Lý thuyết hàm p adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐINH XUÂN BẰNG LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun-2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐINH XUÂN BẰNG LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHỐI Thái Ngun-2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Đinh Xuân Bằng Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận ngƣời hƣớng dẫn khoa học Hà Huy Khối Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn nhiệt tình thầy hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái Thầy giành nhiều thời gian, cơng sức bảo tơi q trình thực đề tài tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tơi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau Đại Học trường tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Tơi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình q thầy tham gia giảng dạy cho lớp cao học chun ngành Tốn khóa 19 Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân u gia đình ln cho tơi niềm tin động lực để học tập tốt Thái Nguyên, Tháng Năm 2013 Học viên Đinh Xuân Bằng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục .iii Mở đầu .1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường không archimed 1.2 Các hàm giải tích hàm phân hình 1.3 Tích phân Schnirelman cơng thức tích phân Cauchy 1.4 Hệ cơng thức tích phân Cauchy .14 Chƣơng 2: ĐA GIÁC ĐỊNH GIÁ VÀ CÔNG THỨC POISSON – JENSEN 19 2.1 Trường lớp thặng dư .19 2.2 Giá trị tuyệt đối không Archimed vành hàm giải tích 19 2.3 Đa giác định giá 26 2.4 Thuật toán chia Euclid 33 2.5 Công thức Poisson – Jensen 41 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, nhiều vấn đề quan trọng lý thuyết hàm phức biến xem xét lớp hàm trường không Archimed Bên cạnh nhiều tính chất tương tự, có nhiều tính chất đặc thù không gian hàm trường không Archimed Bản luận văn nhằm mục đích giới thiệu số tính chất trường khơng Archimed khơng gian hàm chỉnh hình phân hình Những tính chất tương tự với hàm chỉnh hình phân hình phức thường chứng minh dựa vào tích phân Schnirelman, tính chất đặc thù lại thiết lập chủ yếu nhờ vào đa giác định giá hàm chỉnh hình trường khơng Archimed Nội dung luận văn trình bày dựa theo giảng “p-adic Function Theory” W Cherry, với đôi chỗ chứng minh chi tiết hóa (mà giảng cho dạng tập) Luận văn gồm hai chương phần tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trƣờng không Archimed Định nghĩa: Giả sử  vành giao hoán Giá trị tuyệt đối không Archimed  hàm từ  đến số thực không âm  0 thỏa mãn ba tính chất sau: AV a  a  AV ab  a b với a, b   AV a  b  max  a , b  với a, b   Nhận xét 1.1.1 Nếu a  b , a  b  max  a , b  Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: a  b  max  a , b  Ta chứng minh a  b  max  a , b  Thật vậy: Xét a  b Ta có a  a  b  b  max  a  b , b  nên a  a  b Xét a  b Ta có b  a  b  b  max  a  b , a  nên b  a  b Như ta có a  b  max  a , b  Vậy a  b  max  a , b  Ý nghĩa hình học: Nhận xét 1.1.1 có ý nghĩa : - Mỗi tam giác không gian không Archimed cân - Mỗi điểm nằm hình cầu tâm Điều có nghĩa hai đĩa trịn chúng rời đĩa nằm trọn đĩa Nhận xét 1.1.2 Nếu  giá trị tuyệt đối khơng Archimed miền nguyên mở rộng tới trường hữu tỉ  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kí hiệu: Cặp ( F , Archimed ) bao gồm có trường F với giá trị tuyệt đối không F ta kí hiệu ngắn gọn F Định nghĩa (Tính liên tục dãy) Dãy an trường không Archimed F gọi hội tụ tới phần tử a F , với   , có tồn số tự nhiên N cho với số tự nhiên n  N , ta có a  an   Định nghĩa (Dãy Cauchy trƣờng không Archimed) Dãy an F gọi dãy Cauchy với   , có tồn số tự nhiên  cho với số tự nhiên m n ; m, n   , an  am   Nhận xét 1.1.3 Giả sử F trường không Archimed Giả sử F tập dãy Cauchy F mà dãy modulo hội tụ tới Nói cách khác , định nghĩa quan hệ tương đương tập hợp dãy Cauchy F cách xác định hai dãy Cauchy tương đương hiệu chúng dãy hội tụ tới 0, giả sử F tập hợp lớp tương đương quan hệ tương đương Khi đó, F trường, mở rộng cách tự nhiên tới F , F trường không Archimed đầy đủ mà ta gọi bổ sung đầy đủ F Cho trường F, F  kí hiệu cho F \ 0 Cho trường không Archimed (F, ), tập hợp F× =  x : x  F   0 nhóm với phép nhân  gọi nhóm giá trị F Nếu F rời rạc  0 0 , F gọi trường không Archimed với giá trị tuyệt đối rời rạc Dưới đưa vài ví dụ trường khơng Archimed đầy đủ: (i) Giá trị tuyệt đối tầm thƣờng: Giả sử F trường Giá trị tuyệt đối , gọi giá trị tuyệt đối tầm thường F  x  với x  F× Khi đó, dãy Cauchy từ lúc số, hội tụ Như trường Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn F tùy ý trở thành trường khơng Archimed đầy đủ cách trang bị F giá trị tuyệt đối tầm thường (ii) Các trƣờng số p –Adic Xét số hữu tỉ Q giả sử p số nguyên tố Khi đó, số x khác khơng Q viết dạng sau : x  pn a b p không chia hết a b  pn : x  Với x Q ta có: x p   0 : x  Ví dụ: (1) Cho p  , x  45 Ta có x  5.9 nên x p  51  / 25 (2) Cho p  , x  22 / 2015  22  Ta có x  51·  nên x p    403  (3) Cho p  , x  2013 Ta có x p  2013  Mệnh đề 1.1.4 Hàm p giá trị tuyệt đối không Archimed Q Mệnh đề 1.1.5 Giả sử p số nguyên tố, n0 số nguyên dương cho với số nguyên n  n0 , ta có  an  p  Khi đó, dãy tổng riêng k  Sk   an p n dãy Cauchy Q, n  n0 p  Hơn nữa, S k hội tụ Q an từ lúc tuần hồn , nói cách khác tồn số nguyên n1 t  cho ant  an với n  n1 Chứng minh: Xem [24, § I 5.3] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa (Trƣờng Q p ): Với số nguyên tố p , bổ sung đủ Q theo tôpô sinh giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối p p trường, kí hiệu Q p Q p , mở rộng từ giá trị tuyệt đối p Q , thỏa mãn: (1) Q trù mật Q p (2) Q p đầy đủ Trường Q p gọi trường số p -adic Định nghĩa ( Trƣờng  p ): Bao đóng đại số Q p kí hiệu Q p , giá trị tuyệt đối Q p mở rộng từ giá trị tuyệt đối p Q p kí hiệu p Chú ý Q p không đầy đủ Trường bổ sung đủ Q p theo tôpô cảm sinh giá trị tuyệt đối p , kí hiệu  p Như (1) Tồn phép nhúng Q p   p giá trị tuyệt đối nhận cách mở rộng giá trị tuyệt đối p p  p Q p (2) Q p trù mật  p (3)  Trường   p p p đầy đủ thỏa mãn ba điều kiện gọi trường số phức p -adic đầy đủ, đóng đại số, có đặc số khơng 1.2 Các hàm giải tích hàm phân hình Giả sử ( F , ) trường khơng Archimed, đầy đủ, đóng đại số Mệnh đề 1.2.1 Chuỗi a n phần tử F hội tụ lim an  n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn +) Trường hợp f đa thức Trong trường hợp này, thuật toán Euclid cho đa thức q R thỏa mãn (i) (ii), ta cần chứng minh q R thỏa mãn (iii) (iv) Ta xét trường hợp đặc biệt r  tất hệ số f P có giá trị tuyệt đối khơng vượt q 1, nghĩa hệ số f P phần tử O , hệ số đa thức có giá trị tuyệt đối Điều có nghĩa f  P  Do P 1 trội, hệ số lũy thừa bậc cao phải có giá trị tuyệt đối Khi đó, thuật tốn chia Euclid cho đa thức R q với hệ số O , f  P  1, nên q R thỏa mãn (iii) (iv) Do nhân f với số tức nhân q R với số đó, nên kết mà không cần phải giả thiết hệ số f O Nhân P với số tức chia q với số khơng thay đổi R , nên kết mà không cần phải giả thiết hệ số P O Vẫn trường hợp f đa thức, r thuộc F× , cách chọn a F với a  r thay z az , ta có trường hợp Nếu tầm thường bổ đề hiển nhiên Trường hợp không tầm thường, r khơng thuộc F× , với r thuộc F× đủ gần r , ta có P r  trội bổ đề chứng minh r liên tục theo r +) Trường hợp f khơng đa thức Khi đó, tồn dãy đa thức f n cho f  f n r  Giả sử qn Rn thương phần dư nhận cách chia f n cho P , theo trường hợp đa thức chứng minh ta thấy qn Rn dãy A  r  , dãy Cauchy với r Do chúng hội tụ tới q R A  r  theo mệnh đề Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.4 Vì deg R n  deg P , Rn phải hội tụ tới đa thức có bậc nhỏ bậc P Các tính chất (i)-(iv) bảo tồn lấy giới hạn n   Tính chất (iv) đảm bảo thương q giải tích B r +) Bây kiểm tra tính trường hợp tổng quát, giả sử ta có : Pq1  R1  f  Pq2  R2 Khi đó, P  q1  q2   R2  R1 Do , q1  q2 , K  R2  R1 , r   K  P  q1  q2  , r   K  P, r   K  q1  q2 , r  = deg P  K  q1  q2 , r   deg P , mâu thuẫn với kiện R2  R1 đa thức có bậc nhỏ deg P  Hệ 2.4.2 Giả sử r1  r  r2 với r  , f thuộc A  r1, r2  , giả sử P đa thức r  cực trị Khi đó, tồn chuỗi Laurent q A  r1, r2  đa thức R cho: (i) f  Pq  R ; (ii) deg R  deg P ; (iii) R r  f (iv) q r  f r r Pr ; Chứng minh: +) Chứng minh tính Giả thiết Pq  R  Pq  R Khi đó: P  q  q   R  R Như vậy,   K R  R, r  K  P, r   K  q  q , r   deg P  K  q  q , r  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   k R  R, r  k  P, r   k  q  q , r    k  q  q , r  , P r  cực trị Do đó,     K R  R, r  k R  R, r  deg P , Nó mâu thuẫn việc R  R đa thức có bậc nhỏ bậc P +) Chứng minh tồn Ta viết :  f  z    an z n  n 0 1 a z n   f  z   f  z  n n Đầu tiên, áp dụng thuật toán chia với f  ta chuỗi lũy thừa q đa thức R cho f  Pq  R Từ bổ đề, ta biết deg R  deg P , q r  f r Pr R r  f  r Do r2  r , P r2 trội, từ bổ đề ta có q thuộc A  r2  Hơn nữa, z deg P P  z 1  r 1  cực trị Vì f   z 1  / z chuỗi lũy thừa hội tụ với z  r 1 , nên ta áp dụng thuật tốn chia để có chuỗi lũy thừa q đa thức R với deg R  deg P cho z deg P f   z 1  z  z deg P P  z 1  q  z   R  z  Do đó, f  z   P  z  q  z 1  z  z deg P1R  z 1  Từ bổ đề, ta có z deg P 1R  z 1   z1deg P R  z  r r 1  f   z 1  r 1  f  z  r , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn z q  z 1 1  r  zq  z  r 1  f   z 1  P  z 1  r 1 f  z  r  P  z  r r 1 Vì r1  r , z deg P P  z 1  r11 trội, từ bổ đề suy z 1q  z 1  thuộc A  r1,   Do đó, với cách đặt q  z   q  z   z 1q  z 1  R  z   R  z   z deg P1R  z 1  ta có điều phải chứng minh  Định lý 2.4.3 ( chuẩn bị Weierstrass ) Giả sử f hàm giải tích A r1, r2  Giả sử r thỏa mãn r1  r  r2 , d  K  f , r   k  f , r  Khi đó, tồn cặp  P, u  cho f  Pu , cho P đa thức có bậc d với P  0  k  P, r   , K  P, r   d , cho u giải tích A r1, r2  với k  u, r   K  u, r  Chứng minh: Bằng cách nhân f với số lũy thừa thích hợp z , khơng tổng qt, ta giả sử f r  k  f , r   +) Ta chứng minh tồn phương pháp quy nạp Ta viết : f  z   a z n  n d n giả sử P1  z    an z n , n 0 d  K  f , r  Chú ý P1 r  cực trị giả sử q1 R1 thương phần dư cho hệ 2.4.2 Do f  P1  P1  q1  1  R1 , P1 r  nên theo tính thuật toán chia hệ 2.4.2, ta có R1 r  f  P1 r  , với lưu ý |P|r = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bây giả sử với i  1, ,n , ta tìm  Pi , qi , Ri  Pi đa thức bậc d , r  cực trị, với Pi r  , Ri đa thức có bậc nhỏ d , qi giải tích A r1, r2  với qi r  , f  Pq i i  Ri , bất đẳng thức sau đúng: (a) Ri r  f  P1 với i  1, , n ; i (b) Pi  Pi 1 r  f  P1 i 1 với i  2, , n ; (c) qi  qi 1 r  f  P1 với i  2, n i Đặt Pn1  Pn  Rn Do Pn1 Pn có số hạng bậc cao Rn r   Pn r nên Pn1 r  Pn1 r  trội Ta có Rn    Rn r   Pn r  Pn   , theo nhận xét 1.1.1 ta có k  Pn1, r   Pn1 r  cực trị Giả sử qn1 Rn1 thương phần dư nhận phép chia f cho Pn1 Lúc đó, Pn1  Pn r  Rn r  f  P1 r , n (b) thỏa mãn Pn1 Viết lại phép chia f sau Pnqn  Rn  f  Pn1qn1  Rn1   Pn  Rn  qn1  Rn1 , ta  Rnqn1  Pn  qn1  qn   Rn1  Rn , Rn 1  qn1   Pn  qn1  qn   Rn1 Áp dụng hệ 2.4.2 (2.13), ta có qn1  qn r  Rn r · qn1 r  f  P1 r ·  , n Và qn1 r  qn r  1theo nhận xét 1.1.1 Như Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.13) (2.14)  qn1 r   q1  q1  q2   qn  qn1 r  max   q1 r , q1  q2 r , , qn  qn1 r    qn1 r  f  P1 r Áp dụng hệ 2.4.2 vào (2.14), ta n 1 qn1  qn r  Rn r ·  qn r  f  P1 r · f  P1 r  f  P1 r , n (c) thỏa mãn Từ (2.14) ta có Rn1  Rn 1  qn1   Pn  qn1  qn  nên   Rn1 r  max Rn 1  qn1  r , Pn  qn1  qn  r Ta có Rn 1  qn1  r  Rn r  qn1 r  f  P1 r · f  P1 r  f  P1 r n1 n Pn  qn1  qn  r  Pn r · qn1  qn r  1· f  P1 r  f  P1 r n1 n1 n 1 Từ suy Rn1 r  f  P1 r Như (a) thỏa mãn Rn1 +) Ta chứng minh u giải tích A r1, r2  với K  u, r   k  u, r  Theo (a), lim Rn  Giả sử P  lim Pn u  lim qn Khi f  Pu P đa thức bậc d r  cực trị Pn đa thức bậc d r  cực trị Như u thương phép chia Hệ 2.4.2 kéo theo u thuộc A  r1, r2  Bởi d  K  f , r   k  f , r   K  P, r   k  P, r   K u, r   k u, r   d  K  u, r   k  u, r  , nên K  u, r   k  u, r  , chứng tỏ u giải tích A r1, r2  với K  u, r   k  u, r    Theo mệnh đề 2.3.3, u +) Chứng minh tính Giả sử Pu  Pu   Hơn nữa, u 1u thương P khả nghịch A  r, r  nên P  u 1Pu P u 1u đa thức, tính thương Do P P có bậc giống nhau, nên u 1u số Do P    P    , số ta kết luận u  u P  P  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý sau giúp ta tính số khơng điểm A ρ, R dựa đa giác định giá Định lý 2.4.4 Giả sử f giải tích A r1, r2  , r1  ρ  R  r2 f có K  f , R   k  f ,ρ  không điểm Aρ, R kể bội Chứng minh: Rõ ràng K  f , r  k  f , r  không giảm theo r , định lý với ρ  R  r Hơn nữa, trường hợp r  định lý hiển nhiên Như ta cần chứng minh trường hợp r  Thật vậy: ta viết f  Pu Áp dụng mệnh đề 2.3.4, P có K  P, r   k  P, r   K  f , r   k  f , r  khơng điểm, tất có giá trị tuyệt đối r  Hệ 2.4.5 ( Nguyên lý đồng nhất) Nếu f giải tích A r1, r2  , f  , r2 hữu hạn, f có hữu hạn khơng điểm nằm A r1, r2  Chứng minh: Các số k  f , r  K  f , r  hàm không giảm theo r , nên theo định lý 2.4.4 , số không điểm f bị chặn K  f , r2   k  f , r1  Như f có hữu hạn khơng điểm A r1, r2   Hệ 2.4.6 ( Picard nhỏ ) Nếu f giải tích khác khơng A0,   f hàm Chứng minh: Do f khơng có khơng điểm , f     f  z   a0   an z n với a0  n 1 Do giả thiết khơng điểm, theo định lý 2.4.4, ta có sup an r n  a0 với r n1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đây điều rõ ràng xẩy ra, trừ an  với n  Chứng tỏ f hàm  Hệ 2.4.7 ( Picard lớn ) Nếu f giải tích khơng có khơng điểm A r1,   limsup log f r  r log r  Đặc biệt, f phân hình vô cực Chứng minh: Ta viết f  z    an z n n Bởi f khác không, an r n  f r1 với n đủ lớn Do khai triển f có hữu hạn an khác khơng với n  Áp dụng mệnh đề 2.2.8 ta có điều phải chứng minh 2.5 Công thức Poisson – Jensen Phần sau chứng minh công thức Poisson-Jensen khơng Archimed Giả sử f hàm giải tích A r1, r2  , không đồng không Ta định nghĩa hàm đếm N  f ,0, r  sau: N  f ,0, r    0 zA r1 ,r  s.t f  z 0 log r z Ở đây, ta đếm không điểm f  z  tính bội Nếu r1  , để thuận tiện ta bổ sung số hạng K  f ,0 log r vào định nghĩa N  f ,0, r  Theo nguyên lý đồng nhất, tổng xác định N hữu hạn r  r1, r2  Chú ý N phụ thuộc ẩn vào bán kính nhỏ hình vành khun r1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.5.1 ( Poisson – Jensen ) Giả sử f hàm giải tích khác hàm A r1, r2  , với r2   Giả sử f  z    an z n n khai triển Laurent f Khi đó, với r  r1, r2  , ta có N  f ,0, r   k  f , r1  log r  log ak  f ,r1   log f N  f ,0, r   log aK  f ,0  log f r r r1  r1  Chứng minh: Do mệnh đề 2.3.1, có hữu hạn điểm tới hạn  r1, r  r  r2 +) Trong trường hợp r1  , giả sử r điểm tới hạn dương nhỏ Theo định lý 2.4.3, f khơng có khơng điểm với giá trị tuyệt đối r Do đó, với  r  r , N  f ,0, r   K  f ,0 log r  K  f , r  log r  log f r  log aK  f ,r   log f r  log aK  f ,0 , K  f , r   K  f ,0 +) Trong trường hợp r1  , giả sử r điểm tới hạn nhỏ lớn r1 Lại theo định lý 2.4.3, f khơng có khơng điểm với giá trị tuyệt đối r1 r Khi ấy, với r1  r  r , lại sử dụng đẳng thức K  f , r   K  f , r1  log ak  f ,r1   k  f , r1  log r1  log f r1  log aK  f ,r1   K  f , r1  log r1 , ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.15) N  f ,0, r    z r1 s.t.f  z 0 log r z =  K  f , r1   k  f , r1   log r r1 = K  f , r1  log r  k  f , r1  log r  k  f , r1  log r1  K  f , r1  log r1 = K  f , r  log r  k  f , r1  log r  log aK  f ,r1   log ak  f ,r1  = log f r  log aK  f ,r   k  f , r1  log r + log aK  f ,r1   log ak  f ,r1  = log f r  k  f , r1  log r  log ak  f ,r1  Vì vậy, hai trường hợp, ta thấy cơng thức địi hỏi với r nằm r1 điểm tới hạn lớn r1 Khi ấy, ta cần kiểm tra vượt qua điểm tới hạn Thật vậy, giả sử r điểm tới hạn, giả sử công thức định lý với r  r  Giả sử r  điểm tới hạn nhỏ lớn r Do có hữu hạn điểm tới hạn r1 r  r2 , ta cần công thức với r  r  r định lý suy phép quy nạp Thật vậy, ta có: N  f ,0, r   N  f ,0, r    z r  s.t.f  z 0 log r r = [ K  f , r  k  f , r ]log r r = log f r  k  f , r  log r  log ak  f ,r = log f r  log f r  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chú ý: Nếu r1  r2   , định lý cho biết hiệu số N  f ,0, r  log f r bị chặn r  r2 Nếu r1  r2   , hiệu số bị chặn O  log r  r   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn dựa vào giảng “ P-adic funtion theory ” William Cherry ICTP, 2009 Kết luận văn gồm nội dung sau : Giới thiệu trường không Archimed, trường số p-adic; hàm giải tích, hàm phân hình; tích phân Schnirelman, định lý cơng thức tích phân Cauchy, định lý thặng dư, nguyên lý mô đun cực đại, định lý đồng nhất, định lý Liouville, bổ đề Schwarz, hệ Schwarz-Pick Các vấn đề xét trường không Archimed Các vấn đề đa giác định giá công thức Poisson –Jensen bao gồm: trường lớp thặng dư ; giá trị tuyệt đối không Archimed vành hàm giải tích; đa giác định giá; thuật tốn chia Euclid, hệ Picard lớn nhỏ; cơng thức Poisson-Jensen Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] W W ADAMS, Transcendental Numbers in the P -Adic Domain, American J Math 88 ( 1966 ), 279-308 [2] W W ADAMS and E G STRAUS, Non-Archimedan analytic funtions taking the same values at the points , Illinois J Math.15 ( 1971 ), 418-424 [3] L V AHLFORS, Complex Analysis, Third Edition, McGraw-hill,1979 [4] Y.AMICE, Les nombres p-adiques, Presse Universitaires de France,1975 [5] W.BERGWEILER, Iteration of meromorphic functions, Bull Amer Math Soc (N.S.) 29 (1993), 151-188 [6] V BERKOVICH, Spectral theory and analytic geometry over nonArchimedan fields, Mathematical Surveys and Monograghs 33, American Mathematical Society, 1990 [7] A BOUTABAA, Theorie de Nevanlinna p -Adique, Manuscripta Math 67 (1990), 251-269 [8] A BOUTABAA, Applications de la theorie de Nevanlinna p -adique, Collect Math 42 (1991 ), 75-93 [9] A BOUTABAA, Sur les courbes holomorphes p -adiques, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse V ( 1996 ), 29-52 [10] A BOUTABAA, and A.ESCASSUT, Nevanlinna theory in positive characteristic and applications, Ital J Pure Appl Math 23 (2008), 45-66 [11] W CHERRY, Non-Archimedan analytic curves in Abelian varieties, Math Ann 300 ( 1994 ), 393-404 [12] W CHERRY, Non-Archimedan big Picard theorems, unpublised manuscript, arXiv:math/0207081v1 [13] W CHERRY and C.TOROPU, Generalized ABC theorems for nonArchimedan entire funtions of several variables in arbitrary characteristic, Acta Arith.136 ( 2009 ), 351-384 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [14] W CHERRY and J.-Y.WANG, “ Non –Archimedean analytic maps to algebraic curves’’ in W CHERRY and C.-C YANG ( eds ), Value Distribution Theory and Complex Dynamics, Contemporary Math 303, American Mathematical Society,2002,pp.7-35 [15] W CHERRY and M.RU, Rigid Analytic Picard Theorems, Amer J Math 126 ( 2004 ),873-889 [16] W CHERRY and Z YE, Non-Archimedean Nevanlinna theory in several variables and the Non-Archimedean Nevanlinna inverse problem, Trans Amer Math Soc 349 ( 1997 ), 5043-5071 [17] W CHERRY and Z YE, Nevalinna’s of value distribution The second main theorem and its error terms, Springer-Verlag,2001 [18] B DWORK, On exponents of p -adic different modules, J Reine Angew Math 484 ( 1997 ), 85-126 [19] T.HARASE, MR 1437300 (98h: 12008) in mathematical Reviews, American Mathematical Society, 1998 [20] P.-C.HU and C.C YANG, Meromophic functions over non-Archimedan field, Mathematics and its Applications 522, Kluwer Academic Publishers,2000 [21] HÀ HUY KHOÁI, On p -adic meromorphic functions, Duke Math J.50 (1983), 695-711 [22] HÀ HUY KHOÁI, La hauteuer des fonctions holomorphes p -adiques de plusierurs variables, C R Acad Sci Paris Sér I Math 312 (1991),751-754 [23] HÀ HUY KHOÁI and MY VINH QUANG, “ On p -adic Nevanlinna Theory ”, in Complex analysis, Joensuu 1987, Lecture Notes in Mathematics 1351, Springer-Verlag 1988,146-158 [24] A.ROBERT, A course in p -adic Analysis, Graduate texts in mathematics 198, Springer-Verlag,2000 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [25] L.G SHNIREL’MAN, O funkcijah v normirovannyh algebraičeski  zamknutyh telah [On functions in normed algebraically closed divison rings], Izvetija AN SSSR (1938),487-498 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tuyệt đối p p  p Q p (2) Q p trù mật  p (3)  Trường   p p p đầy đủ thỏa mãn ba điều kiện gọi trường số phức p -adic đầy đủ, đóng đại số, có đặc số khơng 1.2 Các hàm giải tích hàm phân hình... Trong giải tích phức, hàm chỉnh hình bị chặn tồn mặt phẳng hàm Tương tự , ta có định lý Liouville lý thuyết hàm p adic Định lý 1.4.5 ( Định lý Liouville ) Hàm nguyên bị chặn hàm Hơn nữa, f ... rộng từ giá trị tuyệt đối p Q p kí hiệu p Chú ý Q p không đầy đủ Trường bổ sung đủ Q p theo t? ?p? ? cảm sinh giá trị tuyệt đối p , kí hiệu  p Như (1) Tồn ph? ?p nhúng Q p   p giá trị tuyệt đối nhận