Thông tin tài liệu
Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n (a b)n Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n k bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk Cnnk 5) Cn0 Cnn , Cnk 1 Cnk Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n1 Cnn Cn0 Cn1 Cnn 2n (x–1)n = Cn0 x n Cn1 x n1 (1) n Cnn Cn0 Cn1 (1)n Cnn Từ khai triển ta có kết sau * Cn0 Cn1 Cnn 2n * Cn0 Cn1 Cn2 (1)n Cnn B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: ax p bxq Cnk ax p n n k 0 nk bxq Cnk ank bk xnp pk qk k n k 0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m m np Từ tìm k pq Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cnk a n k bk với giá trị k tìm m Nếu k không nguyên k n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P x a bx p cx q viết dạng a0 a1x a2n x 2n n Ta làm sau: * Viết P x a bx p cx q Cnk a n k bx p cx q ; n n k k 0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng bx p cx q thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak 1 ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển 2a b , hệ số số hạng thứ bằng: A 80 B 80 C 10 D 10 n6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức a , n Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 C 35.C105 D 35.C105 Câu 3: Trong khai triển 3x y , hệ số số hạng là: 10 B 34.C104 A 34.C104 Câu 4: Trong khai triển x y , hệ số số hạng chứa x5 y là: A 22400 B 40000 C 8960 D 4000 Câu 5: Trong khai triển x , hệ số x , x là: x A 60 B 80 C 160 D 240 1 Câu 6: Trong khai triển a , số hạng thứ là: b 4 A 35.a b B 35.a6 b4 C 35.a b5 Câu 7: Trong khai triển 2a 1 , tổng ba số hạng đầu là: A 2a6 6a5 15a C 64a6 192a5 480a4 Câu 8: Trong khai triển x y A 16 x y15 y8 D 35.a b B 2a6 15a5 30a D 64a6 192a5 240a4 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15 y B 16 x y15 y D 16 xy15 y8 Câu 9: Trong khai triển 8a b , hệ số số hạng chứa a9b3 là: A 80a b B 64a9 b3 C 1280a9 b3 D 60a6 b4 Câu 10: Trong khai triển x , số hạng không chứa x là: x A 4308 B 86016 C 84 10 Câu 11: Trong khai triển x 1 , hệ số số hạng chứa x8 là: D 43008 A 11520 B 45 C 256 Câu 12: Trong khai triển a 2b , hệ số số hạng chứa a b4 là: D 11520 A 1120 B 560 C 140 Câu 13: Trong khai triển 3x y , số hạng chứa x y là: D 70 A 2835x y3 B 2835x y3 C 945x y D 945x y Câu 14: Trong khai triển 0,2 + 0,8 , số hạng thứ tư là: A 0,0064 B 0, 4096 C 0,0512 D 0, 2048 Câu 15: Hệ số x3 y khai triển 1 x 1 y là: A 20 B 800 C 36 Trang D 400 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 16: Số hạng khai triển 3x y là: B 3x y A C42 x y C 6C42 x y D 36C42 x y Câu 17: Trong khai triển x y , hệ số số hạng chứa x8 y 11 B C11 A C113 C C115 D C118 Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x) (1 x)10 A 15360 B 15360 C 15363 D 15363 Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x) x(2 3x) A 489889 B 489887 C 489888 D 489888 Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: g ( x) (1 x) (1 x) (2 x)9 A 29 B 30 C 31 D 32 10 Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x) (3 x) A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831 Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x) x(1 x) A 4608 B 4608 C 4618 D 4618 10 Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) (3x 1) A 17010 B 21303 C 20123 D 21313 2 Câu 24: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) x3 x A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000 12 3 x Câu 25: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) x 2 297 29 27 97 A B C D 51 52 512 12 10 Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) (1 x x ) A 37845 B 14131 C 324234 D 131239 8 Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) 8(1 8x) 9(1 x)9 10(1 10 x)10 A 8.C80 88 C91.98 10.C108 108 B C80 88 C91.98 C108 108 C C80 88 9.C91.98 10.C108 108 D 8.C80 88 9.C91.98 10.C108 108 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x)8 9(1 x)9 10(1 3x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x3 xy là: 15 A 2080 B 3003 C 2800 D 3200 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x là: x 10 A C18 B C18 C C18 D C183 Câu 31: Khai triển 1 x , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B – 33 C –72 D –792 Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f ( x) ( x )12 (x 0) x A 59136 B 213012 C 12373 D 139412 x3 )17 ( x 0) Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x) ( x Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A 24310 B 213012 C 12373 D 139412 n 1 Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn x5 biết x n 1 n Cn Cn3 n 3 A 495 B 313 C 1303 D 13129 n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triể n biể u thức x x với n là số x nguyên dương thoả mañ Cn3 2n An21 ( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hơ ̣p, số chin̉ h hơ ̣p châ ̣p k n phầ n tử) A 98 B 98 C 96 D 96 40 Câu 36: Trong khai triển f x x , tìm hệ số x31 x A 9880 B 1313 C 14940 D 1147 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức x3 số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 D 48620 12 x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 3 x 55 13 621 A B C 113 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển x3 xy D 1412 3123 15 A 300123 B 121148 C 3003 D 1303 20 Câu 40: Cho đa thức P x 1 x 1 x 20 1 x có dạng khai triển P x a0 a1 x a2 x a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 B 130414 Câu 41: Tìm số hạng khai triển 3 C 511313 D 412674 số nguyên A 4536 B 4184 Câu 42: Xét khai triển f ( x) (2 x ) 20 x C 414 12 Viết số hạng thứ k khai triển k 220k.x 20k A Tk 1 C20 D 1313 B Tk 1 C10k 220k.x202k k 2204 k.x 202 k C Tk 1 C20 k 220k.x 202k D Tk 1 C20 Số hạng khai triển không chứa x 10 10 210 A C20 B A20 10 C C20 10 10 D C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) (3x x 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 D 11312 2n Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 3x) , biết n số nguyên dương thỏa mãn : C21n1 C23n1 C25n1 C22nn11 1024 A 2099529 B 2099520 C 2099529 D 2099520 10 14 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x) (1 x) (1 x) (1 x) Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 10 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x 1 x x 1 3x A 3320 B 2130 C 3210 D 1313 Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f ( x) 1 x 1 x A 213 B 230 Câu 48: Đa thức P x 1 3x x C 238 10 D 214 a0 a1 x a20 x 20 Tìm a15 10 A a15 C10 C105 35 C109 C96 33 C108 C87 10 B a15 C10 C105 25 C109 C96 26 C108 C87 27 10 C a15 C10 C105 35.25 C109 C96 33.26 C108 C87 27 10 D a15 C10 C105 35.25 C109 C96 33.26 C108 C87 3.27 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x3 ) n , biết Cnn1 Cnn2 78 với x x0 A 112640 B 112640 C 112643 D 112643 n 3 Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x khai triển thành đa thức ( x 1)n ( x 2) n Tìm n để a3n3 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 n Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton x , biết x n 20 C2n1 C2n1 C2n1 A 210 B 213 C 414 D 213 n n Câu 52: Cho n * (1 x) a0 a1 x an x Biết tồn số nguyên k ( k n ) a a a cho k 1 k k 1 Tính n ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 10 Câu 53: Trong khai triển ( x) thành đa thức 3 10 a0 a1 x a2 x a9 x a10 x , tìm hệ số ak lớn ( k 10 ) 26 210 210 210 210 a 3003 a 3003 a 3003 B C D 315 315 315 315 Câu 54: Giả sử (1 x)n a0 a1 x a2 x an x n , biết a0 a1 an 729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A a10 3003 A n=6, max ak a4 240 B n=6, max ak a6 240 C n=4, max ak a4 240 D n=4, max ak a6 240 Câu 55: Cho khai triển (1 x) a0 a1 x an x , n * Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 nn 4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 n n Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG n a C b k 0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a b)n Cn0 a n a n1bCn1 a n2b2Cn2 bnCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: * Cnk Cnnk * Cn0 Cn1 Cnn 2n n * (1) C k k 0 n * 0 n C22nk C22nk 1 k 0 k 0 n * k n C a k 0 k n k 2n k C2n k 0 (1 a)n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số không chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn Câu 1: Tổng T Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn bằng: A T 2n B T 2n – C T 2n D T 4n Câu 2: Tính giá trị tổng S C60 C61 C66 bằng: A 64 B 48 C 72 D 100 Câu 3: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C5 C51 C55 A 32 B 64 C D 12 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn 2Cn 4Cn Cn 243 A B 11 C 12 D 5 Câu 5: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C5 C51 C55 A 32 C B 64 Câu 6: Khai triển 1 x x x D 12 a0 a1 x a2 x a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 A a10 C50 C54 C54C53 B a10 C50 C55 C52C54 C54C53 C a10 C50 C55 C52C54 C54C53 D a10 C50 C55 C52C54 C54C53 b) Tính tổng T a0 a1 a15 S a0 a1 a2 a15 A 131 B 147614 C Câu 7: Khai triển 1 x 3x 10 a0 a1 x a2 x a20 x D 20 a) Hãy tính hệ số a4 A a4 C100 24 B a4 24 C104 C a4 C100 C104 D a4 C100 24 C104 C S 1720 D S 710 b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 220 a20 A S 1710 B S 1510 Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 1 1 (1) n n Cn Câu 8: Tính tổng sau: S Cn Cn Cn Cn 2(n 1) A B C 2(n 1) Câu 9: Tính tổng sau: S Cn1 3n1 2Cn2 3n2 3Cn3 3n3 nCnn A n.4n1 B C 1 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1 Cn0 Cn1 Cn2 n 1 n 1 n 1 2n 1 1 1 1 A B C n 1 n 1 n 1 Câu 11: Tính tổng sau: S2 Cn1 2Cn2 nCnn A 2n.2n1 B n.2n1 C 2n.2n1 D (n 1) D 4n 1 2n 1 1 D n 1 D n.2n1 Câu 12: Tính tổng sau: S3 2.1.Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 n(n 1)Cnn A n(n 1)2n2 B n(n 2)2n2 Câu 13: Tính tổng S Cn0 C n(n 1)2n3 D n(n 1)2n2 32 1 3n1 n Cn Cn n 1 4n 1 2n 1 A S n 1 n 1 2n 1 1 C S n 1 4n 1 2n 1 1 B S n 1 4n 1 2n 1 1 D S n 1 22 1 2n 1 n Cn Cn n 1 3n 1 2n 1 3n 2n 1 3n 1 2n 3n 1 2n 1 A S B S C S D S n 1 n 1 n 1 n 1 2 n n 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C2n1 2.2C2 n1 3.2 C2 n1 (2n 1)2 C2 n1 2005 A n 1001 B n 1002 C n 1114 D n 102 n 1 n 1 n2 n2 n 1 0 Câu 16: Tính tổng 1.3 Cn 2.3 Cn n.3 Cn Câu 14: Tính tổng S Cn0 A n.8n1 B (n 1).8n1 C (n 1).8n Câu 17: Tính tổng S 2.1Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 n(n 1)Cnn A n(n 1)2n2 B n(n 1)2n2 Câu 18: Tính tổng Cn0 Cn1 Cn2 Cnn A C2nn 2 D n.8n C n(n 1)2n D (n 1)2n2 C 2C2nn D C2nn11 B C2nn1 Câu 19: Tính tổng sau: S1 5n Cn0 5n1.3.Cnn1 32.5n2 Cnn2 3n Cn0 C 8n 1 A 28n B 8n 2010 22 C2011 22010 C2011 Câu 20: S2 C2011 32011 3211 B 2 Câu 21: Tính tổng S3 Cn 2Cn nCnn A A 4n.2n1 C B n.2n1 32011 12 C 3n.2n1 Trang D 8n D 32011 D 2n.2n1 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n (a b)n Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n k bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk Cnnk 5) Cn0 Cnn , Cnk 1 Cnk Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n1 Cnn Cn0 Cn1 Cnn 2n (x–1)n = Cn0 x n Cn1 x n1 (1) n Cnn Cn0 Cn1 (1)n Cnn Từ khai triển ta có kết sau * Cn0 Cn1 Cnn 2n * Cn0 Cn1 Cn2 (1)n Cnn B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: ax p bxq Cnk ax p n n k 0 nk bxq Cnk ank bk xnp pk qk k n k 0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m m np Từ tìm k pq Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cnk a n k bk với giá trị k tìm m Nếu k khơng ngun k n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P x a bx p cx q viết dạng a0 a1x a2n x 2n n Ta làm sau: * Viết P x a bx p cx q Cnk a n k bx p cx q ; n n k k 0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng bx p cx q thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak 1 ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển 2a b , hệ số số hạng thứ bằng: A 80 B 80 C 10 Hướng dẫn giải: Chọn B 5 Ta có: 2a b C50 2a C51 2a b C52 2a b D 10 Do hệ số số hạng thứ C52 80 Câu 2: Trong khai triển nhị thức a n6 , n Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 Hướng dẫn giải: Chọn C n6 Trong khai triển a , n có tất n số hạng D 12 Do n 17 n 10 Câu 3: Trong khai triển 3x y , hệ số số hạng là: 10 B 34.C104 A 34.C104 Hướng dẫn giải: Chọn D C 35.C105 D 35.C105 Trong khai triển 3x y có tất 11 số hạng nên số hạng số hạng thứ 10 Vậy hệ số số hạng 35.C105 Câu 4: Trong khai triển x y , hệ số số hạng chứa x5 y là: A 22400 B 40000 C 8960 D 4000 Hướng dẫn giải: Chọn A Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 (1)k C8k (2 x)8k (5 y)k (1)k C8k 28k 5k.x8k y k Yêu cầu toán xảy k Khi hệ số số hạng chứa x5 y là: 22400 Câu 5: Trong khai triển x , hệ số x , x là: x A 60 B 80 C 160 Hướng dẫn giải: Chọn C Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C6k x 6k 2k x Yêu cầu toán xảy k k k 3 Khi hệ số x là: C6 160 D 240 k 1 Câu 6: Trong khai triển a , số hạng thứ là: b 4 A 35.a b B 35.a6 b4 Hướng dẫn giải: Chọn A Trang C 35.a b5 D 35.a b Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C7k a142k b k Vậy số hạng thứ T5 C74 a6 b4 35.a6 b4 Câu 7: Trong khai triển 2a 1 , tổng ba số hạng đầu là: A 2a6 6a5 15a C 64a6 192a5 480a4 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: 2a 1 C60 26 a6 C61.25 a5 C62 24 a B 2a6 15a5 30a D 64a6 192a5 240a4 Vậy tổng số hạng đầu 64a6 192a5 240a4 Câu 8: Trong khai triển x y A 16 x y15 y8 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: x y 16 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15 y B 16 x y15 y 15 C160 x16 C161 x15 y C16 x y 15 16 C16 D 16 xy15 y8 y 16 Câu 9: Trong khai triển 8a b , hệ số số hạng chứa a9b3 là: A 80a b B 64a9 b3 C 1280a9 b3 Hướng dẫn giải: Chọn C k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 1 C6k 86k a122 k 2 k bk D 60a6 b4 Yêu cầu toán xảy k Khi hệ số số hạng chứa a9b3 là: 1280a9 b3 Câu 10: Trong khai triển x , số hạng không chứa x là: x A 4308 B 86016 C 84 Hướng dẫn giải: Chọn D Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C9k x9k 8k.x 2k Yêu cầu toán xảy k 2k k Khi số hạng khơng chứa x là: C93 83 43008 D 43008 Câu 11: Trong khai triển x 1 , hệ số số hạng chứa x8 là: 10 A 11520 B 45 C 256 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C10k 210k.x10k 1 D 11520 Yêu cầu toán xảy 10 k k Khi hệ số số hạng chứa x8 là: C102 28 11520 Câu 12: Trong khai triển a 2b , hệ số số hạng chứa a b4 là: A 1120 B 560 C 140 Hướng dẫn giải: Chọn A k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C8k a8k 2 bk Trang 10 D 70 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A 17010 Hướng dẫn giải: Chọn A B 21303 C 20123 D 21313 10 Ta có: f ( x) C10k 3k x k , số hạng chứa x8 ứng với k nên hệ số x8 là: C104 34 17010 k 0 2 Câu 24: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) x3 x A 1312317 B 76424 C 427700 Hướng dẫn giải: Chọn D D 700000 Ta có: f ( x) C8k 28k (5) k x k 8 , số hạng chứa x8 ứng với k nên hệ số x8 là: k 0 C (5) 700000 4 12 3 x Câu 25: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) x 2 297 29 27 A B C 51 52 512 Hướng dẫn giải: Chọn A D 97 12 12 Ta có: f ( x) C12k 312k.2 k.x k 12 , số hạng chứa x8 ứng với k 10 nên hệ số x8 là: k 0 297 C1210 32.210 512 Câu 26: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) (1 x x )10 A 37845 B 14131 C 324234 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 10 k 0 k 0 j 0 D 131239 k Ta có: f ( x) C10k (2 x )10k (1 x)k C10k Ckj 210k x 202 k j 0 j k 10 Số hạng chứa x8 ứng với cặp (k , j ) thỏa: j 2k 12 Nên hệ số x là: 10 C106 C60 24 C107 C72 23 C108 C84 22 C109 C96 C10 C10 37845 Câu 27: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) 8(1 8x)8 9(1 x)9 10(1 10 x)10 A 8.C80 88 C91.98 10.C108 108 B C80 88 C91.98 C108 108 C C80 88 9.C91.98 10.C108 108 Hướng dẫn giải: Chọn D D 8.C80 88 9.C91.98 10.C108 108 Ta có: (1 x)8 C8k 88k x8k k 0 (1 x)9 C9k 99k x9k k 0 10 (1 10 x)10 C10k 1010k x10k k 0 Trang 13 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Nên hệ số chứa x8 là: 8.C80 88 9.C91.98 10.C108 108 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x)8 9(1 x)9 10(1 3x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A n Ta có: 1 ax Cnk a k x k nên ta suy hệ số x k khai triển (1 ax)n Cnk a k Do đó: n i 0 Hệ số x khai triển (1 x)8 : C88 Hệ số x8 khai triển (1 x)9 : C98 28 Hệ số x8 khai triển (1 3x)10 : C108 38 Vậy hệ số chứa x8 khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C88 9.28.C98 10.38.C108 22094 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x3 xy là: 15 A 2080 B 3003 C 2800 Hướng dẫn giải: Chọn B Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C15k x 453k x k y k Yêu cầu toán xảy k 10 Vậy hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x3 xy 15 D 3200 10 là: C15 3003 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x là: x 10 A C18 B C18 C C18 D C183 Hướng dẫn giải: Chọn A Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C18k x543k x 3k Yêu cầu toán xảy 54 3k 3k k Khi số hạng không chứa là: C189 Câu 31: Khai triển 1 x , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B – 33 C –72 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C12k 1 x k D –792 Yêu cầu toán xảy k Khi hệ số số hạng chứa x là: C127 792 Câu 32: Tìm số hạng không chứa x khai triển sau: f ( x) ( x )12 x A 59136 B 213012 C 12373 Hướng dẫn giải: Chọn A 12 Ta có: f ( x) ( x 2.x 1 )12 C12k x12k (2 x 1 ) k k 0 12 C k 0 k 12 (2)k x122 k Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 2k Trang 14 (x 0) D 139412 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 k số hạng không chứa x là: C126 26 59136 Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x) ( A 24310 B 213012 Hướng dẫn giải: Chọn A x ; x3 x nên ta có Vì x 17 k C 12373 x x3 )17 ( x 0) D 139412 k 17 k 136 17 2 3 f ( x) C x x C17k x 12 k 0 k 0 Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17k 136 k Vậy hệ số không chứa x là: C178 24310 17 k 17 n 1 Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn x5 biết x n 1 n Cn Cn3 n 3 A 495 B 313 C 1303 D 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: Cnn41 Cnn3 n 3 Cnn3 Cnn31 Cnn3 n 3 Cnn31 n 3 n n 3 2! n 7.2! 14 n 12 n 3 12 k 60 11k 12 12 k 1 C12k x Khi đó: x5 C12k x 3 x x k 0 k 0 60 11k k Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 12! 495 Do hệ số số hạng chứa x8 là: C124 4!12 ! n n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triể n biể u thức x x với n là số x nguyên dương thoả mañ Cn3 2n An21 ( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hơ ̣p, số chỉnh hơ ̣p châ ̣p k n phầ n tử) A 98 B 98 C 96 D 96 Hướng dẫn giải: Chọn A n Ta có: Cn 2n An 1 n n 1 n 2n n 1 n n n 8 n 9n Theo nhi ̣thức Newton ta có: 8 1 1 1 x x x x x 1 x C8 x8 C8 x 1 x Trang 15 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 1 x C83 1 x C84 1 x C88 x8 1 x x x Số ̣ng khơng phu ̣ th ̣c vào x chỉ có hai biểu thức C83 1 x C84 1 x x Trong đó có hai số ̣ng không phu ̣ thuô ̣c vào x là: C83 C32 C84 C40 C82 Do đó số ̣ng không phu ̣ thuô ̣c vào x là : C83 C32 C84 C40 98 40 Câu 36: Trong khai triển f x x , tìm hệ số x31 x A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn A 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức x số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn D C189 48620 D 1147 D 48620 12 x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 3 x 55 13 621 A B C 113 Hướng dẫn giải: Chọn A 55 (3)4 C124 D 1412 3123 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển x3 xy 15 A 300123 Hướng dẫn giải: Chọn C 10 C15 3003 B 121148 C 3003 D 1303 Câu 40: Cho đa thức P x 1 x 1 x 20 1 x có dạng khai triển 20 P x a0 a1 x a2 x a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 Hướng dẫn giải: Chọn A B 130414 C 511313 D 412674 20 a15 kCk15 400995 k 15 Câu 41: Tìm số hạng khai triển A 4536 Hướng dẫn giải: Chọn A 3 B 4184 số nguyên C 414 12 Trang 16 D 1313 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Ta có 3 9 C9k k 0 3 k 9k Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa: k 2m 9 k 3n k 0, k k 0, ,9 Các số hạng số nguyên: C90 2 C96 3 3 Câu 42: Xét khai triển f ( x) (2 x ) 20 x Viết số hạng thứ k khai triển k A Tk 1 C20 220k.x 20k B Tk 1 C10k 220k.x202k k C Tk 1 C20 2204 k.x 202 k k D Tk 1 C20 220k.x 202k Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 A C20 B A20 C C20 210 2 Hướng dẫn giải: 1 Ta có: Tk 1 C20k (2 x)20k k C20k 220k.x 202 k x Số hạng không chứa x ứng với k: 20 2k k 10 10 10 Số hạng không chứa x: C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) (3x x 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 Hướng dẫn giải: Chọn B f x 1 x 3x C10k x 3x 10 10 10 10 D C20 D 11312 k k 0 10 k 10 k k 0 i 0 k 0 i 0 C10k Cki (2 x)k i (3x )i C10k Cki 2k i.3i x k i với i k 10 Do k i với trường hợp i 0, k i 1, k i k Vậy hệ số chứa x : 24 C104 C40 2231 C103 C31 32 C102 C22 8085 Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 3x) n , biết n số nguyên dương thỏa mãn : C21n1 C23n1 C25n1 C22nn11 1024 A 2099529 B 2099520 C 2099529 D 2099520 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 n 1 k n 1 C2 n 1 n k 0 C22ni 11 22 n 1024 n Ta có: n n i 0 C 2i 1 C 2i n 1 n 1 i 0 i 0 10 Suy (2 3x) n C10k 210k.(3) k x k k 0 Hệ số x C 23.(3)7 2099520 7 10 Trang 17 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x) (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C Hệ số x : C99 C109 C119 C129 C139 C149 3003 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x 1 x x 1 3x A 3320 B 2130 C 3210 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 Đặt f ( x) x 1 x x2 1 3x 5 10 Ta có : f ( x) x C5k 2 x k x C10i 3x k k 0 10 D 1313 i i 0 10 C5k 2 x k 1 C10i 3i.xi k k 0 i 0 Vậy hệ số x khai triển đa thức f ( x) ứng với k i là: C54 2 C103 33 3320 Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f ( x) 1 x 1 x A 213 Hướng dẫn giải: Chọn C Cách B 230 C 238 D 214 1 x 1 x C80 C81 x 1 x C82 x 1 x C83 x 1 x C84 x8 1 x C85 x10 1 x C88 x16 1 x Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x8 chỉ có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C83 C32 , C84 C40 Vậy hệ số cuả x8 khai triển đa thức 1 x 1 x là: a8 C83 C32 C84 C40 238 Cách 2: Ta có: 8 n n 0 k 0 1 x 1 x C8n x n 1 x C8n Cnk 1 x n k n 0 n k với k n Số hạng chứa x8 ứng với 2n k k 2n số chẵn Thử trực tiếp ta k 0; n k 2, n Vậy hệ số x8 C83 C32 C84 C40 238 Câu 48: Đa thức P x 1 3x x a0 a1 x a20 x 20 Tìm a15 10 10 C105 35 C109 C96 33 C108 C87 A a15 C10 10 C105 25 C109 C96 26 C108 C87 27 B a15 C10 10 C105 35.25 C109 C96 33.26 C108 C87 27 C a15 C10 10 C105 35.25 C109 C96 33.26 C108 C87 3.27 D a15 C10 Hướng dẫn giải: Chọn D Trang 18 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Ta có: P x 1 3x x C10k 3x x 10 10 k k 0 10 k 10 k k 0 i 0 k 0 i 0 C10k Cki (3x)k i (2 x )i C10k Cki 3k i.2i x k i với i k 10 Do k i 15 với trường hợp k 10, i k 9, i k 8, i Vậy a15 C1010 C105 35.25 C109 C96 33.26 C108 C87 3.2 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x3 ) n , biết Cnn1 Cnn2 78 với x x0 A 112640 B 112640 C 112643 D 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! 78 Ta có: Cnn1 Cnn2 78 (n 1)!1! (n 2)!2! n(n 1) n 78 n2 n 156 n 12 12 12 2 Khi đó: f ( x) x C12k (2) k x364 k x k 0 Số hạng không chứa x ứng với k : 36 4k k Số hạng không chứa x là: (2)9 C129 112640 Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x3n 3 khai triển thành đa thức ( x 1)n ( x 2) n Tìm n để a3n3 26n A n=5 B n=4 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1:Ta có : x C n=3 1 Cn0 x n Cn1 x n 2 Cn2 x n 4 Cnn n x 2 n Cn0 x n 2Cn1 x n 1 22 Cn2 x n 2 2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n , n không thoả mãn điều kiện tốn Với n dựa vào khai triển ta chỉ phân tích x3n3 x2n xn3 x2n2 xn1 Do hệ số x3n 3 khai triển thành đa thức x 1 x : a3n3 23.Cn0 Cn3 2.Cn1 Cn1 n n Suy a3n 3 26n 2n 2n2 3n Vậy n giá trị cần tìm Cách 2: n 26n n n 2 n Ta có: x 1 x x3n 1 1 x x i n n k n n n 1 n 2 x3n Cni Cnk x3n Cni x 2i Cnk 2k x k x k 0 x i 0 k 0 i 0 Trong khai triển trên, luỹ thừa x 3n 2i k 3 2i k Trang 19 D n=2 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i 0, k i 1, k 1(vì i, k nguyên) Hệ số x3n 3 khai triển thành đa thức x 1 x n n Là : a3n3 Cn0 Cn3 23 Cn1 Cn1 Do a3n 3 26n 2n 2n2 3n Vậy n giá trị cần tìm 26n n n n Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Newton x , biết x n 20 C2n1 C2n1 C2n1 A 210 B 213 C 414 D 213 Hướng dẫn giải: Chọn A Do C2kn1 C22nn11k k 0,1, 2, , 2n C20n1 C21n1 C2nn1 C2nn11 C2nn21 C22nn11 Mặt khác: C21n1 C22n1 C22nn11 22 n1 2(C20n1 C21n1 C22n1 C2nn1 ) 22 n1 C21n1 C22n1 C2nn1 22n C20n1 22n 22n 220 n 10 10 10 10 10 Khi đó: x x 4 x C10k ( x 4 )10k x k C10k x11k 40 x k 0 k 0 26 Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k 40 26 k Vậy hệ số chứa x 26 là: C106 210 Câu 52: Cho n * (1 x)n a0 a1 x an x n Biết tồn số nguyên k ( k n ) a a a cho k 1 k k 1 Tính n ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! 1 (k 1)!(n k 1)! (n k )!k ! Ta có: ak Cnk , suy hệ n! n! 1 (n k )!k ! 24 (n k 1)!(k 1)! 9k 2(n k 1) 2n 11k 2 n 10, k 24(k 1) 9(n k ) 9n 33k 24 Câu 53: Trong khai triển ( x)10 thành đa thức 3 a0 a1 x a2 x2 a9 x9 a10 x10 , tìm hệ số ak lớn ( k 10 ) 210 315 Hướng dẫn giải: Chọn A A a10 3003 B a5 3003 210 315 C a4 3003 Trang 20 210 315 D a9 3003 210 315 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 15 15 k 15 1 1 Ta có: x C15k 3 3 k 0 k k 15 2 k k x C 15 15 x 3 k 0 Hệ số x k khai triển ak 15 C15k 2k k 1 k 1 k k Ta có: ak 1 ak C15 C15 C15k 1 2C15k 32 k k 10 Từ đó: a0 a1 a10 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 ak 1 ak k a10 a11 a15 210 10 210 Vậy hệ số lớn phải tìm là: a10 15 C15 3003 15 3 n n Câu 54: Giả sử (1 x) a0 a1 x a2 x an x , biết a0 a1 an 729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A n=6, max ak a4 240 B n=6, max ak a6 240 C n=4, max ak a4 240 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: a0 a1 an (1 2.1)n 3n 729 n D n=4, max ak a6 240 ak C6k 2k suy max ak a4 240 Câu 55: Cho khai triển (1 x)n a0 a1 x an x n , n * Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 nn 4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt f ( x) (1 x)n a0 a1 x an x n a a1 1 nn f 2n 2n 4096 n 12 2 2 Với k 0,1, 2, ,11 ta có: ak 2k C12k , ak 1 2k 1 C12k 1 a0 ak 2k C k k 1 23 k 1 12k 1 1 k ak 1 C12 2(12 k ) Mà k Z k Do a0 a1 a8 a Tương tự: k k a8 a9 a12 ak 1 Số lớn số a0 , a1 , , a12 a8 28 C128 126720 Trang 21 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG n a C b k 0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a b)n Cn0 a n a n1bCn1 a n2b2Cn2 bnCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: * Cnk Cnnk * Cn0 Cn1 Cnn 2n n * (1) C k k 0 n * 0 n C22nk C22nk 1 k 0 k 0 n * k n C a k 0 k n k 2n k C2n k 0 (1 a)n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn Câu 1: Tổng T Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn bằng: A T 2n B T 2n – C T 2n Hướng dẫn giải: Chọn A Tính chất khai triển nhị thức Niu – Tơn Câu 2: Tính giá trị tổng S C60 C61 C66 bằng: A 64 B 48 C 72 Hướng dẫn giải: Chọn A S = C06 +C16 + +C66 26 64 D T 4n D 100 Câu 3: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C50 C51 C55 A 32 B 64 C Hướng dẫn giải: Chọn A Với x 1, y ta có S= C50 +C15 + +C55 (1 1)5 32 Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 2Cn1 4Cn2 2n Cnn 243 A B 11 C 12 Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: (1 x)n Cn0 xCn1 x 2Cn2 x nCnn D 12 D Cho x ta có: Cn0 2Cn1 4Cn2 2n Cnn 3n Do ta suy 3n 243 35 n Câu 5: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C50 C51 C55 A 32 Hướng dẫn giải: Chọn A B 64 C Trang 22 D 12 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Với x 1, y ta có S= C50 +C15 + +C55 (1 1)5 32 Câu 6: Khai triển 1 x x x3 a0 a1 x a2 x a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 A a10 C50 C54 C54C53 B a10 C50 C55 C52C54 C54C53 C a10 C50 C55 C52C54 C54C53 D a10 C50 C55 C52C54 C54C53 b) Tính tổng T a0 a1 a15 S a0 a1 a2 a15 A 131 B 147614 C Hướng dẫn giải: Đặt f ( x) (1 x x2 x3 )5 (1 x)5 (1 x2 )5 D a) Do hệ số x10 bằng: a10 C50 C55 C52C54 C54C53 b) T f (1) 45 ; S f (1) Câu 7: Khai triển 1 x 3x a0 a1 x a2 x a20 x 20 10 a) Hãy tính hệ số a4 A a4 C100 24 B a4 24 C104 C a4 C100 C104 D a4 C100 24 C104 C S 1720 D S 710 b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 220 a20 A S 1710 Hướng dẫn giải: B S 1510 10 Đặt f ( x) (1 x 3x )10 C10k 3k x k (1 x)10k k 0 10 10 k C10k 3k x k C10i k 210k i x10k i k 0 10 10 k i 0 C10k C10i k 3k 210k i x10 k i k 0 i 0 a) Ta có: a4 C100 24 C104 b) Ta có S f (2) 1710 1 1 (1) n n Cn Câu 8: Tính tổng sau: S Cn0 Cn1 Cn3 Cn4 2(n 1) A B C 2(n 1) Hướng dẫn giải: Chọn A 1 1 (1)n n Cn Ta có: S Cn0 Cn1 Cn2 2 n 1 D (n 1) n (1)k k (1)k k 1 Cn Cn 1 nên: S Vì (1)k Cnk11 k 1 n 1 2(n 1) k 0 1 n 1 (1)k Cnk1 Cn01 2(n 1) k 0 2(n 1) Câu 9: Tính tổng sau: S Cn1 3n1 2Cn2 3n2 3Cn3 3n3 nCnn A n.4n1 Hướng dẫn giải: B C Trang 23 D 4n 1 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Chọn A 1 Ta có: S kC 3 k 1 n n k k n k k 1 1 Vì kC n Cnk11 k nên 3 3 k n k k n 1 1 1 S n Cnk11 3n1.n Cnk1 3n 1.n(1 )n 1 n.4n 1 k 1 k 0 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1 Cn0 Cn1 Cn2 n 1 n 1 n 1 2n 1 1 1 1 A B C n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: 1 n! (n 1)! Cnk k 1 k k !(n k )! n (k 1)![(n 1) (k 1))! Cnk11 (*) n 1 n k 1 n 1 k 2n 1 S1 C C C n1 n n 1 n 1 n k 0 n 1 k 0 n n 2n 1 1 D n 1 Câu 11: Tính tổng sau: S2 Cn1 2Cn2 nCnn A 2n.2n1 B n.2n1 C 2n.2n1 D n.2n1 Hướng dẫn giải: Chọn D n! n! k !(n k )! (k 1)![(n 1) (k 1)]! (n 1)! n nCnk11 , k (k 1)![(n 1) (k 1)]! Ta có: kCnk k n n 1 k 1 k 0 S2 nCnk11 n Cnk1 n.2n 1 Câu 12: Tính tổng sau: S3 2.1.Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 n(n 1)Cnn A n(n 1)2n2 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có k (k 1)Cnk B n(n 2)2n2 C n(n 1)2n3 n! n(n 1)Cnk22 (k 2)!(n k )! n S3 n(n 1) Cnk22 n(n 1)2n 2 k 2 32 1 3n1 n Cn Cn Câu 13: Tính tổng S C n 1 4n 1 2n 1 A S n 1 n B S Trang 24 4n 1 2n 1 1 n 1 D n(n 1)2n2 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 4n 1 2n 1 1 C S n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có S S1 S2 , 4n 1 2n 1 1 D S n 1 32 33 3n1 n S1 C Cn Cn Cn n 1 1 S2 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 1 1 Ta có S2 n 1 Tính S1 ? n 3k 1 k 1 3k 1 k n! 3k 1 (n 1)! k 1 Cn 1 Cn Ta có: k 1 (k 1)!(n k )! n (k 1)![(n 1) (k 1)]! n 4n 1 1 n 1 k k n k 1 k 1 0 0 2 C C C S1 C C n2 n n n 1 n n n 1 n k 0 k 0 Vậy S 4n 1 2n 1 1 n 1 Câu 14: Tính tổng S Cn0 3n 1 2n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: S S1 S2 A S 22 1 2n 1 n Cn Cn n 1 3n 2n 1 B S n 1 C S 3n 1 2n n 1 D S 3n 1 2n 1 n 1 n Ck 2k 1 2n1 ; S2 n 1 k 1 n 1 k 0 k 0 k 3n 1 2k 1 k 2k 1 k 1 Cn Cn 1 S1 1 Mà n 1 k 1 n 1 3n 1 2n 1 Suy ra: S n 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C21n1 2.2C22n1 3.22 C23n1 (2n 1)2n C22nn11 2005 A n 1001 B n 1002 C n 1114 D n 102 Hướng dẫn giải: Chọn B n Trong S1 Cnk n 1 Đặt S (1) k 1.k.2k 1 C2kn 1 k 1 Ta có: (1)k 1.k.2k 1 C2kn1 (1)k 1.(2n 1).2k 1 C2kn1 Nên S (2n 1)(C20n 2C21n 22 C22n 22n C22nn ) 2n Vậy 2n 1 2005 n 1002 Câu 16: Tính tổng 1.30.5n1 Cnn1 2.31.5n2 Cnn2 n.3n150 Cn0 A n.8n1 Hướng dẫn giải: Chọn A B (n 1).8n1 C (n 1).8n Trang 25 D n.8n Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 n Ta có: VT k 3k 1.5n k Cnn k k 1 k 1 nk nk n Mà k.3 C n.3k 1.5nk.Cnk11 Suy ra: VT n(30.5n1 Cn01 31.5n2 Cn11 3n150 Cnn11 ) n(5 3)n1 n.8n1 Câu 17: Tính tổng S 2.1Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 n(n 1)Cnn A n(n 1)2n2 Hướng dẫn giải: Chọn B B n(n 1)2n2 C n(n 1)2n D (n 1)2n2 n Ta có: S k (k 1)Cnk k 2 k n Mà k (k 1)C n(n 1)Cnk22 Suy S n(n 1)(Cn02 Cn12 Cn22 Cnn22 ) n(n 1)2n2 Câu 18: Tính tổng Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2 2 A C2nn B C2nn1 C 2C2nn Hướng dẫn giải: Chọn A n n 2n Ta có: x 1 1 x x 1 Vế trái hệ thức là: Cn0 xn Cn1 xn1 Cnn Cn0 Cn1 x Cnn xn Và ta thấy hệ số x n vế trái C C C n Còn hệ số x n vế phải x 1 2n n 2 n Cnn D C2nn11 C2nn Do Cn0 Cn1 Cn2 Cnn C2nn 2 2 Câu 19: Tính tổng sau: S1 5n Cn0 5n1.3.Cnn1 32.5n2 Cnn2 3n Cn0 A 28n Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: S1 (5 3)n 8n B 8n C 8n 1 D 8n 2010 22 C2011 22010 C2011 Câu 20: S2 C2011 32011 Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: A B 3211 C 32011 12 2 2010 2011 (1 x)2011 C2011 xC2011 x2C2011 x2010C2011 x2011C2011 Cho x ta có được: 2010 2011 32011 C2011 2.C2011 22 C2011 22010 C2011 22011 C2011 (1) Cho x 2 ta có được: 2010 2011 1 C2011 2.C2011 22 C2011 22010 C2011 22011 C2011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: Trang 26 D 32011 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 2010 C2011 22 C2011 22010 C2011 32011 1 2010 22 C2011 22010 C2011 Suy ra: S2 C2011 32011 Câu 21: Tính tổng S3 Cn1 2Cn2 nCnn A 4n.2n1 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: kCnk k B n.2n1 C 3n.2n1 D 2n.2n1 n! n! (n 1)! n nCnk11 , k k !(n k )! (k 1)![(n 1) (k 1)]! (k 1)![(n 1) (k 1)]! n n 1 k 1 k 0 S3 nCnk11 n Cnk1 n.2n 1 Trang 27 ... được: 2010 2 011 32 011 C2 011 2.C2 011 22 C2 011 22010 C2 011 22 011 C2 011 (1) Cho x 2 ta có được: 2010 2 011 1 C2 011 2.C2 011 22 C2 011 22010 C2 011 22 011 C2 011 (2) Lấy (1)... C2 011 22010 C2 011 Câu 20: S2 C2 011 32 011 Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: A B 3 211 C 32 011 12 2 2010 2 011 (1 x)2 011 C2 011 xC2 011 x2C2 011 x2010C2 011 x2011C2 011. .. (2) ta có: Trang 26 D 32 011 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 2010 C2 011 22 C2 011 22010 C2 011 32 011 1 2010 22 C2 011 22010 C2 011 Suy ra: S2 C2 011 32 011 Câu 21: Tính tổng
Ngày đăng: 15/09/2021, 20:44
Xem thêm: Toán Lớp 11 NHỊ THỨC
