Tính không giải đƣợc của phƣơng trình bậc 5

3 3 2 4 1 5 ) (x x s x s x s x s x s f      

Chứng minh nhóm Galois của f trên trường Q (s1,...,s5) cũng là nhóm đối xứng S5. Giải. Các nghiệm thực x1,...,x5 của f độc lập trên trƣờng A các số đại số. Mọi

Q(s1,...,s5)tự đẳng cấu T của trƣờng Q(x1,...,x5) xác định một hoán vị (T)S5

định bởi Txi xi với i1,2,...,5. Sự tƣơng ứng T (T) là một đơn cấu của nhóm Galois G của f trên Q(s1,...,s5) vào nhóm S5. Hơn nữa, vì x1,...,x5 độc lập đại số trên Q, nên T (T) là toàn cấu. Tóm lại, G đẳng cấu với nhóm S5. □

Bài 16. Chứng minh, nếu F là một mở rộng của K bằng các căn thức thì tồn tại

mở rộng Ncủa F chuẩn tắc trên K và cũng là mở rộng của K bằng các căn thức.

Giải. Trƣờng F là mở rộng bằng những căn thức của K nếu có một dây chuyền

những trƣờng F F F F K  0  1 ... s  , trong đó Fi Fi1(ai) sao cho n  i1

i F

a i với mỗi i 1,2,...,s.

Gọi qi là đa thức bất khả quy tối tiểu của ai trên K. Đặt f q1...qs. Mọi trƣờng nghiệm N của f K[x] là một mở rộng chuẩn tắc của K. Ta chứng tỏ rằng N là một mở rộng bằng những căn thức của K. Nếu u là một nghiệm của f trong N, ta có thể tìm đƣợc một i{1,...,s} sao cho K(ai)K(u). Khi đó K tự đẳng cấu này mở rộng đƣợc thành một K- tự đẳng cấu S của N.

Phần tử u là nghiệm của đa thức ni i n

Sa x i ( ) .

Nếu S1,...,Sn là các K tự đẳng cấu nhƣ thế thì dây chuyền thu đƣợc bằng cách kết nối lần lƣợt kể từ K, các căn thức . 1 2 1 2 1 1 1a ,...,S as,S a ,...S as,...Sna ,...Snas S

KẾT LUẬN

Dựa vào tài liệu tham khảo, khóa luận đã trình bày một số định nghĩa, tính chất của lý thuyết Galois và ứng dụng của lý thuyết Galois trong giải phƣơng trình. Cụ thể là khóa luận đã hoàn thành đƣợc những việc sau:

- Trình bày các định nghĩa và các kết quả về tự đẳng cấu trƣờng, nhóm Galois, đa thức tách đƣợc và mở rộng tách đƣợc.

- Trình bày một số tính chất của nhóm Galois.

- Trình bày ứng dụng của lý thuyết Galois về tính không giải đƣợc của phƣơng trình bậc 5.

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[1]. Nguyễn Tự Cƣờng (2003), “Giáo trình đại số hiện đại”, NXB ĐHQG Hà Nội. [2]. Nguyễn Thành Quang (2005), “Lý thuyết trường và lý thuyết Galois”, Đại học Vinh.

[3]. Nguyễn Chánh Tú (2003), “Mở rộng trường và lý thuyết Galois”, NXB Giáo dục.

[4]. Ngô Việt Trung (2001), “Lý thuyết Galois”, NXB ĐHQG Hà Nội.

Tiếng Anh