Việc phân tích đa thức thành nhân tử là việc rất có ích trong học toán và giải toán, nó giúp người học rèn luyện kĩ năng biến đổi các biểu thức toán học và còn là phương pháp giải cho nh[r]
(1)LỜI NÓI ĐẦU Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng chương trình Đại số THCS Việc phân tích đa thức thành nhân tử là việc có ích học toán và giải toán, nó giúp người học rèn luyện kĩ biến đổi các biểu thức toán học và còn là phương pháp giải cho nhiều dạng toán trường phổ thông như: Quy đồng mẫu thức, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, chia hết, giải phương trình và bất phương trình, tìm nghiệm nguyên, tìm cực trị, … Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy sách giáo khoa toán trình bày số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Điều này chưa đủ để giúp học sinh khá, giỏi và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán giải các dạng bài tập nâng cao Do với kinh nghiệm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, tôi đã tiến hành nghiên cứu và thể nghiệm đề tài " Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải toán THCS" Với mong muốn, qua đề tài này giúp cho các đồng chí giáo viên và các em học sinh yêu thích môn toán mở rộng thêm vốn kiến thức mình, tìm cách giải dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử cách hợp lí và sáng tạo nhất, qua đó vận dụng để giải các dạng toán khác Mặc dù đã cố gắng nhiều việc tìm tòi, nghiên cứu tài liệu và trình bày, với hy vọng ít nhiều giúp ích cho bạn đọc yêu thích môn toán, nhiên không tránh khỏi thiếu sót Vì tôi mong đóng góp ý kiến xây dựng đồng nghiệp để giúp tôi hoàn thiện đề tài trên Tôi xin chân thành cảm ơn! (2) PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài: Trong chương trình Toán THCS, phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, nó là sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức và phương pháp giải nhiều dạng toán chương trình môn Toán THCS và THPT như: Quy đồng mẫu thức, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, chia hết, giải phương trình và bất phương trình, tìm nghiệm nguyên,tìm cực trị,… Do kĩ phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề quan trọng, nắm vững và thành thạo kĩ này thì học sinh có khả giải dạng toán khác chương trình Đại số THCS và lớp trên, đặc biệt là đối tượng học sinh khá giỏi Qua đó các em có thể tìm nhiều lời giải khác và lời giải hay cho bài toán Tuy nhiên chương trình Đại số giới thiệu số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bản, đó chưa đáp ứng việc học kiến thức nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng việc vận dụng các phương pháp vào giải bài tập thì lại không theo khuôn mẫu và trình tự định mà phụ thuộc chủ yếu vào linh hoạt sáng tạo học sinh Nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững đặc điểm, yêu cầu phương pháp kết hợp với khả quan sát, phán đoán và tư linh hoạt để tìm phương pháp giải hợp lí Vì đề tài này tôi cố gắng trình bày cụ thể phương pháp với các nội dung: Đặc điểm, yêu cầu, phương pháp, các ví dụ và các vấn đề cần chú ý phương pháp Tôi hy vọng đề tài này phục vụ thiết thực cho công tác giảng dạy các giáo viên, giúp các em học sinh học tập nghiên cứu tốt kiến thức có liên quan đến nội dung này Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Nghiên cứu các hệ thống kiến thức chương trình Đại số THCS, các sách tham khảo có nội dung phân tích (3) đa thức thành nhân tử và vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán (Trong mục tài liệu tham khảo) + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thông qua các dạy trên lớp, qua dự đồng nghiệp và trao đổi vơí các đồng nghiệp, qua thực tế dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi thấy học sinh chủ động tích cực, linh hoạt quá trình giải toán sau tìm hiểu kỹ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử + Phương pháp điều tra thực tiễn: Thông qua kiểm tra đánh giá kết học tập học sinh, qua trao đổi trực tiếp với học sinh sau học có nội dung phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN II: NỘI DUNG A MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Khái niệm đa thức: Đa thức là tổng đơn thức, đơn thức tổng gọi là hạng tử đa thức đó Đa thức biến là tổng đơn thức cùng biến - Mỗi số coi là đa thức, số gọi là đa thức không - Đa thức biến x (y, z, ) kí hiệu là A(x) ( B(y), C(z), ) Định nghĩa nghiệm đa thức biến Nếu x = a, đa thức P(x) có giá trị thì ta nói a (hoặc x = a) là nghiệm đa thức P(x) Định lí phép chia hết đa thức: Đa thức A(x) gọi là chia hết cho đa thức B(x) khác tồn đa thức Q(x) cho A(x) = B(x) Q(x) - Nếu đa thức A(x;y) nhận giá trị x = y thì đa thức A(x;y) chia hết cho nhị thức x – y Định lí Bê zout phép chia đa thức: (4) Khi chia đa thức A(x) cho nhị thức x – a thì dư phép chia này là A(a) (Tức là giá trị đa thức x = a) - Hệ quả: A(x) ⋮ ( x – a) ⇔ A(a) = ( A(x) chia hết cho x – a và x = a là nghiệm A(x) ) Định lí nghiệm nguyên đa thức: Cho đa thức A(x) = anxn+ an-1xn-1+ + a1x+ a0 Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước hạng tử tự a0 Đặc biệt: - Nếu tổng các hệ số thì ta nói đa thức đó có nghiệm là x = an+ an-1+ + a1+ a0 = A(1) = - Nếu hiệu tổng các hệ số các hạng tử bậc chẵn với tổng các hệ số các hạng tử bậc lẻ thì đa thức đó có nghiệm là x =-1 (a2n+ a2n-2+ + a2+ a0 ) – (a2n-1+ a2n-3+ a3+ a1 ) = A(-1) = Phân tích đa thức thành nhân tử: Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích đa thức khác Với đa thức bậc n (hệ số thực) luôn luôn phân tích thành tích của: + Luỹ thừa nhị thức dạng ( x- a)k; k N + Luỹ thừa tam thức bậc bậc không có nghiệm thực: x2 + bx + c (có b2- 4c < 0) Chú ý: Đối với đa thức biến nhiều biến ta có thể chọn biến làm ẩn và phân tích đa thức biến B CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung quan trọng kiến thức và kĩ thực Nó thường vận dụng vào việc giải nhiều dạng toán như: Rút (5) gọn phân thức, giải số phương trình, bất phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên, chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, Có nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, tuỳ theo đặc điểm đa thức mà ta chọn phương pháp phân tích phù hợp kết nhanh và ngắn gọn Trong chương trình Toán THCS có các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sau: PTĐTTNT phương pháp đặt nhân tử chung PTĐTTNT phương pháp dùng đẳng thức PTĐTTNT phương pháp nhóm nhiều hạng tử PTĐTTNT phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử PTĐTTNT phương pháp thêm bớt cùng hạng tử PTĐTTNT phương pháp hệ số bất định PTĐTTNT phương pháp đổi biến PTĐTTNT phương pháp sử dụng định lí nghiệm đa thức PTĐTTNT phương pháp xét giá trị riêng I CÁC PHƯƠNG PHÁP PTĐTTNT CƠ BẢN Phương pháp đặt nhân tử chung: a) Đặc điểm: Được áp dụng trường hợp các hạng tử đa thức có chung nhân tử b) Yêu cầu: - Học sinh nắm vững tính chất phân phối phép nhân phép cộng - Học sinh nắm vững quy tắc dấu ngoặc, quy tắc nhân, chia luỹ thừa cùng số c) Phương pháp: (6) - Bước 1: Tìm nhân tử chung (Viết hạng tử đa thức thành tích các nhân tử để làm xuất nhân tử chung) - Bước 2: Đặt nhân tử chung ngoài dấu ngoặc theo công thức A B + A C = A.(B + C) d) Ví dụ : phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: 5x2y2 + 20x2y – 35xy2 = 5xy xy +5xy 4x – 5xy 7y = 5xy (xy + 4x – 7y) Ví dụ 2: 3x (x –1) + 7x2(x –1) = x(x –1)3 + x(x –1)7x = x(x –1) (3 + 7x) * Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta cần phải đổi dấu các hạng tử theo quy tắc: - (-A) = A (y –x) = - (x –y) Ví dụ 3: 3x(x –2y) + 6y(2y –x) = 3(x -2y).x –3(x –2y).2y = 3(x –2y) (x –2y) = 3(x –2y)2 Phương pháp dùng đẳng thức: a) Đặc điểm: Được áp dụng trường hợp đa thức có chứa các vế đẳng thức b) Yêu cầu: - Học sinh nắm vững và vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ - Đối với học sinh khá, giỏi cần biết thêm các đẳng thức sau: (a+b+c)2 = a2+ b2+c2+2ab +2ac +2bc (7) – xn = (1-x)(1+x+x2+ +xn-1) An- Bn = (A-B)(An-1+An-2B+ +ABn-2+Bn-1) A2k+ B2k= (A+B)(A2k-1-A2k-2B + +AB2k-2-B2k-1) A2k+1+ B2k+1= (A+B)(A2k-A2k-1B + -AB2k-1+B2k) c) Phương pháp: - Quan sát và phán đoán xem đa thức có dạng vế trái hay vế phải đẳng thức nào thì áp dụng đẳng thức đó để viết đa thức đã cho thành vế còn lại đẳng thức dạng tích các đa thức luỹ thừa đa thức d) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: 4x2+ 12x +9 = (2x)2+ 2x.3+32 = (2x + 3)2 Ví dụ 2: – 8x3y6 = 13+ (2xy2)3 = (1 +2xy2)(1 – 2xy2+4x2y4) Ví dụ 3: 8x3- 12x2y +6xy2-y3 = (2x)3 – 3.(2x)2.y+3.2x.y2-y3 = (2x – y)3 e) Chú ý: Đôi ta phải đổi dấu các hạng tử đa thức để có thể áp dụng đẳng thức Ví dụ 4: -x4y2- 8x2y –16 = -( x4y2+ 8x2y +16) = -[(x2y)2+ 2.x2y.4 + 42] = -(x2y + 4)2 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: (8) a) Đặc điểm: Được áp dụng trường hợp các hạng tử đa thức chưa có nhân tử chung chưa xuất dạng đẳng thức nào đã học b) Yêu cầu: - Học sinh nắm vững các đẳng thức đáng nhớ - Học sinh nắm vững quy tắc dấu ngoặc - Học sinh nắm vững tính chất phân phối phép nhân phép cộng - Học sing có khả quan sát, phân tích, phán đoán linh hoạt để nhóm các hạng tử cách thích hợp c) Phương pháp: - Nhóm các hạng tử đa thức cách thích hợp để có thể phân tích các nhóm hạng tử đó thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức đặt nhân tử chung cho các nhóm xuất nhân tử chung d) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: Nhóm hạng tử thứ và thứ ba thành nhóm x2 - 3x + xy - 3y = (x2+xy) – (3x+3y) = x(x+y) – 3(x+y) = (x+y)(x-3) Ví dụ 2: Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối thành hai nhóm x3+4x2-9x-36 = (x3+ 4x2) – (9x + 36) = x2(x+ 4) – 9(x+ 4) = (x+ 4)(x2- 9) = (x+ 4)(x- 3)(x+ 3) Ví dụ 3: Nhóm ba hạng tử (9) x2+ 2x+1 –y2 = (x2+ 2x+1) – y2 = (x +1)2- y2 = (x+1– y)(x+1+ y) e) Chú ý: Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm hạng tử đó ta nên chọn cách nhóm thích hợp để lời giải ngắn gọn Chẳng hạn Ví dụ 1: x2 - 3x + xy - 3y = (x2- 3x) + (xy- 3y) = x(x- 3) + y(x- 3) = (x- 3)(x+ y) * Nhận xét: Trong thực tế, việc phân tích đa thức thành nhân tử không dùng các phương pháp đã học mà có trường hợp cần phải phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức đó thành nhân tử Ví dụ 4: x2+2xy+y2- xz- yz = (x2+2xy+y2) – (xz+yz) (Nhóm hạng tử) Ví dụ 5: = (x+y)2- z(x+y) (Hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung) = (x+y)(x+y-z) (Đặt nhân tử chung) 3x3 - 6x2y –3xy3- 6xy2z – 3xyz2+3xy = 3xy( x2- 2x- y2- 2yz- z2+ 1) = 3xy[(x2- 2x+ 1) – (y2- 2yz+ z2)] = 3xy[(x- 1)2- (y- z)2] = 3xy[(x-1)- (y-z)][(x-1)+(y-z)] =3xy( x-1- y+ z)(x- 1+ y- z) = 3xy(x- y+z- 1)(x+ y- z- 1) (10) Muốn phân tích đa thức thành nhân tử trước tiên ta cần thực theo các trình tự sau: - Xét xem các hạng tử đa thức có chứa nhân tử chung không Nếu có hãy dùng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích - Xét xem các hạng tử đa thức có dạng vế nào đó các đẳng thức đã học hay không Nếu có hãy sử dụng đẳng thức đó để phân tích - Nếu không sử dụng hai phương pháp trên ta thử nhóm các hạng tử cách thích hợp để làm xuất đẳng thức nhân tử chung các nhóm - Nếu các cách trên không giúp ta phân tích đa thức thành nhân tử ta hãy xét đến các phương pháp phân tích sau đây II CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐẶC BIỆT KHÁC Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác a) Đặc điểm: Thường áp dụng các đa thức mà không vận dụng ba phương pháp đã nêu trên để phân tích thành nhân tử và thường có bậc hai trở lên b) Yêu cầu: - Học sinh nắm vững ba phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng thành thạo để làm bài tập - Học sinh có khả nhận xét, phân tích đa thức để chọn tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử cách thích hợp c) Phương pháp: - Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử khác nhằm biến đổi đa thức tạo các hạng tử thích hợp để nhóm làm xuất nhân tử chung các nhóm xuất hiệu hai bình phương (11) - Cụ thể sau: + Trường hợp 1: Nếu đa thức có dạng : x 2+ (a+b)x+ ab thì phân tích thành: (x+a)(x+b) + Trường hợp 2: Nếu đa thức có dạng: x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc thì phân tích thành: (x+a)(x+b)(x+c) + Trường hợp 3: Đa thức có dạng: ax2+bx+c (Tổng quát:) Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số b1, b2 cho b = b1+ b2 và b1b2= ac Khi đó ax2+bx+c = ax2+b1x+b2x+ c Tiếp theo ta sử dụng phương nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích d) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: x2+5x+6 = x2 + (3+2)x + 3.2 = (x2+3x)+(2x+3.2) =x(x+3)+2(x+3) =(x+3)(x+2) Ví dụ 2: x3+ 6x2+11x+ = x3+(1+2+3)x2+ (1.2+2.3+1.3)x+ 1.2.3 = (x+1)(x+2)(x+3) Hoặc tách x3+ 6x2+11x+ = x3+ x2+ 5x2+ 5x+ 6x+ = x2(x+1)+ 5x(x+1)+ 6(x+1) = (x+1)(x2+5x+6) (12) = (x+1)(x+2)(x+3) (Sử dụng kết ví dụ 1) Ví dụ 3: 3x2- 8x+ (a=3; b=-8; c=4 ) Ta có a.c = 3.4=12= ( ± 1)( ± 12)= ( ± 2)( ± 6)= ( ± 3)( ± 4) Nhận thấy có (-6)+(-2)= -8 (b1=-6, b2=-2) Vậy ta có: 3x2- 8x+ = 3x2- 6x- 2x+ = 3x(x-2)- 2(x-2) = (x-2)(3x-2) e) Chú ý: Với các đa thức bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất các hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm đa thức Số a gọi là nghiệm đa thức f(x) f(a)= Vậy đa thức f(x) có nghiệm x= a thì dạng phân tích nó có chứa (x- a) Ta còn chứng minh nghiệm nguyên đa thức, có phải là ước hệ số tự Ví dụ 4: x3 - x2- Ta có Ư(4) = { ± 1; ± 2; ± 4} Ta thấy f(2) = 23- 22- 4= Vậy đa thức có nghiệm x= đó dạng phân tích có chứa (x- 2) Ta tách các hạng tử sau: x3 - x2- = x3- 2x2+ x2- 2x+ 2x- = x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2) * Khi xét nghiệm nguyên đa thức ta nên nhớ hai định lí sau: ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số thì x=1 là nghiệm đa thức, đó dạng phân tích đa thức có chứa x-1 Chẳng hạn: Đa thức x3-5x+8x-4 có 1+(-5)+8+(-4) = nên dạng phân tích đa thức có chứa x-1 (13) ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số hạng tử bậc chẵn tổng các hệ số hạng tử bậc lẻ thì x=-1 là nghiệm đa thức, đó dạng phân tích đa thức có chứa x+1 Chẳng hạn: Đa thức x3-5x+3x+9 có: 1+3 = -5+9 nên nên dạng phân tích đa thức có chứa x+1 * Nếu đa thức không có nghiệm nguyên thì có thể có nghiệm hữu tỉ Nghiệm hữu tỉ có đa thức phải có dạng: p q đó p là ước hệ số tự do, q là ước dương hệ số cao Ví dụ 5: Xét đa thức 3x3-7x2+17x-5 Ta có Ư(5) = {±1; ±5} không là nghiệm đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên Tuy đa thức có thể có thể có nghiệm Hữu tỉ Vì Ư(5) = {±1; ±5} và Ư(3) = {1; 3} 1 ; Xét các số ta thấy là nghiệm đa thức, đó dạng phân tích đa thức có chứa thừa số 3x-1 Vậy ta tách các hạng tử đa thức sau: 3x3-7x2+17x-5 = 3x3- x2- 6x2+ 2x + 15x – = x2(3x-1) – 2x(3x-1) + 5(3x-1) = (3x-1)(x2-2x+5) Phương pháp thêm bớt cùng hạng tử: a) Đặc điểm: Thường áp dụng cho đa thức bậc cao mà sau xếp, có khuyết nhiều bậc trung gian và không áp dụng các phương pháp đã nêu trên b) Phương pháp: (14) - Thêm và bớt cùng hạng tử để làm xuất dạng đủ đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu và làm xuất hiệu hai bình phương - Thêm bớt cùng hạng tử để làm xuất thừa số chung c) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: a4+a2b2+b4 = a4+2 a2b2+b4- a2b2 (Thêm bớt a2b2) = (a2+b2)2- a2b2 =(a2+b2+ab)( a2+b2-ab) Ví dụ 2: x5+ x4+1 = x5+ x4+ x3- x3+1 (Thêm bớt x3) = x3(x2+x+1) – (x-1)(x2+x+1) = (x2+x+1)(x3-x+1) Ví dụ 3: 4x4+ 81 = 4x4+ 36x2+ 81 – 36x2 = (2x2+ 9)2- (6x)2 = (2x2+ +6x)(2x2+ 9- 6x)= (2x2+ 6x+ 9)(2x2- 6x+ 9) d) Chú ý: Các đa thức có dạng như: x 7+x2+1; x5+x+1; x7+x5+1; x+x8+1; Đều chứa thừa số x2+x+1 Chứng minh: Ta có: x3m+1+x3n+2+1 = x3m+1- x + x3n+2-x2+x2+x+1 = x(x3m-1)+x2(x3n-1)+(x2+x+1) Vì x3m-1 và x3n-1 chia hết cho x3-1, đó chia hết cho x2+x+1 Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ): a) Đặc điểm: Thường áp dụng phân tích các đa thức có dạng phức tạp (đa thức bậc cao chẵn, đa thức nhiều biến,…) để việc biến đổi đơn giản (15) b) Phương pháp: - Tìm giống các biểu thức đa thức đã cho để chọn và đặt ẩn phụ thích hợp, đưa đa thức dạng đã học sử dụng các phương pháp phân tích khác để biến đổi đa thức thành nhân tử Cuối cùng thay trở lại biến ban đầu c) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Ví dụ 1: x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = [x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128 = (x2+10x)(x2+10x+24)+128 Đặt x2+10x+12 = y, đa thức đã cho trở thành: (y-12)(y+12)+128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y-4)(y+4) Thay trở lại ta được: x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x+16)( x2+10x+8) = (x+2)(x+8)( x2+10x+8) * Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc bốn biến x đa thức bậc hai biến y Ví dụ 2: 4x(x+y+z)(x+y)(x+z)+y2z2 = 4(x2+xy+xz)(x2+xy+xz+yz)+ y2z2 Đặt x2+xy+xz = a, đa thức đã cho trở thành: 4a(a+yz)+y2z2 = 4a2 + 4ayz + y2z2 = (2a+yz)2 Thay trở lại ta được: 4x(x+y+z)(x+y)(x+z)+ y2z2=(2x2+2xy+2xz+yz)2 d) Chú ý: Khi gặp các đa thức bậc chẵn có các hệ số đối xứng qua hạng tử ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 3: x4+6x3+7x2-6x+1 Dễ thấy x = là nghiệm đa thức nên ta có: x +6x +7x -6x+1 = x (x +6x+7- x x ) 2 1 = x2[(x2+ x )+6(x- x )+7] (16) Ta đặt x 1 y x y x x ta đa thức: x2(y2+2+6y+7) = x2(y+3)2 = (xy+3x)2 = [( x x )+3x]2 = (x2+3x-1)2 Phương pháp hệ số bất định: a) Đặc điểm: Thường áp dụng phân tích đa thức không có nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ b) Phương pháp: - Cơ sở phương pháp hệ số bất định là: Nếu trên tập hợp số nào đó mà hai đa thức A(x) và B(x) đồng với Tức là ứng với giá trị biến lấy trên tập hợp số đã cho mà A(x) và B(x) luôn có giá trị thì hệ số các hạng tử cùng bậc là Cho A(x) = anxn+an-1xn-1+ … +a1x+a0 B(x) = bnxn+bn-1xn-1+ … +b1x+b0 A(x) = B(X) an=bn; an-1=bn-1; …; a1=b1; a0=b0 Trên sở bậc đa thức đã cho ta xác định dạng phân tích đa thức viết vế đẳng thức dạng hai đa thức đã xếp, sau đó đồng hệ số hai vế và giải các đẳng thức để xác định các hệ số chưa biết c) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: x4- 6x3+12x2- 14x+3 Ta có Ư(3) = {±1; ±3} không có số nào là nghiệm đa thức và đa thức có bậc 4, phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2+ax+b)(x2+cx+d) với a,b,c,d Z Vậy ta có: x4- 6x3+12x2- 14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d) x4- 6x3+12x2- 14x+3 = x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(bc+ad)x+bd Đồng hệ số hai vế ta có: a+c b+d+ac = 12 bc+ad = -14 bd = (1) (2) (3) (4) (17) Vì b,d Z và bd = suy b {±1; ±3} - Với b = thì d = thay vào (2) ta a.c = Mà a + c = -6 (1) a = -2; c = -4 thoả mãn hệ trên Do đó đa thức đã cho phân tích thành nhân tử sau: x4- 6x3+12x2- 14x+3 = (x2-2x+3)(x2-4x+1) Ta có thể trình bày lời giải ví dụ trên sau: x4- 6x3+12x2- 14x+3 = x4-4x3+x2-2x3+8x2-2x+3x2-12x+3 = x2(x2-4x+1) - 2x(x2-4x+1) + 3(x2-4x+1) = (x2-2x+3)(x2-4x+1) d) Chú ý: + Vì đa thức trên không có nghiệm nguyên không có nghiệm hữu tỉ nên dạng phân tích thành nhân tử phải là các đa thức có bậc chẵn + Cần nhớ không phải đa thức có thể phân tích thành nhân tử trên tập số thực Những đa thức mà ta nó luôn nhận các giá trị khác với giá trị biến lấy tập R thì không thể phân tích thành nhân tử tập hợp R + Phương pháp hệ số bất định có thể áp dụng đa thức bậc trở lên, nhiên phải biến đổi dài và phức tạp nên ta thường sử dụng các phương pháp khác Ví dụ 2: Phân tích đa thức x3-19x-30 thành nhân tử: Ta thấy đa thức trên có bậc biến x, nên phân tích thành nhân tử phải có dạng (x+a)(x2+bx+c) Vậy ta có : x3-19x-30 = (x+a)( x2+bx+c) x3-19x-30 = x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac Đồng hệ số hai vế ta có: a b 0 ab c 19 ac 30 Vì a;cZ và a.c = -30 a; c {±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15’ ±30} Với a = thì c = -15 b = -2 thoả mãn hệ phương trình trên Do đa thức trên có dạng phân tích thành nhân tử sau: (18) x3-19x-30 = (x+2)(x2-2x-15) Phương pháp dùng phép chia đa thức: a) Đặc điểm: Thường áp dụng để phân tích các đa thức mà ta có thể nhẩm nghiệm nó b) Phương pháp: Là cách sử dụng đinh lí phép chia hết đa thức Nếu A(x) B(x) thì A(x) = B(x).Q(x) Trong đó Q(x) là thường phép chia A(x) cho B(x) Đặc biệt A(x) x – a A(a) = c) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: x4-2x3+x2-4 Ta có Ư(4) = {±1; ±2; ±4}, nhẩm thấy x = -1 và x = là nghiệm đa thức Do đó dạng phân tích đa thức có chứa các nhân tử là: (x+1) và (x-2) Chia đa thức x4-2x3+x2-4 cho x+1 ta thương là : x3-3x2+4x-4 Chia tiếp đa thức x3-3x2+4x-4 cho x-2 ta thương là: x2-x+2 Đa thức x2-x+2 không có nghiệm trên R nên đa thức này không phân tích tiếp Vậy đa thức đã cho phân tích thành nhân tử sau: x4-2x3+x2-4 = (x+1)(x-2)( x2-x+2) Ví dụ 2: 5x2+6xy+y2 Ta thấy x = -y là nghiệm đa thức vì 5(-y)2+6(-y)y+y2=0 Vậy dạng phân tích đa thức có chứa nhân tử là x+y hay đa thức chia hết cho x+y Chia đa thức 5x2+6xy+y2 cho x+y ta thương là (5x+y) Vậy đa thức đã cho phân tích thành nhân tử sau: 5x2+6xy+y2 = (x+y)(5x+y) Phương pháp xét giá trị riêng: a) Đặc điểm: Được áp dụng cho đa thức nhiều biến có tính chất: Nếu thay biến này biến khác theo vòng tròn thì đa thức có giá trị không đổi (hay đa thức có thể hoán vị vòng quanh) b) Phương pháp: (19) - Trước tiên ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại c) Ví dụ: Phân tích các da thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: A = x2(y-z) + y2(z-x) + z2(z-y) Thử thay x = y vào đa thức A ta được: A = y2(y-z) + y2(z-y) = Như dạng phân tích đa thức A có chứa thừa số (x-y) Tương tự thay y = z và x = y vào đa thức A ta thấy A = (không đổi) Ta nói đa thức A có thể hoán vị vòng quanh xyzx Vậy vai trò x, y, z Cho nên A có chứa (x-y) thì chứa (yz) và (z-x) Do đa thức A có dạng phân tích là : k(x-y)(y-z)(z-x) Dễ thấy k là số vì đa thức A có bậc tập hợp các biến, mà tích (x-y)(y-z)(z-x) có bậc tập hợp các biến Vậy ta có đẳng thức: x2(y-z) + y2(z-x) + z2(z-y) = k(x-y)(y-z)(z-x) (*) Đẳng thức trên đúng với x, y, z nên ta gán cho x, y, z các giá trị tuỳ ý Chẳng hạn chọn x = 2, y = 1; z = thay vào đẳng thức (*) ta được: 4.1 +1.(-2)+ = k.1.1.(-2) k = -1 Vậy đa thức A phân tích thành nhân tử sau: A = x2(y-z) + y2(z-x) + z2(z-y) = - (x-y)(y-z)(z-x) d) Chú ý: Các giá trị x, y, z có thể chọn tuỳ ý cho x ≠ y; y ≠ z; z ≠ x để (x-y)(y-z)(z-x) ≠ C BÀI TẬP ÁP DỤNG I BÀI TẬP Bài 1: Phân tích các đa thức sau TNT phương pháp đặt nhân tử chung a) 3x2(y-2z) – 15x(y-2z)2 b) y2(x2+y) – zx2 – zy c) 3x(x-2y) + 6y(2y-x) d) (a-b)2- (b-a)(a+b) Bài 2: Phân tích các đa thức sau TNT phương pháp dùng đẳng thức (20) a) 25x2+10x+1 b) 9x2-24xy+16y2 c) x4 – y4 d) (a+b)3 – (a-b)3 Bài 3: Phân tích các đa thức sau TNT phương pháp nhóm nhiều hạng tử a) 2xy+z+2x+yz b) x3+y3+2x2-2xy+2y2 c) 12y – 9x2+36-3x2y d) x2-10x+25 – y2 – 4yz – 4z2 Bài 4: Phân tích các đa thức sau TNT phương pháp tách hạng tử a) x3-7x-6 b) x2-x-12 c) x2-10xy+9y2 d) x3-x2-4 Bài 5: Phân tích các đa thức sau TNT phương pháp thêm bớt cùng hạng tử a) 4x4+81 b) x3-x2-4 c) 64x4+y4 d) x3-7x-6 Bài 6: Phân tích các đa thức sau TNT phương pháp đổi biến a) (x2+x+1)(x2+x+2) – 12 b) (x2+x)2- 2(x2+x) – 15 c) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 d) (4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1) – Bài 7: Phân tích các đa thức sau TNT phương pháp hệ số bất định a) x4+6x3+7x2+6x+1 b) x3+4x2+5x+2 c) 2x4+3x3-7x2+6x+8 d) x3+2x2-2x-12 (21) Bài 8: Phân tích các đa thức sau TNT phương pháp dùng phép chia đa thức a) x3-5x2+8x-4 b) 5x4+9x3-2x2-4x-8 c) x3-x2-4 d) 3x3-7x2+17x-5 Bài 9: Phân tích các đa thức sau TNT phương pháp xét giá trị riêng a) yz(y-z)+zx(z-x)+xy(x-y) b) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 c) (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 d) x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2+2xyz I HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bài 1: a) = 3x(y-2z)(x-5y+2z) b) = (x2+y)(y2-z) c) = 3(x-2y)2 (áp dụng quy tắc đổi dấu đa thức) d) = 2a(a-b) (áp dụng quy tắc đổi dấu đa thức) Bài 2:a) = (5x-1)2 b) = (3x-4y)2 c) = (x2-y2)(x2+y2) d) = 2b(3a2+b) Bài 3:a) = (y-1)(2x+z) b) = (x2-xy+y2)(x+y-2) c) = 3(y+3)(2-x)(2+x) d) = (x-5+y+2z)(x-5-y-2z) ta có đa thức: (x+1)(x2-x-6) ta có đa thức: (x-4)(x+3) c) Tách -10xy = -xy-9xy ta có đa thức: (x-y)(x-9y) Bài 4:a) Tách -7x = -x – 6x b) Tách –x = -4x+3x d) x3-x2-4 = x3-2x2+x2-2x+2x-4 = … = (x-2)(x2+x+2) Bài 5:a) Thêm, bớt 36x2 ta có đa thức: (2x2+9+6x)(2x2+9-6x) b) Tách –x2 = -2x2+x2 và thêm, bớt 2x ta có đa thức: (x-2)(x2+x+2) c) Thêm, bớt 16x2y2 ta có đa thức: (8x2+y2+4xy)(8x2+y2-4xy) (22) d) Thêm, bớt x2 và tách -7x = -x – 6x ta có đa thức: (x-1)(x2-x-6) Bài 6:a) Đặt x2+x+1 = y ta có đa thức: y(y-1)-12 = … = (y-3)(y+4) b) Đặt x2+x = y ta có đa thức: y2-2y-15 = … = (y+3)(y-5) c) Đặt x2+7x+11 = y ta có đa thức: (y-1)(y+1) – 24 = … = (y-5)(y+5) d) Đặt 12x2+11x – = y ta có đa thức: y(y+3) -4 = … = (y-1)(y+4) Bài 7:a) = (x2+x+1)(x2+5x+1) b) = (x+1)2(x+2) c) = (x+2)(x-1)(2x2-x-4) d) = (x-2)(x2+4x+6) Bài 8:a) = (x-1)(x-2)2 b) = (x-1)(x+2)(5x2+4x+4) c) = (x-2)(x2+x+2) d) Đa thức không có nghiệm nguyên có nghiệm hữu tỉ là 1/3, đó dạng phân tích có chứa 3x-1 = (3x-1)(x2+x+2) Bài 9:a) = -(x-y)(y-z)(z-x) b) = 3(x-y)(y-z)(z-x) c) = 3(x+y)(y+z)(z+x) d) = (x+y)(y+z)(z+x) (23) D BÀI SOẠN THỂ NGHIỆM Tiết 12 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP I MỤC TIÊU - HS biết vận dụng cách linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học vào việc phân tích các đa thức thành nhân tử - Rèn luyện kỹ quan sát, phân tích, tư HS qua giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS - GV: Máy chiếu, Máy vi tính - HS : Bảng nhóm, bút Ôn lại các phương pháp PTĐTTNT đã học III CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC Hoạt động thầy Hoạt động trò HĐ 1: Kiểm tra bài cũ (8 ph) - GV gọi HS lên bảng Nêu các phương pháp PTĐTTNT đã - HS1: Nêu PPPTĐTTNT: Đặt nhân học áp dụng chữa bài 50b SGK tử chung, dùng HĐT, nhóm nhiều hạng tử - Chữa bài 50b SGK Đáp số: x = 1; x = Phân tích các đa thức sau thành nhân - HS2: Lên bảng làm bài, HS dướ lớp cùng làm vào nháp tử: a) x2-xy+x-y b) x2+4x-y2+4 a) = (x2-xy)+(x-y) = x(x-y)+(x-y) = (x-y)(x+1) 2 2 - GV gọi HS nhận xét bài làm các b) = (x +4x+4)-y = (x+2) -y = (x+2+y)(x+2-y) bạn - GV đánh giá cho điểm HS - HS nhận xét bài làm bạn HĐ 2: Ví dụ (15 ph) (24) - Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử: + Ví dụ 1: 5x3+10x2+5xy ? Các em có nhận xét gì các hạng tử - HS: Vì hạng tử chứa 5x nên đa thức trên? Ta có thể sử dụng ta có thể dùng phương pháp đặt nhân phương pháp nào đã học để phân tích đa tử chung để phân tích thức trên thành nhân tử? = 5x(x2+2xy+y2) (đặt nhân tử chung) ? Ta dừng lời giải đây có không? - HS: Đa thức ngoặc còn phân Vì sao? tích tiếp vì có dạng HĐT bình phương tổng = 5x(x+y)2 (Hằng đẳng thức) ? Vậy để phân tích đa thức đã cho thành - HS: Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử ta đã sử dụng các phương pháp nhân tử chung và dùng HĐT nào đã học? + Ví dụ 2: x2-2xy+y2-9 ? Hãy nêu nhận xét đa thức và cách - HS: Nhận xét đa thức và nêu lời phân tích đa thức trên? giải = (x2-2xy+y2)-9 (Nhóm các hạng tử) = (x-y)2-33 = (x-y+3)(x-y-3) (Hằng đẳng thức) - GV nêu chú ý: Khi phân tích đa - HS nghe hiểu và ghi bài thức thành nhân tử ta nên theo trình tự sau: + Đặt nhân tử chung các hạng tử có nhân tử chung + Dùng P2 đẳng thức có thể + Nhóm các hạng tử cách thích hợp để làm xuất nhân tử chung đẳng thức + Làm ?1: Phân tích đa thức: (25) 2x3y-2xy3-4xy2-2xy thành nhân tử - Một HS lên bảng làm ?1 HS - GV gọi HS lên bảng trình bày lời giải lớp cùng làm vào (nêu rõ sử dụng P2 nào) = 2xy(x2-y2-2y-1)(đặt nhân tử chung) = 2xy[x2-(y2+2y+1)] (Nhóm hạng tử) = 2xy(x+y+1)(x+y-1) (Dùng HĐT) HĐ 3: Áp dụng (10 ph) - GV cho HS hoạt động nhóm (4HS) - HS hoạt động nhóm trình bày lời giải làm ?2 SGK bảng nhóm (gv đưa đề ?2 bảng nhóm phút bài lên màn hình cho HS làm bài) a) x2+2x+1-y2 = (x+1)2-y2 - GV yêu cầu các nhóm treo bảng = (x+1+y)(x+1-y) nhóm mình theo vị trí quy định Thay x = 94,5; y = 4,5 ta được: - GV gọi HS nhận xét bài làm các (94,5+1+4,5)(94,5+1-4,5) nhóm = 100.91=9100 - GV nhận xét bài làm các nhóm, b) Bạn Việt đã sử dụng các P2: chữa lỗi sai các nhóm, tuyên dương - Nhóm các hạng tử nhóm làm tốt + Làm bài 51a,b SGK - Dùng đẳng thức - Đặt nhân tử chung HĐ 4: Luyện tập (15 ph) - HS lên bảng làm bài, HS lớp - GV gọi HS lên bảng làm bài cùng làm vào ĐS a) = x(x-1)2 b) = 2(x+1+y)(x-1+9) + Làm bài 53 SGK - HS đọc đề bài a) Phân tích đa thức x2-3x+2 thành nhân tử ? Có thể áp dụng P2 phân tích nào ? Vì - HS: Không thể áp dụng sao? các phương pháp đã học - GV gợi ý cách tách hạng tử để có - HS sử dụng phương pháp tách thể phân tích đa thức đã cho thành nhân số mà GV hướng dẫn để làm bài tử Cách1 = (x2-x) – (2x-2) Cách1: Tách -3x = -x - 2x = x(x-1) – 2(x-1) Cách2: Tách = -4 + = (x-1)(x-2) (26) Cách2 = (x2-4) – (3x-6) = (x+2)(x-2) – 3(x-2) = (x-2)(x+2-3) = (x-2)(x-1) HĐ 5: Hướng dẫn nhà (2 ph) - Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học - Nghiên cứu kỹ lời giải bài 53 SGK (phương pháp tách hạng tử) - Làm bài 51c; 52; 54 SGK PHẦN III : KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu và thực tiễn giảng dạy Khi viết đề tài này tôi nhận thấy việc giảng dạy cho HS biết các kiến thức và nâng cao đa thức, đặc biệt là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có ý nghĩa quan trọng HS Bởi vì nhờ đó mà HS tìm lời giải cho nhiều dạng toán chương trình Toán THCS và THPT Trong quá trình giảng dạy tôi đã kết hợp truyền đạt cho các em HS các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã trình bày đề tài Tuy các em có thể chưa hiểu rõ chất số phương pháp, với cách trình bày cụ thể phương pháp đã giúp các em có kỹ phân tích các đa thức thành nhân tử mức độ tốt Các em đã biết vận dụng các phương pháp PTĐTTNT vào việc giải các dạng toán thường gặp như: Quy đồng mẫu thức các phân thức, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, chứng minh chia hết, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, các bài toán tìm cự trị, tìm nghiệm nguyên, … Vấn đề đặt là cần truyền đạt cho HS đại trà các kiến thức trên mức độ nào, điều này còn phụ thuộc vào điều kiện và trình độ nhận thức HS Do đó GV cần biết kết hợp giới thiệu các phương pháp PTĐTTNT đặc biệt các học cho hợp lý để có thể nâng cao kiến thức cho HS vừa làm cho HS có hứng thú tìm tòi phương pháp giải Tuy nhiên đối tượng HS giỏi môn Toán với lớp chất lượng cao thì GV nên truyền đạt cho các em các phương (27) pháp PTĐTTNT nêu trên Như chắn giúp các em có vốn kiến thức quan trọng để giải nhiều dạng toán chương trình phổ thông Eapô, ngày 15 tháng 11 năm 2007 Người viết Lương Quốc Phương TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số - Sách giáo viên Đại số Ôn tập và kiểm tra Đại số (Vũ Hữu Bình - Tôn Thân) Toán nâng cao và chuyên đề Đại số (Nguyễn Ngọc Đạm Nguyễn Việt Hải - Vũ Dương Thuỵ) Một số vấn đề phát triển Đại số ( Vũ Hữu Bình) 23 chuyên đề bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Đồng Nguyễn Văn Vĩnh) Giáo trình thực hành &giải toán (Đặng Đình Lăng Nguyễn Hữu Túc) (28) PHẦN ĐÁNH GIÁ BAN XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TRƯỜNG THCS PHẠM HỒNG THÁI ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… BAN XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÒNG GD&ĐT HUYÊN CƯ JUT ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… (29) ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… (30)