Về lý thuyết nevanlinna p adic 1 chiều

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VIỆT HÙNG VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VIỆT HÙNG VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 Người hướng dẫn khoa học TS MAI VĂN TƯ Nghệ An – 2014 MỤC LỤC MỤC LỤC …………………………… ………………………………1 MỞ ĐẦU ……………………………… …………… ………… …………… Chương Kiến thức chuẩn bị …………… …………… … ….…………4 1.1 Trường định chuẩn …………………………………….…….….… ….….4 1.2 Trường số hữu tỷ phức p-adic …….………… …….… ….….… …6 1.3 Hàm chỉnh hình p-adic …………….……………….……….….….………11 Chương Về lý thuyết Nevanlinna p-adic 1-chiều ……….… … ….14 2.1 Trường hợp phức …………………………………………….… …….……14 2.2 Công thức Poisson-Jensen p-adic ………… …………………… ………15 2.3 Các hàm Nevanlinna ……………………………… ……………… ……18 2.4 Bất đẳng thức ABC …………………………………………… …….……29 2.5 Một số ứng dụng ………………………………………… …… ….…… 29 KẾT LUẬN ………………………………………………………….…… …….32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………… … ….……33 MỞ ĐẦU Trong giải tích phức, lý thuyết phân phối giá trị hàm phân hình (cịn gọi lý thuyết Nevanlinna) nội dung quan trọng Bắt đầu từ cơng trình Polya, Nevanlinna vào thập niên 30 kỷ XX, lý thuyết phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng phong phú, kể số học vật lý Những tên tuổi lớn lý thuyết Nevanlinna đồng thời tên tuổi lớn tốn học là: R Nevanlinna, H Cartan, H Weyl, L Alhfors, Ph Griffiths,… Một hệ quan trọng lý thuyết Nevanlinna phức Định lý năm điểm nói hai hàm phân hình khác mặt phẳng phức có nghịch ảnh năm điểm trùng hai hàm đồng Năm 1971, Adams Straus thiết lập kết tương tự cho hàm phân hình phi Ácsimét Tuy nhiên, tương tự phi Ácsimét lý thuyết Nevanlinna bắt đầu xây dựng cách có hệ thống cơng trình Hà Huy Khối năm 1983 Mục đích luận văn bước đầu tìm hiểu lý thuyết Nevanlinna p-adic trường hợp chiều Nội dung luận văn gồm chương: Chương Trình bày số kiến thức chuẩn, trường số phức p-adic, hàm chỉnh hình Chương Trình bày số kết lý thuyết Nevanlinna trường hợp chiều Luận văn hoàn thành hướng dẫn Tiến sỹ Mai Văn Tư Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn giành cho tác giả hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô khoa Tốn, phịng đào tạo sau Đại học Vinh giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận bảo quý thầy cô giáo bạn học viên Nghệ An, tháng năm 2014 Tác giả Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn 1.1.1 Định nghĩa Giả sử K trường, chuẩn v K hàm số từ K vào thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây: a v( x)  , với x  K v( x)  x  b v( x y)  v( x).v( y) với x, y  K c v( x  y)  v( x)  v( y) với x, y  K Một chuẩn trường K gọi chuẩn phi Ácsimét thỏa mãn điều kiện: c’ v( x  y)  max v( x), v( y) với x, y  K 1.1.2 Chú ý - Khi làm việc với chuẩn cố định, ta viết x (hoặc x v ) thay cho v( x) - Chuẩn trường K xác định metric Khoảng cách hai điểm x, y  K metric x  y Như chuẩn trường K xác định tôpô Bộ ( K , v ) gồm trường K hàm chuẩn v K gọi trường định chuẩn - Các trường số hữu tỉ , trường số thực trường định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường (chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ký hiệu  ) 1.1.3 Định nghĩa Hai chuẩn trường K gọi phụ thuộc (còn gọi tương đương) chúng xác định tôpô Trong trường hợp trái lại, chúng gọi độc lập (còn gọi không tương đương) Định lý sau nêu lên tiêu chuẩn cần đủ để hai chuẩn trường K phụ thuộc lẫn (hay chúng tương đương với nhau) 1.1.4 Định lý Giả sử v1  v2  hai chuẩn không tầm thường trường K Khi đó, chúng phụ thuộc lẫn từ hệ thức x  suy x  Nếu chúng phụ thuộc tồn số thực    cho x  x với x  K 1.1.5 Mệnh đề Cho p số nguyên tố cố định Với số hữu tỷ  x  , x viết dạng: x a n p ; a, b, n  , b  , với a, b không chia hết cho p Ta định nghĩa: b v p (0)  p  0; v p ( x)  x p  p  n Hàm p xác định chuẩn phi Ácsimét, p số nguyên tố Chứng minh Tính chất đầu định nghĩa nghiệm cách dễ dàng Ta chứng minh hai tính chất lại Ta kiểm tra v p chuẩn phi Ácsimét trường số hữu tỷ hay v( x  y)  max v( x), v( y), x, y  Thật vậy, giả sử y c m p ; c, d , m  , d với c, d khơng chia hết cho p Khơng tính tổng quát giả sử n  m ta có: a n c m adp nm  bc m  k x y  p  p  p  p , k  m, b d bd  Trong số ngun  ,  khơng chia hết cho p ,   Từ v p ( x  y)  p  k  p  m  max( p  n , p  m )  max(v p ( x), v p ( y)) Ngồi ra, ta có: v p ( x y)  v p ( ac n m p )  p  ( n m )  p  n p  m  v p ( x).v p ( y) bd 1.2 Trường số h u t phức p-adic Xuất phát từ trường số hữu tỷ thường, ta mở rộng trường số phức với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thành trường đóng đại số đầy đủ Đó Như từ trường định chuẩn Ácsimét thu trường đóng đại số đầy đủ trường định chuẩn phi Ácsimét  , p  ,   Vấn đề đặt từ  mở rộng thành trường đóng đại số đầy đủ trường số phức hay không? 1.2.1 Dãy Cauchy (Dãy bản) Giả sử p số nguyên tố cố định Dãy  xn  số hữu tỷ gọi dãy theo chuẩn p - adic p   0, n0  cho m, n  n0 ta có: xm  xn p   1.2.2 Quan hệ tương tương đương Gọi X tập hợp dãy số hữu tỷ theo chuẩn p - adic p Ta xác định quan hệ hai X sau: a  an   X; b  b j   X a b  lim a j  b j  j  Rõ ràng '' '' quan hệ tương đương X Đặt p    , a  b   X : lim a  b  0  X/  a  a j Đặc biệt, với x  x  x Chuẩn j j  j j ta kí hiệu  x Cauchy x x p cảm sinh chuẩn p - adic p Nếu a  a j  , ta định nghĩa a p  lim a j p , a j  phần tử đại diện j  lớp tương đương a Mệnh đề sau khẳng định định nghĩa chuẩn p hợp lý 1.2.3 Mệnh đề   a  dãy số Tồn giới hạn dãy a j j p hữu tỷ Chứng minh Nếu a  lim a j p  Nếu a  , với   nhỏ j  tùy ý tồn jN cho a j N p   với N lớn tùy ý, a j  dãy nên với N đủ lớn ta có  a j   , với j  N , a j N p  a jN  a j  a j đẳng thức trên, ta suy a j Tương tự từ aj p N p  aj  a j  a jN  a jN p p p   max a jN  a j , a j a j N p p  Kết hợp với bất   a jN  a j   p   max a jN  a j , a jN p p  ta có a j p  a j N p , với j  N Chứng tỏ a j p số với j  N nghĩa lim a j p  a j j  N chứng minh 1.2.4 Phép toán Giả sử a  a j  , b  b j   p p Ta xây dựng hai phép toán sau:     a  b  a j  b j , ab  a j b j 1.2.5 Mệnh đề Các phép tốn khơng phụ thuộc vào phần tử đại diện Chứng minh Giả sử a j  a  ,b  b  j Từ quan hệ tương đương có: j j p Mệnh đề 10 lim aj  a j j  p  lim bj  b j j  p  Suy ra: aj bj  a j b j p   max aj  aj (bj  b j )  b j (aj  a j ) p bj  b j , b j p p aj  a j p p  Vì lim aj p  a p , lim bj p  b p lim aj  a j p  lim bj  b j p  , j  j  j  j  ta suy aj bj  a b  j j Mặt khác xuất phát từ bất đẳng thức:  (aj  bj )  (a j  b j )  max aj  a j , bj  b j p p p , ta suy a  b  a j j j  b j  1.2.6 Định lý p với hai phép toán xây dựng lập thành trường gọi trường số hữu tỷ p  adic trường số hữu tỷ p trường mở rộng Chứng minh Dễ dàng chứng minh phép tốn p Có tính chất giao hốn, kết hợp, phân phối, phần tử = 0 , phần tử đơn vị = 1 Chúng ta cần chứng tỏ phần tử khác nghịch Thực vậy,  a  a j   p p khả Suy tồn số tự nhiên N cho n  N0 an  dãy Cauchy a j  a j triệt tiêu, ta thay aj  p j  j  N0 Đặt aj  a j j  N0 rõ ràng lim aj  a j  hay aj   a j   a j  1 Từ a 1    phần tử ghịch đảo a  aj  21 hình với không điểm bội cho (chẳng hạn lấy đa thức thích hợp) Trong trường hợp dãy cho vơ hạn, ta có định lý sau 2.3.2 Định lý Giả sử zn dãy phân biệt số khác không F cho zn   Giả sử mn dãy số ngun dương, m0 số ngun khơng âm Khi đó,  z  f ( z )  z  1   zn  n 1   mn m0 hội tụ tới hàm chỉnh hình f F với không điểm bội m0 , không điểm zn bội mn , khơng cịn khơng điểm khác Trước hết ta chứng minh bổ đề sau 2.3.3 Bổ đề Giả sử f n hàm chỉnh hình A[r1 , r2 ] Khi f n hội tụ lim f n  Chứng minh Xét tích riêng N PN   f n n 1 Ta cần kiểm tra PN  PM r  N , M    Khơng tính tổng qt, giả thiết N  M Khi đó, PM  PN r  M  fn  n 1 r N  n  M 1 fn r Vì  f n r  , tồn N cho n  N0 , f n r  Bởi với M  N0 , M  n 1 Mặt khác, M  N0 , fn  r N0 f n 1 n r 22 N 1  n  M 1 fn   r N  (1  (1  f n  M 1 n ))  sup  f n r r nM Theo giả thiết vế phải hội tụ tới không M   Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý Theo Bổ đề 2.3.3 tích phát biểu định lý hội tụ đến hàm ngun Rõ ràng tích có không điểm với bội tương ứng mô tả Cố định giá trị r  Tích lấy theo zn với zn  r hội tụ đến hàm khả nghịch A[r ] Do hàm f có khơng điểm mơ tả tích 2.3.4 Các hàm Nevanlinna Cũng giống trường hợp phức, định lý thứ trường hợp phi Ácsimét thực chất công thức Poisson – Jensen phát biểu lại Hàm đếm phi Ácsimét định nghĩa hoàn toàn trường hợp phức Hàm xấp xỉ định nghĩa công thức sau: m( f , , r )  log  f r f a r m( f , a, r )  log  Hàm đặc trưng định nghĩa trường hợp phức: T ( f , a, r )  m( f , a, r )  N ( f , a, r ) 2.3.5 Định lý (Định lý thứ nhất) Nếu f hàm phân hình khác F T ( f , a, r )  T ( f , , r ) bị chặn r   Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp a  Ta viết hàm phân hình dạng f  g / h , g , h hàm ngun khơng có không điểm chung Công thức Poisson–Jensen cho ta: N ( f , , r )  N (h,0, r )  log h r  0(1) 23 N ( f ,0, r )  N ( g ,0, r )  log g r  0(1) N ( f , , r )  N ( f ,0, r )  log h r  log g r  0(1) Mặt khác,     m( f , , r )  max 0,log g r  log h r m( f ,0, r )  max 0,log h r  log g r Do đó, m( f , , r )  m( f ,0, r )  log g r  log h r , điều chứng minh định lý a  Nếu a  , N ( f , a, r )  N ( f  a,0, r ) N ( f , , r )  N ( f  a, , r ) Như ta có m( f , a, r )  m( f  a,0, r ) m( f , , r )  m( f  a, , r )  0(1) 2.3.6 Các đạo hàm Hasse Bây ta tìm hiểu khái niệm đạo hàm Hasse Trước tiên ý n số nguyên không âm k số nguyên khơng nằm đoạn [0, n  1] hệ số nhị thức:  k  k (k  1)(k  2) (k  n  1)   n! n xác định khác khơng Do đó, ta mở rộng khái niệm đạo hàm Hasse chuỗi Laurent sau: Giả sử 24 f ( z)   az k k k  Khi ta định nghĩa Dn f ( z)  k  k  k n  ak z , k[0, n 1]  n   Nếu F có đặc số 0, ta lại có Dn f  f (n) / n! k  Theo quy ước   không  k  n 1 , ta viết đơn giản: n Dn f ( z)   k    n a z k    k n k 2.3.7 Mệnh đề Các đạo hàm Hasse hàm chỉnh hình hình vành khăn thỏa mãn tính chất sở sau: (i) Dk [f  g ]  Dk f  Dk g , (ii) Dk [fg]   D fD g , i j i  j k  i  j  i j D f ,  (iii) Di D j f   j (iv) Nếu F có đặc số dương p s  số nguyên s Dp f ps  ( D1 f ) p s Chứng minh Tính chất (i) rõ ràng Để kiểm tra tính chất (ii), ta khai triển hai vế so sánh lũy thừa z Để có đẳng thức, cần với l m nguyên đồng thời i j ngun khơng âm, ta cần có  l  m   l  m   i  j  k     k    i  j    Đó đồng thức Vandermonde Để kiểm tra tính chất (iii), ta cần đồng thức sơ cấp sau: 25  i  j  k   k  k           j  i  j   j  i j   Đối với (iv), ta cần có đồng thức sau số nguyên j tùy ý:  jp s   s   j (mod p) p  Như (iv) suy định lý Lucas Tính chất (ii) mệnh đề cho phép ta mở rộng D n f đến trường hợp hàm phân hình f cách quy nạp Chẳng hạn, f D1 ( f )  D1  g  f  f g   gD1    D1 g ,  g g  f  gD1 f  fD1 g D1    g2 g 2.3.8 Bổ đề đạo hàm lơgarít Trong trường hợp phức, chứng minh định lý thứ hai Nevanlinna dựa tính chất sâu sắc đạo hàm lơgarít, nói f hàm phân hình m( f  / f , , r ) nhỏ so với T ( f , , r ) , ngồi tập loại trừ nhỏ bán kính r Tương tự phi Ácsimét bổ đề đạo hàm lơgarít lại dễ chứng minh, nhận xét có ích 2.3.9 Bổ đề (Bổ đề đạo hàm lơgarít) Giả sử f hàm phân hình phi Ácsimét hình vành khăn z : r1  z  r2  Khi đó, với r1  r  r2 ta có Dn f f  r , D n f ký n r hiệu đạo hàm Hasse bậc n f Chứng minh Trước tiên ta chứng minh định lý trường hợp f chỉnh hình Khai triển f dạng chuổi Laurent 26 f ( z )   ck z k Khi đó, k  D n f ( z )   ck  z k n k n Do hệ số nhị thức số nguyên, chúng có chuẩn nhỏ 1, nên n D f r k   sup ck   r k n  k n sup ck r k k rn  f rn r , vậy, Bổ đề chứng minh với f chỉnh hình Ta chứng minh Bổ đề với f phân hình phép quy nạp theo n , mà trường hợp n  hiển nhiên Ta viết f  g / h g , h hàm chỉnh hình Dùng tính chất (ii) mệnh đề 2.3.7 với đạo hàm Hasse mở rộng cho hàm phân hình, ta có: D n 1 f D n 1 ( g / h)  f g/h D n 1 g D n g D1h D1 g D n h D n 1h         g g h g h h Do Định lý chứng minh quy nạp, với ý trường hợp hàm chỉnh hình chứng minh, r chuẩn phi Ácsimét 2.3.10 Định lý thứ hai Chúng ta tìm hiểu định lý thứ hai Nevanlinna trường hợp phức thông qua bất đẳng thức tổng hàm đếm cắt cụt q N j 1 (1) ( f , a j , r ) Tất nhiên từ bất đẳng thức suy bất đẳng thức yếu tổng hàm đếm không cắt cụt 27 q  N ( f , a , r ) j j 1 Trong trường hợp phức, bất đẳng thức hàm đếm không cắt cụt kết sâu sắc nhiều so với định lý thứ Nevanlinna Ngược lại, trường hợp p -adic, ta thấy Định lý thứ hai suy từ định lý thứ Điều lần cho thấy trường hợp hàm phi Ácsimét, đa giác Newton đóng vai trị quan trọng 2.3.11 Định lý (Định lý thứ hai không rẽ nhánh) Giả sử a1 , , aq q điểm phân biệt P1 (F ) Khi đó, q (q  1)T ( f , , r )   N ( f , a j , r )  0(1) j 1 r   Trước tìm hiểu phép chứng minh định lý, cần có số ý Trước tiên ta nhận thấy trường hợp phi Ácsimét, ta có nhân tử ( q  ) vế trái (thay cho ( q  ) trường hợp phức) Từ suy dạng mạnh định lý Picard: Hàm phân hình phi Ácsimét khác trường F nhận giá trị, trừ giá trị P1 (F ) Hơn nữa, trường hợp phi Ácsimét, bất đẳng thức khơng cần ngồi tập loại trừ Chứng minh Trước tiên giả sử tất hữu hạn d   a j  i j đó, với i  j r  , ta có:  d  a j   a j   ( f  )  ( f  a j )  max f  r , f  a j r r r  28 Từ ta suy với r  , tồn nhiều số j0 cho f  a j r  d Khi  T ( f , a , r )  N ( f , a , r )   m( f , a , r )   log j  j0 j j j j  j0 j  j0  f  aj 1 r  (q  1) log  (1/ d ) Theo định lý thứ nhất, với sai khác số hạng bị chặn, ta thay  T ( f , a , r) j  j0 j (q 1)T ( f , , r ) Do N ( f , a j , r )  với r  , ta trừ N ( f , a j0 , r ) vế trái để nhận định lý trường hợp khơng có a j vơ hạn Nếu a j   , giả sử c điểm P1 (F ) không thuộc tập số a j Xét hàm phân hình g  ( f  c)1 giả sử b j  (a j  c)1 Khi đó, b j hữu hạn ta áp dụng điều chứng minh g b j Tất nhiên, N ( g , b j , r )  N ( f , a j , r ) , theo định lý thứ T ( f , , r )  T ( g, , r )  0(1) 2.3.12 Quan hệ số khuyết Số khuyết điểm a P1 (F ) hàm phân hình f định nghĩa  f (a)  liminf r  m( f , a, r ) N ( f , a, r )   limsup r  T ( f , , r ) T ( f , , r ) Từ định lý thứ hai suy ra: 2.3.13 Hệ   f (a)  aP1 ( F ) Ta chứng minh khẳng định mạnh sau 2.3.14 Mệnh đề Đối với hàm phân hình khác f F , có nhiều điểm a  P1 (F ) cho  f (a)  29 Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn hai điểm số khuyết dương Nếu cần biến đổi hệ tọa độ xạ ảnh Vì vậy, khơng tính tổng qt giả thiết  f (0)   f ()  Do  f (0)   f ()  nên suy m( f ,0, r ) m( f , , r ) dương với r đủ lớn, hay f r   suy vô lý f r Do  f (a)  1, a , Mệnh đề mạnh hệ Với a P1 (F ) ,    , tồn hàm phân hình f F cho  f (a)   Trường hợp rẽ nhánh Ta định nghĩa: N Ram ( f , r )  N ( f ,0, r )  N ( f , , r )  N ( f , , r ) Như N Ram( f ,r ) đếm xác điểm rẽ nhánh f với bội Mặt khác từ cơng thức Poisson – Jensen, ta viết N Ram ( f , r )  N ( f , , r )  log f  r  0(1) 2.3.15 Định lý (Định lý thứ hai có rẽ nhánh) Giả sử f phân hình F giả sử f   Giả sử a1 , a2 , , aq q điểm phân biệt P1 (F ) đó, q (q  2)T ( f , , r )   N (1) ( f , a j , r ) j 1 q  (q  2)T ( f , , r )   N ( f , a j , r )  N Ram ( f , r )   log r  0(1) j 1 Chứng minh Bất đẳng thức thứ hiển nhiên, ta cần chứng minh bất đẳng thức thứ Giả sử q số a j hữu hạn, q  q , khơng giảm tính tổng qt, giả sử aq   Như chứng minh định lý, giả sử d   a j , giá trị cực i j 30 tiểu lấy a j hữu hạn Tạm thời cố định r  Một lần ta thấy tồn số j0 , phụ thuộc vào r , cho với j  j0 j  q , ta có f  a j r  d Do đó: (q  1)m( f , , r )  (q  1) log  f   log j  j0 f  a j  (q  1) log  r  (q  1) max, a j  r 1 j  q d r  log j  j0 f  a j  0(1) , () r số hạng 0(1) độc lập với r j0 , đồng thời tổng lấy j  j0 có nghĩa tổng lấy tất số nhỏ q khác với j0 Khi  log j  j0 q   log f  a j  log f  r  log j 1 r f  aj f f  a j0 r q   log f  a j  log f  r  log r j 1 r r theo bổ đề đạo hàm lơ ga Do q (q  1)m( f , , r )   log f  a j  log f  r  log r  0(1) j 1 r Do vế phải () không phụ thuộc vào j0 , ta khơng cịn phải xem r cố định Bây áp dụng Poisson–Jensen ta được: q (q  1)m( f , , r )   N ( f , a j , r )  qN ( f , , r )  N ( f , , r )  N Ram ( f , r )  log r  0(1) j 1 Do đó: q (q  1)T ( f , , r )   N ( f , a j , r )  N ( f , , r )  N Ram ( f , r )   log r  0(1) j 1 Đây phát biểu định lý aq   Khi q  q , định lý chứng minh cách thay N ( f , , r ) vế trái hàm lớn T ( f , , r ) 31 2.3.16 Hệ Giả sử trường F có đặc số dương, f hàm phân hình F cho f   0, a1 , a2 , , aq q điểm phân biệt P1 (F ) , giả sử s số ngun khơng âm Khi đó, (q  2)T ( f p , , r )   N ( f p , a p , r )  p s N Ram ( f , r )   p s log r  0(1) s s s 2.4 Bất đẳng thức ABC 2.4.1 Hệ (ABC) Giả sử f , g , h hàm nguyên tố nhau, tất đạo hàm chúng đồng triệt tiêu, đồng thời hàm thỏa mãn quan hệ f  g  h Khi đó, ta có:   log max f r , g r , h r  N (1) ( fgh,0, r )  log r  0(1) Chứng minh Giả sử F  f / h Từ giả thiết nguyên tố ta có: N (1) ( fgh,0, r )  N (1) ( F ,0, r )  N (1) ( F , , r )  N (1) ( F ,1, r ) Áp dụng định lý thứ hai: N (1) ( fgh, 0, r )  log r  0(1)  T ( F , , r )  log  f  N (h, 0, r ) hr Do N (h,0, r )  log h r  0(1) theo công thức Poisson – Jensen nên log    f  N (h, 0, r )  log max f r , h r  0(1) hr Vì g  h  f nên g r  max  f r , h r  , từ ta suy hệ 2.5 Một số ứng dụng Giá trị a gọi rẽ nhánh hoàn toàn hàm phân hình f điểm f 1 (a) điểm rẽ nhánh Ví dụ: -1 giá trị rẽ nhánh hoàn toàn với hàm sin cosin 32 2.5.1 Hệ Nếu f hàm phân hình phi Ácsimét cho f   f có nhiều ba điểm rẽ nhánh hoàn toàn Chứng minh Giả sử a1 , a2 , a3 , a4 giá trị rẽ nhánh hồn tồn Khi đó, theo định lý thứ hai: 2T ( f , , r )   N (1) ( f , a j , r )   log r  0(1) j 1 Nhưng a j rẽ nhánh hồn tồn nên: N (1) ( f , a j , r )  1 N ( f , a j , r )  T ( f , , r )  0(1), 2 bất đẳng thức thứ hai suy từ định lý thứ Do ta có log r  0(1), mâu thuẫn Dễ dàng kiểm tra 0,1  giá trị rẽ nhánh hoàn toàn hàm hữu tỷ f ( z)  ( z  1) ( z  1) đó, số định lý khơng thể giảm Trên trường số phức, hàm Weierstrass  có bốn giá trị rẽ nhánh hồn tồn, trường hợp nhiều ( suy từ định lý thứ hai) Nhận xét: Hàm nguyên phi Ácsimét f cho f   có nhiều giá trị hữu hạn rẽ nhánh hoàn toàn 2.5.2 Định lý (Adams Strauss) Giả sử f g hai hàm phân hình F có hàm khác Giả sử a1 , a2 , a3 , a4 điểm phân biệt P1 (F ) f 1 (a j )  g 1 (a j ) với j  1, 2,3, Khi f  g 33 Chứng minh Ta xét trường hợp f   g  Nếu hai hàm số chứng minh thay đổi dễ dàng Khơng giảm tổng quát, giả sử không giá trị a j vô hạn Dễ thấy T ( f  g, , r )  T ( f , , r )  T ( g, , r ) Theo giả thiết 4 j 1 j 1 N (1) ( f  g , 0, r )   N (1) ( f , a j , r )   N (1) ( g , a j , r ) Áp dụng định lý thứ hai cho hai hàm f g ta suy ra: 2T ( f , , r )  2T ( g , , r )  2 N (1) ( f , a j , r )  2log r  0(1) j 1  N (1) ( f  g ,0, r )  2log r  0(1)  2T ( f  g ,0, r )  2log r  0(1)  2T ( f , , r )  2T ( g, , r )  2log r  0(1), điều mâu thuẫn Ví dụ sau f ( z )  z2 z g ( z )  chứng tỏ số z2  z 1 z2  z 1 định lý vừa chứng minh định lý tốt có thể, f 1 (0)  g 1 (0), f 1 (1)  g 1 (1) , f 1 ()  g 1 () 34 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại số kiến thức sở kết gần giải tích phi Ácsimét, từ việc xây dựng trường định chuẩn phi Ácsimét số kiến thức liên quan, luận văn tìm hiểu lý thuyết Nevanlinna p-adic trường hợp chiều có số định lý, mệnh đề tìm hiểu chứng minh chi tiết: Mệnh đề 1.1.6, Định lý 2.3.2, Bổ đề 2.3.3, Định lý thứ (Định lý 2.3.5), Bổ đề đạo hàm lơgarít 2.3.9 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Mai Văn Tư (2013), Lý thuyết hàm trường phi Ácsimét, Nhà xuất Đại học Vinh Tiếng Anh [2] W.W Adam and E.G.Straus (1971), Non-Archimedean analytic functions taking the same values at the same points, Illinois J Math, 418-424 [3] W Cherry and Z Ye (1997), Non-Archimedean Nevanlinna Theory in several variables and the Non- Archimedean inverse problem, Trans Amer Math, Soc 349, No.12, 5043 – 5071 [4] Ha Huy Khoai (1983) On p-adic meromorphic function Duke J Math, Vol 50 [5] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995) p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat J Math, Vol.6, No.5, 710-731 [6] N I Koblitz (1987) p-adic numbers, p-adic analusis and Zetafunctions, Springer – Verlag ... …6 1. 3 Hàm chỉnh hình p- adic …………….……………….……….….….……? ?11 Chương Về lý thuyết Nevanlinna p- adic 1- chiều ……….… … … .14 2 .1 Trường h? ?p phức …………………………………………….… …….…? ?14 2.2 Công thức Poisson-Jensen p- adic. .. hàm phân hình vành khăn chuẩn phi Ácsimét trường 16 Chương VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P- ADIC 1- CHIỀU 2 .1 Trường h? ?p phức Trước tiên, ta nhắc lại vài khái niệm lý thuyết Nevanlinna trường h? ?p phức... p ,   Từ v p ( x  y)  p  k  p  m  max( p  n , p  m )  max(v p ( x), v p ( y)) Ngồi ra, ta có: v p ( x y)  v p ( ac n m p )  p  ( n m )  p  n p  m  v p ( x).v p ( y) bd 1. 2