DE THI HSG TOAN 8

Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.[r]

ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút Bài 1:( điểm) Cho biểu thức M = [ x2 + + − x x +2 x −4x a) Rút gọn M ] :( 10− x x − 2+ x +2 ) b)Tính giá trị M |x| = Bài 2:(4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 – 5x2 + 8x – 11 b) x  x  c )( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 d )(x2+x+1)(x2+x + ) –12 Baøi : (4ñieåm ) 3 a)Cho hai số thực x, y thoả mãn x  3xy 10 và y  x y 30 2 Tính giá trị biểu thức P = x  y 1   2 b) Chứng minh :Nếu a b c vaø a + b + c = abc thì 1   2 a b c Bài 5) (6 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC E và F a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N là trung điểm EF c) Chứng minh S2FDC  16 SAMC.SFNA Bài 6) ( điểm) Chứng minh a2 b2 c a b c + + ≥ + + b2 c a2 c a b Đáp án và biểu điểm Bài 1: a) Rút gọn M x2 + + M= x − x − x x +2 [ M= −6 x +2 ( x − 2)(x +2) ] ( = : với số a, b, c khác 10− x x − 2+ x +2 2−x )=[ x − + x (x − 2)( x +2) 3( x −2) x+2 ] : x +2 ( điểm) b)Tính giá trị M |x| = |x| = ⇔ x= 2 x = - = = Với x = ta có : M = 2− 2 1 = = Với x = ta có : M = ( điểm) 2+ 2 Bài 2: a) ) x3- 5x2 + 8x - = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 ( điểm) 11 11 10 10 8 6 5 b) x  x  = (x +x +x )+( –x -x –x )+(x +x +x )+( –x –x -x ) +(x +x4 +x ) +(–x3–x2 –x ) + (x2+x+1) = x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1) =(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) (1 điểm) c) Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 điểm) 2 d) ñaët y= x +x +1 suy x + x+ 2= y+1 ta :M =y(y+1) – 12 =y2+y –12 =y2-3y +4y –12 =(y-3)(y +4) Thay y =x +x +1 Ta :M =(9x2+x –2 )(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5) (1ñiểm) Bài 3: 2  x3  3xy  100 => x6  x y  x y 100 a) Ta coù: x  xy 10 => vaø y  x y 30 => y  3x y  900 4 => y  x y  x y 900 2 x  y 1000  x  y 10 Suy ra: x  x y  3x y  y 1000 => 1 (   ) 4 b) Ta coù : a b c 1 1 1    4  2.(   ) a b c ab bc ca 1 a b c    4  a b c abc ù 1   2 b c Vì a+b+c = abc neân ta coù : a Bài : DF DC  a : Lý luận : AM MC ( Do AM//DF) (1) DE BD  AM BM ( Do AM // DE) (2) DE  DF BD  DC BC   2 AM BM BM Từ (1) và (2)  ( MB = MC) + DF = AM ( 2,25điểm)   ( điểm ) ( điểm)  DE b: AMDN là hình bành hành NE AE  Ta có ND AB NF FA DM DM AE     ND AC MC BM AB NE NF   ND ND => NE = NF c:  AMC và  FDC đồng dạng ( 2.25 điểm) F S AMC  AM     S FDC  FD   FNA và  FDC đồng dạng S FNA  NA     S FDC  FD  E 2 S AMC  ND  S FNA  DM       S FDC  FD  và S FDC  DC  2 S AMC S FNA  ND   DM   ND DM          16  FD DC   S FDC S FDC  FD   DC   16 SAMC.SFNA  x  y 16 x y ( Do  x  y với x 0; y 0) Bài 6: Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có: a2 b2 a b2 a 2a + ≥ =2 ≥ 2 c c b c b c 2 b c 2b c a2 c + ≥ + ≥ Tương tự: và c a2 a a2 b2 b Cộng theo vế tương ứng các BĐT trên ta có đpcm √ || A N D B M C  S2FDC 0   x  y  4 xy  ( 1.5 điểm)