Một số vấn đề về lý thuyết galois

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - PHẠM THỊ THÙY LINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GALOIS KHĨA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TỐN HỌC VINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - PHẠM THỊ THÙY LINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GALOIS NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐÀO THỊ THANH HÀ VINH - 2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương 2: LÝ THUYẾT GALOIS 2.1 Tự đẳng cấu trƣờng 2.2 Nhóm Galois 2.3 Đa thức tách đƣợc mở rộng tách đƣợc .12 2.4 Một số tính chất nhóm Galois 14 2.5 Tính khơng giải đƣợc phƣơng trình bậc 20 Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 24 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Lý thuyết Galois lý thuyết đẹp đẽ đại số, tập hợp nhiều kiến thức phƣơng pháp lĩnh vực toán học khác nhau, nhằm giải toán cổ điển vấn đề quan trọng khác đại số đại Lý thuyết Galois tạo bƣớc tiến quan trọng phƣơng pháp đƣợc sử dụng kỉ rƣỡi sau để chinh phục Định lý cuối Fermat Nguồn gốc lý thuyết Galois vấn đề giải phƣơng trình đại số thức, vấn đề quan trọng toán học Từ kỷ XVI, nhiều hệ nhà tốn học phải vất vả để tìm cơng thức nghiệm cho phƣơng trình bậc  , nhƣng đến kỷ XIX vấn đề đƣợc giải nhà toán học Nauy N Abel (1802-1829) nhà toán học Pháp E Galois (1811-1833) Họ giải đƣợc phƣơng trình bậc  thức Cơng trình họ chứa đựng ý tƣởng độc đáo ý tƣởng mở đƣờng cho đời đại số đại Vì lý chúng tơi chọn đề tài khóa luận "Một số vấn đề lý thuyết Galois" để nghiên cứu Trong khóa luận này, chúng tơi hệ thống hóa lại số kết lý thuyết Galois Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm ba chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày kiến thức sở lý thuyết trƣờng có sử dụng Chƣơng Chƣơng Chƣơng 2: Một số vấn đề lý thuyết Galois Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày số định nghĩa, tính chất lý thuyết Galois ứng dụng lý thuyết Galois vào giải phƣơng trình đại số Chƣơng 3: Bài tập áp dụng, đƣa số tập vận dụng kết Chƣơng Khóa luận đƣợc thực trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn tận tình, chu đáo TS Đào Thị Thanh Hà Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc giúp đỡ nhiệt tình, nghiêm túc góp ý thiết thực cho tác giả q trình hồn thành khóa luận Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy, khoa Tốn, đặc biệt thầy cô tổ Đại số nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ thời gian qua Xin cảm ơn lớp 48B Toán động viên, giúp đỡ tác giả thời gian làm khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng nhƣng trình độ thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc bảo góp ý thầy bạn để khóa luận đƣợc hồn thiện Vinh, tháng năm 2011 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mệnh đề Nếu K trƣờng có đặc số ngun tố p a  a p tự đơn cấu () p : K  K trƣờng K 1.2 Mệnh đề Nếu K (u) K (v) hai mở rộng đơn đại số trƣờng K , theo thứ tự sinh hai nghiệm u v đa thức bất khả quy q  K[x] , K (u)  K (v) Đặc biệt có đẳng cấu trƣờng  : K (u)  K (v) cho  (u)  v  (a)  a , a  K 1.3 Mệnh đề Cho trƣờng K phần tử u thuộc mở rộng K (i) Nếu u siêu việt K mở rộng đơn K (u ) đẳng cấu với trƣờng K (x) phân thức hữu tỉ theo biến x với hệ tử thuộc K qua đẳng cấu trƣờng  : K ( x)  K (u) cho  ( x)  u  (a)  a với a  K (ii) Nếu u đại số K u nghiệm đa thức bất khả quy q  K[x] mở rộng đơn K (u) đẳng cấu với trƣờng K[ x] /( q) qua đẳng cấu:  u : K[ x] /( q)  K (u) cho  ( x  (q))  u  (a  (q))  a với a  K 1.4 Định lý Nếu phần tử u mở rộng trƣờng K đại số K (i) u nghiệm đa thức bất khả quy q  c0  c1 x   c n x n  K[ x] (c n  K * ) (ii) Mọi đa thức f  K[x] nhận u làm nghiệm, bội đa thức q K [x] (iii) Mở rộng đơn đại số K (u ) K gồm phần tử  đặt đƣới dạng đa thức theo u có hệ tử K   a0  a1 u   a n 1u n 1 ,  K 1.5 Định lý Nếu F mở rộng hữu hạn trƣờng K phần tử v  F đại số K v nghiệm đa thức bất khả quy q  K[x] với bậc q  n  [ F : K ] , bậc mở rộng F K 1.6 Tính chất đồng cấu trường Một đồng cấu trƣờng đơn cấu đồng cấu tầm thƣờng 1.7 Định lý Cho K trƣờng q đa thức bất khả quy bậc n K [x] Nếu F mở rộng hữu hạn K với bậc [ F : K ]  m cho (n, m)  q đa thức bất khả quy F[x] CHƢƠNG LÝ THUYẾT GALOIS 2.1 Tự đẳng cấu trường 2.1.1 Định nghĩa Cho E trƣờng, tự đồng cấu trường E ánh xạ T : E  E , cho : T (u  v)  Tu  Tv T (uv)  T (u).T (v) , với u, v  E (1) Nếu tự đồng cấu T không tầm thƣờng, nghĩa Tu  kéo theo u  , u  E , ta phải có T (1)  , T đơn ánh Đặc biệt, tự đồng cấu T : E  E tồn ánh song ánh, tức tự đẳng cấu trƣờng E Nếu T tự đẳng cấu trƣờng E , T tự đẳng cấu nhóm cộng, đồng thời tự đẳng cấu nhóm nhân phần tử khác E Khi T (0)  ; T (u)  T (u) , T (u 1 )  (Tu) 1 , T (1)  u  E u  0, u  E 2.1.2 Mệnh đề Tất tự đẳng cấu trường E tạo thành nhóm Ký hiệu Aut K (E ) Chứng minh Vì tích TS hai tự đẳng cấu T S trƣờng E tự đẳng cấu trƣờng E Ánh xạ nghịch T -1 tự đẳng cấu T E tự đẳng cấu ánh xạ đồng I E tự đẳng cấu Do tất tự đẳng cấu trƣờng E tạo thành nhóm □ Bây giờ, cho K trƣờng E mở rộng K Ta biết E khơng gian vectơ trƣờng K hay E có cấu trúc K  không gian vectơ Một tự đồng cấu K – không gian vectơ ánh xạ T : E  E cho T (u  v)  T (u)  T (v) T (av)  a.T (v) với u, v  E  a  K (2) Một tự đồng cấu thỏa mãn (2) song ánh đƣợc gọi tự đẳng cấu K  không gian vectơ E Để ý, E mở rộng trƣờng K , tự đồng cấu K  không gian vectơ E không thiết tự đồng cấu trƣờng E , (vì điều kiện (1) không thỏa mãn) Ngƣợc lại tự đồng cấu trƣờng E tự đồng cấu K  không gian vectơ E T giữ cố định phân tử trƣờng K , tức T (a)  a , a  K (3) 2.1.3 Định nghĩa Cho E mở rộng trƣờng K , tự đồng cấu T trƣờng E thỏa mãn (3) (tức giữ cố định phần tử trƣờng K ) đƣợc gọi K – tự đồng cấu E 2.1.4 Mệnh đề Nếu E mở rộng trường K , K – tự đẳng cấu trường E tạo thành nhóm, ký hiệu Aut K (E ) , nhóm nhóm Aut (E ) Chứng minh Aut K (E)   tự đẳng cấu đồng trƣờng E K – tự đẳng cấu Tích hai K – tự đẳng cấu K – tự đẳng cấu Nghịch đảo K –tự đẳng cấu K – tự đẳng cấu □ Do Aut K (E ) nhóm Đảo lại, cho sẵn trƣờng E , ta xét phần tử E đƣợc giữ cố định qua tự đẳng cấu E 2.1.5 Mệnh đề Cho trường E tự đồng cấu T  E Khi đó, tập hợp KT  {a  E / Ta  a} trường trường E T KT  tự đồng cấu trường E Chứng minh Vì T  0, ta có T (1)  nên  K T hay KT   Với a, b  K T ta có T (a  b)  Ta  Tb  a  b T (ab)  (Ta)(Tb)  ab a  b  KT ab  KT Với a  KT , a  ta có   T a 1  Ta  a 1 1 a 1  KT Vậy KT trƣờng E T KT  tự đồng cấu E □ 2.1.6 Hệ Cho E trường  tập hợp tự đẳng cấu trường E Khi đó, tập hợp K  phần tử a  E cho Ta  a với  T   trường E  tập hợp K  – tự đẳng cấu trường E Chứng minh Với T   , theo Mệnh đề 2.1.5 ta có tập hợp KT  a  E / Ta  a trƣờng E Do đó, giao K =  K T trƣờng E T  T   hiển nhiên mét K – tự đẳng cấu E □ Trƣờng K  thƣờng đƣợc gọi trường phần tử bất biến tập hợp  tự đẳng cấu E Đặc biệt với   Aut (E ) ta có trƣờng K E gồm phần tử bất biến qua tự đẳng cấu E , trƣờng nguyên tố P E 2.1.7 Định lý Cho H nhóm hữu hạn gồm tự đẳng cấu trường E Ký hiệu K  K H trường E gồm phần tử bất biến H bậc [ E : K ] mở rộng E K khơng vượt q cấp nhóm H 2.2 Nhóm Galois Nhóm tự đẳng cấu trƣờng quan trọng nhóm tự đẳng cấu trƣờng số đại số trƣờng Q số hữu tỉ Trƣớc hết ta tìm cách xác định ảnh số đại số qua tự đẳng cấu Tổng quát, hai phần tử u v thuộc mở rộng trƣờng K đƣợc gọi liên hiệp K u v nghiệm đa thức bất khả quy K [x] 2.2.1 Mệnh đề Cho F mở rộng hữu hạn trường K , với T  Aut K (F ) u  F , Tu liên hiệp với u K Chứng minh Vì F mở rộng hữu hạn trƣờng K nên u  F u đại số K u nghiệm đa thức bất khả quy tối tiểu q  a0  a1x   an 1xn 1  xn  K [x] Với T  Aut K (F ) , T bảo tồn tổng tích F Ta  a với a  K q(u)  F kéo theo T (a0  a1u   an1u n1  u n )  a0  a1 (Tu)   an1 (Tu) n1  (Tu) n  19 H  F từ nhóm H G đến trường F N chứa K Khi cho nhóm H , trường tương ứng F  F (H ) gồm tất phần tử N giữ bất biến tự đẳng cấu thuộc H ; cho trường F , nhóm tương ứng H  H (F ) gồm tất tự đẳng cấu G giữ cố định phần tử F H (F ) nhóm Galois N F có cấp bậc [ N : F ] Chứng minh Cho trƣờng F với K  F  N , xét tập H (F ) G đƣợc đặc trƣng : T  H ( F )  Tb  b , với b  F (6) Nếu S , T  G có tính chất tích ST vậy, tập hợp H (F ) nhóm G Trƣờng N trƣờng nghiệm f  K[x] , F  tự đẳng cấu N (tức tự đẳng cấu Aut F (N ) ) phải K  tự đẳng cấu N (tức tự đẳng cấu Aut K (N ) ) giữ cố định phần tử F , thuộc nhóm H ( F )  G Nhƣ thế, theo định ngĩa, H (F ) nhóm Galois N F , nghĩa là: H ( F )  Aut F ( N ) Áp dụng Định lý 2.4.3 cho nhóm Galois này, ta suy cấp H (F ) [ N : F ] Tiếp theo, ta chứng minh hai trƣờng trung gian phân biệt K  F1  F2  N định hai nhóm phân biệt H ( F1 ) H ( F2 ) Với b  F1 b  F2 , theo Định lý 2.4.3, ta có T  H ( F2 )  Aut F ( N ) cho Tb  b Mà b  F1 Tb  b kéo theo T  Aut F ( N )  H ( F1 ) nên H ( F1 )  H ( F2 ) Vậy F  H (F ) đơn ánh từ tập tất trƣờng trung gian K  F  N vào tập hợp tất nhóm nhóm G  Aut K (N ) Mặt khác, cho H nhóm hữu hạn cấp h nhóm G  Aut K (N ) , theo Mệnh đề 2.2.1 ta có trƣờng F (H ) N đƣợc đặc trƣng b  F ( H )  Tb  b , T  H (7) với bậc [ N : F ]  h Với trƣờng F  F (H ) này, đối chiếu (6) (7) ta có với T  H , Tb  b với b  F  F (H ) nên T  H (F ) Ta suy nhóm H (F ) chứa nhóm 20 H cho, theo Định lý 2.4.3, nhóm H (F ) có cấp [ N : F ] , ta phải có [ N : F ]  h , cấp nhóm H H (F ) Tóm lại, ta có cấp H (F ) [ N : F ]  h , điều kéo theo H ( F )  H Nhƣ tƣơng ứng F  H (F ) toàn ánh Vậy F  H (F ) với nhóm H (F ) định (6) song ánh, có song ánh □ nghịch H  F (H ) với F (H ) trƣờng định (7) 2.5 Tính khơng giải phương trình bậc Có thể áp dụng lý thuyết Galois vào tốn cổ điển giải phƣơng trình đại số thức Trƣớc xét toán nhƣ thế, ta đề cập đến bổ đề sau 2.5.1 Bổ đề Nếu K trường trường đặc số khác p , đa thức x p  a  K[x] (với p số nguyên tố) có nghiệm K đa thức bất khả quy K [x] Trong trường hợp thứ hai, nhóm Galois x p  a K nhóm cyclic cấp p 2.5.2 Định nghĩa Với K trƣờng trƣờng C số phức chứa đơn vị, ta giả sử F mở rộng hữu hạn chuẩn tắc K thu đƣợc dãy mở rộng đơn, mở rộng đơn kết kết nối vào mở rộng kế trƣớc K , thức bậc n độc Nhƣ có nghĩa tồn dây chuyền trƣờng trung gian Fi K  F0  F1  F2   Fs  F (8) cho Fi  Fi 1 ( xi ) , với xin  Fi 1 i Không giảm tính tổng qt, ta giả thiết số mũ n i số nguyên tố pi Một mở rộng F nhƣ đƣợc gọi mở rộng K thức Vì F chuẩn tắc, F trƣờng nghiệm đa thức f  K[x] , nên trƣờng nghiệm đa thức f F1  F0  K nhƣ F chuẩn tắc F1 (theo Mệnh đề 2.4.5), nhƣng F1 chuẩn tắc K theo Bổ đề 2.5.1 Do đó, S  Aut K (F ) cảm sinh hoán vị S1  Aut K ( F1 ) ( S1 thu hẹp S vào F1 ) với S , T  Aut K ( F ) , tích ST cảm sinh (ST )1  S1T1 , tích tự đồng cấu cảm sinh 21 Vì thế, S  S1 đồng cấu nhóm  : Aut K ( F )  Aut K ( F1 ) Hơn nữa, theo Bổ đề 2.4.1(ii) S1  Aut K ( F1 ) mở rộng thành S  Aut K (F )  toàn cấu, ta có Im  Aut K ( F1 ) Hạt nhân  là: Ker  {S  Aut K ( F ) /S  S1  I  Aut K ( F1 )} gồm tất S  Aut K (F ) giữ cố định phần tử F1 nên Ker  Aut F ( F ) Theo định lý đồng cấu nhóm cho ta đẳng cấu nhóm Aut K ( F ) / Aut F1 ( F )  Aut K ( F1 ) đó, Aut F ( F ) nhóm chuẩn tắc Aut K (F ) , nhóm Galois F K Còn theo Bổ đề 2.5.1, Aut K ( F1 ) , nhóm Galois F1 K , nhóm cyclic (cấp p1 cho x1p 1  K ) Vậy với mở rộng thức K theo định nghĩa (8), F  Fs mở rộng chuẩn tắc F1 , ta có nhóm chuẩn tắc Aut F ( F ) Aut K (F ) nhóm thƣơng Aut K ( F ) / Aut F1 ( F )  Aut K ( F1 ) cyclic Lập luận áp dụng cho mở rộng thức Fs K1 , chứng minh nhóm Aut F ( F ) chuẩn tắc Aut F ( F ) với nhóm Aut F1 ( F ) / Aut F2 ( F )  Aut F1 ( F2 ) cyclic Lặp lại s lần lập luận ký hiệu Gi  Aut F (F ) , quy nạp s , i ta có kết sau 2.5.3 Định lý Cho F mở rộng chuẩn tắc trường K thức Khi nhóm Galois G F K chứa dây chuyền nhóm : G  G0  G1  G2  Gs  {I } Trong đó, với i  1, , s , Gi  Gi 1 , nhóm thương Gi 1 / Gi cyclic, G s thu tự đẳng cấu đồng I Định lý phát biểu nhóm Galois G F K “nhóm giải đƣợc”, nhƣ định nghĩa sau 22 2.5.4 Định nghĩa Một nhóm hữu hạn G gọi nhóm giải có chứa dây chuyền nhóm G  G0  G1  G2  Gs  {I } Sao cho với i ta có 1) Gi  Gi 1 2) Gi 1 / Gi cyclic Ngƣời ta chứng minh nhóm nhóm giải đƣợc nhóm giải đƣợc ảnh đồng cấu nhóm giải đƣợc nhóm giải đƣợc Một phƣơng trình f ( x)  với f đa thức K [x] đƣợc gọi giải đƣợc thức K , nghiệm phƣơng trình thuộc mở rộng F K , thu đƣợc phép kết nối liên tiếp bậc n Ta biết phƣơng trình bậc 2, bậc bậc giải đƣợc thức Lƣu ý rằng, định nghĩa phƣơng trình giải đƣợc thức, khơng u cầu trƣờng mở rộng F phải chuẩn tắc K , mà đòi hỏi F chứa trƣờng nghiệm N f K Nhƣng liên hiệp phần tử biểu thị đƣợc thức, lại biểu thị đƣợc thức liên hiệp, trƣờng nghiệm N f phải chứa mở rộng hữu hạn F * ( F ) chuẩn tắc K F * mở rộng K thức Nhƣ F * chứa N nhƣ trƣờng chuẩn tắc K Do tự đẳng cấu S  Aut K ( F * ) đƣợc thu hẹp vào N tự đẳng cấu S1  Aut K ( N ) S  S1 tồn cấu nhóm  : Aut K ( F * )  Aut K ( N ) từ nhóm Galois F * K lên nhóm Galois N K Vì nhóm thứ nhóm giải đƣợc theo Định lý 2.5.2, nên nhóm thứ hai nhóm giải đƣợc Điều chứng minh 2.5.5 Định lý Nếu phương trình đại số f ( x)  có hệ số thuộc trường K giải thức, nhóm Galois phương trình K nhóm giải 23 Quan tâm đến vấn đề giải đƣợc thức phƣơng trình bậc trƣớc hết ngƣời ta nói 2.5.6 Bổ đề Tồn phương trình bậc với hệ số thực có nhóm Galois nhóm đối xứng S Chứng minh Ta biết trƣờng A số đại số có lực lƣợng đếm đƣợc chứa tất đơn vị Vì ta chọn liên tiếp năm số thực x1 , , x5 để có miền nguyên A[ x1 , , x5 ] đa thức theo x1 , , x5 độc lập đại số A , trƣờng N  A( x1 , , x5 ) phân thức hữu tỉ Các đa thức đối xứng sơ cấp s1 , , s5 A[ x1 , , x5 ] số thực K  A(s1 , , s5 ) trƣờng trƣờng N  A( x1 , , x5 ) Nhóm Galois trƣờng A( x1 , , x5 ) trƣờng K  A(s1 , , s5 ) nhóm Galois phƣơng trình bậc ( x  x1 ) ( x  x5 )  x  s1 x  s2 x  s3 x  s4 x  s5  có hệ số thực Theo Mục 2.4, nhóm Galois phƣơng trình bậc có hệ số thực nhóm hốn vị tập hợp phần tử {x1 , , x5 } , nhóm đối xứng S Nhƣng ta biết nhóm đối xứng S có nhóm chuẩn tắc khơng tầm thƣờng nhóm thay phiên A5 gồm hoán vị chẵn, A5 lại nhóm đơn (khơng có nhóm thực sự); S nhóm khơng giải đƣợc Từ Định lý 2.5.4 Bổ đề 2.5.1 ta có 2.5.7 Định lý Có phương trình đa thức bậc với hệ số thực không giải thức 24 CHƢƠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Chứng minh P trường nguyên tố trường E , tự đồng cấu E P - tự đồng cấu Suy tự đồng cấu trường nguyên tố tự đồng cấu đồng Giải Nếu T tự đồng cấu trƣờng E theo Mệnh đề 2.1.5, tập hợp KT  a  E / Ta  a trƣờng trƣờng E T K T  tự đồng cấu trƣờng E Vì K T chứa trƣờng nguyên tố P E nên T P  tự đồng cấu trƣờng E Vậy tự đồng cấu E P - tự đồng cấu Khi đó, tự đồng cấu T trƣờng nguyên tố P P  tự đồng cấu trƣờng P Suy Ta  a , a  P Vậy T tự đồng cấu đồng P □ Bài Miêu tả nhóm Galois q  x  Q (i ) Giải Với r  nghiệm đa thức q  x  Ta có mở rộng trƣờng Q  Q (i )  Q (r , i) Theo định lý bậc mở rộng trƣờng ta có [ Q (r , i) :Q ] = [ Q (r , i) :Q (i)].[ Q (i ) : Q ] Mà [ Q (r , i) :Q ]  x  đa thức bất khả quy Q nên [ Q (i) : Q ]  Suy [ Q (r , i) :Q (i)]  Vậy q  x  đa thức bất khả quy Q (i)[ x] Ta có trƣờng nghiệm đa thức x  Q (i)[ x] N  Q (r , i) Nhóm Galois q  x  Q (i ) tự đẳng cấu trƣờng Q (r , i) giữ cố định phần tử thuộc Q (i ) đổi r thành nghiệm u q  x  Q (i ) Giả sử S Q (i)  tự đẳng cấu trƣờng Q (r , i) cho: Si  i Khi Sr  ir 25 S i  S (Si)  Si  i ; S r  S (Sr )  S (ir )  r S 3i  S (S i)  Si  i ; S r  S (S r )  S (r )  ir S i  S (S 3i)  Si  i ; S r  S (S r )  S (ir )  r Suy S  I Vậy nhóm Galois q Q (i ) nhóm cyclic sinh S nhóm AutQ (r , i) Bài Cho F  Q(  ) trường sinh bậc phức  đơn vị Hãy khảo sát nhóm Galois x  F Giải Căn bậc phức  đơn vị đại số Q có đa thức bất khả quy tối tiểu x  x  , nên mở rộng đơn F  Q(  ) có bậc [F : Q ]  [ Q ( ) : Q ]  Đa thức x  đa thức bậc 3, bất khả quy Q (theo tiêu chuẩn Eisenstein với p  ) Mà (2,3) = nên theo Định lý 1.7, đa thức x  đa thức bất khả quy F Kết nối vào F nghiệm u x  trƣờng F (u)  Q (, u) , x  cịn có hai nghiệm khác u  u nên x  có dạng x   ( x  u)( x  u)( x   u) Vậy trƣờng nghiệm x  F N  Q (u, u,  2u)  Q (, u) Bậc trƣờng nghiệm N F N : F   F (u) : F   deg ( x  2)  Nhóm Galois x  F  Q ( ) G  Aut Q ( ) Q (, u) gồm tự đẳng cấu trƣờng F (u ) giữ cố định phần tử trƣờng Q ( ) , đổi u thành nghiệm khác x  F (u ) (theo Mệnh đề 2.2.1) Nếu gọi T Q ( )  tự đẳng cấu F (u ) cho Tu  u Khi : T 2u  T (Tu)  T (u)  (T )(Tu)   2u T 3u  T (T 2u)  T ( 2u)   (Tu)   3u  u Do đó, T  I Vậy nhóm Galois G gồm tự đẳng cấu I , T , T nên nhóm cyclic [ T ] sinh T có cấp Mỗi tự đẳng cấu nhóm Galois G x  Q ( ) cảm sinh hoán 26 vị tập hợp gồm nghiệm u1  u, u  u, u3   u trƣờng nghiệm N x  Ta biểu diễn tự đẳng cấu hốn vị nhóm S3 nhƣ sau : I T T2 u1 u1 u2 u3 u2 u2 u3 u1 u3 u3 u1 u2 Hoán vị (1) (123) (132) Bài Chứng minh E mở rộng Q tự đẳng cấu trường E giữ cố định phần tử Q Phát biểu chứng minh kết tương tự trường có đặc số p Giải Vì Q trƣờng nguyên tố E (do Q khơng có trƣờng thực nào) nên theo Bài 1, tự đẳng cấu trƣờng E Q - tự đẳng cấu hay tự đẳng cấu trƣờng E giữ cố định phần tử Q Xét trƣờng Zp lớp thặng dƣ mod p ( p số nguyên tố), trƣờng có đặc số p Ta có phát biểu sau: "Nếu E mở rộng trường Zp tự đẳng cấu trường E giữ cố định phần tử Zp" Chứng minh Trƣớc tiên ta chứng minh Zp trƣờng nguyên tố trƣờng E Thật vậy, giả sử A trƣờng trƣờng Zp, A  Zp  Với k  Zp ta có     k  1 1   A  ( k số hạng ) Suy Zp  A hay A  Zp Vậy Zp trƣờng nguyên tố Do theo Bài 1, tự đẳng cấu E giữ cố định với phần tử Zp □ Bài Cho đa thức f  Q [x] , gọi f  đa thức đạo hàm f d ước chung lớn f f ’ Chứng minh đa thức f1  Q [x] cho f  df1 có nghiệm với f f1 khơng có nghiệm bội Giải Với f  df1 , nghiệm f1 nghiệm f 27 Đảo lại, giả sử u nghiệm bội cấp n  f thì, từ f  ( x  u) n h với h  Q [x] , h(u )  Ta có f   nh( x  u) n1  ( x  u) n h  ( x  u) n1 (nh  ( x  u)h) với nh(u )  Cho nên u nghiệm bội cấp n  f  ; u nghiệm bội cấp n  d Vì u nghiệm đơn f Vậy f nghiệm bội □ Bài a) Chứng minh đa thức f  K[x] có đạo hàm hình thức f  = f khơng tách b) Chứng minh đa thức f  Zp [ x ] có đạo hàm hình thức f  = f  g p với g  Zp [ x ] Giải a) Nếu f   ( f , f  )  ( f ,0)  f nên f  bậc f  ( f , f  )  Theo Mệnh đề 2.3.3, f không tách đƣợc b) Nếu f = n n  ak x k  Zp [ x ] f  =  ka x k 0 k 0 k k 1  Zp [ x ] Do f   k.ak   Zp với k  0,1, , n Suy a k  a k  k  j k p (bội p ) Vì f = g p với g   Zp [ x ] g  a jk p x jk  Zp [ x ] □ Bài Chứng minh đa thức f  x  2u không tách Z3 (u ) nhóm Galois trường nghiệm đa thức thu tự đẳng cấu đồng Giải Gọi t nghiệm đa thức f  x3  2u  Z3 (u)[ x] Vì Z3 [t , x] có đặc số 3, () : Z  Z tự đơn cấu, nên x  2u  x  t  ( x  t ) Điều chứng tỏ Z3 (t ) trƣờng nghiệm x  2u Z3 (u ) đa thức x  2u không tách đƣợc Z3 (u ) Mỗi tự đồng cấu S thuộc nhóm Galois Z3 (t ) Z3 (u ) , giữ cố định phần tử Z3 (u ) biến t thành nghiệm khác x  2u Z3 (t ) ; nghiệm xác định S Z3 (t ) sinh Z3 (u ) t Vậy x  2u có t nghiệm Z3 (t ) Do nhóm Galois Z3 (t ) Z3 (u ) thu tự đẳng cấu đồng I Z3 (t ) □ Bài Chứng minh hệ 2.4.8 đa thức đối xứng theo ba biến x1 , x2 , x3 28 Hãy chứng tỏ nhóm Galois N  K ( x1 , x2 , x3 ) K nhóm đối xứng bậc Giải Các đa thức đối xứng sơ cấp K[ x1 , x2 , x3 ] s1  x1  x  x3 s  x1 x  x1 x  x x3 s3  x1 x x3 Các đa thức đối xứng sơ cấp s1 , s , s3 sinh K trƣờng F  K (s1 , s2 , s3 ) Còn trƣờng phân thức N  K ( x1 , x2 , x3 ) trƣờng nghiệm đa thức p( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  x  s1 x  s x  s3  K (s1 , s , s3 )[ x] Theo Định lý 2.2.4, tự đẳng cấu T nhóm Galois G N F cảm sinh hoán vị biến x1 , x , x Do theo Mệnh đề 2.4.7, với g  K[ x1 , x2 , x3 ] g phải thuộc F Vậy g có dạng g  f (s1 , s2 , s3 ) / g (s1 , s2 , s3 ) với f , g  K[s1 , s2 , s3 ] Mỗi tự đẳng cấu T  G  Aut F (N ) cảm sinh hoán vị  tập hợp x1 , x2 , x3  thuộc nhóm S cho Txi  x i , i  1,2,3 Và T   đơn cấu cấu nhóm G  S Hơn tồn cấu với hốn vị   S , g ( x1 , x2 , x3 )  g ( x1 , x , x3 ) K - tự đẳng cấu trƣờng N ; K - tự đẳng cấu F - tự đẳng cấu □ Vậy G đẳng cấu với nhóm S Bài Chứng minh tồn trường N trường F cho nhóm Galois N F nhóm đối xứng bậc n Giải Từ trƣờng K bất kỳ, ta có miền nguyên đa thức K[ x1 , , xn ] trƣờng N  K ( x1 , , xn ) phân thức hữu tỷ theo n biến x1 , , xn với hệ tử K Các đa thức đối xứng sơ cấp s1 , , sn Xét trƣờng F  K (s1 , , sn ) N Vì p( x)  ( x  x1 ) ( x  xn )  x n  s1x n 1   (1)n sn nên N trƣờng nghiệm p( x)  F[ x] Theo Định lý 2.2.4, T  G  Aut F (N ) xác định hoán vị   S n tập hợp x1 , x2 , , xn  cho Txi  x , i  1,2, , n Và i T   đơn cấu nhóm 29 G  Sn Đơn cấu cịn tồn cấu với   Sn tƣơng ứng g ( x1 , , x n )  g ( x1 , , x n ) K – tự đẳng cấu T F đơn cấu F  tự đẳng cấu N Do G  S n □ Bài 10 Chứng minh, K  L  F F chuẩn tắc K chuẩn tắc L Giải Vì F chuẩn tắc K nên F mở rộng hữu hạn, đại số K Để chứng minh F chuẩn tắc L ta lấy đa thức bất khả quy f  L[x] có nghiệm u  F Ta cần chứng minh nghiệm lại f thuộc F Vì u  F đại số K nên tồn đa thức bất khả quy q  K[x] nhận u làm nghiệm Do nghiệm cịn lại q thuộc F (vì F chuẩn tắc K ) Hay q phân tích đƣợc thành tích đa thức bậc K [x] Ngoài ra, đồng cấu bao hàm K  L mở rộng thành phép nhúng miền nguyên K[ x]  L[ x] Theo Định lý 1.3 ta có K[ x] /( q)  K (u) L[ x] /( f )  L(u) Suy (q)  ( f ) , q  ( f ) hay f ƣớc q F [x] Nhƣng q tích đa thức bậc F[x] , f tích đa thức bậc F[x] Hay, tất nghiệm f  L[x] thuộc F Vậy F chuẩn tắc L Bài 11 Cho  □ tập hợp tự đẳng cấu trường N K trường N gồm phần tử bất biến qua tự đẳng cấu thuộc  Chứng minh N chuẩn tắc K Giải Tập hợp K  {a  N / Ta  a, T  } trƣờng N (theo Hệ 2.1.6) Giả sử f đa thức bất khả quy K [x] có nghiệm u  N Ta có f (Tu)  T ( f (u))  T (0)  Vậy nhóm G (sinh  nhóm Aut (N ) ) gồm K - tự đẳng cấu N , phần tử u  N có Gu tạo nghiệm T1u , , Tm u f Mỗi T  G hoán vị phần tử Gu , đa thức g  ( x  T1u) ( x  Tm u)  K[ x] 30 Vì f (u)  f  K[x] nên f ƣớc g , nhƣng Ti u(i  1, , m) nghiệm phân biệt f nên g ƣớc f Do f  cg với c  K , f phân tích đƣợc thành tích phân tử bậc x  Ti u  N[x] Vậy N mở rộng chuẩn tắc trƣờng K □ Bài 12 Chứng minh N trường nghiệm đa thức tách f  K[x] có số hữu hạn trường trung gian K N Giải Theo Định lý 2.4.9, có tƣơng ứng 1-1 nhóm nhóm Galois G N K với trƣờng N chứa K Nhóm Galois G  Aut K (N ) có cấp [ N : K ] (theo Định lý 2.4.3) [ N : K ]  n !, với n bậc f , G có nhiều 2n ! – nhóm Do N có nhiều 2n ! – trƣờng chứa K □ Bài 13 Chứng minh F mở rộng hữu hạn trường K có đặc số có số hữu hạn trường trung gian K F Giải Vì F mở rộng hữu hạn trƣờng K , nên tồn c1 , c2 , , cn  F cho F  K (c1 , c2 , , cn ) Gọi qi  K[x] đa thức bất khả quy c i , i  1,2, , n Gọi f tích đa thức qi phân biệt gọi N trƣờng nghiệm f  K[x] Vì K có đặc số ƣớc bất khả quy f phân biệt nên f  K[x] đa thức tách đƣợc Theo Bài 12 có hữu hạn trƣờng trung gian K N Do có hữu hạn trƣờng trung gian K F (vì F  N ) □ Bài 14 Chứng minh n  , có phương trình đa thức bậc n với hệ số thực không giải thức Giải Với A trƣờng tất số đại số.Chọn n số thực x1 , , xn độc lập đại số A Ta có mở rộng siêu việt A( x1 , , xn ) Gọi s1 , , sn đa thức đối xứng sơ cấp xét mở rộng F  A(s1 , , sn ) Nhóm Galois trƣờng A( x1 , , xn ) trƣờng F  A(s1 , , s n ) nhóm Galois phƣơng trình bậc n F sau f ( x)  x n  s1 x n1  s2 x na   (1) n1 sn1 x  (1) n sn  Theo Mục 2.4, nhóm Galois phƣơng trình bậc n F nhóm 31 hốn vị tập hợp gồm n phần tử x1 , , xn nhóm đối xứng S n Nhƣng ta biết S n nhóm khơng giải đƣợc với n  Vậy phƣơng trình bậc n  với hệ số thực không giải đƣợc thức □ Bài 15 Với Q trường số hữu tỉ đa thức f ( x)  x  s1 x  s2 x  s3 x  s4 x  s5 Chứng minh nhóm Galois f trường Q (s1 , , s5 ) nhóm đối xứng S Giải Các nghiệm thực x1 , , x5 f độc lập trƣờng A số đại số Mọi Q (s1 , , s5 )  tự đẳng cấu T trƣờng Q ( x1 , , x5 ) xác định hoán vị (T )  S định Txi  xi với i  1,2, ,5 Sự tƣơng ứng T  (T ) đơn cấu nhóm Galois G f Q (s1 , , s5 ) vào nhóm S Hơn nữa, x1 , , x5 độc lập đại số Q, nên T  (T ) toàn cấu Tóm lại, G đẳng cấu với nhóm S □ Bài 16 Chứng minh, F mở rộng K thức tồn mở rộng N F chuẩn tắc K mở rộng K thức Giải Trƣờng F mở rộng thức K có dây chuyền trƣờng K  F0  F1   Fs  F , Fi  Fi 1 (ai ) cho ain  Fi 1 với i  1,2, , s i Gọi qi đa thức bất khả quy tối tiểu a i K Đặt f  q1 q s Mọi trƣờng nghiệm N f  K[x] mở rộng chuẩn tắc K Ta chứng tỏ N mở rộng thức K Nếu u nghiệm f N , ta tìm đƣợc i  {1, , s} cho K (ai )  K (u) Khi K  tự đẳng cấu mở rộng đƣợc thành K - tự đẳng cấu S N Phần tử u nghiệm đa thức x n  (Sai ) ni i Nếu S1 , , S n K tự đẳng cấu nhƣ dây chuyền thu đƣợc cách kết nối lần lƣợt kể từ K , thức S1a1 , , S1as , S a1 , S as , S n a1 , S n as kết thúc N Vậy N mở rộng thức K □ 32 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo, khóa luận trình bày số định nghĩa, tính chất lý thuyết Galois ứng dụng lý thuyết Galois giải phƣơng trình Cụ thể khóa luận hồn thành đƣợc việc sau: - Trình bày định nghĩa kết tự đẳng cấu trƣờng, nhóm Galois, đa thức tách đƣợc mở rộng tách đƣợc - Trình bày số tính chất nhóm Galois - Trình bày ứng dụng lý thuyết Galois tính khơng giải đƣợc phƣơng trình bậc - Đƣa số tập áp dụng 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), “Giáo trình đại số đại”, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Thành Quang (2005), “Lý thuyết trường lý thuyết Galois”, Đại học Vinh [3] Nguyễn Chánh Tú (2003), “Mở rộng trường lý thuyết Galois”, NXB Giáo dục [4] Ngô Việt Trung (2001), “Lý thuyết Galois”, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [5] Z.I Borevic, I.R Saferevic (1996), “Numbers Theory”, Acamedic Press ... thức sở lý thuyết trƣờng có sử dụng Chƣơng Chƣơng Chƣơng 2: Một số vấn đề lý thuyết Galois Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày số định nghĩa, tính chất lý thuyết Galois ứng dụng lý thuyết Galois. .. đƣờng cho đời đại số đại Vì lý chúng tơi chọn đề tài khóa luận "Một số vấn đề lý thuyết Galois" để nghiên cứu Trong khóa luận này, chúng tơi hệ thống hóa lại số kết lý thuyết Galois Ngoài phần... 33 MỞ ĐẦU Lý thuyết Galois lý thuyết đẹp đẽ đại số, tập hợp nhiều kiến thức phƣơng pháp lĩnh vực toán học khác nhau, nhằm giải toán cổ điển vấn đề quan trọng khác đại số đại Lý thuyết Galois tạo