Vận dụng phương pháp sử dụng số liệu thống kê vào dạy học địa lí 11 THPT

Lời nói đầu Để tìm hiểu về phép tính biến phân và tích phân Stingiét, khoá luận này nhằm trình bày các khái niệm, định lý, tính chất cơ bản của hàm với biến phân giới nội, nguyên lý lựa chọn của Helli, hàm liên tục với biến phân giới nội, tích phân Stingiét. Khoá luận đợc trình bày theo 2 chơng: Chơng 1. Phép tính biến phân. Trong chơng này chủ yếu trình bày các khái niệm, định lý của hàm biến phân giới nội, các bổ đề của nguyên lý lựa chọn của Helli, các định lý của hàm liên tục với biến phân giới nội. Chơng 2. Tích phân Stingiét. Trong chơng này trình bày khái niệm và tính chất của tích phân Stingiét. Vì việc chuyển qua giới hạn dới dấu tích phân Stingiét. Khoá luận đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo PGS. TS Tạ Quang Hải đã hớng dẫn giúp tôi hoàn thành khoá luận. Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè đã giúp đỡ tác giả trong quá trình làm khoá luận. Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều nhng khoá luận không tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong các thầy cô giáo và bạn bè góp ý. Vinh, ngày 5/4/2004 Tác giả 3 Chơng 1 Phép tính biến phân Đ1. Hàm với biến phân giới nội Trong phần này chúng ta xét khái niệm về một lớp các hàm số có biến phân giới nội liên quan mật thiết với các hàm số đơn điệu. Giả sử f(x) là hàm giới nội trên [a, b]. Ta chia [a, b] ra từng phần bởi các điểm tùy ý: x 0 = a < x 1 < x 2 < . < x n = b, lập tổng số V = 1 0 = n k |f(x k +1 ) - f(x k )| Định nghĩa 1.1.1. Cận trên đúng của tập hợp tất cả các tổng V gọi là biến phân toàn phần của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và đợc ký hiệu là )( f b a V Nếu b a V (f) < + thì ta nói hàm số f(x) là một hàm số có biến phân giới nội trên đoạn [a, b]. Định lý 1.1.1. Hàm số đơn điệu là hàm số có biến phân giới nội. Chứng minh. Ta chứng minh cho trờng hợp f(x) là hàm đơn điệu tăng. Nếu f(x) tăng trên [a, b] thì các hiệu f(x k +1 ) - f(x k ) 0 và V = 1 0 = n k {f(x k +1 ) - f(x k )} = f(b) - f(a). Suy ra b a V (f) < +. Vậy f(x) là hàm số với biến phân giới nội. 4 Định lý 1.1.2. Hàm số thoả mãn điều kiện lipsit là các hàm với biến phân giới nội. Chứng minh. Ta biết rằng một hàm số giới nội f(x) đợc xác định trên [a,b] thoả mãn điều kiện lipsit nếu có một hằng số k sao cho: Với 2 điểm bất kì x, y trên [a, b] |f(x) - f(y)| < k |x - y|. Nếu tại mọi điểm [a, b] hàm số f(x) có đạo hàm f(x) giới nội thì theo công thức Lagrangiơ ta có f(x) - f(y) = f(z)(x - y) (x < z < y). Rõ ràng f(x) - f(y) f(z)(x - y). Suy ra f(x) thoả mãn điều kiện lipsit. Nếu f(x) thoả mãn điều kiện lipsit thì |f(x k +1 ) - f(x k )| k(x k +1 - x k ) Do đó V k(b - a). Vậy f(x) là một hàm số với biến phân giới nội. Trong trờng hợp b a V (f) = + thì ta nói hàm số f(x) là hàm số với biến phân toàn phần vô hạn. Ví dụ: Cho f(x) = x.cos x2 (0 < x < 1, f(0) = 0) Nếu ta chia đoạn [a, b] thành từng phần bởi các điểm 0 < n2 1 < 12 1 n < . < 3 1 < 2 1 < 1. Khi đó V = 1 + 2 1 + 3 1 + . + n 1 . Ta có 1 0 V = + . Định lý 1.1.3. Mọi hàm số với biến phân hữu hạn đều giới nội. 5 Chứng minh. Khi a x b. V = |f(x) - f(a)| + |f(b) - f(x)| b a V (f). Do đó |f(x)| |f(a)| + b a V (f). Định lý 1.1.4. Tổng, hiệu và tích của hai hàm số với biến phân giới nội là một hàm số với biến phân giới nội. Chứng minh. Giả sử 2 hàm số f(x) và g(x) là hai hàm số với biến phân giới nội trên [a, b] và s(x), h(x), p(x) lần lợt là tổng, hiệu, tích của chúng, khi đó +) |s(x k +1 ) - s(x k )| |f(x k +1 ) + g(x k +1 )| - |f(x k ) + g(x k )| |f(x k +1 ) - f(x k )| + |g(x k +1 ) - g(x k )|. Suy ra b a V (s) b a V (f) + b a V (g). Vậy s(x) là hàm số với biến phân giới nội. +) |h(x k +1 ) - h(x k )| |f(x k +1 ) - g(x k +1 )| - |f(x k ) - g(x k )| |h(x k +1 ) - h(x k )| |f(x k +1 ) - f(x k )| - |g(x k +1 ) - g(x k )| b a V (h) b a V (f) - b a V (g) < +. Vậy h(x) là hàm số với biến phân giới nội. +) Giả sử p(x) = f(x).g(x) Đặt A = sup{|f(x)|}, B = sup{|g(x)|}. Khi đó |p(x k +1 ) - p(x k )| |f(x k +1 )g(x k +1 ) - f(x k ).g(x k )| |p(x k +1 ) - p(x k )| |f(x k +1 ).g(x k +1 ) - f(x k ).g(x k +1 ) + f(x k ).g(x k +1 ) - f(x k ).g(x k )|. |p(x k +1 ) - p(x k )| |g(x k +1 )[f(x k +1 ) - f(x k )] + f(x k )[g(x k +1 ) - g(x k )]| |p(x k +1 ) - p(x k )| |g(x k +1 )||f(x k +1 ) - f(x k )| + |f(x k )||g(x k +1 ) - g(x k )| 6 b a V (p) B b a V (f) + A b a V (g) < +. Vậy p(x) là hàm số với biến phân giới nội. Định lý 1.1.5. Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số với biến phân giới nội và g(x) b > 0 thì thơng )( )( xg xf cũng là một hàm số với biến phân giới nội. Chứng minh. Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số với biến phân giới nội trên [a, b] và t(x) là thơng của chúng t(x) = )( )( xg xf . Vì g(x) b > 0 g(x) 0 suy ra t(x) luôn xác định. Khi đó |t(x k +1 ) - t(x k )| = )( )( )( )( 1 1 k k k k xg xf xg xf + + . Đặt A = ],[ inf ba g(x) Xét )( 1 )( 1 1 kk xgxg + = )().( )()( 1 1 kk kk xgxg xgxg + + 2 1 A |g(x k +1 ) - g(x k )| 2 1 A b a V (g). Vậy t(x) là hàm số với biến phân giới nội. Định lý 1.1.6. Giả sử trên [a, b] đợc xác định một hàm số f(x) giới nội và a < c < b. Khi đó b a V (f) = c a V (f) + b c V (f). (1) Chứng minh. Ta chia mỗi đoạn [a, c] và [c, b] ra từng phần bởi các điểm y 0 = a < y 1 < y 2 < . < y m = c ; z 0 = c < z 1 < . < z n = b Ta có V 1 = 1 0 = m k |f(y k +1 ) - f(y k )| , V 2 = 1 0 = n k |f(z k +1 ) - f(z k )|. 7 Các điểm {y k }, {z k } cũng chia đoạn [a, b] ra từng phần. Nếu gọi V là tổng ứng với cách chia đó thì V = V 1 + V 2 . Suy ra V 1 + V 2 = b a V (f). Do đó c a V (f) + b c V (f) = b a V (f). (2) Bây giờ ta chia đoạn [a, b] ra từng phần bởi các điểm x 0 = a < x 1 < . < x n = b sao cho điểm C trùng với một điểm chia nào đó. Giả sử C = x m . Ta có tổng V là V = 1 0 = m k |f(x k +1 ) - f(x k )| + 1 = n mk |f(x k +1 ) - f(x k )|. Hay V = V 1 + V 2 . Trong đó V 1 , V 2 là các tổng ứng với các đoạn [a, c] và [c, b]. Do đó V = c a V (f) + b c V (f). (3) (3) đúng với những cách chia trong đó điểm C trùng với một điểm chia, nhng khi ta thêm vào các điểm chia mới không làm giảm tổng V nên (3) đúng với mọi tổng V. Do đó b a V (f) c a V (f) + b c V (f). (4) Từ (2) và (4) ta suy ra b a V (f) = c a V (f) + b c V (f). Các hệ quả 8 Hệ quả 1.1.1. Nếu trong các điều kiện của định lý, hàm số f(x) có biến phân giới nội trên [a, b] thì nó cũng có biến phân giới nội trên mỗi đoạn [a, c] và [c, b] và ngợc lại. Hệ quả 1.1.2. Nếu ta có thể chia đoạn [a, b] ra làm một số hữu hạn đoạn con, trên mỗi đoạn con đó hàm số f(x) là đơn điệu thì f(x) có biến phân giới nội trên [a, b]. Định lý 1.1.7. Để cho một hàm số f(x) có biến phân giới nội thì điều kiện cần và đủ là nó biểu diễn đợc thành hiệu của hai hàm số đơn điệu tăng. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f(x) là hàm số biến phân giới nội cần chứng minh f(x) biểu diễn đợc thành hiệu của hai hàm số đơn điệu tăng. Thật vậy, đặt (x) = x a V (f) (a < x b) (a) = 0. Theo định lý 1.1.6 thì hàm số (x) tăng Đặt v(x) = (x) - f(x). (5) thì hàm số v(x) cũng tăng. Thật vậy, nếu a x < y b thì theo định lý 1.1.6 v(y) = (y) - f(y) = (x) + y x V (f) - f(y) nên v(y) - v(x) = y x V (f) - [f(y) - f(x)]. Nhng theo định nghĩa của biến phân toàn phần thì f(y) - f(x) y x V (f) nên v y - v x 0. Vậy hàm số v(x) tăng. Từ (5) suy ra f(x) = (x) - v(x) là cách biểu diễn cần tìm của f(x). Điều kiện đủ: Giả sử f(x) biểu diễn đợc thành hiệu của hai hàm số tăng, cần chứng minh f(x) có biến phân giới nội. 9 Thật vậy, giả sử v(x), (x) là hai hàm số tăng f(x) = (x) - v(x). Theo định lý 1.1.1, (x), v(x) là các hàm số tăng nên (x), v(x) là các hàm số với biến phân giới nội. áp dụng định lý 1.1.3, f(x) = (x) - v(x) hiệu của hai hàm số với biến phân giới nội f(x) là hàm số với biến phân giới nội. Hệ quả 1.1.3. Nếu hàm số f(x) có biến phân giới nội trên [a, b] thì hàm f(x) có đạo hàm f(x) hữu hạn hầu khắp nơi và khả tổng. Hệ quả 1.1.4. Tập hợp các điểm gián đoạn của một hàm số có biến phân giới nội cùng lắm là đếm đợc. Tại mỗi điểm gián đoạn x 0 , có cả hai giới hạn f(x 0 + 0) = + 0 lim xx f(x) f(x 0 - 0) = 0 lim xx f(x). Thật vậy, giả sử dãy x 1 , x 2 , ., x n (a < x n < b). (6) gồm tất cả các điểm gián đoạn của ít nhất một trong hai hàm số (x) và v(x). Ta xét các hàm số các bớc nhảy s (x) = [ (a + 0) - (a)] + xx k < [ (x k + 0) - (x k - 0)] + [ (x) - (x- 0)] (a < x b). s v (x) = [v(a + 0) - v(a)] + xx k < [v(x k + 0) - v(x k - 0)] - [v(x) - v(x - 0)] (a < x < b). Suy ra s (a) = s v (a) = 0 Giả sử s(x) = s (x) - s v (x), ta có thể viết hàm này nh sau s(x) = [f(a + 0) - f(a)] + xx k < [f(x k + 0) - f(x k - 0)] + [f(x) - f(x - 0)] (a < x b, s(a) = 0). 10 s(x) đợc gọi là hàm số các bớc nhảy của f(x) và s(x) là hàm số có biến phân giới nội. Định nghĩa s(x) sẽ không thay đổi nếu dãy (6) ta bỏ đi những điểm mà tại đó f(x) là liên tục. Các hàm số (x) = (x) - s (x), (x) = v(x) - s v (x) là tăng và liên tục nên (x) = f(x) - s(x) cũng là hàm số tăng với biến phân giới nội, từ đó ta có định lý 1.1.8. Định lý 1.1.8. Mọi hàm số có biến phân giới nội đều có thể biểu diễn thành tổng của hàm số các bớc nhảy của nó với một hàm số liên tục có độ biến phân giới nội. Đ2. Nguyên lý lựa chọn của Helli Bổ đề 2.1.1. Giả sử trên [a, b] đợc xác định một họ vô số các hàm số H = {f n (x)}. Họ này giới nội đều tức là |f n (x)| k n, x [a, b]. (1) Khi đó với mọi tập con E [a, b] ta cũng tính đợc một dãy con từ họ trên hội tụ tại mọi điểm của tập E. Chứng minh. Giả sử E = {x k } ta xem tập hợp {f(x 1 )} là giá trị của các hàm số thuộc họ H lấy tại điểm x 1 . Vì tập hợp này giới nội nên theo định lý Bônzano-Vaystrat ta có thể lấy ra một dãy con hội tụ. )( 1 )1( 1 xf , )1( 2 f (x 1 ), ., )1( lim n n f (x 1 ) = A 1 . (2) Bây giờ ta xem dãy )1( 1 f (x 2 ), )1( 2 f (x 2 ), )1( 3 f (x 2 ), . là các giá trị của hàm số thuộc tập hợp { )1( n f (x)} lấy tại điểm x 2 . Dãy này cũng giới nội nên ta có thể áp dụng đợc định lý Bônzano - Vaystrat thì đợc một dãy hội tụ )2( 1 f (x 2 ), )2( 2 f (x 2 ), ., n lim )2( n f (x 2 ) = A 2 (3) lấy ra từ { )2( n f (x)}. 11 Tiếp tục quá trình trên, ta thu đợc một tập hợp đếm đợc các dãy hội tụ )( 1 )1( 1 xf , )1( 2 f (x 1 ), ., )1( lim n n f (x 1 ) = A 1 )2( 1 f (x 2 ), )2( 2 f (x 2 ), ., n lim )2( n f (x 2 ) = A 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )( 1 k f (x k ), )( 2 k f (x k ), ., n lim )(k n f (x k ) = A k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mỗi dãy sau đợc trích ra từ các phần tử của dãy đứng trớc nó, sau đó ta hãy lập nên dãy các phần tử ở đờng chéo của ma trận lập nên bởi { )(n n f (x)} (n = 1, 2, .). Đó là dãy cần tìm, tức là dãy hội tụ tại mọi điểm của tập E. Thật vậy, với mọi k cố định thì { )(n n f (x k )}, n k là một dãy con của dãy { )(k n f (x k )} hội tụ tới A k . Bổ đề 2.1.2. Giả sử F = {f n (x)} là một dãy họ vô số các hàm số đơn điệu tăng, đợc xác định trên [a, b]. Nếu họ hàm giới nội đều, tức là |f n (x)| k n thì trong Fcó thể lấy ra đợc một dãy {f n (x)} hội tụ tại mọi điểm của [a, b] đến một hàm số đơn điệu tăng (x) nào đó. Chứng minh. áp dụng bổ đề 2.1.1 vào họ {f(x)} và lấy E là tập hợp tất cả những điểm hữu tỷ trên [a, b] (cả điểm 0 nếu nó là vô tỉ) tại mọi điểm x k E đều có một giới hạn hữu hạn: n lim f n (x k ) (4) của dãy F 0 = {f n (x)} lấy ra từ họ F. Ta lập hàm số (x) bằng cách đặt nó bằng giới hạn (4) tại các điểm của tập hợp E: (x k ) = n lim f n (x k ) (x k E). Hàm số (x) mới chỉ đợc xác định trên tập hợp E và ta dễ dàng thấy rằng nó là một hàm số tăng vì nếu x k và x i là 2 điểm của tập hợp E và x k < x i thì (x k ) 12