Nếu m lẻ, n lẻ và dương thì áp dụng công thức hạ bậc và biến đổi tích thành tổng Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác: Loại 1:... ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I.[r]
(1)LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com TÍCH PHÂN I PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 1) Tính tích phân phương pháp đổi biến số : b 1) LOẠI 1:Tính I = f[u(x)].u' (x)dx baèng caùch ñaët t = u(x) a t u ( x) dt u ' ( x) dx (đạo hàm) xb t u (b) Bước 2: Đổi cận : xa t u (a) Bước 1: Đặt Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta b u (b ) a u (a) I f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Bài tập1: Tính các tích phân sau 1) cos x sin xdx 5) sin 2x(1 sin x)3 dx 6) x 7) dx ln x 1 x dx 11) cos x sin x 13) dx sin x 8) cos x 0 5sin x sin2 xdx sin x 12) sin x dx ( sin x ) 16) 2 x1 x 2011 (1 x ) dx ; 3 x 2 x dx ; 0 tg x dx cos 2x ln 2 sin x cos x x dx 17) dx 18) (e sin x cos x) cos xdx 19) 11 cos x x 1 Bài tập2: Tính các tích phân sau dx 14) dx 15) x x 3 ln e 2e cos x sin x 1 cos xdx 10) x (1 x )6 dx ln x dx x e 9) e cos 4) x x dx 3) sin 4x dx cos2 x cos xdx 2) 1 x2 dx ; x5 1 x3 dx ; sin x dx 11 cos x ; 12 x dx ; 4 x2 x2 e xdx ; dx ; 1 x2 x e dx ; 13 x e x 3 x dx ; 5 x 1 ln x ln x dx x 3 2 e 20) x 4 x2 dx ; 10 x dx 4 x sinx 1cos x dx ; 2tanx dx ; 14 c os x 15 x 2 dx x 4 b 2) LOẠI 2: Tính I = f(x)dx baèng caùch ñaët x = (t) a Bước 1: Đặt Huỳnh văn Lượng x (t ) dx ' (t ) dt Trang 37 0918.859.305-01234.444.305 (2) LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com xb t xa t Bước 2: Đổi cận : Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta b a I f ( x )dx f (t ) ' (t ) dt (tiếp tục tính tích phân mới) a a2 x2 dx, a 0 , Đặt: x=asint ;với t ; 2 a) Dạng 1: BT: Tính các tích phân sau:1 1 x dx ; 3 x dx x 3 x 3 x dx ; 2 (1 x ) dx ; x x2 dx ; 0 x x 3dx ; x x dx 1 dx, a 0 , Đặt: x=asint ;với t ; a2 x2 2 b) Dạng 2: 2x dx ; 3 x2 dx ; x2 a 2 2 BT: Tính các tích phân sau: 2 dx ; 2 x2 a c) Dạng 3: 2 dx , x a x dx ; 2 x a 2 BT:: Tính tích phân: dx ; x 1 (1 x2)3 dx x2 x 1 3 x2 dx ; 0 x2 1dx ; 2a 2a d) Dạng 4: x3 dx x ; 1 dx 4 x x2 a2 dx Đặt: x=a.tant ,với t ; 2 x2 x a dx, a 0 3a a x2 a2 x2 1 3 x2 dx; dx, a 0 a a (hoặc ta đặt x2 làm nhân tử chung và đưa x2 ngoài, đặt t thì các tích sin t x phân này trở lại dạng và dạng 2) Cách giải: Đặt: x Tính:1 dx x x2 1 Huỳnh văn Lượng (ĐS: ) ;2 12 x x2 dx (ĐS: 8 ) 3 2 x2 dx ;4 x 2 x2 dx ; x2 Trang 38 0918.859.305-01234.444.305 (3) LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com 2) Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phân phân u u ( x) du u ' ( x)dx (đạo hàm) dv v' ( x)dx v v( x) (nguyeân haøm) Bước 1: Đặt u ln x - Nếu biểu thức sau dấu tích phân chứa lnx thì đặt dv phaàn coøn laïi u phần còn lại ngoài dv - Nếu biểu thức sau dấu tích phân chứa {sinx, cosx, ex} thì đặt x dv {sin x, cos x, e }dx b b b Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần : udv uv vdu a a BT: 1/Tính: 2 (13x)e dx ; (x 2x)e dx e 2 ln x 1) dx 2) x (2x 1)3 dx xdx 3) sin x sin x 4) dx cos2 x xdx 0 dx (2 x 1) ln( x 1) dx 2 x cos 2x1 (4x 2x 1)e x ln( x x)dx ; ; 2 ln( x x)dx ; (x cosx)sin xdx 2x 3/ Tính: ln xdx ; x e 4/ Tính: 2x (x cos x)sinxdx 2/ Tính: 2x 1 cos xdx ; x(2cos x 1)dx ; a 5) e x s inxdx III TÍCH PHÂN CHỨA HÀM HỮU TỈ: b Dạng: P( x) Q( x) dx Với P(x), Q(x) là các hàm đa thức, đó ta có các trường hợp sau: a + Nếu bậc P(x) bậc Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x) + Nếu bậc P(x) <bậc Q(x) thì phân tích P( x ) thành các phân thức đơn giản theo quy tắc sau: Q( x ) QT1: A P(x) P(x) A A n Q(x) x a1 x a2 x an x a1 x a2 x an QT2: A3 P ( x) P( x ) A A A4 n Q( x) x a x c x a x c ( x c) ( x c) n QT3: P ( x ) Q ( x) P( x) x a x px q A1 A x B2 A x B3 22 x a x px q ( x px q ) dx ax bx c Lưu ý tích phân dạng tổng quát sau: I Huỳnh văn Lượng Trang 39 a 0 Xét b 4ac 0918.859.305-01234.444.305 (4) LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com thì I +)Nếu dx a x b tính I 2a thì +)Nếu dx I a x x1 x x2 (trong đó x1 b b ) ; x2 2a 2a a +) Nếu thì đưa tích phân I dạng 3 dx BT: Tính các tích phân sau: x 1 2 dx ; x( x 2) 2 ; 1 0 x2 a2 dx -> Đặt: x=a.tant x 3x dx ; x( x 1) x 1 dx x( x 2) x7 0 ( x 1)2 dx ; x 1 dx ( x 1)( x 2) dx ; 2) x( x 2 ; 1 x dx x ( x 2) ; III TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: b Dạng 1: sin m x.cosn xdx xảy các trường hợp sau : a Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt: t= cosx Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt: t= sinx Nếu m chẵn, n chẵn thì đặt: t= tanx Nếu m chẵn, n chẵn và dương thì áp dụng công thức hạ bậc Nếu m lẻ, n lẻ và dương thì áp dụng công thức hạ bậc và biến đổi tích thành tổng Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác: Loại 1: I dx asinx b cos x c 1 t2 và cos x 1 t2 x 2dt dx ;Đặt: t tan dx 1 t co s x sin x x 2dt 2t Đặt t tan dx ; sin x 2 1 t 1 t2 Ví dụ: a) b) dt x tan dx dt t 1 t ln ln 1 t2 2t x cos x 3sin x t 3t t 3 3 tan 2 1 t2 1 t2 .Loại 2: Tính I m sin x n cos x p dx a sin x b cos x c Ta cần tìm A, B, C cho: m sin x n cos x p A a sin x b cos x c B a cos x b sin x C , x Huỳnh văn Lượng Trang 40 0918.859.305-01234.444.305 (5) LTĐH _ Chuyên đề Tích phân Ví dụ minh họa: Tính: Ta tìm A, B từ hệ thức: Loại 3: Tính BT: I cosx2sinxA 4cosx3sinx B 4sinx3cosx , x để từ đó vào và tính I cos xdx ;2 sin cos x 2sin x dx cos x 3sin x dx asin2 x bsin xcos x ccos2 x d I www.huynhvanluong.com x dx ;3 cos x dx ;4 tan 1 0 asin x bcos x c cos x d sinx A B c sinx d cos x csinx d cos x sin x cos x dx ;6 sin xdx ; xdx ;5 a sin x b cos x c s inx d cos xdx > Xét: Loại 3: I = Chia tử và mẫu cho cos2x, sau đó đặt t = tanx 2sinx+3cos x 2sinx-3cos x dx ; dx ; BT: Tính:1 sinx-2cos x sinx cos x 2sinx+cos x 0 sinx-cos x dx ; 3sinx-cos x 2sinx+cos xdx Loại 4: I n sin x sin x cos n x dx I dx -> đặt : thì x t 0 sin n x cos n x 0 sin n x cos n x 0 sin n x cos n x dx =J n 2 c os x c os x Từ đó: I+J=2I= I BT: dx ;2 dx ;3 sin x cos x sin x c os x 0 sin 2011 x 0 sin 2011 x cos 2011 x dx Chú ý: Một số dạng tích phân đặc biệt, vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Lượng để hỗ trợ miễn phí - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I Tính diện tích: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi: y (C1 ) : y f ( x ) (C ) : y g ( x ) (H ) : : x a : x b x b (C1 ) : y f ( x) xa (H ) (C ) : y g ( x) b S f ( x) g ( x)dx O a b x a Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi: (C1 ) : x f ( y ) (C ) : x g ( y ) (H ) : : y a : y b y (C2 ) : x g ( y) y b b (H ) b S f ( y ) g ( y )dy a a ya x O Huỳnh văn Lượng Trang 41 (C1 ) : x f ( y) 0918.859.305-01234.444.305 (6) LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com II Tính thể tích: Quay quanh Ox y xa (C ) : y f ( x ) Ox : y (H ) : : x a : x b b a O x b (C ) : y f ( x) y0 x b V f ( x) dx a Quay quanh Oy y (C1 ) : x f ( y ) Oy : x (H ) : : y a : y b b x0 b V f ( y ) dy y b (C ) : x f ( y ) ya a a x O 512 128 Bài tập Tính thể tích y=-x +4x và trục Ox : a.Quanh Ox (ĐS : ) ; b Quanh Oy (ĐS : ) 15 2 y=(x-2)2 và y=4 a Quanh Ox (ĐS : y=x2+1 ,Ox ,Oy và x=2 a Quanh Ox 256 ) ; b Quanh Oy (ĐS : (ĐS : 128 ) 206 ) ; b Quanh Oy (ĐS : 12 ) 15 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn các đường sau: ln x D y , y 0, x 1, x x ln x ; D y , y 0, x 1, x e x x 3x D y , y 0, x 0, x 1 x 1 ;5 D y sin xcos3 x, y 0, x 0, x 2 TỔNG HỢP CÁC BÀI TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013 Bài (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường : y x2 2x y x ĐS : S 109 Bài (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường : x2 x2 y 4 và y ĐS : S 2 4 Bài (ĐH A2003) : Tính tích phân : I dx ĐS : I ln ĐS : I ln 2 x x 4 Bài (ĐH B2003) : Tính tích phân : 2sin x dx sin x Bài (ĐH D2003) : Tính tích phân : I Huỳnh văn Lượng Trang 42 0918.859.305-01234.444.305 (7) LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com I x x dx ĐS : I Bài (ĐH A2004) : Tính tích phân : x I x 1 1 ĐS : I 11 ln Bài (ĐH B2004) : Tính tích phân : e 3ln x ln x dx x Bài (ĐH D2004) : Tính tích phân : ĐS : I I 116 135 I ln( x x)dx ĐS : I ln 2 Bài (ĐH A2005) : Tính tích phân : I sin x sin x dx ĐS : I 3cos x Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân : 34 27 sin x cos x dx cos x Bài 11 (ĐH D2005) : Tính tích phân : ĐS : I ln I I (esinx cos x) cos xdx ĐS : I e 1 Bài 12 (ĐH A2006) : Tính tích phân : I sin x ĐS : I dx cos x 4sin x Bài 13 (ĐH B2006) : Tính tích phân : ln dx I x e 2e x ln3 Bài 14 (ĐH D2006) : Tính tích phân : ĐS : I ln I ( x 2)e2 x dx ĐS : I 3e Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: e 1 Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn các đường y x ln x , y , x e Tính thể y (e 1) x , y (1 e x ) x ĐS : S tích khối tròn xoay tọa thành quay hình H quanh trục Ox ĐS : V (5e3 2) 27 Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân : e I x3 ln xdx ĐS : I 5e4 32 ĐS : I 10 ln(2 3) Bài 18 (ĐH A2008) : Tính tích phân : tan x dx cos2 x I Huỳnh văn Lượng Trang 43 0918.859.305-01234.444.305 (8) LTĐH _ Chuyên đề Tích phân Bài 19 (ĐH B2008) : Tính tích phân : sin( x )dx 4 I dx sin2 x 2(1 s inx cos x) Bài 20 (ĐH D2008) : Tính tích phân : ln x I dx x Bài 21 (ĐH A2009) : Tính tích phân : www.huynhvanluong.com ĐS : I 43 ĐS : I ln 16 ĐS : I 15 ĐS : I 27 (3 ln ) 16 I (cos3 1)cos xdx Bài 22 (ĐH B2009) : Tính tích phân : 3 ln x I dx ( x 1) Bài 23 (ĐH D2009) : Tính tích phân : dx I x e 1 Bài 24 (ĐH A2010) : Tính tích phân : x e x x 2e x I dx 2e x Bài 25 (ĐH B2010) : Tính tích phân : e ln x I dx x(ln x 2)2 Bài 26 (ĐH D2010) : Tính tích phân : e I (2 x ) ln xdx x Bài 27 (ĐH A2011) : Tính tích phân : I ĐS : I ln(e e 1) 1 2e ĐS : I l n 3 ĐS : I l n x sin x ( x 1) cos x dx x sin x cos x ĐS : I e2 1 ĐS : I l n 1 Bài 28 (ĐH B2011) : Tính tích phân : x sin x dx cos x Bài 29 (ĐH D2011) : Tính tích phân : 4x 1 I dx 2x 1 Bài 30 (ĐH A2012) : Tính tích phân : ln( x 1) I dx x2 Bài 31 (ĐH B2012) : Tính tích phân : x3 I dx x 3x Bài 32 (ĐH D2012) : Tính tích phân : I ĐS : I ĐS : I 34 3 10l n 5 ĐS : I 2 l n ln 3 ĐS : I l n ln 2 /4 I 2 ln 2 3 x(1 sin 2x)dx ĐS : I 2 32 Bài 33 (ĐH A2013) : Tính tích phân : Huỳnh văn Lượng Trang 44 0918.859.305-01234.444.305 (9) LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com x2 ln x dx x2 Bài 34 (ĐH B2013) : Tính tích phân : ĐS : I ln 2 ĐS : I 2 1 I I x x dx Bài 35 (ĐH D2013) : Tính tích phân : ( x 1) I dx x 1 ĐS : I ln TỔNG HỢP MỘT SỐ ĐỀ THI CAO ĐẲNG e x4 x 1 16 17 x2 1 dx KQ : ln ln xdx KQ : e ; 2.CĐ2002B 1 x x 4 CĐ2002A: CĐ2002D Cho f x CĐ2003 x a x 1 bxex Tìm a, b biết rằng:f’(0)=-22 và f x dx (KQ:a=8,b=2) 1076 dx KQ : ; x 15 CĐ2003B e x4 x 1 16 17 dx KQ : ln CĐ2003B x 4 8.CĐ2004B x2 231 dx KQ : 10 x 1 sin xdx KQ : 2 cos x 3 ; 7.CĐ2004A sin x t anxdx KQ : ln 8 9.CĐ2004D t anx e sinx 4 10 CĐ2005B x 1 sin 2xdx KQ : ; 13 CĐ2005D 14 CĐ2006B x x 1 dx KQ :1 ln ln ; x 4 cos x dx KQ : ln e 1 e x 10 11 dx KQ : 2ln x 2ln x 15 CĐ2006A 2x 1 dx KQ : ln 1 2x 1 - CHÚC CÁC EM HỌC TỐT Lớp bồi dưỡng kiến thức và LTĐH chất lượng cao www.huynhvanluong.com Lớp học thân thiện học sinh Tây Ninh 0918.859.305 – 01234.444.305 – 0996.113.305 0929.105.305-0967.859.305-0666.513.305 Huỳnh văn Lượng Trang 45 0918.859.305-01234.444.305 (10)