Về lý thuyết nevanlinna p adic 1 chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VIỆT HÙNG VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VIỆT HÙNG VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 Người hướng dẫn khoa học TS. MAI VĂN TƯ Nghệ An – 2014 2 MỤC LỤC MỤC LỤC …………………………… ………………………………1 MỞ ĐẦU ……………………………… …………… ………… …………… 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị …………… …………… … ….…………4 1.1 Trường định chuẩn …………………………………….…….….… ….….4 1.2 Trường các số hữu tỷ phức p-adic …….………… …….… ….….… …6 1.3 Hàm chỉnh hình p-adic …………….……………….……….….….………11 Chương 2. Về lý thuyết Nevanlinna p-adic 1-chiều ……….… … ….14 2.1 Trường hợp phức …………………………………………….… …….……14 2.2 Công thức Poisson-Jensen p-adic ………… …………………… ……… 15 2.3 Các hàm Nevanlinna ……………………………… ……………… ……18 2.4 Bất đẳng thức ABC …………………………………………… …….……29 2.5 Một số ứng dụng ………………………………………… …… ….…… 29 KẾT LUẬN ………………………………………………………….…… …….32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………… … ….……33 3 MỞ ĐẦU Trong giải tích phức, lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (còn gọi là lý thuyết Nevanlinna) là một trong những nội dung quan trọng. Bắt đầu từ những công trình của Polya, Nevanlinna vào những thập niên 30 của thế kỷ XX, lý thuyết này phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng phong phú, kể cả trong số học và vật lý. Những tên tuổi lớn trong lý thuyết Nevanlinna cũng đồng thời là những tên tuổi lớn trong toán học đó là: R. Nevanlinna, H. Cartan, H. Weyl, L. Alhfors, Ph. Griffiths,… Một trong những hệ quả quan trọng của lý thuyết Nevanlinna phức là Định lý năm điểm nói rằng nếu hai hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức có nghịch ảnh tại năm điểm trùng nhau thì hai hàm đó đồng nhất bằng nhau. Năm 1971, Adams Straus thiết lập kết quả tương tự cho các hàm phân hình phi Ácsimét. Tuy nhiên, sự tương tự phi Ácsimét của lý thuyết Nevanlinna chỉ bắt đầu được xây dựng một cách có hệ thống trong công trình của Hà Huy Khoái năm 1983. Mục đích chính của luận văn là bước đầu tìm hiểu về lý thuyết Nevanlinna p-adic trong trường hợp một chiều. Nội dung luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuẩn, trường các số phức p-adic, hàm chỉnh hình. Chương 2. Trình bày một số kết quả về lý thuyết Nevanlinna trong trường hợp một chiều. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sỹ Mai Văn Tư. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn đã giành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu. 4 Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán, phòng đào tạo sau Đại học Vinh đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn. Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các bạn học viên. Nghệ An, tháng 4 năm 2014. Tác giả 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn 1.1.1. Định nghĩa Giả sử K là một trường, chuẩn v trên K là hàm số từ K vào ¡ thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây: a. ( ) 0v x ≥ , với mọi x∈K và ( ) 0v x = khi và chỉ khi 0x = . b. ( . ) ( ). ( )v x y v x v y= với mọi ,x y∈K . c. ( ) ( ) ( )v x y v x v y+ ≤ + với mọi ,x y∈K . Một chuẩn trên trường K được gọi là chuẩn phi Ácsimét nếu thỏa mãn điều kiện: c ’ . { } ( ) max ( ), ( )v x y v x v y+ ≤ với mọi ,x y∈K . 1.1.2. Chú ý - Khi làm việc với một chuẩn cố định, ta sẽ viết x (hoặc v x ) thay cho ( )v x . - Chuẩn trên trường K xác định một metric. Khoảng cách giữa hai điểm ,x y∈K trong metric đó bằng x y− . Như vậy chuẩn trên trường K xác định một tôpô. Bộ ( ,vK ) gồm trường K và hàm chuẩn v trên K được gọi là trường định chuẩn. - Các trường số hữu tỉ ¤ , trường số thực ¡ là những trường định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường (chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường được ký hiệu . ∞ ). 1.1.3. Định nghĩa Hai chuẩn trên một trường K được gọi là phụ thuộc (còn gọi là tương đương) nếu chúng xác định một tôpô. Trong trường hợp trái lại, chúng được gọi là độc lập (còn gọi là không tương đương). 6 Định lý sau đây nêu lên tiêu chuẩn cần và đủ để hai chuẩn trên một trường K là phụ thuộc lẫn nhau (hay chúng tương đương với nhau). 1.1.4. Định lý Giả sử 1 1 . . v = và 2 2 . . v = là hai chuẩn không tầm thường trên trường K . Khi đó, chúng phụ thuộc lẫn nhau khi và chỉ khi từ hệ thức 1 1x < suy ra 2 1x < . Nếu chúng phụ thuộc thì tồn tại số thực 0 λ > sao cho 1 2 x x λ = với mọi x ∈ K . 1.1.5. Mệnh đề Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi số hữu tỷ 0 x≠ ∈¤ , khi đó x được viết dưới dạng: ; , , , 0 n a x p a b n b b = ∈ ≠¢ , với ,a b không chia hết cho p . Ta định nghĩa: (0) 0 0; ( ) n p p p p v v x x p − = = = = . Hàm . p xác định như trên là một chuẩn phi Ácsimét, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ. Chứng minh. Tính chất đầu của định nghĩa được nghiệm đúng một cách dễ dàng. Ta chứng minh hai tính chất còn lại. Ta kiểm tra p v là chuẩn phi Ácsimét trên trường số hữu tỷ hay { } ( ) max ( ), ( ) , ,v x y v x v y x y+ ≤ ∀ ∈¤ . Thật vậy, giả sử ; , , , m c y p c d m d = ∈¢ với ,c d không chia hết cho p . Không mất tính tổng quát giả sử n m≥ khi đó ta có: , , n m n m m k a c adp bc x y p p p p k m b d bd α β − + + = + = = ≥ Trong đó các số nguyên , α β không chia hết cho p , 0 β ≠ . Từ đó 7 ( ) max( , ) max( ( ), ( )). k m n m p p p v x y p p p p v x v y − − − − + = ≤ = = Ngoài ra, ta có: ( ) ( . ) ( ) . ( ). ( ). n m n m n m p p p p ac v x y v p p p p v x v y bd + − + − − = = = = 1.2 Trường các số hữu tỷ phức p-adic Xuất phát từ trường số hữu tỷ ¤ với chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường, ta có thể mở rộng ¤ thành một trường đóng đại số và đầy đủ. Đó là trường số phức £ . Như vậy từ trường định chuẩn Ácsimét ( ) , . ∞ ¤ chúng ta thu được trường đóng đại số và đầy đủ £ . Vấn đề đặt ra là từ trường định chuẩn phi Ácsimét ( ) , . p ¤ có thể mở rộng thành một trường đóng đại số và đầy đủ như trường số phức được hay không? 1.2.1. Dãy Cauchy (Dãy cơ bản) Giả sử p là một số nguyên tố cố định. Dãy { } n x các số hữu tỷ được gọi là dãy cơ bản theo chuẩn p - adic . p nếu 0 0, n ε ∀ > ∃ ∈ ¥ sao cho 0 ,m n n∀ > ta có: . m n p x x ε − < 1.2.2. Quan hệ tương tương đương Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo chuẩn p - adic . p . Ta xác định một quan hệ hai ngôi trên X như sau: { } { } ; n j a a b b= ∈ = ∈X X lim 0 j j j a b a b →∞ ⇔ − =: . Rõ ràng '' '': là quan hệ tương đương trên X . Đặt { } { } / p j a a= = =¤ :X , trong đó { } { } : lim 0 j j j j a b a b →∞ = ∈ − =X . 8 Đặc biệt, với x∈¤ ta kí hiệu { } x là Cauchy hằng và { } { } x x ′ : khi và chỉ khi x x ′ = . Chuẩn trên p ¤ được cảm sinh bởi chuẩn p - adic . p trên ¤ . Nếu { } j a a= , ta định nghĩa lim j p p j a a →∞ = , trong đó { } j a là phần tử đại diện của lớp tương đương a . Mệnh đề sau đây khẳng định rằng định nghĩa chuẩn trên p ¤ như trên là hợp lý. 1.2.3. Mệnh đề Tồn tại giới hạn của dãy { } j p a trong đó { } j a là dãy cơ bản các số hữu tỷ. Chứng minh. Nếu 0a = thì lim 0 j p j a →∞ = . Nếu 0a ≠ , với mỗi 0 ε > nhỏ tùy ý luôn tồn tại N j sao cho N j p a ε ≥ với N lớn tùy ý, vì { } j a là dãy cơ bản nên với N đủ lớn ta có i j a a ε − < , với mọi j N> , vì { } max , N N N j j j j j j j p p p p a a a a a a a= − + ≤ − . Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta suy ra N j j p p a a≤ do N j p a ε ≥ và N j j a a ε − < . Tương tự từ { } max , N N N N j j j j j j j p p p p a a a a a a a= − + ≤ − ta có N j j p p a a= , với mọi j N> . Chứng tỏ j p a là hằng số với mọi j N> nghĩa là lim N j j p p j a a →∞ = . Mệnh đề được chứng minh. 1.2.4. Phép toán trên p ¤ Giả sử { } { } , j j p a a b b= = ∈¤ Ta xây dựng hai phép toán sau: { } { } , j j j j a b a b ab a b+ = + = . 1.2.5. Mệnh đề 9 Các phép toán trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện. Chứng minh. Giả sử { } { } { } { } , j j j j a a b b ′ ′ : : . Từ quan hệ tương đương chúng ta có: lim lim 0 j j j j p p j j a a b b →∞ →∞ ′ ′ − = − = . Suy ra: ( ) ( ) j j j j j j j j j j p p a b a b a b b b a a ′ ′ ′ ′ ′ − = − + − { } max , j j j j j j p p p p a b b b a a ′ ′ ′ ≤ − − . Vì lim ,lim j j p p p p j j a a b b →∞ →∞ ′ ′ = = và lim lim 0 j j j j p p j j a a b b →∞ →∞ ′ ′ − = − = , ta suy ra { } { } . j j j j a b a b ′ ′ : Mặt khác xuất phát từ bất đẳng thức: { } ( ) ( ) max , j j j j j j j j p p p a b a b a a b b ′ ′ ′ ′ + − + ≤ − − , ta suy ra rằng { } { } . j j j j a b a b ′ ′ + +: W 1.2.6. Định lý p ¤ cùng với hai phép toán được xây dựng như trên lập thành một trường gọi là trường các số hữu tỷ p − adic và p ¤ là trường mở rộng của trường các số hữu tỷ ¤ . Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được rằng các phép toán trên p ¤ Có tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối, phần tử 0 = { } 0 , phần tử đơn vị 1 = { } 1 . Chúng ta cần chứng tỏ rằng mọi phần tử khác 0 của p ¤ đều khả nghịch. Thực vậy, nếu 0 { } j p a a≠ = ∈¤ . Suy ra tồn tại số tự nhiên 0 N sao cho 0 n N∀ > thì 0 n a ≠ và trong dãy Cauchy { } j a nếu j a triệt tiêu, ta thay bởi j j a p ′ = trong đó 0 0 .j N≤ < 10 [...]... = 1 Chứng minh Xét các tích riêng N PN = ∏ f n n =1 Ta cần kiểm tra rằng PN − PM r → 0 khi min { N , M } → ∞ Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng N ≥ M Khi đó, PM − PN r = M ∏ n =1 fn 1 − r N ∏ n = M +1 fn r Vì 1 − f n r → 0 , tồn tại N 0 sao cho ∀n ≥ N 0 , f n r = 1 Bởi vậy với M ≥ N 0 , M ∏ n =1 Mặt khác, nếu M ≥ N 0 , thì fn = r N0 ∏f n =1 n r 22 N 1 ∏ n = M +1 fn = 1 − r N ∏ (1 − (1. .. variables and the Non- Archimedean inverse problem, Trans Amer Math, Soc 349, No .12 , 5043 – 50 71 [4] Ha Huy Khoai (19 83) On p- adic meromorphic function Duke J Math, Vol 50 [5] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (19 95) p- adic Nevanlinna- Cartan Theorem, Internat J Math, Vol.6, No.5, 710 -7 31 [6] N I Koblitz (19 87) p- adic numbers, p- adic analusis and Zetafunctions, Springer – Verlag ... trọng 2.3 .11 Định lý (Định lý cơ bản thứ hai không rẽ nhánh) Giả sử a1 , , aq là q điểm phân biệt trong P1 (F ) Khi đó, q (q − 1) T ( f , ∞, r ) − ∑ N ( f , a j , r ) ≤ 0 (1) j =1 khi r → ∞ Trước khi tìm hiểu phe p chứng minh định lý, chúng ta cần có một số chú ý Trước tiên ta nhận thấy rằng trong trường h p phi Ácsimét, ta có nhân tử ( q − 1 ) ở vế trái (thay cho ( q − 2 ) trong trường h p phức) Từ... N (1) ( f , a j , r ) − 2 log r + 0 (1) j =1 ≤ 2 N (1) ( f − g , 0, r ) − 2 log r + 0 (1) ≤ 2T ( f − g , 0, r ) − 2 log r + 0 (1) ≤ 2T ( f , ∞, r ) + 2T ( g , ∞, r ) − 2 log r + 0 (1) , điều này là mâu thuẫn Ví dụ sau đây f ( z ) = z z2 và g ( z ) = 2 chứng tỏ rằng số z − z +1 z − z +1 2 4 trong định lý vừa chứng minh trong định lý là tốt nhất có thể, vì f 1 (0) = g 1 (0), f 1 (1) = g 1 (1) , f 1 (∞)... trường h p r1 > 0 , giả sử r ′ là điểm tới hạn nhỏ nhất lớn hơn r1 Lý luận như trên chỉ ra rằng f không có không điểm với chuẩn nằm giữa r1 và r ′ Do đó, với r1 ≤ r ≤ r ′ , lại sử dụng K ( f , r ) = K ( f , r1 ) và quan hệ log ak ( f ,r1 ) + k ( f , r1 ) log r1 = log f r1 = log aK ( f ,r1 ) + K ( f , r1 ) log r1 (1) Ta có N ( f , 0, r ) = ∑ z = r1 f ( z ) =0 log r r z = [K( f , r1 ) − k ( f , r1 )]log... (Cộng, nhân thành phần) l p thành một trường Khi làm đầy bao đóng đại số của trường số p -adic để được không gian đầy đủ thì tính đóng đại số được bảo toàn 1. 2.8 Định lý ¤ p là trường không đầy đủ 1. 2.9 Định lý £ p là trường đóng đại số Chứng minh Giả sử f ( X ) = X n + an 1 X n 1 + + a1 X 1 + a0 trong đó ai ∈ £ p , ∀i Ta chỉ cần chỉ ra rằng f ( X ) có nghiệm trong £ p Với i = 1, 2,…, n , giả sử... r = 1 K ( f , r1 ) log r − k ( f , r1 ) log r + k ( f , r1 ) log r1 − K ( f , r1 ) log r1 = K ( f , r ) log r − k ( f , r1 ) log r + log aK ( f ,r1 ) − log ak ( f ,r1 ) = log f r − log aK ( f ,r ) − k ( f , r1 ) log r + log aK ( f ,r1 ) − log ak ( f ,r1 ) = log f r − k ( f , r1 ) log r − log ak ( f ,r1 ) Như vậy, trong cả hai trường h p, ta thấy rằng công thức đòi hỏi là đúng với r nằm giữa r1 và... g 1 (∞) 34 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ sở và những kết quả gần đây của giải tích phi Ácsimét, từ việc xây dựng trường định chuẩn phi Ácsimét và một số kiến thức liên quan, luận văn đã tìm hiểu về lý thuyết Nevanlinna p- adic trong trường h p 1 chiều trong đó có một số định lý, mệnh đề được tìm hiểu chứng minh chi tiết: Mệnh đề 1. 1.6, Định lý 2.3.2, Bổ đề 2.3.3, Định lý. .. r2 ta định nghĩa f r = sup cn r n Nhận xét 1: Với mỗi hàm f cố định, dễ thấy rằng r là một hàm liên tục của r Nếu r1 = 0 , thì trong chuổi Laurent sẽ không có số hạng lũy thừa âm và f r là hàm không giảm của r Nhận xét 2: Ta thấy rằng r các hàm phân hình trong vành khăn là một chuẩn phi Ácsimét trên trường 16 Chương 2 VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P- ADIC 1- CHIỀU 2 .1 Trường h p phức Trước tiên, ta nhắc... f g/h = D n +1 g D n g D1h D1 g D n h D n +1h − × − × ×− × × − g g h g h h Do đó Định lý được chứng minh bằng quy n p, với chú ý rằng trường h p các hàm chỉnh hình đã được chứng minh, r là chuẩn phi Ácsimét 2.3 .10 Định lý cơ bản thứ hai Chúng ta đã tìm hiểu định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna trong trường h p phức thông qua một bất đẳng thức của tổng các hàm đếm cắt cụt q ∑N j =1 (1) ( f , a j . VIỆT HÙNG VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VIỆT HÙNG VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU LUẬN. phân hình trong vành khăn. 15 Chương 2. VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU 2.1 Trường hợp phức Trước tiên, ta nhắc lại một vài khái niệm của lý thuyết Nevanlinna trong trường hợp phức. Cho. ….….4 1.2 Trường các số hữu tỷ phức p-adic …….………… …….… ….….… …6 1.3 Hàm chỉnh hình p-adic …………….……………….……….….….………11 Chương 2. Về lý thuyết Nevanlinna p-adic 1-chiều ……….… … ….14 2.1 Trường hợp