DẠNG TOÁN LỚP 5: CHIA HÌNH CHO TRƯỚC THÀNH CÁC PHẦN THEO TỈ SỐ DIỆN TÍCH Tạp chí “Thế giới trong ta” số 3+4-2011 có bài viết của tác giả Thy Yên “Bồi dưỡng kiến thức hình học cho học sin[r]
(1)DẠNG TOÁN LỚP 5: CHIA HÌNH CHO TRƯỚC THÀNH CÁC PHẦN THEO TỈ SỐ DIỆN TÍCH Tạp chí “Thế giới ta” số 3+4-2011 có bài viết tác giả Thy Yên “Bồi dưỡng kiến thức hình học cho học sinh lớp dạng toán chia hình cho trước thành các phần theo tỷ số diện tích”, tác giả đã tìm tòi và đưa cách giải dạng toán ít gặp bổ ích cho việc: củng cố, khắc sâu, nâng cao kiến thức hình học cho học sinh lớp 5, giúp giáo viên tiểu học rèn luyện lực dạy giải toán hình học nói riêng và giải toán tiểu học nói chung Đọc xong bài viết, tôi thấy: Mỗi bài tập ví dụ đưa ra, tác giả đã có kết chia hình Làm vậy, bài toán không khác gì các bài toán hình học phổ biến toán (đại trà và nâng cao) là “cho hình đã chia, so sánh tỷ lệ diện tích các hình, tỷ lệ các đoạn thẳng, …” Tôi muốn góp thêm ý kiến với tác giả: đây là dạng toán ngược với dạng toán phổ biến trên Làm để có cách chia hình (theo yêu cầu đề toán) là yêu cầu cấn đạt giải bài toán dạng này Đây là dạng toán khó học sinh lớp Vì thực chất các bài toán dạng này không khác gì các bài toán dựng hình THCS, THPT Để giải các bài toán dạng này đòi hỏi người dạy, người học phải thành thục việc vận dụng linh hoạt các công thức tính diện tích các hình đã học, bật là mối quan hệ các yếu tố công thức Điều này tác giả đã nói rõ phần đầu bài viết Trở lại với ví dụ tác giả đã nêu bài viết: Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD, nối A với C Hãy tìm điểm E trên AC cho nối B với E và D với E (trong bài in là nối với N) thì hai đoạn thẳng BE và DE chia tứ giác thành hai phần có diện tích Bài giải: (Theo bài viết) Lấy E là trung điểm AC, nối E với B và E với D thì đoạn thẳng DE và BE chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích Thật vậy: … Yêu cầu bài toán: Hãy tìm điểm E trên AC cho … Phải “tìm” nào để lấy “E là trung điểm AC” là giải bài toán Việc chứng minh sau đó là phần bài giải là chứng minh “bài giải là đúng” không phải chứng minh “E là điểm AC thoả mãn yêu cầu bài toán” (Nếu lấy E là điểm AC mà chứng minh E không thoả mãn yêu cầu bài toán thì có nghĩa phải chọn E vị trí khác trên AC!) Bài giải (phải có phần “tìm” – theo yêu cầu đề ra): Giả sử điểm E đã chọn Theo bài ra: E phải thoả mãn để S(ABED) = S(BEDC) S(ABED) = S(ABE) + S(AED) S(BEDC) = S(BEC) + S(EDC) Muốn vậy, S(ABE) = S(BEC) và S(AED) = S(EDC) tam giác ABE và BED có chung đường cao hạ từ A B xuống AC; để S(ABE) = S(BEC) thì AE = EC => E là điểm AC Khi E là điểm AC thì, tương tự, ED chia tam B giác ADC thành phần có diện tích có diện tích E Vậy, điểm E cần tìm là điểm AC Thật vậy: (theo chứng minh tác giả Thy Yên) Bài toán : Cho tam giác ABC, hãy vẽ đường thẳng qua hai cạnh AB và AC chia tam C D giác đó thành hai phần (có diện tích nhau) Bài giải : « Trên cạnh AC lấy điểm N cho NC = AC Trên AB lấy điểm M cho MB = AB Nối M với N ta đoạn thẳng MN chia tam giác ABC thành phần có diện tích nhau, hay » Đã « tìm » đâu mà biết ví trí điểm cắt đường thẳng cần vẽ với AC và AB là N và (2) 1 AC và MB = AB » Theo tôi, bài giải phải thêm: Vẽ đường thẳng chia tam giác ABC thành phần, A cắt AC N, AB M Đoạn thẳng MN phải thoả mãn điều kiện: N S(AMN) = S(MNCB) = S Nối BN Nếu S(MNB) = S(BNC) thì: M (ABC) C 1 S(BNC) = S :2= S (ABC) (ABC) B Khi tam giác có cùng đường cao hạ từ B xuống AC, thì tỷ lệ cạnh đáy tỷ lệ diện tích 1 chúng: NC = AC (I) Khi đó S(MNB) = S(ABC) : = S(AMN) : = S 2 (AMN) 1 Tương tự (I), MB = AM = AB 1 Đường thẳng cần vẽ cắt AC N và AB M với NC = AC và MB = AB Thật vậy: (đã chứng minh) + Nhưng, S(MNB) ≠ S(BNC) thì ta có cách chia khác Cách 2: A Vẽ đường thẳng chia tam giác ABC thành phần, cắt AC N, AB M Đoạn thẳng MN phải thoả mãn điều kiện: N S(AMN) = S(MNCB) = S M (ABC) C Nối MC Giả sử S(MBC) = 2/5 S(MNCB) = S (ABC) B S(MBC) MB = => = tam giác ABC và MBC có chung đường cao hạ từ C xuống AB, S(ABC) AB 1 − Khi đó S(AMC) = 1− (S(ABC)) = S(ABC); S(MNC) = (S(ABC)) = S(ABC)) 5 10 S(MNC) NC (Hai tam giác MNC và AMC chung đường cao hạ từ M = : = => = S(AMC) 10 AC xuống AC, tỷ lệ cạnh đáy tỷ lệ diện tích) Vậy, M,N thoả mãn để đoạn MN chia S (ABC) thành phần M trên AB với MB = 1/5 AB; N trên AC với NC = 3/8 AC Chứng minh:tương tự – (Cũng có thể dựa vào kết giải để chứng minh gọn hơn) Tương tự vậy, bài toán “chia hình cho trước thành các phần theo tỷ số diện tích” có nhiều cách giải khác và cùng cho kết đúng theo yêu cầu bài toán Bài toán 4: Cho hình thang ABCD có đáy AB đáy CD Hãy chia hình thang ABCD thành tam giác có diện tích Trong bài viết, tác giả vẽ hình gợi ý các cách chia Mỗi hình vẽ là cách giải bài toán Nhưng cần chú ý: Mỗi học sinh có thể có nhiều cách chia trên hình; hình thay đổi (hình thang thường sang hình thang vuông) là điều kiện đã cho bài toán thay đổi, buộc phải có lời giải phù hợp với điều kiện bài toán, không thể coi là cách giải khác Có thể từ cách chia hình thang vuông, học sinh tìm cách chia khác với hình thang thường: M với « NC = (3) Một ví dụ khác: Hãy chia hình tam giác ABC thành phần: tam giác và tứ giác cho diện tích hình tam giác chia 6/35 diện tích tam giác ABC Để cho học sinh bình thường có thể “nhập cuộc” với dạng toán này, giáo viên phải bước trung gian (như giả định): Tam giác ABC chia hình bên, với AN=1/4AC, AM = 2/5 AB Hãy so sánh diện tích tam giác AMN với diện tích tam giác ABC A N HS tính S(ANB) = S ;S = S (ABC) (AMN) (AMN) M 2 × C S(AMN) = (S(ABC)) = S(ABC) = S(ABC) 20 10 GV: 2/20 hay 1/10 là tích phân số nào? ( ) B - Mỗi phân số chính là tỷ lệ đoạn thẳng nào? ( ) Bài giải: Giả sử tam giác ABC chia hình bên S(AMN) AM = (2 ∆ có chung đường cao hạ từ N xuống AB, tỉ lệ cạnh đáy = tỉ lệ diện tích) S(ABN) AB S(ABN) AN S(AMN) AM AN 6 = = × = = × = × (tương tự) S(AABC) AC S (ABC) AB AC 35 7 Vậy: Khi lấy M trên AB cho AM = 2/5 AB và lấy N trên AC cho AN = 3/7AC, nối MN ta chia ∆ABC thành phần: tam giác và tứ giác, đó diện tích hình tam giác chia 6/35 diện tích tam giác ABC Hoặc, tương tự lấy AM = 1/5 AB và AN = 6/7AC GV kích thích HS tìm nhiều cách chia trên hình tam giác xác định: - Em hãy phân tích 6/35 thành tích phân số?(6/35 = a/b x c/d với a<b; c<d) 3 = × = × = × HS: 35 7 Từ đây, GV hướng dẫn HS chọn cặp phân số để xác định cách chia Trên tam giác, từ cặp phân số xác định, Ví dụ: với 2/7 x 3/5, ta có cách chia: * Lấy A là đỉnh tam giác nhỏ chia: C1: : AN=2/7AC và AM = 3/5 AB; C2: AN = 3/5AC và AM = 2/7AB (Tương tự chọn B C làm đỉnh tam giác nhỏ chia) Với cặp phân số, bài toán có thể có 18 cách giải Với học sinh tiểu học, thiết phải hình vẽ với giả định (giả sử) theo yêu cầu bài toán; hướng dẫn học sinh huy động vốn kiến thức để khảng định giả định là đúng để chọn, loại bỏ giả định để chọn phương án đúng, không thể kinh nghiệm và kiến thức mình mà giáo viên “phỏng đoán” trước cho học sinh kết quả, yêu cầu học sinh chứng minh kết Như vậy, tác dụng dạng toán giảm nhiều (không muốn nói là mất) Với suy nghĩ mình, tôi góp ý kiến trao đổi và mong tác giả Thy Yên cùng các đồng nghiệp tiếp tục trao đổi info@123doc.org (4)