Giáo trình lý thuyết sai số phần 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƯỜNG HÀ NỘI Giáo trình LÝ THUYẾT SAI SỐ v3 Những người biên soạn: PGS TS Đặng Nam Chinh (Chủ biên) TS Nguyễn Xuân Bắc TS Bùi Thị Hồng Thắm Th sĩ Trần Thị Thu Trang Th sĩ Ninh Thị Kim Anh Hà Nội, tháng 11 năm 2015 MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu Chương LÝ THUYẾT SAI SỐ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 Lịch sử phát triển vai trị mơn học Sai số đo phân loại sai số đo Các đặc tính sai số ngẫu nhiên 14 Các tiêu chuẩn đánh giá độ xác 18 Sai số trung phương hàm đại lượng đo 29 Nguyên tắc ảnh hưởng 38 Trọng số 40 Nguyên lý bình phương nhỏ 48 Trị trung bình đánh giá độ xác dãy trị đo đại lượng 55 Đánh giá độ xác dãy trị đo kép 61 Đánh giá độ xác kết đo dựa vào sai số khép 67 Sai số làm trịn số sai số tính tốn 71 Bài tập chương 82 Chương BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN 2.1 Cơ sở lý thuyết bình sai điều kiện 84 2.2 Các dạng phương trình điều kiện 91 2.3 Giải hệ phương trình chuẩn sơ đồ Gauss 113 2.4 Đánh giá độ xác bình sai điều kiện 122 2.5 Các bước toán bình sai điều kiện 130 2.6 Bài tập chương 141 Chương BÌNH SAI GIÁN TIẾP 3.1 Cơ sở lý thuyết bình sai gián tiếp .145 3.2 Các dạng phương trình số hiệu chỉnh 151 3.3 Một số phương pháp nghịch đảo ma trận hệ số phương trình chuẩn 164 3.4 Đánh giá độ xác bình sai gián tiếp .173 3.5 Các bước tốn bình sai gián tiếp .182 3.6 Bài tập chương 203 Phụ lục: Bảng giá trị hàm tích phân xác suất 208 Tài liệu tham khảo 209 Mở đầu Từ xa xưa người thực phép đo để xác định khoảng cách, xác định diện tích đất đai quan sát thiên thể thiên văn đo lường vv Liên quan đến giá trị đo đó, khái niệm sai số đo hình thành sớm Tuy nhiên, kỷ XVIII, mơn học lý thuyết sai số hồn chỉnh P S Laplace C F Gauss xây dựng dựa sở lý thuyết xác suấtthống kê Ngược lại, mơn lý thuyết sai số góp phần hồn thiện mơn học lý thuyết xác suất Cùng với tiến trình phát triển lĩnh vực trắc địa đồ, lý thuyết sai số ln đóng vai trị mơn học sở, có vị trí quan trọng mô tả, đánh giá chất lượng đo xử lý kết đo Vì vậy, mơn học không ngừng phát triển phương diện lý thuyết phương pháp tính tốn Giá trị đo đại lượng vật lý độ xác lý tưởng, tức khơng có sai số, hay nói cách khác, với trị đo kèm theo sai số tương ứng Thực tế cho thấy, với trị đo hay tập hợp hữu hạn trị đo, nhận trị thực (giá trị lý thuyết) đại lượng đo Nghiên cứu nguyên nhân loại sai số đo đạc, tính chất chúng phương pháp xử lý trị đo nội dung môn học lý thuyết sai số Nắm vững lý thuyết sai số, người làm công tác đo đạc ngoại nghiệp thực tốt thao tác đo, sử dụng tốt dụng cụ hay máy móc đo, áp dụng quy trình đo phù hợp để nhận số liệu đo tốt điều kiện đo cụ thể Với kiến thức lý thuyết sai số, người làm công tác xử lý số liệu làm tốt nhiệm vụ phân loại, đánh giá, mô tả số liệu đo áp dụng thuật toán phù hợp để xử lý số liệu đo nhằm nhận kết với độ tin cậy cao với thơng tin chuẩn xác độ xác độ tin cậy kết sau xử lý Trong chương trình khung ngành kỹ thuật trắc địa đồ (xây dựng năm 2007), môn học lý thuyết sai số môn bắt buộc, môn học sở ngành Môn học có đề cương chi tiết Hội đồng xây dựng chương trình khung thơng qua để sử dụng chung cho sở đào tạo ngành kỹ thuật trắc địa - đồ nước Để người học tiếp thu tốt nội dung môn học lý thuyết sai số, trước học môn học này, sinh viên cần có kiến thức đo đạc đại cương (trắc địa phổ thông), trang bị số kiến thức mơn xác suất thống kê phương pháp tính Đây điểm lưu ý xếp lịch trình giảng dạy danh mục môn học điều kiện tiên môn lý thuyết sai số Cuốn giáo trình biên soạn dựa đề cương chi tiết mơn học Chương trình khung, có tham khảo số tài liệu giáo khoa ngồi nước mơn học này, đồng thời bổ sung thêm nội dung từ kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm số tác giả tham gia biên soạn giáo trình Để tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên lần tiếp xúc với môn học Lý thuyết sai số bước đầu làm quen với số khái niệm mới, người biên soạn giáo trình cố gắng trình bày nội dung cách rõ ràng, bảo đảm tính logic cách tiếp cận vấn đề Hầu hết nội dung lý thuyết chương mục làm sáng tỏ qua ví dụ cụ thể Trong nội dung giáo trình có sử dụng số ví dụ trình bày tài liệu tham khảo dẫn danh mục Giáo trình Lý thuyết sai số nhiều tác giả tham gia biên soạn PGS TS Đặng Nam Chinh TS Nguyễn Xuân Bắc biên soạn chương 1, thạc sĩ Trần Thị Thu Trang thạc sĩ Ninh Thị Kim Anh biên soạn chương 2, TS Bùi Thị Hồng Thắm biên soạn chương PGS TS Đặng Nam Chinh chủ biên rà sốt chỉnh sửa lại tồn nội dung giáo trình Các tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Phan Văn Hiến, TS Nguyễn Đình Thành PGS TS Nguyễn Quang Minh đọc góp nhiều ý kiến quý báu cho nội dung hình thức giáo trình Do trình độ có hạn, tài liệu chắn cịn nhiều khiếm khuyết, mong bạn đọc góp ý để chúng tơi có thêm kinh nghiệm nhằm hồn chỉnh tài liệu vào lần tái Chúng xin trân trọng cảm ơn bạn đọc Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Các tác giả Chương LÝ THUYẾT SAI SỐ Trong chương 1, trình bày vấn đề lý thuyết sai số đo, gồm khái niệm sai số đo, phân loại sai số đo đặc tính chúng Nội dung tiếp theo, giới thiệu trọng số trị đo trọng số hàm trị đo, nguyên tắc đánh giá độ xác kết đo dựa dãy số liệu đo, bao gồm luật truyền sai số nguyên lý bình phương nhỏ Đây nội dung để từ người học tiếp thu kiến thức chuyên sâu hơn, trình bày chương chương giáo trình mơn học Xử lý số liệu trắc địa chương trình đào tạo Như biết, sai số đo vốn bao hàm khái niệm rộng cho lĩnh vực khoa học thực nghiệm, sử dụng kết phép đo lường số liệu quan trắc, giáo trình viết cho mơn học sở ngành kỹ thuật trắc địa-bản đồ, kiến thức ví dụ chương chủ yếu đề cập đến sai số trắc địa-bản đồ mà không đề cập đến sai số phép đo khác đo lường điện, đo lường nhiệt hay phép đo chuyên biệt thí nghiệm hóa học hay vật lý vv 1.1 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN VÀ VAI TRÒ CỦA MƠN HỌC Lý thuyết sai số mơn khoa học có mục tiêu xác định giá trị tin cậy kết đo khoa học thực nghiệm Như thấy rằng, mơn học không cần thiết cho lĩnh vực đo đạc (trắc địa) mà cần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học khác có sử dụng hay liên quan đến số liệu quan trắc, đo lường vv Môn học có liên quan mật thiết với phương pháp thống kê lý thuyết xác suất Xét lịch sử phát triển khoa học kỹ thuật nhân loại, thiên văn học đo đạc đất đai lĩnh vực khoa học có lịch sử hình thành phát triển lâu đời Từ yêu cầu thực tiễn lĩnh vực khoa học sớm hình thành nên môn học lý thuyết sai số phát triển dựa lý thuyết xác suất, ngược lại, lý thuyết sai số góp phần hồn thiện lý thuyết xác suất [14,15,16] Như vậy, môn học lý thuyết sai số hình thành gắn liền với lĩnh vực trắc địa Có thể thấy rằng, xuất phát từ đặc tính ảnh hưởng sai số ngẫu nhiên sai số hệ thống đến kết quan trắc, hình thành nên nhiệm vụ phương pháp sở xử lý số liệu quan trắc mô tả chúng nhiệm vụ riêng biệt Người ta cho rằng, mơn học lý thuyết sai số hình thành từ kỷ XVIII, xem xét lịch sử hình thành phát triển với lý thuyết xác suất mơn học hình thành sớm Có thể chia thành giai đoạn phát triển mơn học sau: Giai đoạn thứ nhất, tính thừ thời Claudius Ptolemaeus (khoảng năm 90-168 sau Cơng ngun), nhà tốn học, thiên văn học, chiêm tinh học người Ai cập (sau La mã) thực quan trắc thiên thể để tính tốn quy luật chuyển động số thiên thể dựa mơ hình chuyển động thiên thể Hypparchus (khoảng năm 190-120 trước Công nguyên) xây dựng trước Ptolemaeus coi người sử dụng phương pháp số học để tính tốn tượng biến đổi thiên văn Nhờ nghiên cứu Ptolemaeus, từ thời giờ, người tính tốn vị trí khứ tương lai thiên thể mà người quan sát Giai đoạn thứ kéo dài nhiều kỷ thời kỳ Tycho Brahe (1546-1601) nhà thiên văn học người Đan Mạch, bắt đầu giai đoạn mới, sử dụng phương pháp quan trắc thiên thể tính tốn lập lịch có tiến đáng kể Trong giai đoạn thứ hai, hầu hết quan trắc, đo đạc thực dựa vào đơn vị đo lường riêng quốc gia, đáp ứng cho yêu cầu riêng quốc gia đó, theo việc xử lý chúng giữ nguyên chủ quan mà trường hợp tốt không bảo đảm độ tin cậy đầy đủ Giai đoạn thứ ba bắt đầu với phương pháp xử lý số liệu quan trắc có xét tới độ tin cậy đặc tính thống kê kết cuối đặc tính đó, sau biết đến cách rộng rãi Giai đoạn thời kỳ R J Boskovich (1711-1787) số nhà khoa học trước Trong nửa cuối kỷ XVIII, người ta nói tới khái niệm phân bố xác suất, sở sử dụng kết tính trung bình số học, ngun lý xác xuất cực đại đề cập tới vấn đề đánh giá độ xác Như vậy, nói, mơn học lý thuyết sai số hình thành từ giai đoạn này, bắt đầu đề cập tới vấn đề bình sai đại lượng đo gián tiếp dựa nguyên lý số bình phương nhỏ Giai đoạn thứ tư tính từ P S Laplace (1749-1827) C F Gauss (1777-1855) xây dựng nên sở môn học lý thuyết sai số kinh điển từ cuối kỷ XVIII Những ứng dụng sớm nguyên lý bình phương nhỏ sử dụng vào bình sai kết quan sát thiên văn [13] Phương pháp bình phương nhỏ sau Hình 1.1 C F Gauss tiếp tục hồn thiện F R Helmert (1843-1917) Lý thuyết sai số nguyên lý bình phương nhỏ trở thành vấn đề mang tính phương pháp luận, dùng để giải nhiều tốn thực nghiệm có tính khái qt sử dụng ngày Có thể thấy rằng, P S Laplace C.F Gauss người xây dựng sở cho phương pháp số bình phương nhỏ nhất, coi công cụ thực hành quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học thực nghiệm Tuy nhiên, vào kỷ XVIII XIX, hạn chế phương pháp tính tốn theo ngun lý bình phương nhỏ phương tiện tính tốn với số lượng lớn trị quan trắc Sang kỷ XX đặc biệt nửa sau kỷ XX, nhờ phát triển kỹ thuật tính tốn máy tính điện tử, phương pháp xử lý số liệu quan trắc theo nguyên lý bình phương nhỏ giải nhanh mang lại hiệu cao Như nói, nay, mơn học lý thuyết sai số hoàn thiện mặt lý thuyết phương diện phương pháp tính Dựa sở nguyên lý bình phương nhỏ nhất, nhiều thuật tốn xử lý số liệu sử dụng mơ hình ngẫu nhiên phát triển thuật toán lọc (Kalman, lọc hạt ) dự báo, làm trơn, ước lượng, nội suy vv Những người làm công tác đo lường lĩnh vực khoa học thực nghiệm nói chung cơng tác trắc địa nói riêng, nắm vững nội dung môn lý thuyết sai số, có kiến thức để khai thác sử dụng tốt thiết bị, máy móc đo, biết áp dụng phương pháp đo phù hợp nhằm giảm thiểu sai số kết đo Mơn học cịn cung cấp cho người học phương pháp xử lý dãy số liệu đo để nhận kết tin cậy tiến hành đánh giá sai số kết đo độ xác kết sau xử lý Giáo trình cung cấp cho người học sở lý thuyết phương pháp tính tốn xử lý tập hợp kết đo theo nguyên lý bình phương nhỏ Đây phương pháp sử dụng để xử lý số liệu đo để nhận kết tin cậy có trị đo thừa Trong tính tốn xử lý số liệu đo, làm báo cáo hay lưu trữ kết đo, người làm cơng tác tính tốn cần nắm vững nguyến tắc làm tròn số ảnh hưởng đến kết tính tốn Việc làm trịn số cách tùy tiện gây sai số lớn kết tính tốn ngược lại có số chứa nhiều chữ số không chắn, không cần thiết kết Môn học lý thuyết sai số cung cấp cho người học số kiến thức sai số làm trịn sai số tính tốn Trong thực tiễn cơng tác tính tốn bình sai mạng lưới trắc địa nay, người ta thường sử dụng phương pháp bình sai gián tiếp mà khơng sử dụng phương pháp bình sai điều kiện phương pháp bình sai gián tiếp thuận tiện cho tính tốn máy tính điện tử Tuy vậy, giáo trình giới thiệu trình bày phương pháp bình sai điều kiện Đây khơng vấn đề lịch sử tính tốn bình sai mà để cung cấp cho người học hiểu rõ tác dụng trị đo thừa vai trò sai số khép phương trình điều kiện việc kiểm tra đánh giá độ xác kết đo 1.2 SAI SỐ ĐO VÀ PHÂN LOẠI SAI SỐ ĐO 1.2.1 Giá trị đo nguyên nhân gây sai số đo Khi nhận thức vật để phân biệt lượng với vật khác người ta thường phải kiểm đếm đo đạc Kiểm đếm q trình đơn giản nhận trị tuyệt đối, đo đạc lại q trình phức tạp liên quan đến đơn vị đo, dụng cụ hay máy đo, điều kiện đo người thực phép đo vv Người ta định nghĩa trị đo sau: Giá trị số đại lượng xác định phép đo gọi giá trị đo [1] Kết đo người đo đọc trực tiếp thang đo hiển thị hình máy đo lưu vào nhớ máy đo tệp (file) có định dạng riêng (đối với máy đo công nghệ số) Do nhiều nguyên nhân ảnh hưởng đến kết đo, giá trị đo nhận giá trị gần với trị thực đại lượng đo, khác biệt trị thực với trị đo sai số đo (nói xác sai số thực) Trong trường hợp tiến hành đo lặp lại (với điều kiện đo), nhận trị đo khác có giá trị không trùng với giá trị đo trước Đó tính bất định (Uncertainty) giá trị đo Như kết luận rằng, sai số đo thuộc tính tất yếu giá trị đo Có thể kể số nguyên nhân gây nên sai số đo người đo, máy móc, dụng cụ đo, phương pháp đo điều kiện ngoại cảnh đo Dựa vào cách thức tiến hành để nhận kết đo, người ta phân biệt đo trực tiếp đo gián tiếp Đo trực tiếp so sánh trực tiếp đại lượng cần đo với đại lượng dùng làm đơn vị đo thực dụng cụ đo máy đo để nhận giá trị đo đại lượng Ví dụ đo nhiệt độ nhiệt kế; đo độ ẩm ẩm kế; đo khoảng cách thước thép đo góc máy kinh vĩ vv Đo gián tiếp xác định đại lượng hay yếu tố thơng qua hàm giá trị đo trực tiếp đại lượng khác Ví dụ xác định diện tích hay thể tích thơng qua trị đo kích thước vật thể; xác định vận tốc âm (v) môi trường nước thông qua giá trị nhiệt độ (t), áp suất (p) độ muối (s) nước; xác định gia số tọa độ vng góc khơng gian thông qua trị đo pha trị đo khoảng cách giả công nghệ GNSS vv Trong lĩnh vực đo ảnh (Photogrammetry), thay đo trực tiếp đối tượng cần đo, người ta tiến hành chụp ảnh đối tượng thực phép đo ảnh Cũng coi dạng đo gián tiếp hình thành nên lĩnh vực khoa học đo ảnh xử lý ảnh Dựa vào điều kiện đo ta phân biệt đo độ xác đo khơng độ xác Phép đo thực điều kiện đo như: người đo; dụng cụ hay máy đo; phương pháp đo tiến hành điều kiện ngoại cảnh; độ tin cậy kết đo giá trị đo coi độ xác Ngược lại, giá trị đo nhận điều kiện đo khác nhau, độ tin cậy kết đo khác nhau, ta gọi chúng trị đo không độ xác Đặc trưng cho độ xác đại lượng đo phương sai trị đo sai số trung phương Dựa vào đặc tính phụ thuộc không phụ thuộc đại lượng đo ta phân biệt trị đo khơng độc lập trị đo độc lập Giữa trị đo không tồn phụ thuộc chúng gọi trị đo độc lập Trường hợp ngược lại gọi trị đo không độc lập trị đo tương quan, đơi cịn gọi trị đo phụ thuộc Mức độ phụ thuộc trị đo biểu thị qua hiệp phương sai hệ số tương quan Ví dụ: Hai góc ngang kề có chung hướng đo tính từ hướng đo độc lập, chất trị đo phụ thuộc Tuy số trường hợp, người ta coi góc đo lưới tam giác trị đo độc lập với nhau, thực chất bỏ qua mối tương quan chúng Các gia số tọa độ vng góc khơng gian X ,Y ,Z cặp điểm xác định định vị GPS tương đối vừa trị đo gián tiếp vừa trị đo không độc lập Một đặc điểm công tác đo đạc tiến hành đo thừa, trường hợp cần xác định đại lượng người ta thường tiến hành đo nhiều lần (n lần) để nhận nhiều trị đo đại lượng Trong trường hợp có trị đo cần thiết số trị đo thừa n-1 Trị trung bình số học n lần đo trị xác suất kết đo Khi đo góc hình tam giác lưới tam giác, số lượng góc đo cần thiết hình tam giác hai, thông thường người ta đo ba góc để có trị đo thừa Như trị đo tồn sai số ngẫu nhiên phép đo ngồi cịn chứa thêm sai số hệ thống có sai số nhầm lẫn trình đo (gọi sai lầm, hay sai số thơ) Sau xem xét số nguyên nhân gây nên sai số đo Sai số người đo Trong đo đạc, người đo gây sai số đo sai số ngắm chuẩn bắt mục tiêu đo góc Sai số chập vạch đo cực nhỏ sai số ước đọc trên thang chia vạch.hoặc mia, sai số người đo dựng mia không thẳng đứng, sai số dọi điểm, cân máy, sai số đo chiều cao anten máy thu GNSS vv Độ lớn sai số phụ thuộc vào thân người đo Trên hình 1.2 thể trường hợp đo kích thước đối tượng thước chia vạch, thấy Hình 1.2 Hiệu ứng thị sai mắt hiệu ứng thị sai mắt người đo mà người đo gây nên sai số kết đo Kích thước vật đo r1, thị sai nên nhận kết đo r2 Người đo gây sai số lớn bắt nhầm mục tiêu đo góc nhầm lẫn đọc số (đọc lộn số) mia thước, người ghi sổ ghi nhầm số vào sổ đo Sai số loại gọi sai số thô (Gross Errors) sai lầm (Blunders) Hiện nay, với thiết bị đo đạc điện tử sử dụng công nghệ số, kết đo hiển thị hình ghi vào thẻ nhớ sau chuyển sang máy tính để xử lý, sai số người đo giảm thiểu đáng kể Tuy nhiên khơng thể loại bỏ hồn tồn sai số người đo máy móc hay dụng cụ đo cần đến thao tác người Sai số máy móc, dụng cụ đo Khi đo đạc, người ta phải sử dụng máy đo dụng cụ đo Máy đo hay dụng cụ đo cho dù chế tạo tinh xảo đến đâu khơng thể đạt mức hồn hảo tuyệt đối Những sai số chế tạo máy móc, thiết bị trình sử dụng, ảnh hưởng trực tiếp đến kết đo Sự không chuẩn xác hệ trục máy kinh vĩ ảnh hưởng đến kết đo góc, khoảng chia vạch thước thép mia khơng xác dẫn đến sai số đo chiều dài đo chênh cao Trục ống thủy dài máy thủy bình khơng song song với trục quang học ống ngắm gây sai số đo hiệu độ cao, tâm pha anten máy thu GNSS khơng trùng với tâm hình học máy gây sai số lệch tâm pha anten kết đo GNSS vv Các sai số máy móc, dụng cụ đo ảnh hưởng đến kết đo thường mang tính hệ thống, tức ảnh hưởng theo quy luật Để khắc phục ảnh 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 +1,08 +1,45 -2,42 +0,73 +1,28 +2,03 +0,51 -0,10 -0,78 -0,76 -0,12 +0,51 +0,33 -1,03 +1,16 -1,32 -0,04 +0,59 +0,77 -1,53 -1,06 -0,84 +1,05 1,1664 2,1025 5,8564 0,5329 1,6384 4,1209 0,2601 0,0100 0,6084 0,5776 0,0144 0,2601 0,1089 1,0609 1,3456 1,7424 0,0016 0,3481 0,5929 2,3409 1,1236 0,7056 1,1025 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 -0,75 +0,03 -0,21 -0,57 -0,50 -0,82 +0,31 -0,90 -0,44 +1,09 -0,72 +0,90 +0,45 +0,27 +0,96 +0,53 -0,21 -0,35 -1,80 +1,39 -0,57 +2,08 +0,12 0,5625 0,0009 0,0441 0,3249 0,2500 0,6724 0,0961 0,8100 0,1936 1,1881 0,5184 0,8100 0,2025 0,0729 0,9216 0,2809 0,0441 0,1225 3,2400 1,9321 0,3249 4,3264 0,0144 Lời giải: Với số liệu cho bảng 1.9 theo cơng thức (1.11.2) tính sai số trung phương sai số khép hình tam giác sau: mw  [ WW ] 65 ,2830   0 ,98" n 68 Theo cơng thức (1.4.7) tính sai số trung bình:  W   54 ,80  ,81" n 68 Mặt khác ta tính sai số trung bình theo quan hệ:   mw  ,80" Như sai số trung bình tính theo hai cách cho kết gần Theo công thức (1.4.11) tính sai số xác suất: 69   mw  ,66" Nếu lấy giới hạn lần sai số trung phương, tính sai số khép hình tam giác giới hạn sau: Wgh  3.mw  ,94" Sai số trung phương đo góc tính theo quan hệ (1.11.3) sau: m mw  0 ,56" 1.11.2 Đánh giá độ xác kết đo cao lưới độ cao Các đoạn đo chênh cao phương pháp đo cao hình học theo đồ hình khép kín cho phép tính sai số khép chênh cao theo công thức: n f h   hi (1.11.5) i 1 n số đoạn đo đồ hình khép kín Độ lớn sai số khép f h phản ánh chất lượng đo chênh cao đoạn đo Nếu vòng khép kín có tổng chiều dài L, ta biểu thị mối quan hệ sai số trung phương sai số khép f h sai số trung phương đo cao km  km sau: m 2fh   km L (1.11.6) Từ rút ra: km   m 2fh L (1.11.7) Nếu mạng lưới độ cao có N vịng khép kín, vịng khép có chiều dài L (tính đơn vị km) tính sai số khép f h , tính sai số trung phương đo cao km theo công thức sau:  km  f h2   L     N (1.11.8) Công thức (1.11.8) cho kết tin cậy số lượng vịng khép kín lớn vòng khép phải độc lập 70 Ngồi phương pháp đánh giá độ xác kết đo góc lưới tam giác trình bày (1.11.1) độ xác đo cao lưới độ cao trình bày (1.11.2), cịn dựa vào sai số khép hình đa giác trung tâm tứ giác trắc địa đo cạnh để đánh giá độ xác đo chiều dài [11] Cũng dựa vào sai số khép hình độc lập (hình khơng ca đo) để đánh giá độ xác kết đo véc tơ cạnh mạng lưới GPS vv 1.12 SAI SỐ LÀM TRÒN VÀ SAI SỐ TÍNH TỐN 1.12.1 Sai số làm trịn Trong tính tốn nói chung tính tốn trắc địa nói riêng, giá trị nào, trị đo hay yếu tố định lượng biểu thị số có số chữ số xác định Các chữ số thể quy tắc làm tròn số Cũng cần phân biệt sai số làm tròn số với sai số đo Sai số đo phụ thuộc vào điều kiện đo, sai số làm tròn số người tính tốn phương tiện tính tốn định Kiến thức phần giúp cho người làm công tác xử lý số liệu nắm nguyên tắc làm trịn số khơng tùy tiện việc lấy số lẻ tính tốn Một số a viết dạng: a    s 10 s (1.12.1)  s số nguyên từ đến 9, chẳng hạn số 65,807 viết: 65 ,807  6.10  5.10  8.10 1  0.10 2  7.10 3 Ở dạng (1.12.1) chữ số  s chữ số cụ thể là: (1.12.2)   ;   ;  1  ;    ;    Giả sử a giá trị xấp xỉ số A (đúng) với sai số tuyệt đối giới hạn a , a  ,5.10 s ta nói  s chữ số đáng tin (chữ số chắc), a  ,5.10 s ta nói  s chữ số đáng nghi (chữ số khơng chắc) Quy tắc quy trịn phải bảo đảm cho sai số quy tròn tuyệt đối bé tốt Theo ta có quy tắc viết số quy tròn trắc địa sau: Quy tròn cho sai số quy trịn tuyệt đối khơng lớn nửa đơn vị hàng lại cuối cùng, tức đơn vị hàng bỏ Cụ thể chữ số bỏ > thêm vào chữ số lại cuối đơn vị, chữ số bỏ