0

Toán Lớp 11 NHỊ THỨC

27 2 0
  • Toán Lớp 11 NHỊ THỨC

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/09/2021, 20:44

Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n (a  b)n   Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n k bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk  Cnnk 5) Cn0  Cnn  , Cnk 1  Cnk  Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n  Cn1 x n1   Cnn  Cn0  Cn1   Cnn  2n (x–1)n = Cn0 x n  Cn1 x n1   (1) n Cnn  Cn0  Cn1   (1)n Cnn  Từ khai triển ta có kết sau * Cn0  Cn1   Cnn  2n * Cn0  Cn1  Cn2   (1)n Cnn  B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp:  ax p  bxq    Cnk  ax p  n n k 0 nk bxq    Cnk ank bk xnp pk qk k n k 0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk  m m  np Từ tìm k  pq Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cnk a n k bk với giá trị k tìm m Nếu k không nguyên k  n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P  x    a  bx p  cx q  viết dạng a0  a1x   a2n x 2n n Ta làm sau: * Viết P  x    a  bx p  cx q    Cnk a n k  bx p  cx q  ; n n k k 0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng  bx p  cx q  thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak 1  ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển  2a  b  , hệ số số hạng thứ bằng: A 80 B 80 C 10 D 10 n6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức  a   ,  n    Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 C 35.C105 D 35.C105 Câu 3: Trong khai triển  3x  y  , hệ số số hạng là: 10 B 34.C104 A 34.C104 Câu 4: Trong khai triển  x  y  , hệ số số hạng chứa x5 y là: A 22400 B 40000 C 8960 D 4000   Câu 5: Trong khai triển  x   , hệ số x ,  x   là: x  A 60 B 80 C 160 D 240 1  Câu 6: Trong khai triển  a   , số hạng thứ là: b  4 A 35.a b B 35.a6 b4 C 35.a b5 Câu 7: Trong khai triển  2a  1 , tổng ba số hạng đầu là: A 2a6  6a5  15a C 64a6  192a5  480a4  Câu 8: Trong khai triển x  y A 16 x y15  y8  D 35.a b B 2a6  15a5  30a D 64a6  192a5  240a4 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15  y B 16 x y15  y D 16 xy15  y8   Câu 9: Trong khai triển  8a  b  , hệ số số hạng chứa a9b3 là:   A 80a b B 64a9 b3 C 1280a9 b3 D 60a6 b4   Câu 10: Trong khai triển  x   , số hạng không chứa x là: x   A 4308 B 86016 C 84 10 Câu 11: Trong khai triển  x  1 , hệ số số hạng chứa x8 là: D 43008 A 11520 B 45 C 256 Câu 12: Trong khai triển  a  2b  , hệ số số hạng chứa a b4 là: D 11520 A 1120 B 560 C 140 Câu 13: Trong khai triển  3x  y  , số hạng chứa x y là: D 70 A 2835x y3 B 2835x y3 C 945x y D 945x y Câu 14: Trong khai triển  0,2 + 0,8 , số hạng thứ tư là: A 0,0064 B 0, 4096 C 0,0512 D 0, 2048 Câu 15: Hệ số x3 y khai triển 1  x  1  y  là: A 20 B 800 C 36 Trang D 400 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 16: Số hạng khai triển  3x  y  là: B  3x   y  A C42 x y C 6C42 x y D 36C42 x y Câu 17: Trong khai triển  x  y  , hệ số số hạng chứa x8 y 11 B  C11 A C113 C C115 D C118 Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x)  (1  x)10 A 15360 B 15360 C 15363 D 15363 Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x)  x(2  3x) A 489889 B 489887 C 489888 D 489888 Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: g ( x)  (1  x)  (1  x)  (2  x)9 A 29 B 30 C 31 D 32 10 Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x)  (3  x) A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831 Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x)  x(1  x) A 4608 B 4608 C 4618 D 4618 10 Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x)  (3x  1) A 17010 B 21303 C 20123 D 21313 2  Câu 24: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x)    x3  x  A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000 12 3 x Câu 25: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x)      x 2 297 29 27 97 A B C D 51 52 512 12 10 Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x)  (1  x  x ) A 37845 B 14131 C 324234 D 131239 8 Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x)  8(1  8x)  9(1  x)9  10(1  10 x)10 A 8.C80 88  C91.98  10.C108 108 B C80 88  C91.98  C108 108 C C80 88  9.C91.98  10.C108 108 D 8.C80 88  9.C91.98  10.C108 108 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x)  8(1  x)8  9(1  x)9  10(1  3x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển  x3  xy  là: 15 A 2080 B 3003 C 2800 D  3200 18   Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển  x   là: x   10 A C18 B C18 C C18 D C183 Câu 31: Khai triển 1  x  , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B – 33 C –72 D –792  Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f ( x)  ( x  )12 (x  0) x A 59136 B 213012 C 12373 D 139412  x3 )17 ( x  0) Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x)  ( x Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A 24310 B 213012 C 12373 D 139412 n 1  Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn   x5  biết x  n 1 n Cn  Cn3   n  3 A 495 B 313 C 1303 D 13129 n 1  Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triể n biể u thức    x  x   với n là số x  nguyên dương thoả mañ Cn3  2n  An21 ( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hơ ̣p, số chin̉ h hơ ̣p châ ̣p k n phầ n tử) A 98 B 98 C 96 D 96 40   Câu 36: Trong khai triển f  x    x   , tìm hệ số x31 x   A 9880 B 1313 C 14940 D 1147 18 1  Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức  x3   số hạng độc lập x x   A 9880 B 1313 C 14940 D 48620 12  x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển    3 x 55 13 621 A B C 113 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển  x3  xy  D 1412 3123 15 A 300123 B 121148 C 3003 D 1303 20 Câu 40: Cho đa thức P  x   1  x   1  x    20 1  x  có dạng khai triển P  x   a0  a1 x  a2 x   a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 B 130414 Câu 41: Tìm số hạng khai triển  3  C 511313 D 412674 số nguyên A 4536 B 4184 Câu 42: Xét khai triển f ( x)  (2 x  ) 20 x C 414 12 Viết số hạng thứ k  khai triển k 220k.x 20k A Tk 1  C20 D 1313 B Tk 1  C10k 220k.x202k k 2204 k.x 202 k C Tk 1  C20 k 220k.x 202k D Tk 1  C20 Số hạng khai triển không chứa x 10 10 210 A C20 B A20 10 C C20 10 10 D C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x)  (3x  x  1)10 A 8089 B 8085 C 1303 D 11312 2n Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2  3x) , biết n số nguyên dương thỏa mãn : C21n1  C23n1  C25n1   C22nn11  1024 A 2099529 B 2099520 C 2099529 D 2099520 10 14 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x)  (1  x)  (1  x)   (1  x) Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 10 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x 1  x   x 1  3x  A 3320 B 2130 C 3210 D 1313 Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f ( x)  1  x 1  x   A 213 B 230 Câu 48: Đa thức P  x   1  3x  x  C 238 10 D 214  a0  a1 x   a20 x 20 Tìm a15 10 A a15  C10 C105 35  C109 C96 33  C108 C87 10 B a15  C10 C105 25  C109 C96 26  C108 C87 27 10 C a15  C10 C105 35.25  C109 C96 33.26  C108 C87 27 10 D a15  C10 C105 35.25  C109 C96 33.26  C108 C87 3.27 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x3  ) n , biết Cnn1  Cnn2  78 với x x0 A 112640 B 112640 C 112643 D 112643 n 3 Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x khai triển thành đa thức ( x  1)n ( x  2) n Tìm n để a3n3  26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 n   Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton   x  , biết x  n 20 C2n1  C2n1   C2n1   A 210 B 213 C 414 D 213 n n Câu 52: Cho n  * (1  x)  a0  a1 x   an x Biết tồn số nguyên k (  k  n  ) a a a cho k 1  k  k 1 Tính n  ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 10 Câu 53: Trong khai triển (  x) thành đa thức 3 10 a0  a1 x  a2 x   a9 x  a10 x , tìm hệ số ak lớn (  k  10 ) 26 210 210 210 210 a  3003 a  3003 a  3003 B C D 315 315 315 315 Câu 54: Giả sử (1  x)n  a0  a1 x  a2 x   an x n , biết a0  a1   an  729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A a10  3003 A n=6, max ak   a4  240 B n=6, max ak   a6  240 C n=4, max ak   a4  240 D n=4, max ak   a6  240 Câu 55: Cho khai triển (1  x)  a0  a1 x   an x , n  * Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0    nn  4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 n n Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG n a C b k 0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a  b)n  Cn0 a n  a n1bCn1  a n2b2Cn2   bnCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: * Cnk  Cnnk * Cn0  Cn1   Cnn  2n n *  (1) C k k 0 n * 0 n  C22nk   C22nk 1  k 0 k 0 n * k n C a k 0 k n k 2n k  C2n k 0  (1  a)n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số không chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn Câu 1: Tổng T  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn bằng: A T  2n B T  2n – C T  2n  D T  4n Câu 2: Tính giá trị tổng S  C60  C61   C66 bằng: A 64 B 48 C 72 D 100 Câu 3: Khai triển  x  y  thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S  C5  C51   C55 A 32 B 64 C D 12 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn  2Cn  4Cn   Cn  243 A B 11 C 12 D 5 Câu 5: Khai triển  x  y  thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S  C5  C51   C55 A 32 C B 64 Câu 6: Khai triển 1  x  x  x  D 12  a0  a1 x  a2 x   a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 A a10  C50  C54  C54C53 B a10  C50 C55  C52C54  C54C53 C a10  C50 C55  C52C54  C54C53 D a10  C50 C55  C52C54  C54C53 b) Tính tổng T  a0  a1   a15 S  a0  a1  a2   a15 A 131 B 147614 C Câu 7: Khai triển 1  x  3x  10  a0  a1 x  a2 x   a20 x D 20 a) Hãy tính hệ số a4 A a4  C100 24 B a4  24 C104 C a4  C100 C104 D a4  C100 24 C104 C S  1720 D S  710 b) Tính tổng S  a1  2a2  4a3   220 a20 A S  1710 B S  1510 Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 1 1 (1) n n Cn Câu 8: Tính tổng sau: S  Cn  Cn  Cn  Cn   2(n  1) A B C 2(n  1) Câu 9: Tính tổng sau: S  Cn1 3n1  2Cn2 3n2  3Cn3 3n3   nCnn A n.4n1 B C 1 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1  Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 n 1 2n 1  1 1 1 A B C n 1 n 1 n 1 Câu 11: Tính tổng sau: S2  Cn1  2Cn2   nCnn A 2n.2n1 B n.2n1 C 2n.2n1 D (n  1) D 4n 1 2n 1  1 D n 1 D n.2n1 Câu 12: Tính tổng sau: S3  2.1.Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4   n(n  1)Cnn A n(n  1)2n2 B n(n  2)2n2 Câu 13: Tính tổng S  Cn0  C n(n  1)2n3 D n(n  1)2n2 32  1 3n1  n Cn   Cn n 1 4n 1  2n 1 A S  n 1 n 1  2n 1 1 C S  n 1 4n 1  2n 1 1 B S  n 1 4n 1  2n 1 1 D S  n 1 22  1 2n 1  n Cn   Cn n 1 3n 1  2n 1 3n  2n 1 3n 1  2n 3n 1  2n 1 A S  B S  C S  D S  n 1 n 1 n 1 n 1 2 n n 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C2n1  2.2C2 n1  3.2 C2 n1   (2n  1)2 C2 n1  2005 A n  1001 B n  1002 C n  1114 D n  102 n 1 n 1 n2 n2 n 1 0 Câu 16: Tính tổng 1.3 Cn  2.3 Cn   n.3 Cn Câu 14: Tính tổng S  Cn0  A n.8n1 B (n  1).8n1 C (n  1).8n Câu 17: Tính tổng S  2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4   n(n  1)Cnn A n(n  1)2n2 B n(n  1)2n2 Câu 18: Tính tổng  Cn0    Cn1    Cn2     Cnn  A C2nn 2 D n.8n C n(n  1)2n D (n  1)2n2 C 2C2nn D C2nn11 B C2nn1 Câu 19: Tính tổng sau: S1  5n Cn0  5n1.3.Cnn1  32.5n2 Cnn2   3n Cn0 C 8n 1 A 28n B  8n 2010  22 C2011   22010 C2011 Câu 20: S2  C2011 32011  3211  B 2 Câu 21: Tính tổng S3  Cn  2Cn   nCnn A A 4n.2n1 C B n.2n1 32011  12 C 3n.2n1 Trang D 8n D 32011  D 2n.2n1 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n (a  b)n   Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n k bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk  Cnnk 5) Cn0  Cnn  , Cnk 1  Cnk  Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n  Cn1 x n1   Cnn  Cn0  Cn1   Cnn  2n (x–1)n = Cn0 x n  Cn1 x n1   (1) n Cnn  Cn0  Cn1   (1)n Cnn  Từ khai triển ta có kết sau * Cn0  Cn1   Cnn  2n * Cn0  Cn1  Cn2   (1)n Cnn  B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp:  ax p  bxq    Cnk  ax p  n n k 0 nk bxq    Cnk ank bk xnp pk qk k n k 0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk  m m  np Từ tìm k  pq Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cnk a n k bk với giá trị k tìm m Nếu k khơng ngun k  n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P  x    a  bx p  cx q  viết dạng a0  a1x   a2n x 2n n Ta làm sau: * Viết P  x    a  bx p  cx q    Cnk a n k  bx p  cx q  ; n n k k 0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng  bx p  cx q  thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak 1  ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển  2a  b  , hệ số số hạng thứ bằng: A 80 B 80 C 10 Hướng dẫn giải: Chọn B 5 Ta có:  2a  b   C50  2a   C51  2a  b  C52  2a  b  D 10 Do hệ số số hạng thứ C52  80 Câu 2: Trong khai triển nhị thức  a   n6 ,  n    Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 Hướng dẫn giải: Chọn C n6 Trong khai triển  a   ,  n    có tất n  số hạng D 12 Do n   17  n  10 Câu 3: Trong khai triển  3x  y  , hệ số số hạng là: 10 B 34.C104 A 34.C104 Hướng dẫn giải: Chọn D C 35.C105 D 35.C105 Trong khai triển  3x  y  có tất 11 số hạng nên số hạng số hạng thứ 10 Vậy hệ số số hạng 35.C105 Câu 4: Trong khai triển  x  y  , hệ số số hạng chứa x5 y là: A 22400 B 40000 C 8960 D 4000 Hướng dẫn giải: Chọn A Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  (1)k C8k (2 x)8k (5 y)k  (1)k C8k 28k 5k.x8k y k Yêu cầu toán xảy k  Khi hệ số số hạng chứa x5 y là: 22400   Câu 5: Trong khai triển  x   , hệ số x ,  x   là: x  A 60 B 80 C 160 Hướng dẫn giải: Chọn C Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C6k x 6k 2k x Yêu cầu toán xảy  k  k   k  3 Khi hệ số x là: C6  160 D 240  k 1  Câu 6: Trong khai triển  a   , số hạng thứ là: b  4 A 35.a b B 35.a6 b4 Hướng dẫn giải: Chọn A Trang C 35.a b5 D 35.a b Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C7k a142k b k Vậy số hạng thứ T5  C74 a6 b4  35.a6 b4 Câu 7: Trong khai triển  2a  1 , tổng ba số hạng đầu là: A 2a6  6a5  15a C 64a6  192a5  480a4 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có:  2a  1  C60 26 a6  C61.25 a5  C62 24 a  B 2a6  15a5  30a D 64a6  192a5  240a4 Vậy tổng số hạng đầu 64a6  192a5  240a4  Câu 8: Trong khai triển x  y A 16 x y15  y8 Hướng dẫn giải: Chọn A  Ta có: x  y  16  16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15  y B 16 x y15  y 15  C160 x16  C161 x15 y   C16 x  y 15 16  C16 D 16 xy15  y8  y 16   Câu 9: Trong khai triển  8a  b  , hệ số số hạng chứa a9b3 là:   A 80a b B 64a9 b3 C 1280a9 b3 Hướng dẫn giải: Chọn C k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1   1 C6k 86k a122 k 2 k bk D 60a6 b4 Yêu cầu toán xảy k  Khi hệ số số hạng chứa a9b3 là: 1280a9 b3   Câu 10: Trong khai triển  x   , số hạng không chứa x là: x   A 4308 B 86016 C 84 Hướng dẫn giải: Chọn D Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C9k x9k 8k.x 2k Yêu cầu toán xảy  k  2k   k  Khi số hạng khơng chứa x là: C93 83  43008 D 43008 Câu 11: Trong khai triển  x  1 , hệ số số hạng chứa x8 là: 10 A 11520 B 45 C 256 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C10k 210k.x10k  1 D 11520 Yêu cầu toán xảy 10  k   k  Khi hệ số số hạng chứa x8 là: C102 28  11520 Câu 12: Trong khai triển  a  2b  , hệ số số hạng chứa a b4 là: A 1120 B 560 C 140 Hướng dẫn giải: Chọn A k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C8k a8k  2  bk Trang 10 D 70 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A 17010 Hướng dẫn giải: Chọn A B 21303 C 20123 D 21313 10 Ta có: f ( x)   C10k 3k x k , số hạng chứa x8 ứng với k  nên hệ số x8 là: C104 34  17010 k 0 2  Câu 24: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x)    x3  x  A 1312317 B 76424 C 427700 Hướng dẫn giải: Chọn D D 700000 Ta có: f ( x)   C8k 28k (5) k x k 8 , số hạng chứa x8 ứng với k  nên hệ số x8 là: k 0 C (5)  700000 4 12 3 x Câu 25: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x)      x 2 297 29 27 A B C 51 52 512 Hướng dẫn giải: Chọn A D 97 12 12 Ta có: f ( x)   C12k 312k.2 k.x k 12 , số hạng chứa x8 ứng với k  10 nên hệ số x8 là: k 0 297 C1210 32.210  512 Câu 26: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x)  (1  x  x )10 A 37845 B 14131 C 324234 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 10 k 0 k 0 j 0 D 131239 k Ta có: f ( x)   C10k (2 x )10k (1  x)k   C10k Ckj 210k x 202 k  j 0  j  k  10 Số hạng chứa x8 ứng với cặp (k , j ) thỏa:   j  2k  12 Nên hệ số x là: 10 C106 C60 24  C107 C72 23  C108 C84 22  C109 C96  C10 C10  37845 Câu 27: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x)  8(1  8x)8  9(1  x)9  10(1  10 x)10 A 8.C80 88  C91.98  10.C108 108 B C80 88  C91.98  C108 108 C C80 88  9.C91.98  10.C108 108 Hướng dẫn giải: Chọn D D 8.C80 88  9.C91.98  10.C108 108 Ta có: (1  x)8   C8k 88k x8k k 0 (1  x)9   C9k 99k x9k k 0 10 (1  10 x)10   C10k 1010k x10k k 0 Trang 13 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Nên hệ số chứa x8 là: 8.C80 88  9.C91.98  10.C108 108 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x)  8(1  x)8  9(1  x)9  10(1  3x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A n Ta có: 1  ax    Cnk a k x k nên ta suy hệ số x k khai triển (1  ax)n Cnk a k Do đó: n i 0 Hệ số x khai triển (1  x)8 : C88 Hệ số x8 khai triển (1  x)9 : C98 28 Hệ số x8 khai triển (1  3x)10 : C108 38 Vậy hệ số chứa x8 khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C88  9.28.C98  10.38.C108  22094 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển  x3  xy  là: 15 A 2080 B 3003 C 2800 Hướng dẫn giải: Chọn B Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C15k x 453k x k y k Yêu cầu toán xảy k  10  Vậy hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x3  xy  15 D  3200 10 là: C15  3003 18   Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển  x   là: x   10 A C18 B C18 C C18 D C183 Hướng dẫn giải: Chọn A Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C18k x543k x 3k Yêu cầu toán xảy 54  3k  3k   k  Khi số hạng không chứa là: C189 Câu 31: Khai triển 1  x  , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B – 33 C –72 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C12k  1 x k D –792  Yêu cầu toán xảy k  Khi hệ số số hạng chứa x là: C127  792 Câu 32: Tìm số hạng không chứa x khai triển sau: f ( x)  ( x  )12 x A 59136 B 213012 C 12373 Hướng dẫn giải: Chọn A 12 Ta có: f ( x)  ( x  2.x 1 )12   C12k x12k (2 x 1 ) k k 0 12 C k 0 k 12 (2)k x122 k Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12  2k  Trang 14 (x  0) D 139412 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11  k   số hạng không chứa x là: C126 26  59136 Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x)  ( A 24310 B 213012 Hướng dẫn giải: Chọn A   x ; x3  x nên ta có Vì x 17  k C 12373 x  x3 )17 ( x  0) D 139412 k 17 k 136 17  2   3 f ( x)   C  x   x    C17k x 12 k 0   k 0   Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17k 136   k  Vậy hệ số không chứa x là: C178  24310 17 k 17 n 1  Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn   x5  biết x  n 1 n Cn  Cn3   n  3 A 495 B 313 C 1303 D 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: Cnn41  Cnn3   n  3   Cnn3  Cnn31   Cnn3   n  3  Cnn31   n  3   n   n  3  2!  n   7.2!  14  n  12  n  3 12  k 60 11k 12 12 k   1    C12k x Khi đó:   x5    C12k  x 3   x  x  k 0 k 0   60  11k   k  Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 12!  495 Do hệ số số hạng chứa x8 là: C124  4!12  ! n n 1  Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triể n biể u thức    x  x   với n là số x  nguyên dương thoả mañ Cn3  2n  An21 ( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hơ ̣p, số chỉnh hơ ̣p châ ̣p k n phầ n tử) A 98 B 98 C 96 D 96 Hướng dẫn giải: Chọn A n   Ta có: Cn  2n  An 1   n  n  1 n    2n   n  1 n   n    n 8  n  9n   Theo nhi ̣thức Newton ta có: 8 1 1   1  x   x  x    x  x 1  x   C8 x8  C8 x 1  x   Trang 15 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 1  x   C83 1  x   C84 1  x    C88 x8 1  x   x x Số ̣ng khơng phu ̣ th ̣c vào x chỉ có hai biểu thức C83 1  x  C84 1 x  x Trong đó có hai số ̣ng không phu ̣ thuô ̣c vào x là: C83 C32 C84 C40 C82 Do đó số ̣ng không phu ̣ thuô ̣c vào x là : C83 C32  C84 C40  98 40   Câu 36: Trong khai triển f  x    x   , tìm hệ số x31 x   A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn A 18  1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức  x   số hạng độc lập x x   A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn D C189  48620 D 1147 D 48620 12  x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển    3 x 55 13 621 A B C 113 Hướng dẫn giải: Chọn A 55 (3)4 C124  D 1412 3123 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển  x3  xy  15 A 300123 Hướng dẫn giải: Chọn C 10 C15  3003 B 121148 C 3003 D 1303 Câu 40: Cho đa thức P  x   1  x   1  x    20 1  x  có dạng khai triển 20 P  x   a0  a1 x  a2 x   a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 Hướng dẫn giải: Chọn A B 130414 C 511313 D 412674 20 a15   kCk15  400995 k 15 Câu 41: Tìm số hạng khai triển A 4536 Hướng dẫn giải: Chọn A  3 B 4184  số nguyên C 414 12 Trang 16 D 1313 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Ta có  3  9   C9k k 0  3   k 9k Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa:  k  2m  9  k  3n  k  0, k  k  0, ,9  Các số hạng số nguyên: C90  2  C96  3   3 Câu 42: Xét khai triển f ( x)  (2 x  ) 20 x Viết số hạng thứ k  khai triển k A Tk 1  C20 220k.x 20k B Tk 1  C10k 220k.x202k k C Tk 1  C20 2204 k.x 202 k k D Tk 1  C20 220k.x 202k Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 A C20 B A20 C C20 210 2 Hướng dẫn giải: 1 Ta có: Tk 1  C20k (2 x)20k k  C20k 220k.x 202 k x Số hạng không chứa x ứng với k: 20  2k   k  10 10 10 Số hạng không chứa x: C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x)  (3x  x  1)10 A 8089 B 8085 C 1303 Hướng dẫn giải: Chọn B f  x   1  x  3x    C10k  x  3x  10 10 10 10 D C20 D 11312 k k 0 10 k 10 k k 0 i 0 k 0 i 0   C10k  Cki (2 x)k i (3x )i   C10k  Cki 2k i.3i x k i với  i  k  10 Do k  i  với trường hợp i  0, k  i  1, k  i  k  Vậy hệ số chứa x : 24 C104 C40  2231 C103 C31  32 C102 C22  8085 Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2  3x) n , biết n số nguyên dương thỏa mãn : C21n1  C23n1  C25n1   C22nn11  1024 A 2099529 B 2099520 C 2099529 D 2099520 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 n 1 k n 1   C2 n 1  n  k 0  C22ni 11  22 n  1024  n  Ta có:  n  n i 0  C 2i 1  C 2i   n 1 n 1  i 0 i 0 10 Suy (2  3x) n   C10k 210k.(3) k x k k 0 Hệ số x C 23.(3)7  2099520 7 10 Trang 17 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x)  (1  x)9  (1  x)10   (1  x)14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C Hệ số x : C99  C109  C119  C129  C139  C149  3003 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x 1  x   x 1  3x  A 3320 B 2130 C 3210 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 Đặt f ( x)  x 1  x   x2 1  3x  5 10 Ta có : f ( x)  x C5k  2  x k  x  C10i  3x  k k 0 10 D 1313 i i 0 10   C5k  2  x k 1   C10i 3i.xi  k k 0 i 0 Vậy hệ số x khai triển đa thức f ( x) ứng với k  i  là: C54  2   C103 33  3320 Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f ( x)  1  x 1  x   A 213 Hướng dẫn giải: Chọn C Cách B 230 C 238 D 214 1  x 1  x   C80  C81 x 1  x   C82 x 1  x   C83 x 1  x  C84 x8 1  x   C85 x10 1  x   C88 x16 1  x  Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x8 chỉ có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C83 C32 , C84 C40 Vậy hệ số cuả x8 khai triển đa thức 1  x 1  x  là: a8  C83 C32  C84 C40  238 Cách 2: Ta có: 8 n n 0 k 0 1  x 1  x     C8n x n 1  x    C8n  Cnk  1 x n  k n 0 n k với  k  n  Số hạng chứa x8 ứng với 2n  k   k   2n số chẵn Thử trực tiếp ta k  0; n  k  2, n  Vậy hệ số x8 C83 C32  C84 C40  238 Câu 48: Đa thức P  x   1  3x  x   a0  a1 x   a20 x 20 Tìm a15 10 10 C105 35  C109 C96 33  C108 C87 A a15  C10 10 C105 25  C109 C96 26  C108 C87 27 B a15  C10 10 C105 35.25  C109 C96 33.26  C108 C87 27 C a15  C10 10 C105 35.25  C109 C96 33.26  C108 C87 3.27 D a15  C10 Hướng dẫn giải: Chọn D Trang 18 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Ta có: P  x   1  3x  x    C10k  3x  x  10 10 k k 0 10 k 10 k k 0 i 0 k 0 i 0   C10k  Cki (3x)k i (2 x )i   C10k  Cki 3k i.2i x k i với  i  k  10 Do k  i  15 với trường hợp k  10, i  k  9, i  k  8, i  Vậy a15  C1010 C105 35.25  C109 C96 33.26  C108 C87 3.2 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x3  ) n , biết Cnn1  Cnn2  78 với x x0 A 112640 B 112640 C 112643 D 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n!   78 Ta có: Cnn1  Cnn2  78  (n  1)!1! (n  2)!2! n(n  1)  n  78  n2  n  156   n  12 12 12  2 Khi đó: f ( x)   x     C12k (2) k x364 k x  k 0 Số hạng không chứa x ứng với k : 36  4k   k  Số hạng không chứa x là: (2)9 C129  112640 Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x3n 3 khai triển thành đa thức ( x  1)n ( x  2) n Tìm n để a3n3  26n A n=5 B n=4 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1:Ta có : x C n=3  1  Cn0 x n  Cn1 x n 2  Cn2 x n 4   Cnn n  x  2 n  Cn0 x n  2Cn1 x n 1  22 Cn2 x n 2   2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n  , n  không thoả mãn điều kiện tốn Với n  dựa vào khai triển ta chỉ phân tích x3n3  x2n xn3  x2n2 xn1 Do hệ số x3n 3 khai triển thành đa thức x  1  x   : a3n3  23.Cn0 Cn3  2.Cn1 Cn1 n n Suy a3n 3  26n  2n  2n2  3n   Vậy n  giá trị cần tìm Cách 2: n  26n  n   n   2 n  Ta có:  x  1  x    x3n 1   1    x   x i n  n k n n  n   1 n  2  x3n  Cni    Cnk   x3n  Cni x 2i  Cnk 2k x  k   x  k 0  x  i 0 k 0  i 0  Trong khai triển trên, luỹ thừa x 3n  2i  k  3  2i  k  Trang 19 D n=2 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i  0, k  i  1, k  1(vì i, k nguyên) Hệ số x3n 3 khai triển thành đa thức  x  1  x   n n Là : a3n3  Cn0 Cn3 23  Cn1 Cn1 Do a3n 3  26n  2n  2n2  3n   Vậy n  giá trị cần tìm  26n  n   n  n   Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Newton   x  , biết x  n 20 C2n1  C2n1   C2n1   A 210 B 213 C 414 D 213 Hướng dẫn giải: Chọn A Do C2kn1  C22nn11k k  0,1, 2, , 2n   C20n1  C21n1   C2nn1  C2nn11  C2nn21   C22nn11 Mặt khác: C21n1  C22n1   C22nn11  22 n1  2(C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1 )  22 n1  C21n1  C22n1   C2nn1  22n  C20n1  22n   22n   220   n  10 10 10 10 10   Khi đó:   x    x 4  x    C10k ( x 4 )10k x k   C10k x11k 40 x  k 0 k 0 26 Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k  40  26  k  Vậy hệ số chứa x 26 là: C106  210 Câu 52: Cho n  * (1  x)n  a0  a1 x   an x n Biết tồn số nguyên k (  k  n  ) a a a cho k 1  k  k 1 Tính n  ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! 1  (k  1)!(n  k  1)!  (n  k )!k !  Ta có: ak  Cnk , suy hệ  n! n! 1   (n  k )!k ! 24 (n  k  1)!(k  1)! 9k  2(n  k  1) 2n  11k  2    n  10, k  24(k  1)  9(n  k ) 9n  33k  24 Câu 53: Trong khai triển (  x)10 thành đa thức 3 a0  a1 x  a2 x2   a9 x9  a10 x10 , tìm hệ số ak lớn (  k  10 ) 210 315 Hướng dẫn giải: Chọn A A a10  3003 B a5  3003 210 315 C a4  3003 Trang 20 210 315 D a9  3003 210 315 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 15 15 k 15 1  1 Ta có:   x    C15k   3   3 k 0 k k 15 2  k k x  C    15 15 x 3   k 0 Hệ số x k khai triển ak  15 C15k 2k k 1 k 1 k k Ta có: ak 1  ak  C15  C15  C15k 1  2C15k 32 k  k  10 Từ đó: a0  a1   a10 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 ak 1  ak  k   a10  a11   a15 210 10 210 Vậy hệ số lớn phải tìm là: a10  15 C15  3003 15 3 n n Câu 54: Giả sử (1  x)  a0  a1 x  a2 x   an x , biết a0  a1   an  729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A n=6, max ak   a4  240 B n=6, max ak   a6  240 C n=4, max ak   a4  240 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: a0  a1   an  (1  2.1)n  3n  729  n  D n=4, max ak   a6  240 ak  C6k 2k suy max ak   a4  240 Câu 55: Cho khai triển (1  x)n  a0  a1 x   an x n , n  * Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0    nn  4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt f ( x)  (1  x)n  a0  a1 x   an x n a a1 1   nn  f    2n  2n  4096  n  12 2 2 Với k 0,1, 2, ,11 ta có: ak  2k C12k , ak 1  2k 1 C12k 1  a0  ak 2k C k k 1 23   k 1 12k 1   1 k  ak 1 C12 2(12  k ) Mà k  Z  k  Do a0  a1   a8 a Tương tự: k   k   a8  a9   a12 ak 1  Số lớn số a0 , a1 , , a12 a8  28 C128  126720 Trang 21 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG n a C b k 0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a  b)n  Cn0 a n  a n1bCn1  a n2b2Cn2   bnCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: * Cnk  Cnnk * Cn0  Cn1   Cnn  2n n *  (1) C k k 0 n * 0 n  C22nk   C22nk 1  k 0 k 0 n * k n C a k 0 k n k 2n k  C2n k 0  (1  a)n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn Câu 1: Tổng T  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn bằng: A T  2n B T  2n – C T  2n  Hướng dẫn giải: Chọn A Tính chất khai triển nhị thức Niu – Tơn Câu 2: Tính giá trị tổng S  C60  C61   C66 bằng: A 64 B 48 C 72 Hướng dẫn giải: Chọn A S = C06 +C16 + +C66  26  64 D T  4n D 100 Câu 3: Khai triển  x  y  thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S  C50  C51   C55 A 32 B 64 C Hướng dẫn giải: Chọn A Với x  1, y  ta có S= C50 +C15 + +C55  (1  1)5  32 Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0  2Cn1  4Cn2   2n Cnn  243 A B 11 C 12 Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: (1  x)n  Cn0  xCn1  x 2Cn2   x nCnn D 12 D Cho x  ta có: Cn0  2Cn1  4Cn2   2n Cnn  3n Do ta suy 3n  243  35  n  Câu 5: Khai triển  x  y  thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S  C50  C51   C55 A 32 Hướng dẫn giải: Chọn A B 64 C Trang 22 D 12 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Với x  1, y  ta có S= C50 +C15 + +C55  (1  1)5  32 Câu 6: Khai triển 1  x  x  x3   a0  a1 x  a2 x   a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 A a10  C50  C54  C54C53 B a10  C50 C55  C52C54  C54C53 C a10  C50 C55  C52C54  C54C53 D a10  C50 C55  C52C54  C54C53 b) Tính tổng T  a0  a1   a15 S  a0  a1  a2   a15 A 131 B 147614 C Hướng dẫn giải: Đặt f ( x)  (1  x  x2  x3 )5  (1  x)5 (1  x2 )5 D a) Do hệ số x10 bằng: a10  C50 C55  C52C54  C54C53 b) T  f (1)  45 ; S  f (1)  Câu 7: Khai triển 1  x  3x   a0  a1 x  a2 x   a20 x 20 10 a) Hãy tính hệ số a4 A a4  C100 24 B a4  24 C104 C a4  C100 C104 D a4  C100 24 C104 C S  1720 D S  710 b) Tính tổng S  a1  2a2  4a3   220 a20 A S  1710 Hướng dẫn giải: B S  1510 10 Đặt f ( x)  (1  x  3x )10   C10k 3k x k (1  x)10k k 0 10 10  k   C10k 3k x k  C10i k 210k i x10k i k 0 10 10  k i 0    C10k C10i k 3k 210k i x10 k i k 0 i 0 a) Ta có: a4  C100 24 C104  b) Ta có S  f (2)  1710 1 1 (1) n n Cn Câu 8: Tính tổng sau: S  Cn0  Cn1  Cn3  Cn4   2(n  1) A B C 2(n  1) Hướng dẫn giải: Chọn A 1 1 (1)n n  Cn  Ta có: S   Cn0  Cn1  Cn2   2 n 1  D (n  1) n (1)k k (1)k k 1 Cn  Cn 1 nên: S  Vì (1)k Cnk11  k 1 n 1 2(n  1) k 0  1  n 1  (1)k Cnk1  Cn01     2(n  1)  k 0  2(n  1) Câu 9: Tính tổng sau: S  Cn1 3n1  2Cn2 3n2  3Cn3 3n3   nCnn A n.4n1 Hướng dẫn giải: B C Trang 23 D 4n 1 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Chọn A 1 Ta có: S   kC    3 k 1 n n k k n k k 1 1 Vì kC    n   Cnk11 k  nên 3  3 k n k k n 1 1 1 S  n   Cnk11  3n1.n   Cnk1  3n 1.n(1  )n 1  n.4n 1 k 1   k 0   1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1  Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 n 1 2n 1  1 1 1 A B C n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: 1 n! (n  1)! Cnk   k 1 k  k !(n  k )! n  (k  1)![(n  1)  (k  1))!  Cnk11 (*) n 1 n k 1  n 1 k 2n 1    S1  C  C  C   n1 n    n 1 n 1  n  k 0 n 1 k 0  n n 2n 1  1 D n 1 Câu 11: Tính tổng sau: S2  Cn1  2Cn2   nCnn A 2n.2n1 B n.2n1 C 2n.2n1 D n.2n1 Hướng dẫn giải: Chọn D n! n!  k !(n  k )! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! (n  1)! n  nCnk11 , k  (k  1)![(n  1)  (k  1)]! Ta có: kCnk  k n n 1 k 1 k 0  S2   nCnk11  n Cnk1  n.2n 1 Câu 12: Tính tổng sau: S3  2.1.Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4   n(n  1)Cnn A n(n  1)2n2 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có k (k  1)Cnk  B n(n  2)2n2 C n(n  1)2n3 n!  n(n  1)Cnk22 (k  2)!(n  k )! n  S3  n(n  1) Cnk22  n(n  1)2n 2 k 2 32  1 3n1  n Cn   Cn Câu 13: Tính tổng S  C  n 1 4n 1  2n 1 A S  n 1 n B S  Trang 24 4n 1  2n 1 1 n 1 D n(n  1)2n2 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 4n 1  2n 1 1 C S  n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có S  S1  S2 , 4n 1  2n 1 1 D S  n 1 32 33 3n1 n S1  C  Cn  Cn   Cn n 1 1 S2  Cn1  Cn2   Cnn n 1 n 1 1 1 Ta có S2  n 1 Tính S1  ? n 3k 1 k 1 3k 1 k n! 3k 1 (n  1)! k 1  Cn 1 Cn   Ta có: k 1 (k  1)!(n  k )! n  (k  1)![(n  1)  (k  1)]! n  4n 1  1  n 1 k k n k 1 k 1 0 0  2  C  C  C  S1  C  C  n2 n n    n 1 n  n n 1 n  k 0 k 0  Vậy S  4n 1  2n 1 1 n 1 Câu 14: Tính tổng S  Cn0  3n 1  2n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: S  S1  S2 A S  22  1 2n 1  n Cn   Cn n 1 3n  2n 1 B S  n 1 C S  3n 1  2n n 1 D S  3n 1  2n 1 n 1 n Ck 2k 1 2n1  ; S2   n  1 k 1 n 1 k 0 k 0 k  3n 1  2k 1 k 2k 1 k 1 Cn  Cn 1  S1  1 Mà n 1 k 1 n 1 3n 1  2n 1 Suy ra: S  n 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C21n1  2.2C22n1  3.22 C23n1   (2n  1)2n C22nn11  2005 A n  1001 B n  1002 C n  1114 D n  102 Hướng dẫn giải: Chọn B n Trong S1   Cnk n 1 Đặt S   (1) k 1.k.2k 1 C2kn 1 k 1 Ta có: (1)k 1.k.2k 1 C2kn1  (1)k 1.(2n  1).2k 1 C2kn1 Nên S  (2n  1)(C20n  2C21n  22 C22n   22n C22nn )  2n  Vậy 2n 1  2005  n 1002 Câu 16: Tính tổng 1.30.5n1 Cnn1  2.31.5n2 Cnn2   n.3n150 Cn0 A n.8n1 Hướng dẫn giải: Chọn A B (n  1).8n1 C (n  1).8n Trang 25 D n.8n Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 n Ta có: VT   k 3k 1.5n k Cnn k k 1 k 1 nk nk n Mà k.3 C  n.3k 1.5nk.Cnk11 Suy ra: VT  n(30.5n1 Cn01  31.5n2 Cn11   3n150 Cnn11 )  n(5  3)n1  n.8n1 Câu 17: Tính tổng S  2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4   n(n  1)Cnn A n(n  1)2n2 Hướng dẫn giải: Chọn B B n(n  1)2n2 C n(n  1)2n D (n  1)2n2 n Ta có: S   k (k  1)Cnk k 2 k n Mà k (k  1)C  n(n  1)Cnk22 Suy S  n(n  1)(Cn02  Cn12  Cn22   Cnn22 )  n(n  1)2n2 Câu 18: Tính tổng  Cn0    Cn1    Cn2     Cnn  2 2 A C2nn B C2nn1 C 2C2nn Hướng dẫn giải: Chọn A n n 2n Ta có:  x  1 1  x    x  1 Vế trái hệ thức là: Cn0 xn  Cn1 xn1   Cnn Cn0  Cn1 x   Cnn xn  Và ta thấy hệ số x n vế trái C   C   C  n Còn hệ số x n vế phải  x  1 2n n 2 n    Cnn  D C2nn11 C2nn Do  Cn0    Cn1    Cn2     Cnn   C2nn 2 2 Câu 19: Tính tổng sau: S1  5n Cn0  5n1.3.Cnn1  32.5n2 Cnn2   3n Cn0 A 28n Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: S1  (5  3)n  8n B  8n C 8n 1 D 8n 2010  22 C2011   22010 C2011 Câu 20: S2  C2011 32011  Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: A B 3211  C 32011  12 2 2010 2011 (1  x)2011  C2011  xC2011  x2C2011   x2010C2011  x2011C2011 Cho x  ta có được: 2010 2011 32011  C2011  2.C2011  22 C2011   22010 C2011  22011 C2011 (1) Cho x  2 ta có được: 2010 2011 1  C2011  2.C2011  22 C2011   22010 C2011  22011 C2011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: Trang 26 D 32011  Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 2010  C2011  22 C2011   22010 C2011   32011 1 2010  22 C2011   22010 C2011  Suy ra: S2  C2011 32011  Câu 21: Tính tổng S3  Cn1  2Cn2   nCnn A 4n.2n1 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: kCnk  k B n.2n1 C 3n.2n1 D 2n.2n1 n! n! (n  1)!  n  nCnk11 , k  k !(n  k )! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! n n 1 k 1 k 0  S3   nCnk11  n Cnk1  n.2n 1 Trang 27 ... được: 2010 2 011 32 011  C2 011  2.C2 011  22 C2 011   22010 C2 011  22 011 C2 011 (1) Cho x  2 ta có được: 2010 2 011 1  C2 011  2.C2 011  22 C2 011   22010 C2 011  22 011 C2 011 (2) Lấy (1)... C2 011   22010 C2 011 Câu 20: S2  C2 011 32 011  Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: A B 3 211  C 32 011  12 2 2010 2 011 (1  x)2 011  C2 011  xC2 011  x2C2 011   x2010C2 011  x2011C2 011. .. (2) ta có: Trang 26 D 32 011  Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 2010  C2 011  22 C2 011   22010 C2 011   32 011 1 2010  22 C2 011   22010 C2 011  Suy ra: S2  C2 011 32 011  Câu 21: Tính tổng
- Xem thêm -

Xem thêm: Toán Lớp 11 NHỊ THỨC, Toán Lớp 11 NHỊ THỨC