Lớp 11 nhị thức newton 49 câu từ đề thi thử các trường chuyên năm 2018 converted image marked

Câu1: Đại (Chuyên (3 − 2x + x ) Học Vinh) Cho khai triển = a x18 + a1x17 + a x16 + + a18 Giá trị a 15 A −804816 C −174960 B 218700 D 489888 Đáp án A Phương pháp: (a + b) Sử dụng khai triển nhị thức Newton n n =  Ckn a n −k bk k =0 Hệ số a 15 hệ số số hạng chứa x Tìm hệ số số hạng chứa x Cách giải: Ta có: ( − 2x + x ) =  C ( x 9 k k =0 9−k − 2x ) k Hệ số a 15 thuộc số hạng a15 x3 nên với k  khơng thỏa mãn Với k =  C9k 39−k ( x − 2x ) = 78732 ( x − 2x ) = 78732 ( x − 4x + 4x ) k Với ( k =  C9k 39−k ( x − 2k ) = 61236 ( x − 2x ) = 61236 x − 3x 2x + 3x ( 2x ) − 8x k ) Do a15 = 78732 ( −4) + 61236 ( −8) = −804816 Câu 2: (Chuyên Đại Học cho x + y3 = a.103z + b.102z Vinh) Giả sử a, b số thực với số thực dương x, y, z thỏa ( ) mãn log ( x + y ) = z log x + y2 = z + Giá trị a + b A − 31 B − 25 C 29 31 D 2 Đáp án D Phương pháp: z   log ( x + y ) = z x + y = 10   x + y2 = 10 ( x + y )   2 2 z +1 z x + y = 10 = 10.10  log ( x + y ) = z +  Thay 10z = x + y vào x + y3 = a.103x + b.102x , biến đổi, đồng hệ số Cách giải: z   log ( x + y ) = z x + y = 10 Ta có    x + y2 = 10 ( x + y ) 2 z +1 z x + y = 10 = 10.10  log ( x + y ) = z +  Khi x + y3 = a.103z + b.102z  ( x + y ) ( x − xy + y2 ) = a (10z ) + b (10z )  ( x + y ) ( x − xy + y ) = a ( x + y ) + b ( x + y )  x − xy + y = a ( x + y ) + b ( x + y ) 2 b b  ( x + y )  x + y − xy =  a +  ( x + y ) + 2a.xy 10  10  b   29 a + = a = −  Đồng hệ số, ta  10 Vậy a + b = 2a = −1 b = 15  x − xy + y = a ( x + 2xy + y ) + Câu 3: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho k, n ( k  n ) số nguyên dương Mệnh đề sau sai? A Ckn = n! k! ( n − k )! B A kn = n!.C kn C A kn = k!.C kn D C kn = C nn − k Đáp án D 10  x +1 x −1  Câu 4: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho biểu thức P =  −   x − x +1 x − x  với x  0, x  Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton P A 200 B 100 C 210 D 160 Đáp án C Ta có: x +1 x −1 = x2 − x +1 x − x − ( )   x + − 1 + = x− x x  10 − k 10 k 20−5k 1 10 10 −   k −  k k  3 k Suy P =  x − x  =  C10 x − x = C − x   ( )    10 ( ) k = k =       4 Số ̣ng không chứa x  20 − 5k =  k =  a = C10 ( −1) = 210 Câu 5:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm hệ số x khai triển nhị thức n   Newton  x x +  , biết tổng hệ số khai triển 128 x  A 37 B 36 C 35 Đáp án C n ( n   Ta có  x x +  =  Ckn x x x  k =0  ) n −k k n   = Ckn x  3   x  k =0 9n −11k D 38 Suy tổ ng các ̣ số của khai triể n bằ ng n n k =0 k =0 n C k =0 n k n = 128 Mă ̣t khác (1 + 1) =  Ckn 1n − k.1k =  Ckn   Ckn = 2n = 128  n = n k =0 9n − 11k 5.7 − 11k =5 =  k =  a = C37 x = 35x Suy 6 Câu 6: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tổng n số hạng dãy số ( a n ) , n  Sn = 2n + 3n Khi cấp số cộng với công sai B (an ) cấp số cộng với công sai C ( a n ) cấp số nhân với công bội D (an ) cấp số A (an ) nhân với công bội Đáp án B Dễ thấ y u n phải là cấ p số cô ̣ng: n 2a1 + ( n − 1) d  u + un Ta có: Sn = n   = 2n + 3n  n ( nd + 2a1 − d ) = n ( 4n + ) 2 d = d =   2a1 − d = a1 = Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho dãy số ( U n ) xác định U1 = U n +1 = A U U U n +1 U n Tổng S = U1 + + + + 10 10 3n 3280 6561 B 29524 59049 C 25942 59049 D 243 Đáp án B  Vn +1 = Vn 10  U  Đặt Vn +1 = n +1   suy S =  Vn Vn cấp số nhân với cơng n +1  V1 =  sai q = 10 1 1−   29524 Do S =   = 1− 59049 Câu 8: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho n số nguyên dương thỏa mãn: A 2n = C2n + C1n + 4n + Hệ số số hạng chứa x khai triển biểu thức n 3  P ( x ) =  x +  bằng: x  A 18564 B 64152 C 192456 D 194265 Đáp án C Do A 2n = C2n + C1n + 4n +  n ( n − 1) = n ( n − 1) + n + 4n +  n ( n − 1) = 10n + 12  n = 12 12 3  Số hạng tổng quát khai triển P ( x ) =  x +  là: x  k 12 C (x ) k 12 − k 3   x k k = C12 x 2k 312− k.x k −12 = C12 x 3k −12 312−k Số hạng chứa x tương ứng với 3k −12 =  k =  hệ số số hạng chứa x : C12 35 = 192456 Câu 9: ( Chun Biên Hòa-Hà Nam) Tính tổng S = + 2.2 + 3.22 + 4.23 + + 2018.22017 A S = 2017.22018 + B S = 2017.2 2018 C S = 2018.2 2018 D 2018 S = 2019.2 + Đáp án A Ta có 2S = 1.2 + 2.22 + 3.23 + + 2018.22018 Khi 2S − S = 2018.22018 + (1 − 2) + ( − 3) 22 + ( − 4) 23 + −1 = 2018.2 2018 − ( + + + + + 2 2017 ) = 2018.2 2018 − 20 (1 − 22018 ) = 2018.22017 + 1− Câu 10: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Tìm hệ số số hạng chứa x khai 11 triển nhị thức Newton (1 + 2x )( + x ) A 4620 : Đáp án C B 1380 C 9405 11 D 2890 11 11 k =0 k =0 k 11− k k k 11− k k k 11− k k +1 x =  C11 x + 2 C11 x Ta cos (1 + 2x )( + x ) = (1 + 2x )  C11 11 Số hạng chứa x k =0 11 C x + 2C x = 9405x 11 9 Câu 11: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tìm hệ số x khai triển 3  biểu thức  2x −  x   A −96 Đáp án A B −216 C 96 D 216 4 4−k k  k k  Ta có  2x −  =  Ck4 ( 2x ) ( −3) ( x −3 ) = C k4 24− k ( −3) x16−7k x  k =0  k =0 Số hạng chứa x  16 − 7k =  k =  a1 = C14 24−1 x = −96x Câu 12: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Gọi S tập hợp tất số tự k k +1 k+2 , C14 , C14 nhiên k cho C14 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính tích tất phần tử S A 16 B 20 C 32 D 40 Đáp án C k +1 k k +2 2C14 = C14 + C14   14! 14! 14! = + ( k + 1)!.(13 − k )! k! (14 − k )! ( k + )! (12 − k )! (14 − k ) (13 − k )(14 − k ) k +1 = + ( k + 1)! (14 − k )! ( k + 1)! (14 − k )! ( k + )( k + 1)! (14 − k )!  (14 − k ) = k + + (13 − k )(14 − k )  k+2 ( 28 − 2k )( k + ) = ( k + 1)( k + ) + (13 − k )(14 − k ) k =  −2k + 24k + 56 = k + 3k + + k − 27k + 182  4k − 48k + 128 =    4.8 = 32 k = Câu 13:(Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Tìm hệ số x khai triển nhị thức n   Newton  x +  với x  , biết n số tự nhiên lớn thỏa mãn An5  18 An4− x  A 8064 B 3360 C 13440 D 15360 Đáp án A Điều kiện: n  Ta có An5  18 An4−  ( n − )!  n ( n − 1)  18 n!  18 n−5 ( n − 5)! ( n − )!  n2 − n 18 ( n − 5)  n2 − 19n + 90    n  10 → n = 10 10 k 6k 10 10 10−   10− k   k k 10 − k Với n = 10 , xét khai triển  x +  =  C10 ( x )   =  C10 x x k =0   x  k =0 6k =  k = Vậy hệ số cần tìm C105 25 = 8064 21 Câu 14: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Trong khai triển biểu thức ( x + y ) , hệ số Hệ số x ứng với 10 − số hạng chứa x13 y8 A 116280 B 293930 C 203490 D 1287 Đáp án C x 21− k k x y (  k  21; k  Số hạng tổng quát thứ k + 1: Tk +1 = C21 ) ứng với số hạng chứa x13y k = Vậy hệ số số hạng chứa x13y a8 = C821 = 203490 Câu 15 (Chuyên Thái Bình- 2018)Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton 21    x −  , ( x  0, n  N *) x   A 27 C21 C −28 C21 B 28 C21 D −27 C21 Đáp án D Ta có: Error! Reference source not found Số hạng không chứa x  k – 2(21 – k) =  k = 14 14 (−2) 21−14 = C21 (−2) Số cần tìm C21 (theo tính chất Error! Reference source not found.) Câu 16: (Chuyên Thái Bình- 2018) Biế t rằ ng hệ số x khai triể n nhị thức Newton ( − x ) , ( n  N *) n A n = bằ ng 60 Tìm n B n = C n = D n = Đáp án B (2 − x) n ,(n  N * ) Số hạng tổng quát khai triển ( −1) k Cnk 2n − k ( x ) , ( n  N * ) k Theo yêu cầu toán ta có k = Vậy hệ số x4 khai triển ( −1) Cn4 2n−4 = 60 Giải phương trình Cn4 2n − = 60  n = Câu 17: (Chuyên Vĩnh Phúc–lần 2) Tìm tất số a khai triển (1 + ax )(1 + x ) có chứa số hạng 22x C a = −3 B a = A a = D a = Đáp án A (a + b) Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton n n =  C kn a k b n − k , tìm hệ k =0 số x khai triển cho hệ số 22 4 k =0 k =0 Cách giải: (1 + ax )(1 + x ) = (1 + ax )  C k4 x k + a  C k4 x k +1 Hệ số có chứa x khai triển C34 + aC42 = + 6a = 22  a = Câu 18: (Chuyên Quang Trung -2018) Tìm hệ số x khai triển 12 P ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) + + ( x + 1) A 1715 Đáp án A B 1711 Phương pháp Hệ số x khai triển C 1287 ( x + 1) ( k  ) kết Lời giải chi tiết Hệ số x khai triển k D 1716 C5k Lấy tổng hệ số lại để ( x + 1) ( k  ) k C5k Do hệ số x 5 + C11 + C12 = 1715 khai triển p ( x ) C56 + C57 + C85 + C95 + C10 Câu 19: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho đa thức 10 11 12 p ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) (1 + x ) Khai triển rút gọn ta đa thức: P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a12 x12 Tìm hệ số a8 A 720 Đáp án C B 700 C 715 Phương pháp: Áp dụng công thức khai triển tổng quát: D 730 (a + b) n n =  Cnk a n − k b k k =0 n Đối với tốn ta áp dụng cơng thức (1 + x ) =  Cnk 1n − k x k Sau dựa vào khai n triền toán cho P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a2 x Cách giải: + ) (1 + x ) =  C8k 18− k x k  a8 = C88 k =0 + ) (1 + x ) =  C9k 19− k x k  a8 = C98 k =0 12 k =0 ta tìm hệ số a8 (đi theo x8 ) 10 +) (1 + x ) =  C10k 110− k x k  a8 = C108 10 k =0 11 +) (1 + x ) =  C11k 111− k x k  a8 = C118 11 k =0 12 +) (1 + x ) =  C12k 112− k x k  a8 = C128 12 k =0 Vậy Hệ số cần tìm là: a8 = C88 + C98 + C108 + C118 + C128 = + + 45 + 165 + 495 = 715 Câu 20: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho đa thức 10 11 12 p ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) (1 + x ) Khai triển rút gọn ta đa thức: P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a12 x12 Tính tổng hệ số , i = 0,1, 2, ,12 A Đáp án B B 7936 C Phương pháp: Sử dụng công thức tổng n số hạng cấp số nhân Sn = Áp dụng khai triển nhị thức Newton (a + b) D 7920 u1 ( q n − 1) q −1 n =  Cnk a k b n − k k =0 n Sử dụng tổng (1 + 1) =  Cnk = n k =0 Cách giải: 10 11 12 p ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) (1 + x ) (1 + 5) − 1 (1 + x )13 − (1 + x )8 (1 + x )13 (1 + x )8 = = − 1+ x −1 x x x = 13 =  C13m xm m =0 x C = n =0 n xn x 13 =  C13m x m−1 −  C13n x n −1 m=0 n =0 13  a0 + a1 + a2 + + a12 = ( C − C ) + ( C132 − C82 ) + + ( C138 − C88 ) + C139 + + C13 13 13 a =1 b =1  C13a −  C8b n 13 k =0 a =1 Xét tổng (1 + 1) =  Cnk = n   C13a = 28 − C80 = 28 −  a0 + a1 + a2 + + a12 = 213 − − 28 + = 7936 Câu 21: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2)Tìm hệ số h số hạng chứa x khai 2  triển  x +  ? x  A h = 84 B h = 672 C h = 560 D h = 280 Đáp án D Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: (a + b) n =  Cnk a k b n − k k =0 7 2  Cách giải: Ta có:  x +  =  C7k 2k x14−3k x  k =0  Hệ số x5  14 − 3k =  k = Vậy h = C73 23 = 280 Câu 22: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Biết n số nguyên dương thỏa mãn A 3n + 2A n2 = 100 Hệ số x khai triển (1 − 3x ) 2n bằng: B −35 C12 A −35 C10 D 65 C10 C 35 C10 Đáp án A Điều kiện: n  Ta có A3n + 2An2 = 100  n! n! + = 100 ( n − 3) ! ( n − ) !  n ( n −1)( n − 2) + 2n ( n −1) = 100  n3 − n −100 =  n = (điều kiện : n  ) 10 10 k k 110−k ( −3x ) =  C10 ( −3) x k Với n = 5, xét khai triển (1 − 3x ) =  C10 10 k k =0 k k =0 5 ( −3) = −35.C10 Hệ số x ứng với x k = x → k = Vậy hệ số cần tìm C10 Câu 23: Cho tổng S = C12017 + C22017 + + C2017 2017 Giá trị tổng S bằng: B 22017 A 22018 C 22017 − D 22016 Đáp án C Xét khai triển (1 + x ) = C0n + x.C1n + x C2n + + x n C nn n (* ) x = 2017 − Thay  vào (*), ta 22017 = C02017 + C12017 + C22017 + + C2017 2017  S = n = 2017 Câu 24: (Chun Hùng Vương-Bình Dương.) Tính tổng k 1009 1010 1011 2018 S = C2018 + C2018 + C 2018 + + C 2018 (trong tổng đó, số hạng có dạng C 2018 với k nguyên dương nhận giá trị liên tục từ 1009 đến 2018 ) 1 B S = 22017 + C1009 2018 A S = 22018 − C1009 2018 C S = 22017 − C1009 2018 D S = 22017 − C1009 2018 Đáp án B Ta có: (1 + x ) 2018 2018 2018 2018 =  Ck2018 x k = C02018 +C12018 x + + C2018 x k =0 2018 Chọn x =  22018 = C02018 + C12018 + + C2018 1011 2018 1009 1009 2017 + C1009 Vì Ckn = Cnn − k  22018 = ( C1010 2018 + C 2018 + C 2018 ) + C 2018 = 2S + C 2018  S = 2018 Câu 25: (Viên Khoa Học Thương Mại Quốc Tế) Hệ số x9 sau khai triển rút gọn 10 14 đa thức f ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + + (1 + x ) là: A 2901 B 3001 C 3010 D 3003 Đáp án D n Phương pháp: Sử dụng khai triển (1 + x ) =  Cnk x k n k =0 n Cách giải: Ta có : (1 + x ) =  Cnk x k n k =0 Do hệ số x khai triển C99 + C109 + C119 + + C149 = 3003 40 40 1  Câu 26: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho  x +  =  a k x k , với a k  2  k =0 Khẳng định sau đúng? B a 25 = 25 A a 25 = 225 C40 25 C 40 225 C a 25 = 25 C 40 215 D a 25 = C 25 40 Đáp án C Phương pháp giải: Áp dụng công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton (a + b) n n =  Ckn a n − k b k k =0 40 40 40 1  1  1 Lời giải: Xét khai triển  x +  =  + x  =  Ck40   2  2  2 k =0 40 − k x k 15 25  12  Hệ số x ứng với x = x  k = 25 Vậy a 25 = C   = 15 C 40  2 25 k 25 25 40 Câu 27: (Cụm trường chuyên) Tìm hệ số x khai triển P ( x ) = ( x + 1) 20 B A 720 A C720 C A 2013 D P7 Đáp án A Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: (a + b) n n =  C kn a n b n − k k =0 20 Cách giải: P ( x ) = ( x + 1) =  C k20 x k 20 k =0 Để tìm hệ số x ta cho k = , hệ số x C720 12   Câu 28: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong khai triển  + x  x  hạng chứa x là: A 924x B 792 C 792x Đáp án C Phương pháp : Sử dụng khai triển nhị thức Newton: với x  Số D 924 n ( a + b ) =  Ckn a n −k b k n k =0 12 k 12 12 12 12 − k   k   k k   ( x5 ) =  C12 3k x 60−5k =  C12 x 60−8k Cách giải :  + x  =  C12 x x  x  k =0 k =0 k =0 4 60 − 8k =  k =  Số hạng chứa x C12 x = 792x Câu 29: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Với n số nguyên dương thỏa mãn A kn + 2A 2n = 100 ( A kn số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử) Số hạng chứa x khai triển biểu thức (1 + 3x ) là: 2n A 61236 B 256x D 61236x C 252 Đáp án D Phương pháp: Chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử A kn = n! ( n − k )! Cách giải: A kn + 2A 2n = 100  2A 2n  100  A 2n  50  n! − 201 + 201  50  n ( n − 1)  50  n − n − 50   n 2 ( n − )! Mà n  , n   n 2;3;4;5;6;7 ‘ Thay n = 2;3; 4;5;6;7 vào A kn + 2A 2n = 100 : n k Loại Loại Loại Loại Loại Vậy n = 5 35.x = 61236x Số hạng chứa x khai triển ứng với i = Số hạng là: C10 Câu 30: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong khai triển ( a − 2b ) , hệ số số hạng chứa a b là: A 70 Đáp án C B 168 D −1120 C 1120 Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton (a + b) n n =  C kn a k b n − k k =0 Cách giải: ( a − 2b ) 8 =  C8k a k ( −2b ) 8− k k =0 =  C8k ( −2 ) 8− k a k b8−k k =0 k = k=4  8 − k = Để tìm hệ số số hạng chứa a b ta cho Vậy hệ số số hạng chứa a b C84 ( −2 ) = 1120 Khi đó, (1 + 3x ) 2n 10 10 i = (1 + 3x ) =  C10 ( 3x ) =  C10i 3i.x i 10 i i =0 i =0 Câu 31: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển Nhị  n x +  thức Niu tơn   2x  A 297 512 2n B ( x  ) , biết số nguyên dương n thỏa mãn C3n + A 2n = 50 29 51 D C 97 12 279 215 Đáp án A Ta có C3n + A 2n = 12 n ( n − 1)( n − ) n! n! + = + n ( n − 1) = 50  n = 3!( n − 3) ! ( n − )! 12 − k 12 3 x k  3 Suy  +  =  C12   x 2 x k =0 k 12 x k 12 − k − k 2k −12 = C12 x    2 k =0 −10 x = Số hạng chứa x  2k − 12 =  k = 10  a10 = C10 12 297 x 512 Câu 32: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Biết khai triển nhị thức Niutơn n n −2   n −3     n n −1  x +  = a x + a1 x + a x   + a x   x x   x  x (với n số nguyên lớn 1) ba số a ,a1 ,a theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hỏi khai triển trên, có số hạng mà lũy thừa x số nguyên A B C D Đáp án C Yêu cầu toán  a = 1, a1 = Khi + C1n C2 , a = n lập thành cấp số cộng n ( n − 1) C2n = C1n  + = n  n − 9n + =  n = 8 Do đó, số hạng tổng quát khai triển Tk = C k ( x) 8− k 16 − 3k  Số hạng mà lũy thừa x số nguyên ứng với k ( x) k C8k 16−43k = k x  3k mà k 0;1; ;8 Suy k = 0;4;8 → Có số hạng lũy thừa x số nguyên Câu 33: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho n số nguyên dương thỏa mãn A 2n − 3Cnn −1 = 11n Xét khai triển P ( x ) = ( x − ) Hệ số chứa x10 khai triển là: n A 384384 B −3075072 C −96096 D 3075072 Đáp án C Phương pháp: n +) Công thức khai triển nhị thức Newton: ( x + y ) =  Cin x i y n −i n i =0 +) Akn = n! n! ,Ckn = k!( n − k )! ( n − k )! Cách giải: A 2n − 3Cnn −1 = 11n   n = ( Loai ) n! − 3n = 11n  n ( n − 1) − 14n =  n − 15n =   ( n − )!  n = 15 15 Với n = 15 : P ( x ) = ( x − ) = ( x − ) =  Cin x i ( −2 ) n 15 i =0 15 −i Hệ số chứa x10 ứng với i = 10 C10 15 ( −2 ) 15 −10 = −96096 Câu 34: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Giả sử có khai triển n (1 − 2x ) = a + a1x + a x + + a n x n Tìm a biết a + a1 + a = 71 A −672 Đáp án A B 672 C 627 D −627 n k n Ta có (1 − 2x )n =  Ckn ( −2 ) x k =1 + C1n ( −2 ) x + C 2n ( −2 ) x + + C nn ( −2 ) x n k =0 Suy Suy a + a1 + a = 71 = − 2C1n + 4C n2 = 71  n = a5 = C57 ( −2) = −672 Câu (1 + 2x ) (Chuyên 35: n Đại Học Vinh-2018) Cho = a + a1x + a x + + a n x n , n  Tìm số giá trị nguyên khai triển n với n  2018 cho tồn k (  k  n − 1) thỏa mãn a k = a k +1 A 2018 B 673 C 672 D 2017 Đáp án B Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton n Cách giải: Ta có (1 + 2x ) =  C kn 2k x k ( k  Z ) n k =0  a k = Cnk 2k ;a k +1 = Cnk +1 2k +1  Ckn 2k = Ckn +1 2k +1   n! n! 2k = 2k +1 k!( n − k )! ( k + 1)!( n − k − 1)! = n − k k +1  k + = 2n − 2k  n = 3k + 1  Ta có n  1; 2018  k   ;1345 3  Do n số 673 số 1  nguyên nên 3k + số chẵn => k số lẻ, thuộc đoạn  ;1345  => có 3  nguyên k thỏa mãn Với số nguyên k xác định số nguyên n Vậy có 673 số nguyên n thỏa mãn yêu cầu toán Câu 36: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)v Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển biểu thức  3x −    A -810 Đáp án A  x2  B 826 C 810 D 421 Phương pháp giải: n Áp dụng công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton ( a + b )n =  C kn a n − k b k k =0 Lời giải: Xét khai triển    3x −  = x    C ( 3x ) k =0 k k    −  =  x  5− k C k =0 k 35− k ( −2 ) x15−5k k Hệ số số hạng chứa x10 ứng với 15 − 5k = 10  k = Vậy hệ số cần tìm C15 34 ( −2) = −810 Câu 37: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong khai triển (1 + 3x ) hệ số số hạng đứng A 311 C11 B 312 C12 20 20 20 với số mũ tăng dần, C 310 C10 20 D 39 C920 Đáp án A Phương pháp giải: Khai triển với số mũ n số chẵn số hạng 20 1+ n 20 Lời giải: Xét khai triển (1 + 3x ) =  C k20.120− k ( 3x ) =  C k20.3k.x k 20 k k =0 k =0 Số hạng đứng khai triển ứng với k = + 21 = 11 Vậy hệ số số hạng cần tìm 311 C11 20 Câu 38: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Hệ số số hạng chứa x khai triển thành 10 đa thức biểu thức A = (1 − x ) là: A 30 Đáp án B B -120 C 120 Phương pháp Sử dụng khai triển nhị thức Newton (a + b) n n =  C kn a n − k b k k =0 Cách giải 10 10 k A = (1 − x ) =  C10 ( − x ) =  C10k ( −1) ( x ) 10 k =0 k k k k =0  Hệ số số hạng chứa x C10 ( −1) = −120 D -30 Câu 39: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Tìm hệ số x3 sau khai triển 1 3 rút gọn đơn thức đồng dạng  − x + x  , x  x  A −2940 B 3210 C 2940 D −3210 Đáp án A 1− x2 + 2x3 ) ( 1 2 Ta có  − x + 2x  = x9 x  Ta cần tìm hệ số x12 khai triển P = (1− x + 2x3 ) Ta có P =  C9k ( 2x3 − x k =0 ) k k =   k = thỏa mãn  k = +) Với k =  hệ số C96 ( −1) = 84 +) Với k =  hệ số C94 24 = 2016 +) Với k =  C9k ( 2x − x ) = 126x10 ( 2x − 1) = 126x10  C5k  ( 2x ) ( −1) k 5 k 5− k  k = k  =  hệ số 126.C ( −1) = −5040 Vậy hệ số cần tìm 84 + 2016 − 5040 = −2940 Câu 40: (Chun Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Tìm hệ số số hạng chứa x khai   triển  2x +  với x  x   A 4608 B 128 C 164 D 36 Đáp án A 5− k 9  9− k    Ta có:  2x +  =  C9k ( 2x )   =  C9k 29− k.x 9−3k x  k =0  x  k =0 Số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn: − 3k =  k = Hệ số x khai triển là: C92 27 = 4608 Câu 41: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị 21   thức Newton  x −  , ( x  ) x   A 27 C721 B 28 C821 Đáp án D C −28 C821 21   −2 21  x −  = ( x − 2x ) có SH tổng quát: x   Ck21.x 21−k ( −2x −2 ) = Ck21.x 21−k ( −2 ) x −2k = Ck21 ( −2 ) x 21−3k k k k D −27 C721 Số hạng không chứa x Ck21 ( −2 ) x 21−3k cho k 21 − 3k =  k =  C721 ( −2 ) = −27 C721 Câu 42: (Chuyên Vĩnh Phúc – A S = 210 + 2.C110 + 22.C10 + + 210.C10 lần 2) Tính tổng S = C10 10 C S = 410 B S = 310 D S = 311 Đáp án B Phương pháp: Chọn khai triển phù hợp sau chọn x Cách giải: 10 k 10 10 x k = C10 x + C10 x1 + C10 x 210 + + C10 x Xét khai triển (1 + x ) =  C10 10 k =0 10 10 + C10 + C10 22 + + C10 Chọn x = ta có: (1 + ) = 310 = C10 10 Câu 43: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho P ( x ) = (1 + 3x + x ) Khai 20 triển P(x) thành đa thức ta P ( x ) = a + a1x + a x + + a 40 x 40 Tính S = a1 + 2a + + 40a 40 B S = 20.521 A S = −20.519 C S = 20.519 D S = 20.520 Đáp án Phương pháp: Công thức nhị thức Newton ( x + y) n n = C0n x n + C1n x n −1 y + + Cnn y n =  Cin x n −i yi i =0 Cách giải: P ( x ) = a + a1x + a x + + a 40 x 40 P' ( x ) = a1 + a x + + a 40 x 39 Ta có P ( x ) = (1 + 3x + x )  P ' ( x ) = 20 (1 + 3x + x ) 20  20 (1 + 3x + x ) 19 19 (3 + 2x ) (3 + 2x ) = P ' ( x ) = a1 + a x + + a 40x 39 Cho x =1  20 (1 + + 1) 19 ( + 2.1) = a1 + a + + 40a 40 a1 + a + + a 40 = 20.520  S = 20.520 S  MN  S (1 + t;1;1 − t ) S  ( P )  (1 + t ) + − (1 − t ) =  + 2t =  t = 3 1  S  ;1;  2 2 3 1 Vậy, biểu thức A đạt GTNN  ;1;   x + y = 2 2 Câu 44: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Rút gọn tổng sau S = C22018 + C52018 + C82018 + + C2018 2018 A S = 22018 − B S = 22019 + C S = 22019 − D S = 22018 + Đáp án A A 2018 = C02018 + C32018 + + C2016 2018 2017 B2018 = C12018 + C2018 + + C2018 C2018 = C22018 + C52018 + + C2018 2018 Ta có kết sau A 2018 = C2018 = B2018 − (Có thể chứng minh phương pháp quy nạp toán học, tổng quát A6k + = C6k + = B6k + − 1; A6k +5 = C6k +5 = B6k +2 − 1) Mặt khác ta có A 2018 + B2018 + C 2018 = C02018 + C12018 + + C 2018 2018 (1 + 1) 2018 = 22018 22018 −  S + ( S + 1) + S =  S = Câu 45: (Cụm trường chuyên)Có số nguyên dương n cho S = + ( C10 + C02 + + C0n ) + ( C11 + C12 + + C1n ) + + ( C nn −−11 + C nn −1 ) + C nn số có 1000 2018 chữ số A Đáp án A B C D Phương pháp : +) Nhóm tổ hợp có số n +) Sử dụng tổng (1 + n ) =  Ckn = C0n + C1n + Cn2 + Cnn = 2n n k =0 +) Sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân +) Để S số có 1000 chữ số 10999  S  101000 Cách giải: S = + ( C10 + C02 + + C0n ) + ( C11 + C12 + + C1n ) + + ( C nn −−11 + C nn −1 ) + C nn S = + ( C 10 + C11 ) + ( C02 + C12 + C22 ) + ( C30 + C13 + C32 + C33 ) + + ( C0n + C1n + C 2n + + C nn ) n Xét tổng (1 + n ) =  Ckn = C0n + C1n + Cn2 + Cnn = 2n n k =0 Từ ta có: S = + + + + + = + n (1 − 2n ) 1− = + ( 2n − 1) = 2n +1 Để S số có 1000 chữ số 10999  2n +1  101000  log 10999 −  n  log 101000 −  3317,  n  3320,9 n số nguyên dương  n 3318;3319;3320 Câu 46: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Giả sử (1 + x ) (1 + x + x ) (1 + x + x + + x n ) = a + a1x + a x + + a m x m m Tính a r =0 r B n A C ( n + 1)! D n! Đáp án C m a r =0 r = f (1) = 2.3 ( n + 1) = ( n + 1)! Câu 47: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Tổng 2018 2017 S = 12.C2018 20 + 22.C2018 21 + 32.C2018 22 + + 20182.C2018 = 2018.3a ( 2.b + 1) , với ( 2.b + 1) a, b số nguyên dương A 2017 Đáp án C B 4035 không chia hết cho Tính a + b C 4034 D 2018 Xét f ( x ) = (1 + x ) = n (1) n n k =0 k =0 =  Cnk x k  f ' ( x ) =  k Cnk x k −1 Nhân x vào vế ta có: n x f ' ( x ) =  k Cnk x k k =0 n  ( x f ' ( x ) ) ' =  k Cnk x k −1 (2) k =0 Từ (1) (2)   x.n ( x + 1)   n ( x + 1) n −1 n −1 n  =  k Cnk x k −1  k =0 + n ( n − 1) x ( x + 1) n−2 n =  k Cnk x k −1 k =0 x = Cho  ta được: n = 2018 2018 k 2018.32017 + 2.2018.2017.32016 =  k C2018 2k −1 k =0 Theo bài: 2018.32016 ( + 2.2017 ) = 2018.3a ( 2b + 1) Đồng thức: 2018.32016 ( 2.2018 + 1) = 2018.3a ( 2b + 1) a = 2016   a + b = 4034 b = 2018 Tóm lại: +) Đạo hàm (1) +) Nhân với x (2) +) Lại đạo hàm (3) Câu 48: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Giả sử (1 − x + x )n = a0 + a1x + a2 x + + a 2n x 2n Đặt s = a0 + a2 + a4 + + a2n , đó, s 3n + 3n − 3n A B C D 2n + 2 Đáp án A (lời giải câu 30) • Thay x = vào giả thiết cho, ta a0 + a1 + a1 + + a2n = • Thay x = −1 vào giả thiết cho, ta a0 − a1 + a2 − + a2n = 3n • (1) (2) Cộng (1) (2), ta có 3n + = 2(a0 + a2 + a4 + + a 2n ) 3n + Hay s = Câu 49: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Giả sử có khai triển n (1 − 2x ) = a + a1x + a x + + a n x n Tìm a biết a + a1 + a = 71 A −672 Đáp án A B 672 n D −627 C 627 Ta có (1 − 2x ) =  Ckn ( −2 ) x k =1 + C1n ( −2 ) x + C 2n ( −2 ) x + + C nn ( −2 ) x n n k k =0 Suy a + a1 + a = 71 = − 2C1n + 4Cn2 = 71  n = Suy a5 = C57 ( −2) = −672 n ... 22019 − D S = 22018 + Đáp án A A 2018 = C 02018 + C 32018 + + C2016 2018 2017 B2018 = C 12018 + C2018 + + C2018 C2018 = C 22018 + C 52018 + + C2018 2018 Ta có kết sau A 2018 = C2018 = B2018 − (Có thể... +C 12018 x + + C2018 x k =0 2018 Chọn x =  22018 = C 02018 + C 12018 + + C2018 1 011 2018 1009 1009 2017 + C1009 Vì Ckn = Cnn − k  22018 = ( C1010 2018 + C 2018 + C 2018 ) + C 2018 = 2S + C 2018. .. 3 -2018) Tìm hệ số số hạng chứa x khai 11 triển nhị thức Newton (1 + 2x )( + x ) A 4620 : Đáp án C B 1380 C 9405 11 D 2890 11 11 k =0 k =0 k 11 k k k 11 k k k 11 k k +1 x =  C11 x + 2 C11