AC, AB D, E Dựng hình bình hành ADXE lấy XD, XE cắt BC Y, Z Kẻ đường
kính AA0 (O) đoạn AA0 lấy K cho AK = 2KA0 Chứng minh đường tròn
(XY Z) qua A0 tiếp xúc với đường trịn đường kính AK
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC: 2020 – 2021
M N
S
R
P Q
T K
A' Y Z
X
D O
A
B C
E
Lời giải Do O tâm tam giác ABC nên theo kết quen thuộc ta có BE
AE +
CD
DA = 1,
từ theo Thales ta có CY
Y B +
BZ
ZC =
Lấy M, N giao điểm OY với A0C vàOZ với A0B Khi ta có
CM
OB +
BN
OC =
CY
Y B +
BZ
ZC = 1,
suy raA0M =BN vàCM =A0N.Vậy ta có4COM =4A0ON (c.g.c) nên rút được∠ZOY = 60◦ ⇒∠Y A0Z = 60◦ Vậy nên đường tròn(XY Z) qua điểm A0
Ta dựng đường thẳng quaO song song vớiBC cắtAC, AB tạiP, Q Khi dễ dàng có(AP Q)
(9)Ta lấyR, S giao điểm OY, OZ với A0P, A0Q Dễ dàng biến đổi góc để có điểm
A0, R, Y, S, Z nằm đường trịn, kí hiệu làω Kết hợpO, P, Qthẳng hàng nên theo Pascal
ta có QY ZP cắt điểmT nằm ω
Do ∠QT P =∠Y T Z = 120◦ nên T thuộc đường tròn (AP Q), kết hợp P Q k ZY ta có ω tiếp xúc với (AK)tại T
Bài toán 10 (Bài toán rèn luyện) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) LấyD, E, K điểm đoạn AC, AB, DE Đường thẳng qua D song song với BK cắt đường thẳng qua E song song với CK X Lấy Y, Z giao điểm EX, DX với BC Gọi T giao điểm thứ hai AX với đường tròn (O) Chứng minh bốn điểm X, Y, Z, T đồng viên
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC: 2020 – 2021
Q
W T
Z Y
X O
C A
B E
D K
P
Bài toán 11 (Bài toán rèn luyện)Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O) Một đường thẳng qua O cắt AC, AB D, E Lấy A0 điểm đối xứng với A qua DE Đường tròn (A0DE)
cắt lại đường tròn (O)tại điểm thứ hai X LấyY, Z giao điểm XD, XE với BC Chứng minh đường tròn (XY Z)tiếp xúc với (O)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
SỔ ĐẦU BÀI
LỚP: 12 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC: 2020 – 2021
Y Z
X A'
D O
C B
A