u.v n ed ui .lib ww w ed u.v n ui .lib -w ww lib -w ww ed ui n- u.v ww w lib ui ed n- u.v - ww w lib ui Nguyễn Duy Tiến MỞ ĐẦU VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ CÁC ỨNG DỤNG NHÀ XUẤT GIÁO DỤC - 2011 ed u.v n u.v n ed ui .ha ww w lib n- đ Xu ed u.v LỊI NĨI ww w lib ui "Cồn nhó ràng mơn khoa học bát đầu từ việc xem xét trò chơi may rủi lại hứa hẹn trỏ thành dối tượng quan trọng tri thức loài người Phàn lớn văn dề quan trọng nhát, đài sổng thực chi bầi tốn lí thuyết xác suất” ed u.v n- P.S.LaplaxO (1812) ww w lib ui ed u.v n- ww w lib ui ed u -w ww lib ui Trong hoạt động thực tiễn mình, người bát buộc phải tiếp xúc với biến cố ngẫu nhiên khơng thể dự đốn trước Một lĩnh vực Tbán học cđ tên : "Lí thuyết Xác suất" đă đời nhằm nghiên cứu quy luật quy tấc tính tốn tượng ngẫu nhiên Ngày Lí thuyết Xác suất (LTXS) trở thành ngành Ibán học lớn, chiếm vị trí quan trọng vẽ lí thuyết lẫn ứng dụng Một mặt LTXS ngành Tbán học có tầm lí thuyết trình độ cao, mặt khác nd ứng dụng rộng rài nhiêu ngành KHKT KHXH Nhân văn Đặc biệt LTXS gắn liền với khoa học Thống kê, khoa học vể phương pháp thu thập, tổ chức phân tích liệu, thơng tin định lượng nhiều nước giới, LTXS Thống kê đă đưa vào giảng dạy từ bậc trung học môn sở bát buộc sinh viên nhiều ngành học khác bậc đại học nước ta, chương trình cài cách, học sinh phổ thông trung học làm quen với LTXS u.v n ww w lib ui ed Trong quyết, định đào tạo 'đại cương theo nhóm ngành Bộ Giáo dục Đào tạo, tất nhóm ngành đểu cđ chương trình Xác Suất - Thống Kê với thời lượng đơn vị học trình Nhiều cán cơng tác cd nhu cẩu phải tự học môn học u.v n- ww w lib ui ed u.v n- Cho đến giáo trình, sách tham khảo Xác suất Thống kê nước ta cịn Một số sách xuất trước lâu không phù hợp Để đáp ứng nhu cầu vé giảng dạy, hbc tập ứng dụng LTXS, biên soạn sách với hy vọng sách giáo trình có chất lượng, phục vụ cho đối tượng đông đảo bạn đọc bao gỗm : 1) Các bạn sinh viên cao học, đại học cao đẳng lần làm quen với LTXS, muốn trang bị kiến thức môn học* 2) Các cán nghiên cứu, thầy giáo đại học phổ thông tất muốn tư học môn -w ww lib ui ed Troìig biên soạn sách này, chúng tơi dựa chương trình chuẩn vễ mơn LTXS cho nhdm ngành Đại học Qc gia Hà Nội, chương trình chuẩn trường đại học kinh tế, kỉ thuật khác Chúng tham khảo sách giáo trình Xác suất số nước phát triển ed u.v n Phần lớn nội dung sách thử nghiệm giảng dạy nhiều lần cho sinh viên khoa Tốn, Tin, Hóa, Địa, Sinh, Y u.v n -w ww lib ui Để giúp bạn sinh viên khơng phải thuộc ngành Tốn bạn tự học dễ lĩnh hội, cố gáng lựa chọn phương pháp trỉnh bày thật dễ hiểu Các chứng minh dài bỏ bớt, dành chỗ cho nhiêu thí dụ cụ thể để giúp bạn đọc nắm vững lí thuyết hơn, đồng thời qua đố bước đầu thấy khả ứng dụng rộng rãi LTXS Những thí dụ đóng vai trị toán chọn lọc để độc giả lấy làm mẫu giải tập cuối chương Cuốn sách cđ gần 100 thí dụ ww w lib ui ed Để học Tbán Xác suất co kết quả, sinh viên thiết phải giải tập, giải nhiéu tốt Thành thử cuối ui ed u.v n u.v n- ww w lib chương đưa vào nhiéu tập để độc giả thử thách rèn luyện tự kiểm tra Đa số tập mức bản, khó Mỗi tập có đáp số dẫn để giúp cho bạn tự học Cuốn sách gổm cđ chương phụ lục Chương I, Chương II Chương III trình bày kiến thức bản, cốt lõi LTXS mà chương trỉnh cho nhdm ngành đòi hỏi ww w lib ui ed u.v n- ww w lib ui ed u -w ww lib ui ed u.v n- ww w lib ui ed Để nắm Chương I II yêu cầu kiến thức vễ Đại số trung học, cịn Chương III cẩn thêm chút kiến thức Giải tích trung học năm thứ bậc đại học Chương IV Chương V biên soạn phục vụ cho sinh vi^n thuộc nhđm ngành 1, í^Tnán, Tir., Vật Hổa, Địa) kinh tế, đđ chuẩn bị vé Toán họ đẩy đủ Phần phụ lục nhàm giúp độc giả ôn tập lại kiến thức bán Giải tích tổ hợp phục vụ cho việc học chương I, II Phụ lục bảng phân bố nhị thức, Poatxông chuẩn Trong trình biên soạn tác già nhận nhiều ý kiến đdng gđp nghiệp Bộ môn Xác suất Thống kê khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Quốc gia Hà Nội Xin chân thành cám ơn đóng gđp Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn đặc biệt tới GS.TS Nguyễn Duy Tiến, PGS Nguyễn Văn Hữu, PGS Lý Hoàng Tú, PTS Trần Phương Dung PTS Nguyễn Vãn Thường ông Nguyễn Khắc An, việc thẩm định, tổ chức thảo biên tập sách Mặc dù tác giả cố gắng, song sách cđ thiếu sđt Chúng mong nhận gđp ý phê bình độc giả n- ed u.v ui .lib ww w ui lib ww w .vn ed u lib -w ww ed ui n- u.v ww w lib ui ed n- u.v ww w lib ui ed u.v n u.v n ed ui .ha ww w lib n- Chương I ww w lib §1 PH ÉP THỬ NGẤU NHIÊN VÀ KHƠNG GIAN MẪư ui ed u.v BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN c ố ui Thí dụ ed u -w ww lib ui ed u.v n- Trong thực tế ta thường gặp nhiêu hành động mà kết nổ dự báo trước Tầ gọi chứng phép thử ngẫu nhiên, Phép thử ngẫu nhiên thường kí hiệu chữ £ Các kết ngẫu nhiên, xác định trước Tny nhiên ta cđ thể liệt kê tất kết cd thể £ Tập hợp tẫt cà kết cđ thể & gọi không gian mẫu £ ta thường kí hiệu nd bàng chữ Q Chữ (0 dùng để kí hiệu phẩn tử Q ta gọi phấn tử 0) Q biến cố sơ cấp ww w lib a) Phép thử ẽ gieo xúc xác quan sát số nốt mặt xuất có xúc xắc Tk khơng thể biết trước mặt xức sắc xuất Không gian mẫu Q ẽ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ww w lib ui ed u.v n- b) Phép thử s chọn ngẫu nhiên 500 niên lứa tuổi từ 18 đến 25 đếm xem cđ người cá thdi quen hút thuốc ỉá Con số cố thể số nguyên bất ki từ đến 500, Vậy Q = {0, 1, 2, 500} u.v n ed ww w lib ui §2 BIẾN CỐ VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CHÚNG u.v n- Xét phép thử £ Cd rát nhiễu câu hỏi liên quan tới kết s Ta xét biến cố (còn gọi kiện) mà việc xảy hay không xảy chúng hoàn toàn định kết £ ui ed Kết (ú s gọi két thuận lợi cho biến cố A A xảy kết s C(> {SNN, NSN, SSN, NNN, SNS, NSS, s s s , NNS} n- Q= ww w lib Thí dụ Phép thử s gieo đồng tiễn liên tiếp lẩn Dổng tiên cđ thể sấp (S) ngửa (N) Không gian mảu Q £ ed u.v Gọi A biến cố : "Cđ hai lẩĩi tiễn mặt ngửa” Khi kết thuận lợi cho A lib ui {SNN, NSN, NNS}, Nếu B biến cố : "Số lẩn xuất mặt ngửa số lẻ" thi kết thuận lợi cho B ed u.v n -w ww {SNS, SSN, NSS, NNN} Như biến cố A với tập Q bao gổm tất kết thuận lợi cho A .ha ui Biến có khơng thề biến cố không xảy Nđ tương ứng với tập rỗng Q Biến cố chắn biến cố luôn xảy Nd tương ứng với toàn tập Q .lib a) Quan hệ biến cố -w ww Kéo theo : Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Nếu biểu diễn A \ ầ B hai tập Q thỉ A kéo theo B nghĩa A c B ww w lib ui ed u.v n Biến cố đói : Biến cố gọi biến cố đói A nđ xảy A không xảy Biến cố đối A kí hiệu A Ta cđ à = Q \A u.v n ed ww w lib Hợp hai biến cố A jB ỉà biến cố xảy có hai biến cố A £ xảy l ầ kí hiệu hợp hai biến cố A B A u B ui b) Hợp c ủ a cá c biến cô' ui .ha u A2 u ed u.v n- Tương tự ta cđ thể định nghĩa hợp nhiễu biến cố Nếu Ap A 2, biến cố hỢp chúng biến cố xảy có biến cố đđ biến cố Ap xảy Tk kí hiệu hợp Ap A 2, w lib c) G iao củ a cá c biến cố , A„ Aj A ed , A2 , , A2 , , đểu xảy Kí hiệu giao ui biến cố xảy u.v tất biến cố , A2 , n- Giao nhiểu biến cố ww Giao hai biến cố A B biến cố xảy A B đéu xảy Tk kí hiệu giao hai biến cố A B AB .lib Thí dụ -w ww Ba xạ thủ A, B, c người bắn viên đạn vào mục tiêu Giả sử Ay -jB c biến cố sau : :”Xạ thủ A bắn trúng" ; B :"Xạ thủ B bán trúng" ; c :"Xạ thủ c bắn trúng" ed u.v n A ui i) Hãy mô tả biến cố sau lib ABC, Ă B C , A u B u c -w ww ii) Xét biến cố sau : ”Cđ hai xạ thủ bán trúng” E : "Cd nhiéu xạ thủ bántrúng" ; ; u.v n D F : "Chỉ cđ xạ thủ bán trúng" ; ui ed G : "Chỉ có xạ thủ c bắn trúng", ww w lib Hãy biểu diễn biến có theo biến cố A, B c u.v n ed D ^ AB u BC u CA n- ii) ww w lib ui GiảL i) ABC biến cố : "Cả ba xạ thủ bán trúng" A B c ìầ biến cố : "Cả ba xạ thủ đéu bắn trượt" A u B u c biến cố : "Cđ xạ thủ bắn trúng" .ha ui ed u.v E à B u BC u Cà cđ nhiểu xạ thủ bắn trúng cđ nghĩa cổ hai xạ thủ bán trượt F = Ă B C u à B C u ÃBC w lib G = ABC ui ed u.v n- ww Biến có xung khác : Hai biến cố A J3 gọi xung khắc A vầ B không thời xảy Ndi cách khác A B xung khác AB = lib §3 XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN c ố ui ed u.v n -w ww Xác suất biến cố số nằm 1, só đo lường khả xuất biến cố đtí phép thử thực Kí hiệu xác suất biến cổ A P(A) Cổ ba phương pháp gán xác suất cho biến cố ià ; định nghĩa xác suất cổ điển, định nghĩa xác suất dựa tần suất định nghĩa xác suất theo tiên đề -w ww lib a) Đ ịnh n g h ĩa xác su â t cổ đ iền Giả thử phép thử ẽ cố số hữu hạn kết cđ thể Hơn ta giả thiết kết cố đòng khả xuát Khỉ đổ xác suất biến cố A tỉ số số kết thuận lợi A số kết cd thể .ha ui ed u.v n Như trường hợp ta cố ww w lib d đổ |A| kí hiệu số phẩn tử tập hợp A 10 u.v n ed w lib ui ed u.v n- ww w lib ui Như trường hợp việc tính xác suất quy vể việc đếm sổ kết cđ thể số kết thuận lợi Để việc "đếm" thực cách xác, nhanh chdng, ta cẩn số kiến thức vỗ Giải tích Tổ hỢp (xem Phụ lục) Định nghĩa xác suất cổ đỉển dựã hai giả thiết quan trọng : i) Các kết lầ hữu hạn ; ii) Cấc két có thề dòng khả Hai giả thiết thường thỏa mãn tính tốn xác suất trò chơi may rủi, việc chọn lựa vơ tư, khơng thiên vị ed u.v n- ww TKÍ dụ Gieo thời ba xúc sắc chế tạo cân đối, chất Tính xác suất để tổng số nốt xuất ba Giải : Mỗi kết phép thử ba (a, bj c) dó a, b, c số nguyên dương từ đến Vậy (a, 6, c) ; < ^ lib Q = ui < a < |Q | -w ww < c