đề thi hsg toán 9

Lưu ý: Mọi đáp án đúng đều cho điểm tối đa theo thang điểm..[r]

PHÒNG GIÁO VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HỒNG LĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn

(Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút

PHẦN I GHI KẾT VÀO BÀI LÀM: Câu 1: Tính giá trị biểu thức A biết A =

1 1

1 2 2 3 3  120 121 Câu 2: Cho hình vng kích thước x tạo từ 16

hình vng nhỏ kích thước 1x1 vẽ bên : a) Hỏi có hình vng? b) Hỏi có hình chữ nhật ? Câu 3: Cho dãy số: 12, 5, 25, 29, 85, 89,

a) Tìm số

b) Tìm số thứ 2016 dãy số

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A AH đường cao tam giác ABC (H thuộc BC) Tính cạnh BC biết diện tích tam giác AHB, AHC 54cm2 96cm2

Câu 5: Cho số nguyên a, b, c biết a + b+ c = 20172106 Hỏi a3 + b3 + c3 chia dư mấy? Câu 6: Phương trình

1 x

x 



có nghiệm là:

Câu 7: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo tỷ số đồng dạng Khi tỷ số diện tích tam giác DEF tam giác ABC ?

Câu 8: Tam giác ABC vuông A có đường cao AH Biết AB = 2cm, CH = 4cm Tính BC

Câu 9: Cho xy5 Giá trị nhỏ biết thức 2x23y2 bằng:

Câu 10: Hàmsố bậc y = ax + b qua điểm M(1; 3) N(2; 4) Tìm a b? PHẦN II

Câu 11:

a) Rút gọn biểu thức

 3  3

2

2

1 1

2

x x x

M

x

 

    

 

 



 

b) Giải phương trình

4

4

9 x x  x   Câu 12:

a) Tính tổng

4 1.3 3.5 12 5.7 240 119.121

1 3 5 119 121

S         

    

b) Cho số a, b, c đôi phân biệt thỏa mãn a b c2   b a c2   2016

Tính giá trị biểu thức: M=c2(a+b) .

Câu 13:

1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh: a) BAC BOI ( với I trung điểm BC)

b) SinA SinB SinC  2 cos AcosBcosC

2 Cho  , góc nhọn thõa mãn:  900 Chứng minh  

sin   sin osc cos sin  ./.

HƯỚNG DẪN CHẤM: PHẦN I (Mỗi câu 1,0 điểm)

Câu 1: A = 10

Câu 2: a) 12223242 30 b) 100

Câu 3: a) Quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau tổng bình phương chữ số của số đứng trước : Do số hạng là: 145 =8292

b) 42

Câu 4: BC = 25 cm Câu 5: Dư 1

Câu 6: x

Câu 7:

Câu 8: BC = cm Câu 9: 30

Câu 10: a = 1; b = 2 PHẦN II.

Câu 11 (4 điểm)

a) ĐKXĐ   1 x

Ta có

2

2 1 1

1

2

x x x x x

x        

   

      

3 2

1x  1 x  1x 1 x 2 1 x

-Suy

    2

2

1 1

1

2

x x x x x

M x

x

       

 

 

b) ĐKXĐ

1 x

Với điều kiện phương trình cho

4

4

9 x x  x  

4

4

9

4

x x

x x

x x

 

      

   (*)

(

1 x

nên x+ >0)

Nếu x 5 4x 5 3x 1 4.5 5  3.5 9  x5 phương trình (*) vơ nghiệm

Nếu

5 4.5 3.5

3 x x x

           

5 x   

phương trình (*) vơ nghiệm

Dễ thấy x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 12

(3 điểm)

a) Ta có :

3

4 1.3

2

1

 



 ;

3

8 3.5

2

3

 



 ; …;

3

240 119.121 121 119

2 119 121

 

Do

4 1.3 3.5 12 5.7 240 119.121

1 3 5 119 121

S        

     =

3 3

121 11

665

2

 

 

b) Từ giả thiết a b c2   b a c2   2016 a b c2    b a c2   0

a b ab bc ca   ab bc ca

         (vì a khác b).

Khi đó:2016a b c2   a ab ac(  ) a bc( )c ab( )c ac bc(  )c a b2(  )

Vậy  

2 2016

M c a b 

Câu 13 (3 điểm)

N

M 2

1

x

O

I C

B

A

(Hình 1)

1) (Hình 1) a) Vì tam giác ABC nhọn nên tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm tam giác ABC tía AO nằm hai tia AB AC nên

  

1

BACA A

Kẻ tia Ox tia đối tia OA, Vì OA = OB = OC nên

        

1 2

1 1

Ox ; COx Ox COx

2 2

A  B A   BACA A  B 

 

  

1

Ox COx BOC

2 B

  

(1)

Mặt khác: Do I trung điểm BC, OB = OC nên OI tia phân giác BOC

suy

 1 BOI  BOC

(2)

Từ (1) (2) ta suy BAC BOI

b) Từ chứng minh ta suy OI BC ta suy ra

 

2 BI BC SinA SinBAC SinBOI

OA R

   

 

os os os OI OI

C A C BAC C BOI

OA R

   

Chứng minh tương tự ta có : ; os

AC OM

SinB C B

R R

 

; ; osC

2

AB ON

SinC C

R R

 

Do đó: SinA SinB SinC  2 cos AcosBcosC

 

4

AB AC BC OI OM ON

     

Thật vật: Áp dụng bất đẳng thức cạnh tam giác OMN, OIN, OMI đường trung bình tam giác ABC ta có:

2 2.( )

2 2.( )

2 2.(

BC MN OM ON AC IN ON OI AB IM OI OM

  

  

  

Cộng chiều bất đẳng thức ta

 

4

AB AC BC OI OM ON

     

(đpcm) 2)

K

H C

B A

(Hình 2)

Vẽ tam giác ABC có BAC ;BCA,  900nên tam giác ABC tù B (Hình 2)

Vẽ đường cao AH, BK tam giác ABC, tam giác ABC có B tù nên H nằm đoạn BC, K nằm A C Ta có ABH   

Ta có

 sin( ) AH SinABH

AB  

  

; ; os ; ; os

KB AK KB CK

Sin c Sin c

AB AB BC BC

       

Do đó: sin sin os c  cos sin 

AH BK CK AK BK AB AB BC AB BC

  

.( )

AH BC BK AK CK AH BC BK AC

  

 

2SABC 2SABC

  (luôn đúng). Do ta có điều phải chứng minh