Ta có một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng BĐT Côsi rồi tìm cực trị của nó: * Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó...[r]
(1)Mét Sè øNG DôNG CñA BÊT §¼NG THøC C¤ SI ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức Bµi to¸n sè Cho a, b, c > Chøng minh r»ng 1 1 9 a b c a b c *Ph©n tÝch: Vế trái chứa a, b, c > và các nghịch đảo chúng Vì ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi Lêi gi¶i: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c và ta cã: 1 , , a b c a b c 3 abc 1 1 3 a b c abc Nhân vế hai bất đẳng thức trên ta đợc: 1 1 9 a b c a b c (®pcm) C¸ch 2: 1 1 b a c a b c 3 3 9 a b c a b a c c b a b c a b c DÊu "=" x¶y Bài toán số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức: a a b c 3 b c a 2 (a, b, c > 0) b a b c ab bc Bµi to¸n sè 1.2 Chøng minh r»ng: x2 2 ca 2 x R a x ¸p dông B§T C«si cho sè x2 +1 vµ x 8 6 x x > b ¸p dông B§T C«si cho sè x - vµ a b ab 1 4ab c ¸p dông B§T C«si ta cã a, b 0 a b 2 ab ab 2 ab Nhân vế BĐT trên ta suy đợc đpcm Bµi to¸n sè 1.3 Chøng minh r»ng: a a b b c c a 8abc a, b, c 0 (2) b a b b c c a 6abc 2 2 2 2 ¸p dông B§T C«si cho sè a , a b , b , b c , c , c a Bµi to¸n sè 1.4 a n sè d¬ng a1, a2, , an Chøng minh r»ng: n 1 a1 a2 an n a1a2 an b.NÕu a1, a2, , an d¬ng vµ a1a2 an = th× a1+ a2 + + an n ¸p dông B§T C«si cho n sè d¬ng trªn) Bài toán số Chứng minh bất đẳng Netbit a b c b c a c a b a, b, c > Gi¶i §Æt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi đó x, y, z > và a yz x xz y xy z ,b ,c 2 Ta cã: a b c 1 y z x x z y x y z b c a c a b 2 2 1 x y x z y z 2 y x z x z x 3 3 DÊu "=" x¶y vµ chØ x= y= z C¸ch kh¸c: a b c 1 x y z x y z x y z 6 b c a c a b 2 x y z 1 1 1 x y z 6 2 x y z Khai th¸c bµi to¸n: Bằng cách tơng tự, ta có thể chứng minh đợc các bất đẳng thức sau: với a, b, c dơng ta có: 2 + + ≥ b+c c+ a a+ b a+b+ c a2 b2 c a+b+ c + + ≥ b+c c+ a a+ b 1 Bµi to¸n sè 2.2 Cho x, y > Chøng minh r»ng (1) + ≥ x y x+ y Ph©n tÝch: Do x, y > nªn B§T (1) cã thÓ suy tõ B§T C«si hoÆc xÐt hiÖu Gi¶i C¸ch 1: Sö dông B§T C«sic cho sè d¬ng x, y: x+ y ≥ √ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy x+ y ⇔ ≥ xy x+ y 1 ⇔ + ≥ x y x+ y (3) C¸ch XÐt hiÖu cña vÕ: y ( x+ y )+ x ( x+ y ) − xy ( x − y )2 1 (1) ⇔ + − ≥0⇔ ≥0 ⇔ ≥ (2) x y x+ y xy ( x + y ) xy ( x+ y ) Do x > 0, y > nên BĐT (2) luôn đúng Vậy (1) luôn đúng (đpcm) Khai th¸c bµi to¸n: Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để chứng minh BĐT sau: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng: a+b +c 1 1 1 + + ≥2 + + đó p= p − a p −b p − c a b c Bµi tËp t¬ng tù: Bµi Chøng minh r»ng: ( 2 2 2 ) 2 a +b b + c a +c a +b + c + + ≤3 a+b c +b a+c a+ b+c Bµi Cho a, b, c, d lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh r»ng: 4 a b c d a+b+ c+ d + + + ≥ 2 2 2 2 ( a+b ) ( a + b ) ( b+ c ) ( b +c ) ( c +d ) ( c +d ) ( d +a ) ( d + a ) Bµi Cho ≤ a , b , c ≤ Chøng minh r»ng: 2 2 2 a +b + c ≤ 1+ a b+b c +c a Bµi Cho a > 0, b > 0, c > Chøng minh: a b c 1 + + ≥2 + − bc ac ab a b c Bµi Cho x, y, z > Chøng minh r»ng: x y+z + ≥x y+z Bµi Cho a, b > Chøng minh r»ng: a b −√a ≥ √b − √b √a Bµi Cho x, y > Chøng minh r»ng: x3 2x − y ≥ 2 x + xy+ y Bµi Cho x, y ≠ Chøng minh r»ng: x6 y6 x4+ y4 ≤ + y x Bµi Cho a, b > Chøng minh r»ng: √ab ≤ √ ab √a+ √ b áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT tam giác ( ( ) ) Bài toán số Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác a b c Chøng minh r»ng: + + ≥ b+c − a a+c −b a+b − c Gi¶i: C¸ch đặt x = b + c – a; y = a + c - b; z = a + b – c x+ y x+ z y +z Khi đó x, y, z > và a= ,b= ,c = 2 VÕ tr¸i: a b c x+ y y+ z z+ x + + = + + b+c − a a+c −b a+b − c z x y x y x z y z ¿ + + + + + ≥ ( 2+2+2 )=3 y x z x z y DÊu b»ng x¶y ( ( ) ) (4) ¿ x y + =2 y x x z + =2 z x y z + =2 z y ⇔ x= y =z ⇔ a=b=c ¿{{ ¿ C¸ch Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài cạnh tam giác nên ta có: a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > ¸p dông B§T C«si cho c¸c cÆp sè d¬ng: a+ b −c +a+ c − b =a √ ( a+b − c )( a+ c − b ) ≤ √ ( a+c −b )( b+ c − a ) ≤ c √ ( b+ c − a ) (a+ b −c )≤ b Nhận thấy các vế BĐT trên là các số dơng và BĐT này cùng chiều, nhân vế chúng ta đợc: ( a+b − c ) ( a+c −b )( b+ c − a ) ≤abc Ta cã: a b c abc + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c ( b+c −a )( a+c − b ) ( a+ b− c ) abc =3 abc Bài tập 3.1 Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác ABC, a ≤ b ≤ c Chøng minh r»ng: ( a+b +c )2 ≤ bc (*) Gi¶i 2 V× a ≤ b ⇒ ( a+ b+c ) ≤ ( b+ b+c ) =( b+ c ) để chứng minh (*) ta cần chứng minh: ( b+c )2 ≤ bc (1) ThËt vËy: ( b+ c )2 ≤ bc ⇔ b2 + bc+c ≤ bc ⇔ b2 − bc+ c ≤ bc ⇔ ( 2b − c ) ≤ bc Ta cã: 0<2 b − c ≤ 2b − b=b 0<2 b −c ≤2 c − c=c (®pcm) } ⇒ ( b −c ) ≤ bc Bµi tËp 3.2 Chøng minh r»ng √ √ a b c + 2 + 2 < √ (*) √b + c √c +a √ a + b Trong đó a, b, c là độ dài cạnh tam giác Gi¶i Ta cã b3 +c ≥ ( b +c )2 ThËt vËy: (5) ( ) ⇔ ( b3 +c ) ≥ b3 +c 3+ b2 c+3 bc2 3 2 ⇔ b +c −b c − bc ≥0 2 ⇔b (b − c )− c (b − c )≥ 2 ⇔ (b − c ) ( b − c )≥ ⇔ ( b − c ) ( b+ c ) ≥ Luôn đúng suy (1) đúng 3 a +c ≥ ( a+c ) T¬ng tù: a3 +b ≥ ( a+b )2 Do đó: a b c a b c + 2 + 2 < √3 + + (3) 2 b +c a+ c a+b √b + c √c +a √ a + b Mµ: ¿ 2a 2b 2c a b c 2a 2b 2c + + = + + <¿ b+ a+c + a+ b+c + a+ b+c =2 (4) b+c a+c a+ b 2(b +c) 2(a+c ) 2(a+ b) ¿ ¿ a+b >c Do: b+ c> a a+ c> b ¿{{ ¿ Tõ (3) vµ (4) suy ®iÒu ph¶i chøng minh C¸c bµi tËp kh¸c: Bài tập 3.3 Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác và có chu vi là Chứng minh rằng: a + b2 + c2 + 2abc < Bµi tËp 3.4 Cho a, b, c lµ c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng: a2 ( b+ c − a ) +b2 ( a+c −b )+ c ( a+ b −c ) ≤3 abc Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài cạnh tam giác 1 a+b +c 3 ≤6 Chøng minh r»ng: ( √ a+ √ b+ √ c ) + + − √a √ b √ c √ abc Bài tập 3.6 Giả sử a, b, c là độ dài cạnh tam giác 1 ( a −b )( b − c )( c − a ) Chøng minh r»ng ( a+b +c ) + + + ≥9 a b c abc Bµi tËp 3.7 Cho a, b, c, d > vµ a + b + c + d = Chøng minh r»ng: √ a+b+ c+ √b +c +d + √ b+d + a+ √ c+ d+ a ≤2 √ ( ( ) ) ( ( ) ) ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị * Víi a 0, b ta cã * Víi n sè kh«ng ©m: a1 a b 2 ab , dÊu “=” x¶y a = b a1 a2 an n n a1a2 an , a2 , …, an ta cã: DÊu “=” x¶y a1 = … = an * Tõ B§T trªn ta suy ra: + NÕu a.b = k (const) th× min(a + b) = k a=b k + NÕu a + b = k (const) th× max(a.b) = * Mở rộng n số không âm: a=b (6) + NÕu a1.a2…an = k (const) th× min(a1 + a2 + … + an) = n n k a = a = … = an k + NÕu a1 + a2 + …+ an = k (const) th× max(a1.a2…an) = n a = a = … = an n 1 x y VÝ dô: Cho x > 0, y > tho¶ m·n: x y T×m GTNN cña A = Bµi lµm: V× x > 0, y > nªn x y > 0, x > 0, > 0, 1 Cs 1 x y 2 x y y > Ta cã: 1 xy xy 4 A x y 2 x y 2 4 VËy A = x = y = Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng BĐT Côsi theo chiều ngợc nhau: ab + Dïng 1 a b để dùng điều kiện tổng x y từ đó đợc a b 2 ab “lµm gi¶m” tæng + Dïng x y để dùng kết xy 4 xy 4 Không phải lúc nào ta có thể dùng trực tiếp BĐT Côsi các số đề bài Ta có số biện pháp biến đổi biểu thức để có thể vận dụng BĐT Côsi tìm cực trị nó: * Cách 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phơng biểu thức đó VÝ dô: T×m GTNN cña A = 3x 3x Bµi gi¶i x §iÒu kiÖn: Ta cã: A = ( 3x – ) + ( – 3x ) + A2 3x 5 3x ( 3x – + – 3x ) + = DÊu “=” x¶y VËy max A2 = 3x – = – 3x max A = x=2 x=2 (7) Ta thấy A đợc cho dới dạng tổng thức Hai biểu thức lấy có tổng không đổi (bằng 2) V× v©y, nÕu b×nh ph¬ng A sÏ xuÊt hiÖn h¹ng tö lµ lÇn tÝch cña c¨n thøc §Õn ®©y cã thÓ vËn dông B§T C«si ab a b * C¸ch 2: Nh©n vµ chia biÓu thøc víi cïng mét sè kh¸c VÝ dô: T×m GTLN cña A = x 5x Bµi gi¶i: §iÒu kiÖn: x Ta cã: x x 9 x 3 x A 5x 5x 5x 10 x 30 x 3 x 18 DÊu “=” x¶y x 18 VËy max A = 30 x Trong cách giải trên, x – đợc biểu diễn thành 3 vận dụng BĐT Côsi tích này trở thành x 3 x có dạng kx có thể rút gọn cho x mẫu ( số đợc tìm cách lấy , số nöa tæng: có đề bài) * Cách 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng các biểu thức cho tích chúng là sè VÝ dô 1: ( T¸ch mét h¹ng tö thµnh tæng cña nhiÒu h¹ng tö b»ng nhau) x 16 x3 Cho x > 0, t×m GTNN cña A = Bµi gi¶i 16 16 16 x 16 x.x.x x x x x x3 x3 x3 x3 = A= 16 x x 2 x A 4.2 = ( dÊu “=” x¶y ) VËy A = x = VÝ dô 2: (T¸ch mét h¹ng tö chøa biÕn thµnh tæng cña mét h»ng sè víi mét h¹ng tö chøa biÕn cho h¹ng tử này là nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức đã cho) 9x Cho < x < 2, t×m GTNN cña A = x x Bµi gi¶i A 9x 2 x 9x x 2 2 7 2 x x 2 x x (8) DÊu “=” x¶y 9x 2 x x 2 x x x VËy A = 2 2 x x 2 x 1 Trong cách giải trên ta đã tách x thành tổng x Hạng tử x nghịch đảo với x nên vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích chúng là số * Cách 4: Thêm hạng tử vào biểu thức đã cho VÝ dô: Cho x, y, z > tho¶ m·n: x + y + z = x2 y2 z2 y z z x x y T×m GTNN cña P = Bµi gi¶i V× x, y, z > ta cã: x2 yz áp dụng BĐT Côsi số dơng y z và ta đợc: x2 yz x2 y z x 2 2 x yz yz (1) T¬ng tù ta cã: y2 xz y (2) xz z2 x y z (3) x y x2 y2 z2 x y x x y z y z z x x y xyz P x xy z 1 Cộng (1) + (2) + (3) ta đợc: x y z DÊu “=” x¶y x y z VËy P = Nhận xét: Ta đã thêm x2 yz yz vµo h¹ng tö thø nhÊt có đề bài, để vận dụng BĐT Côsi có thể khử đợc (y + z) Cũng nh hạng tử còn lại đề bài Dấu đẳng thức xảy đồng thời x y z (1), (2), (3) (9) x2 y2 z2 ; ; yz xz x y NÕu ta lÇn lît thªm (y + z), (x + z), (x + y) vµo thì ta khử đợc (y + z), (x + z), (x + y) nhng điều quan trọng là không tìm đợc các giá trị x, y, z để dấu các đẳng thức đồng thời xảy ra, đó không tìm đợc GTNN P ¸p dông c¸c c¸ch trªn cïng víi viÖc sö dông B§T C«si ta cã c¸c vÝ dô kh¸c nh sau: VD 1: Cho a, b, c > tho¶ m·n: a + b + c = 1 1 1 1 1 a b c T×m GTLN cña P = Ph©n tÝch: a, b, c > abc 3 3 abc Do đó có thể khai triển P ớc lợng theo BĐT Côsi Bµi gi¶i P 1 C¸ch 1: 1 1 1 a b c ab bc ac abc ¸p dông B§T C«si cho sè d¬ng ta cã: a b c 3 abc 3 abc abc 33 27 abc 33 (1) MÆt kh¸c: 1 3 3 27 ab ac bc abc 1 1 3 32 a b c abc (1) + (2) ta cã: C¸ch 2: (2) P 1 32 27 27 64 VËy P = 64 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a b c abc P a a b c b a b c c a b c abc 43 4 4 P a b c 43 64 abc P Tæng qu¸t: cho S = a + b + c 1 1 1 1 1 a b c t×m GTLN cña P = VD 2: T×m GTLN cña B = x x y y (10) Bµi gi¶i 1.( x 1) x 1 x x x x 2 y y y 2 y y y 2 x 1 2 y 2 4 max B = x 2 y 4 VD 3: Cho sè d¬ng x, y cã x + y = 1 x y T×m GTNN cña B = Bµi gi¶i x y = + xy Ta cã: B = CS 2 x y 4 xy 8 B 9 xy x y VËy B = 1 2 x y z VD 4: Cho x, y, z > tho¶ m·n: T×m GTNN cña P = xyz Bµi gi¶i 1 y z 2 1 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z Ta cã: 2 1 y zx 1 x 1 z 2 1 z xy 1 x 1 y P xyz T¬ng tù: yz 1 y 1 z 1 x y z VËy max P = VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + |x| + TÝnh gi¸ trÞ cña M biÕt x, y lµ sè tho¶ m·n x.y = vµ biÓu thøc |x + y| đạt GTNN Bµi gi¶i: Ta cã: CS x y 4 xy 4 x y 2 (11) xy 1 x y 2 Min |x + y| = x = y, đó Khi x = y = hoÆc x = y = - + Khi x = y = th× M = + Khi x = y = - th× M = 17 VD 6: Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m a1, …, a5 tho¶ m·n: a1 + … + a5 =1 T×m GTLN cña A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 Bµi gi¶i Ta cã: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 (a1 + a3 + a5)(a2 + a4) a1 a3 a5 a2 a4 a1 a3 a5 a2 a4 1 a1 a3 a5 a2 a4 2 A a1 a2 a1 a3 a5 a2 a4 a3 a4 a5 0 VËy max A = x a x b VD 7: Cho a, b > T×m GTNN cña A = x ( x > 0) Bµi gi¶i x a x b A x x ax bx ab ab a b x x x A a b ab A a b ab ab x x ab x DÊu “=” x¶y VD 8: T×m GTNN cña hµm y = x x víi < x < Bµi gi¶i 2 2x 2x 1 x x 1 x x 1 x x Ta cã: y = ( < x < 1) 3 = 2x 1 x 2x 1 x 3 3 2 1 x x 1 x x (12) DÊu “=” x¶y 2x x x 21 1 x x VD 9: Cho a, b > cho tríc a b 1 x y Các số x, y > thay đổi cho Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN Tìm S theo a, b Bµi gi¶i a b a b bx y 1 S x y a b x y y x x y Ta cã: S ab bx ay a b ab y x S a b ab Mµ a b 1 x y ay bx x y x a ab y b ab VD 10: T×m GTNN cña P = x 16 x3 56 x 80 x 356 x2 x Bµi gi¶i x 16 x 56 x 80 x 356 x2 2x Ta cã: P = CS 256 x x 5 64 x x = Suy P = 64 x = hoÆc x = - Bµi tËp t¬ng tù x y 2 BT 1: Cho x, y > tho¶ m·n x y = T×m GTLN cña A = x y x y BT 2: T×m GTLN cña c¸c biÓu thøc sau: (13) A x x2 B yz x xz y xy z xyz x2 1 ; x 0 x2 8 D 3x x2 E x 1 x2 x 1 F ; x 0 x x 1 x2 x 1 G x x 1 x H ; x 0 x 2000 C 1 2 a b c BT 3: Cho a, b, c > tho¶ m·n T×m GTLN cña biÓu thøc Q = abc BT 4: Cho x, y > tho¶ m·n x + y = T×m GTNN cña biÓu thøc P= 1 1 1 x y BT 5: T×m GTNN cña c¸c biÓu thøc sau: x2 4x A ; x 0 x x2 B ; x 1 x x2 x C x2 x 1 1 D x ; x x x2 E x 1 ; x 1 x 1 x F ; x 0,1 1 x x x G ; x 1 x BT 6: Cho x, y > th¶o m·n x y 4 T×m GTNN cña biÓu thøc (14) 1 1 x y y x E= BT x x ; x 6 : T×m GTLN vµ GTNN cña A = x, y x y 2 BT 8: T×m GTLN cña A = x 1 y 1 biÕt BT 9: Cho a, b > tho¶ m·n a b = 216 T×m GTNN cña S = 6a + 4b 1 b BT 10: Cho a, b > tho¶ m·n a b b a T×m GTNN cña A = a 3 ab 6 BT 11: Cho a, b > tho¶ m·n a a2 b2 T×m GTNN cña S = BT 12: Cho x, y, z tho¶ m·n xy + yz + zx = 100 T×m GTNN cña A = xyz x a 1 y a BT 13: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× tÝch xy nhËn GTLN nÕu x, y, a lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n x8 a x BT 14: T×m GTNN cña A = biÕt a > 0, x > BT 15: Với giá trị nào số dơng a thì biểu thức D đạt GTNN ? a1000 a 900 a 90 a A= BT 16: T×m GTNN cña C = 1995 a x100 10 x10 2004 x xy y ; x 0, y 2 x xy y BT 17: T×m GTLN cña E = BT 18: T×m GTLN cña tÝch BiÕt x1 x2 xn ; n 2 xi ; i 1, n n vµ x12 x22 xn2 1 x BT 19: T×m GTLN cña B = x 1995 ; x 0 (15) x BT 20: T×m GTNN cña N = x2 y x y x x2 BT 21: T×m GTLN cña H = BT 22: T×m GTLN cña biÓu thøc: víi biÕt r»ng x, y > x 1 x y z 1 x 1 y 1 z y z x z x y P= Với x, y, z biến đổi nhng luôn thoả mãn f x, y x BT 23: T×m GTNN cña xy x y x2 BT 24: T×m GTLN cña BT 25: T×m GTLN cña x2 1 x 8 x x, y, z 1 víi x > x, y x y ; (16)