Đang tải... (xem toàn văn)
Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức Trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 nếu chúng ta vận dụng kiến thức về biểu thức liên hợp một cách hợp lí và[r]
(1)Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải số dạng toán thức Trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 chúng ta vận dụng kiến thức biểu thức liên hợp cách hợp lí và sáng tạo giúp giải nhiều bài toán hay và khó thức Dạng 1: Ứng dụng biểu thức liên hợp để tính giá trị biểu thức ⍟Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau: A = 40 40 Giải Ta có: A 40 40 (8 40 )(8 40 ) 16 82 (40 5) 16 24 16 (2 5) 16 2(2 2) 12 2(6 5) 2( 1) A = ( 1) (vì A > 0) ⍟Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau: B Giải Ta có : 1 1 2 2014 2015 k k 1 k + 1 k k k 1 k + 1 k k + k, kN Áp dụng đẳng thức trên với k = 1, 2, ,2014 ta B 2015 2014 2015 ⍟Ví dụ Cho x x 2015 y y2 2015 2015 Tính giá trị biểu thức: x 2015 y2015 P 2016 x y2016 2017 Giải: Nhân hai vế đẳng thức đã cho với x x 2015 ta x 2015 x x x 2015 y y 2015 2015 x 2015 x y y 2015 2015 y y 2015 x 2015 x x 2015 x x 2015 x (1) Tương tự vậy, ta có: x x 2015 y2 2015 y (2) Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn (2) Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải số dạng toán thức Cộng vế với vế (1) và (2) , rút gọn ta được: x + y = – (x + y) x + y = x = – y x 2015 y2015 ( y) 2015 y 2015 Vậy P 2016 2016 2016 0 2016 2016 2016 x y 2017 x y 2017 x y 2017 Dạng 2: Ứng dụng biểu thức liên hợp để rút gọn biểu thức ⍟Ví dụ : Rút gọn biểu thức A 2 2 Giải Ta có A 2 2 2 (2 3)(2 3) 2 2 2 A (2 3)(2 3) A (vì A 0) Cách khác: Ta có A2 2 22 2 (2 3)(2 3) 2 3 2 A (vì A 0) ⍟Ví dụ : Rút gọn biểu thức B x x2 2x x2 Giải ● Trường hợp x = 5: Với x = ta B 52 2 25 ●Trường hợp x ≠ : Với x ≠ Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp mẫu ta x 2 x 2(x 3) x B 2(x 3) x 2(x 3) x 2(x 9) (x 3) x 4(x 3) x 2(x 9) 4(x 3)2 (x 9) (4x 12 x 3) x2 3(x 5) x x2 (x 3)(4x 12 x 3) 3(x 5)(x 3) x3 x2 Ta thấy với x = biểu thức có kết nên hai trường x3 hợp x = và x ≠ cùng có chung đáp số là x2 x2 Vậy B = x3 x3 Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn (3) Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải số dạng toán thức Dạng 3: Ứng dụng biểu thức liên hợp để chứng minh bất đẳng thức 1 ⍟Ví dụ Cho A 1 925 924 924 925 Chứng minh : A 30 31 Giải Ta có 1 k 1 k 1 k (k 1) k k k k(k 1)( k k 1) k(k 1) k k 1 Áp dụng đẳng thức trên với k =1,2, ., 924, ta 1 1 1 A 2 924 925 1 30 1 1 1 31 31 925 961 30 Vậy A 31 ⍟Ví dụ Cho các số thực dương a,b Chứng minh bất đẳng thức sau : 3a2 2ab 3b2 2(a2 b2 ) ab Giải: Ta có 2(a b ) (a b) 2 2(a2 b2 ) (a b) 2(a2 b2 ) (a b) 2(a2 b2 ) (a b) 2(a2 b2 ) (a b)2 2(a2 b2 ) (a b) (a b)2 2(a2 b2 ) a b Do đó 3a2 2ab 3b2 2(a2 b2 ) a b 3a 2ab 3b2 2(a b) 2(a2 b2 ) 2(a b) ab a2 2ab b2 2(a b)2 ab 2(a2 b2 ) a b (a b)2 2(a2 b2 ) a b 2(a b)2 (a b) (a b)2 2(a2 b2 ) a b 2(a b) (a b)2 2(a2 b2 ) (a b) (a b)4 0 2 2(a b ) a b Bất đẳng thức cuối đúng a, b là các số dương, nên bất đẳng thức đã cho đúng Đẳng thức xảy và a = b Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn (4) Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải số dạng toán thức Dạng 4: Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ ⍟Ví dụ 8: Giải phương trình 2x x 2x x 11 Giải: Điều kiện x Phương trình (1) 2x x 2x2 x 10 (1) 2x x 2x x 10 ( 2x 3)( 2x 3) (2 x )(2 x ) 2x x 10 2x 2 6x 2(x 2) x2 (x 2)(2x 5) 2x x (x 2) 2x 2x x 2 x (vì 2x với x 6) 2x x x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm là x = ⍟Ví dụ 9: Giải phương trình 4(x 1) (2x 10) 2x Giải Điều kiện x (2x 10)1 2x 1 4(x 1) 1 2x (2x 10)(1 2x 3) 4(x 1) 1 2x 4(x 1) (2x 10) 4(x 1) 1 2x (2x 10) 4(x 1) 2x 2x 2x 2 2 2 2 2 (x 1)2 2x (2) 1 Phương trình (2) 4(x 1) 2x (2x 10) 2x x 1 (2x 10) 2x x 1 (thỏa mãn điều kiện) x Vậy phương trình có hai nghiệm x = – và x = Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn (5) Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải số dạng toán thức ⍟Ví dụ 10: Giải phương trình sau: x 3x 3x 3x Giải: Phương trình (3) tương đương với phương trình x 3x 3(x 3 3x 5) (x 1)(x 2) 3(x3 3x 4) (x 1)2 (x 1) 3x (3x 5)2 (3) 0 (x 1)(x 2) 1 (*) 2 (x 1) (x 1) 3x (3x 5) Vì (x 1)2 (x 1) 3x (3x 5)2 (x 1)2 2.(x 1) 13 3x (3x 5)2 (3x 5)2 4 3x x 3x với x 3x x 1 x x Dấu " =" xảy ( Vô lí ) 3x x 3x Do đó dấu" =" không thể xảy nghĩa là (x 1)2 (x 1) 3x (3x 5)2 x R Suy x R (x 1)2 (x 1) 3x (3x 5)2 Nên phương trình (*) ⇔(x – 1)(x+2) = ⇔ x =1 x= – Vậy phương trình có hai nghiệm là x= 1; x= – ⍟Ví dụ 11: Giải phương trình: 5x 7x 4x 6x (4) Giải: Điều kiện: x Phương trình (4) tương đương với phương trình sau 5x 7x 4x 6x 5x 4x 7x 6x 5x 4x 5x 5x 4x 5x 4x x2 5x 4x 5x 4x 4x 7x 6x 0 7x 6x x2 0 7x 6x 7x 6x 7x 6x 7x 6x Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn 0 (6) Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải số dạng toán thức 1 (x 2) 0 7x 6x 5x 4x 1 x Do x 5x 4x 7x 6x ⇔ x = (Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = là nghiệm phương trình đã cho Ví dụ 12 Giải bất phương trình sau 2 Giải Điều kiện x 3x (4) 5x 12 Bất phương trình (3) 9x 9x 3x 5x 12 3x 3x 3x 3x 5x 12 3x 4 3x 3x 3x 5x 12 5x 12 3x 3x 5x 12 3x x 3x x 4x x x x(x 1) x (vì x x) 1 x x Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất phương trình đã cho là – 1< x < Dạng 5: Giải hệ phương trình vô tỷ x y (1) ⍟Ví dụ 13 Giải hệ phương trình sau: y x (2) Giải: Điều kiện x ≥ 7; y ≥ Từ hệ phương trình đã cho ta suy x 1 x y 1 y ( x x 7)( x x 7) ( y y 7)( y y 7) x 1 x y 1 y x 1 x y 1 y x 1 x y 1 y ● Nếu x > y ≥ thì x 1 x y 1 y ● Nếu ≤ x < y thì x x y y Vậy x = y Thay vào phương trình (1) ta Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn (7) Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải số dạng toán thức x 1 x x x (x 1)(x 7) 16 x 11 (x 1)(x 7) 11 x 2 x 6x 121 22x x x 11 x 11 16x 128 x ⇔ x = (Thỏa mãn điều kiện).Vậy hệ có nghiệm (x; y) =(8; 8) 2 2x x 2x 2y y 2y (1) ⍟Ví dụ 14 Giải hệ phương trình sau: (2) x y 1 Giải: Điều kiện x ≥ ; y ≥ Phương trình (1) 2x+3 2y x2 2x y2 2y 2x+3 2y x 2x y 2y 2x+3 2y 2x+3 2y 2x+3 2y (x xy 2x) (xy y 2y) 2(x y 2) x(x y 2) y(x y 2) 2x+3 2y x y 2 x y (*) 2x+3 2y xy0 Vì x ≥ ; y ≥ nên 2x+3 2y Do đó (*) ⇔ x y y x Thế vào (2) ta : x x 2x x x x2 x x 5 x x 9x 27 x x (5 x) x y = (Thỏa mãn điều kiện ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (3; 5) BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh 1 2001 a) 3( 2) 5( 3) 4003( 2001 2002) 2003 1 43 b) 1 2002 2001 2001 2002 44 Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn (8) Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải số dạng toán thức Bài 2: Với số nguyên dương n, chứng minh 1 2n 1 3 2n 2n a) b) 1 3 2n 2n 2n 2 Bài 3: Cho f(x) =(x3 + 6x – 5)2006 Tính f(a) với a 3 17 3 Bài 4: Giải các phương trình sau: 3x (x 6) 3x a) c) ( x x 2)(1 x2 7x 10) e) 6 3x 2x d) x 12 3x x 5x2 3x 2x2 x2 2x 2x2 5x Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: a) A b) 49 20 49 20 74 b) B a b c ac bc a b c ac bc 1 1 c) C 1 4 7 10 97 100 1 1 d) D 1 5 9 13 n n4 4 6 2n n 240 14399 1 3 n 1 n 1 119 121 Bài 6: Giải các bất phương trình sau: x a) b) 5x x 5x2 4x 19 x 1 2x e) E c) 2x 2 x 12x 9x2 16 Bài 7: Cho các số thực dương a, b Chứng minh bất đẳng thức 2ab a2 b ab ab ab 2 2 Bài 8: a) Chứng minh : n n n b) Áp dụng : Cho A n n 1 1 2500 Chứng minh 98 < A < 99 Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn (9) Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải số dạng toán thức Bài 9: Giải các hệ phương trình x x2 y y2 b) 3x 15y y2 5x x5 y2 7 a) x2 y5 7 Bài 10 So sánh a) 2006 2005 và 2005 2004 b) n n m và n n m với m, n ∊ N* Bài 11 Tìm n ∊ N cho : 4 5 n n 1 10 Bài 12 Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x 2004 x 2005 x y 2004 y 2005 y Chứng minh x = y Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn (10)