Phần 3 : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 1 Kết quả : Khi chưa thực hiện đề tài này tôi cảm thấy học sinh hay vướng mắc khi giải các bài toán về cực trị hình học trong không gian [r]
(1)HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG HÌNH TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN Phân : ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài : Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu bài tập toán là hình thành và phát triển tư toán học , tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải dạng toán là cần thiết Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông hay thi tuyển sinh vào các trường Đại học , Cao đẳng ,Trung học chuyên nghiệp thường xuất các bài toán phương pháp tọa độ không gian Có thể nói toán phương pháp tọa độ không gian đa dạng phong phú Cực trị hình học phương pháp tọa độ không gian là dạng toán khó đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư hình học vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ không gian Trong năm học 2012- 2013 phân công giảng dạy lớp 12 trước dạy chương phương pháp tọa độ không gian thân tôi luôn trăn trở : làm nào để học sinh đọc đề thi thấy xuất câu cực trị hình học không gian học sinh không cảm thấy sợ Với suy nghĩ tôi đã chuẩn bị chuyên đề xem đề tài cải tiến phương pháp dạy học : “ Hướng dẫn học sinh giải số bài toán cực cải trị hình học hình tọa độ không gian “ II Phạm vi ứng dụng Đề tài áp dụng vào giảng dạy lớp 12B, 12 E trường THPT Ba Đình năm học 2012- 2013 Phần GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : A Cơ sở lý luận: Trong chương trình hình học 12 phương pháp tọa độ không gian tập trung chủ yếu vào các dạng toán xác định tọa đô điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, lập phương trình đường thẳng ,mặt phẳng vì việc cung cấp nội dung phương pháp là cần thiết B Cơ sở thực tiễn : (2) Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp lớp 10/45 em tập trung làm bài tập dạng này Đối với giáo viên : Sách giáo khoa bỏ qua dạng bài tập này, số tài liệu có điểm qua không có tính chất hệ thống Bài toán : TÌM TOẠ ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN HỆ THỨC Dạng1: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( α ) cho: ( a , b , c ∈ R ) lớn (nhỏ nhất) T = aMA2 + bMB2 + cMC2 Cách giải: GA +b ⃗ GB+c ⃗ GC= ⃗0 Gọi G là điểm thỏa mãn : a ⃗ T biểu diễn: 2 T =a (⃗ MG+ ⃗ GA ) +b ( ⃗ MG+⃗ GB ) + c (⃗ MG+ ⃗ GC ) 2 = ( a+b +c )⃗ MG2+ 2⃗ MG ( a ⃗ GA+ b ⃗ GB+c ⃗ GC ) + a.GA + b.GB + c.GC +) Nếu a + b + c > ta có Tmin ⇔ MGmin ⇔ M là hình chiếu G lên (P) +) Nếu a + b + c < ta có Tmax ⇔ MGmin ⇔ M là hình chiếu G lên (P) Các ví dụ: Ví dụ 1: a, Trong không gian với hệ Oxyz cho mặt phẳng ( α ) : x –y – 2z = và điểm A(1; 3; 1); B(3; 2; 2); C(1; 1; -1) ( α ) cho T = MA2 + 2MB2 + MC2 nhỏ Tìm điểm M b, Trong không gian với hệ Oxyz cho ( α ) : x – y + 2z = và các điểm ( α ) cho P = MA2 - MB2 A(1; 2; -1); B(3; 1; -2); C(1; -2; 1) Tìm M MC2 lớn Lời giải: ⇒ G ( 2; ; ) GA+2 ⃗ GB+ ⃗ GC=⃗0 a Giả sử G thỏa mãn: ⃗ 2 T = MA2 + 2MB2 + MC2 = (⃗ MG+ ⃗ GA ) +2 (⃗ MG+ ⃗ GB ) + (⃗ MG+ ⃗ GC ) = 4MG2 + GA2 + 2GB2 + GC2 Vì G, A, B, C cố định nên T nhỏ và MG nhỏ ⇔ M là hình chiếu vuông góc G trên mặt phẳng ( α ) Gọi d là đường thẳng qua G và vuông góc với ( α ) ⇒ d: x=2+t y=2 −t z=1+2 t ¿{{ (3) ¿ x=2+t y=2 −t z=1+2t Tọa độ M là nghiệm hệ: x − y+ z=0 ¿{{{ ¿ GA − ⃗ GB − ⃗ GC=0⃗ b Gọi G là điểm thỏa mãn: ⃗ ⇒M ( 53 ; 73 ; 13 ) ⇒ G ( 3; − ; ) 2 MA2 - MB2 - MC2 = (⃗ MG+ ⃗ GA ) − (⃗ MG+ ⃗ GB ) − (⃗ MG+ ⃗ GC ) = -MG2 + GA2 – GB2 – GC2 Vì G, A, B, C cố định nên P lớn và MG nhỏ ⇔ M là hình chiếu vuông góc G lên (P) ⇒ M(2; -2; -2) Ví dụ 2: Trong không gian với hệ Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; 1); B(7; 3; 9); C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – z + = Tìm trên (P) điểm M MA +2 ⃗ MB+⃗ MC| nhỏ cho |⃗ Lời giải: IA+ ⃗ IB+3 ⃗ GC=0⃗ Gọi I là điểm thỏa mãn ⃗ MA+ 2⃗ MB+3 ⃗ MC=¿ Ta có ⃗ ⇒I (236 ; 136 ; 256 )∉ ( P ) ⃗ MI+ ⃗ IA +2 (⃗ MI+ ⃗ IB ) +3 ( ⃗ MI+ ⃗ IC ) MI+ ⃗ IA+ ⃗ IB+3 ⃗ IC=6 ⃗ MI = 6⃗ ⇒|⃗ MA+2 ⃗ MB+3 ⃗ MC|=6 MI MA +2 ⃗ MB+ ⃗ MC| nhỏ và MI nhỏ nhất, suy M Do đó, |⃗ là hình chiếu I trên (P) Dạng 2: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho (MA + MB )min, A |MA − MB| max Cách giải M * Tìm M ∈( P) cho MA + MB P + Nếu A, B khác phía (P) MA + MBmin M, A, B thẳng hàng ⇒ M =AB ∩(P) B + Nếu A, B cùng phía (P) Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P) Có MA + MB = MA1 + MB Do A1 và B khác phía (P) nên (MA + MB) ⇔ (MA1 + MB) B A M P (4) và M, A1, B thẳng hàng ⇒ M = A1 B∩(P) * Tìm M ∈( P) cho |MA − MB| max + Nếu A, B khác phía (P) Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P), ta có: |MA − MB| = |MA − MB|≤ A1 B ⇒|MA −MB| ⇒ max = A1 B M, A1, B thẳng hàng ⇒ M = A1 B∩ ( P ) Từ đó tìm toạ độ điểm M + Nếu A, B cùng phía (P) |MA − MB|≤ AB ⇒|MA −MB| max = AB ⇔ M , A ,B thẳng hàng ⇒ M =AB ∩(P) A M P A1 Ví dụ 1: B Cho A(1; 1; 2); B(2; 1; -3) và mặt phẳng (P): 2x + y -3z – = Tìm điểm M thuộc (P) cho (MA + MB) nhỏ Lời giải: Xét vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) ta có: tA.tB = (2.1 + – 3.2 + 5).(2.2 + – 3.(-3) -5) = -72 < Vậy A, B khác phía (P) AB ( 1; 0; − ) làm véc tơ Đường thẳng AB qua A(1; 1; 2) và nhận ⃗ phương, suy AB có phương trình: ¿ x=1+t y=1 z=2 −5 t ¿ {{ ¿ Gọi N là giao điểm AB và (P), suy tọa độ điểm N là nghiệm hệ: (5) ¿ x + y −3 t − 5=0 x=1+t y=1 z=2 −5 t ⇔ 25 ¿ x= 17 y=1 z=− 17 ¿ { {{ ¿ Ta chứng minh MA + MB nhỏ và M Thật vậy, lấy M ( P) ta có MA + MB AB=NA +NB Dấu “=” xảy và M N 25 N Vậy M 17 ;1 ;− 17 ( ) Ví dụ 2: Cho A(-7; 4; 4); B(-6; 2; 3) và mặt phẳng (P): 3x – y -2t + 19 = Tìm điểm M thuộc (P) cho AM + BM nhỏ A Lời giải: B Xét vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) ta có: tA.tB = 98 > M Suy A, B cùng phía (P) Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P) MA + MB = MB + MA1 A1 Mà MB + MA1 BA1 ⇒ MB + MA1min = BA1 ⇔ B, M, A1 thẳng hàng Hay M =BA ∩ ( P ) Lập phương trình đường thẳng BA 1, giải hệ tìm toạ đội điểm M (− 138 ; ; 2) Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3); B(4; 4;5) Viết phương trình đường thẳng AB, tìm giao điểm P đường thẳng AB và (Oxy) Chứng minh rằng: Với Q ( Oxy ) biểu thức |QA − QB| có giá trị lớn Q P A Lời giải: B P Q (6) Phương trình đường thẳng AB: ¿ x=1+3 t y=2+2 t z=3+2 t ¿{{ ¿ Giao điểm đường thẳng AB với (Oxy) là nghiệm hệ: ∀ Q ∈ ( Oxy ) ¿ x=1+3 t y=2+2 t z=3+2 t z=0 ¿{{{ ¿ ⇒ P − ; −1 ; ( ) biểu thức |QA − QB| có giá trị lớn Q P Thật vậy, ta có tA.tB = > 0, suy A, B cùng phía (Oxy) Với ba điểm Q, A, B ta có: |QA − QB|≤ AB Dấu “=” xảy và A, Q, B thẳng hàng ⇒Q=AB ∩ ( P ) ⇒Q≡ P Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho A(-3; 5; -5); B(5; -3; 7) và mặt phẳng (P): x + y + z = Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 nhỏ Lời giải: Gọi H là trung điểm AB, suy H có toạ độ là H(1; 1; 1) 2 Tam giác MAB có trung tuyến MH nên MA + MB = 2MH + AB 2 Do đó MA2 + MB2 ⇔ MH2 ⇔MH ⇔ MH⊥(P)⇔ M là hình chiếu H trên (P) P(P) có véc tơ pháp tuyến là ⃗n (1 ; 1; 1) và O ( P) OH=(1 ;1 ; 1)⇒ M ≡O Mà ⃗ Vậy M(0;0;0) thì MA2 + MB2 nhỏ nhất, đó MA2 + MB2 = OA2 + OB2 = 142 Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5); B(1; 4; 3); C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M là điểm thay đổi trên (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA2 + MB2 + MC2 Trong không gian Oxyz cho A(1; 2; 3); B(3; 4; -1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + 2z + = Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho : MA2 + MB2 nhỏ (7) Trong không gian Oxyz cho A(-1; 3; -2); (0; 1; 0); C(1; 0; -2) Tìm điểm M trên mP(P): x + y + z + = cho tổng MA + 2MB2 + 3MC2 có giá trị nhỏ Trong không gian Oxyz cho A(-1; 3; -2); B(-3; 7; -18) và mp(P): 2x – y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ Cho A(1; 2; 2); B(5; 4; 4) và mp(P): 2x + y – z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho MA2 + MB2 nhỏ Dạng 3: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Tìm điểm M trên (d) cho MA + MB nhỏ nhất, |MA − MB| lớn Cách giải: Tìm điểm M trên (d) cho MA + MB nhỏ Bước 1: Tìm toạ độ các điểm A1, B1 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc A, B lên (d) Bước 2: Tính các độ dài AA1, BB1 từ đó tìm điểm N d chia véc tơ ⃗ A B1 AA AA A B1 theo tỷ số − theo tỷ số − BB ( Gọi N là điểm chia ⃗ BBB ) ⃗ NA 1=− AA ⃗ NB1 BB1 A Bước 3: Chứng minh (MA + MB) và M trùng với N A1 Thật vậy: Gọi A2 là điểm thuộc mặt phẳng (B; (d)), A2 A2, B khác phía (d) và thoả mãn: ¿ AA 1= A A2 A A2 ⊥ d AA A1 A − A A2 ⇒ = ⇒⃗ NA 1= ⃗ NB1 BB B1 B BB1 ¿{ ¿ A A NA A A ⇒ NA 1= NB1 ⇒ = ⇒ BB1 NB1 BB (d) N B A2, N, B thẳng hàng ⇒ MA +MB=MA2 +MB ≥ A B=NA+ NB Dấu “=” xảy ⇔ M ≡ N Ví dụ: Cho A(1; 1; 0); B(3; -1; 4) và đường thẳng (d): x +1 y − z +2 = = −1 (8) Tìm điểm M trên (d) cho MA + MB nhỏ Lời giải: Đường thẳng (d) có phương trình tham số là: x = -1 + t; y = – t; z = -2 + 2t, ⃗a =( 1; − 1; ) +, Gọi A1 là hình chiếu vuông góc A lên d, suy A thuộc d ⇒ A1 ∈(d)⇒ A1 ( −1+t ; −t ;− 2+2 t ) AA1 ⊥ d ⇔ ⃗ AA ⃗a=0 ⇔ ( t −2 ) −(−t )+(2 t −2)=0 ⇔ t =1 Vì ⃗ AA 1=( −1 ; −1 ; ) ⇒ AA 1=√ Vậy A1(0; 0; 0) và ⃗ +, Gọi B1 là hình chiếu vuông góc B lên d ⇒ B∈ d ⇒ B 1( −1+t ; −t ; − 2+ 2t )⇒ BB1 (t − ; − t+2 ; t −6) BB1 ⊥ d ⇔ ⃗ BB1 ⊥ a⃗ ⇔ ⃗ BB1 ⃗a ⇔ ⃗ BB1 ⃗a=0 ⇔ (t − ) 1−(− t+2) 1+2(2 t −6)=0 ⇔t=3 Vì ⃗ ⇒ BB 1=√ − AA A B1 theo tỉ số Vậy, điểm N d chia véc tơ ⃗ = -1 BB A2 ⇔⃗ NA1=− ⃗ NB1 ⇒ N (1 ; −1 ; 2) +, Ta chứng minh (MA + MB) ⇔ M ≡ N A Thật vậy, gọi A2 là điểm thuộc mặt phẳng xác dịnh bới B và d (A2 và B khác phía d) A thoả mãn AA1 = A2A1; A A ⊥ d ⇒ AA A1 A − A A2 = ⇒⃗ NA 1= ⃗ NB1 ⇒ A2 , N , B BB1 BB1 BB1 M N B d B thẳng hàng Vậy MA + MB = MA2 + MB A B=MA+ MB Dấu “=” xảy ⇔ M ≡ N ⇒ M (1; − 1; 2) Ví dụ: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 0); B(3; 3; 6) và đường thẳng Δ: x=−1+2 t y=1 −t z=2 t ¿{{ Một điểm M that đổi trên Δ Xác định vị trí M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Lời giải: 2PABM = AB + MA + MB ⇒ P ⇔MA +MB Δ có véc tơ phương: ⃗u=(2 ; −1 ; 2) +, A1 là hình chiếu A trên Δ ⇒ A1 (− 1+ 2t ; −t ; 2t ) (9) ⇒⃗ AA (2 t −2 ; −t − ; 2t) AA ⊥ u⃗ ⇔ ⃗ AA ⃗u=0 ⇔ 2(2t −2)− 1(−t − 4)+ t=0 AA1 Δ ⇒ ⃗ ⇔ t=0 ⇔ t=0 ⇒ A (−1 ; ; 0)⇒ ⃗ AA 1=(−2 ; − ; 0)⇒ AA 1=2 √5 +, B1 là hình chiếu B trên Δ ⇒ B1 (−1+2 t ; 1− t ; 2t ) ⃗ BB1=(2 t − ; −t − 2; t −6) BB1 ⊥ u⃗ ⇔ ⃗ BB1 u⃗ =0 BB1 Δ nên ⃗ ⇔ ( t − ) 2+ ( −t − ) (−1)+(2 t −6).2=0 ⇔ t 1=18 ⇔ t 1=2 ⇒B (3 ; −1; 4) ⇒⃗ BB1 =(0 ; − ; − 2) ⇒BB 1=2 √ ⇒ AA =1 BB AA =− (N nằm A1 và B1) A B1 theo tỉ số +, Gọi N là điểm chia ⃗ BB ⇒⃗ NA 1=− ⃗ NB1 ⇒ N (1 ; ; 2) (N là trung điểm A1B1) +, Ta chứng minh MA + MB ⇔ M ≡ N Thật vậy, gọi A2 là điểm thuộc mặt phẳng xác định (B; ( Δ )), A2 và B khác phía Δ và thoả mãn ¿ A A 2= AA A A2 ⊥ Δ ¿{ ¿ AA A1 A A A ⇒ = ⇒⃗ NA 1=− ⃗ NB1 BB BB1 BB1 ⇒ B A A N M B1 A2 A2, N, B thẳng hàng Vậy MA + MB + MA2 + MB A B=NA +NB Dấu “=” xảy ⇔ M ≡ N ⇒ M (1; 2) Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz cho A(2; 0; 3) ; B(2; -2; -3) Δ : x −2 y +1 z = = Chứng minh A, B và ( Δ ) cùng nằm mặt phẳng Tìm điểm M thuộc đường thẳng Δ cho MA4 + MB4 đạt giá trị nhỏ Lời giải: ¿ x=2 y =t Phương trình đường thẳng AB: z=3+3 t ¿{{ ¿ (10) Phương trình Δ: x=2+ t ' y=− 1+ 2t ' z =3 t ' ¿{{ Gọi I là giao điểm AB và Δ ta có: ¿ 2=2+t ' t=−1+2 t ' 3+3 t=3 t ' ¿{{ ¿ ⇒ t=−1 t ' =0 ) ⇒ I (2; − 1; 0) ¿{ Vậy AB và ( Δ ) cắt I nên A, B và Δ đồng phẳng IA=(0 ; −1 ;− 3); ⃗ IB=(0; − 1; − 3) Có: ⃗ ⇒⃗ IA=− ⃗ IB⇒ I là trung điểm AB , IA + IB = AB MA 2+ MB2 ¿2 ≥ Khi đó MA4 + MB4 1 ( MA+MB )2 2 ¿ [ ] IA+ IB¿ 1 AB4 = ¿ 8 Suy MA4 MB4 nhỏ M I( 2; − 1; 0) Bài toán 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng : Cho hai điểm phân biệt A và B Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa B và cách A khoảng lớn Cách giải: Gọi H là hình chiếu A lên (P), đó tam giác ABH vuông H d ( A ; ( P ) )=AH ≤ AB ⇒d ( A; ( P ) ) max = AB ⇔ H ≡ B Khi đó (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AB Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm B(1; 2; -1) và cách gốc toạ độ khoảng lớn Lời giải: Gọi H là hình chiếu A trên mp(P) cần tìm, đó OH ≤ OB d ( O; ( P ) ) =OH ≤ OB ⇒d ( O; ( P ) ) max = OB OB=(1; ; −1) làm véc tơ pháp tuyến Vậy mp(P) qua B(1; 2; -1) và nhận ⃗ Vậy mp(P) có phương trình: 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) = (11) ⇔ x +2 y − z −6=0 Dạng 2: Cho điểm A và đường thẳng Δ không qua A Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ cho khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn Cách giải: A Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên mp(P), K là hình chiếu vuông góc A trên đường thẳng Δ K P H d ( A ; ( P ) )=AH ≤ AK ⇒ d ( A; ( P ) ) max = AK ⇔ H ≡ K Vậy mp(P) cần tìm là mặt phẳng chứa Δ và vuông góc với AK Hay (P) chứa Δ và vuông góc với mp(AK; Δ ) Ví dụ: Cho ba điểm A(1; 1; 1); B(2; 1; 0); C(2; 0; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua hai điểm B, C và cách điểm A khoảng lớn Lời giải: Mặt phẳng cần tìm chứa BC và vuông góc với mp(ABC) Ta có ⃗ BC−( 0; − 1; 2), ⃗ AB=(1 ; ; −1) Toạ độ véc tơ pháp tuyến mp(ABC) là ⃗ n(ABC) =[⃗ BC , ⃗ AB ] =(!;2 ; 1) Suy mp( α ) có véc tơ pháp tuyến là nα = [ ⃗ ⃗ BC ,⃗ n(ABC) ]=(−5 ; ;1) Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) là -5(x – 2) + 2(y – 1) + Z = hay -5x + 2y + z + = Dạng : Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A , song song với d và khoảng cách từ d tới (P) lớn Cách giải : Bước : Gọi I là hình chiếu vuông góc A trên d Tìm tọa độ điểm I Bước : Gọi H là hình chiếu vuông góc I trên (P) Ta có IH IA Suy AI làm vec tơ pháp IHmax = IA và H A Vậy (P) qua A và nhận ⃗ tuyến Bước : Viét phương trình mặt phẳng (P) Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ O xyz choA(10;2;-1) và đường thẳng d có phương trình : x −1 y z −1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A , song song với d và khoảng cách từ d tới (P) lớn Lời giải: Áp dụng phương pháp giải trên ta tìm phương trình mặt phẳng (P) là : 7x + y -5z -77 = (12) Dạng 4: Cho hai đường thẳng Δ 1, Δ phân biệt và không song song với Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa Δ và tạo với Δ góc lớn Lời giải: Vẽ đường thẳng Δ song song với Δ và cắt Δ K Gọi A là điểm cố định trên Δ và H là hình chiếu A trên mp( α ) Ta có góc Δ và ( α ) chính là góc AKH Kẻ AT Δ ,(T ∈ Δ 1) HK KT Khi đó tam giác HKT vuông T, nên cos AKH = AK ≥ AK Vậy góc AKH lớn và HK = KT hay H ≡ T Góc lớn đó chính góc AKT = ( Δ 1, Δ 2) (không đổi) uΔ , ⃗ uΔ ] Khi đó mặt phẳng ( α ) cần tìm có véc tơ phơng là [ ⃗ nα =[ ⃗ uΔ , [⃗ uΔ , ⃗ uΔ ] ] Do đó véc tơ pháp tuyến mp( α ) là ⃗ 1 x y−1 x y z Ví dụ: Cho hai đường thẳng Δ : = ; Δ : = = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa Δ và tạo với Δ góc lớn Lời giải: Ta tháy hai đường thẳng trên phân biệt và không song song với Theo kết bài toán trên thì u Δ =(1 ; ; 2),⃗ ⃗ u Δ =(1 ; 1; 1) , suy uΔ , ⃗ u Δ ]=(−1 ;1 ; 0) [⃗ nα =[ ⃗ uΔ , [⃗ uΔ , ⃗ u Δ ] ]=(−2 ; −2 ; 2) Do đó véc tơ pháp tuyến mp( α ) là ⃗ 1 Vậy phương trình mp( α ) là -2x -2(y - 1) + 2z = hay x + y - z - = Dạng : Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ Cách giải: Bước 1: Gọi M(x0; y0; x0) thuộc (d); mặt phẳng (P) chứa (d) nên điểm M thuộc (P) Phương trình mp(P): A(x – x0) + B(y – y0) + c(z – z0) = (A2 + B2 + C2 ) n p=( A ; B; C ) Bước 2: mp(P) có véc tơ pháp tuyến: ⃗ nQ =( A '; B '; C ') (Q) có véc tơ pháp tuyến: ⃗ |AA '+ BB ' +CC '| Gọi α là góc (P) và (Q) Ta có cos α = 2 2 2 √A +B +C √ A ' + B ' +C ' nP ⃗ ud =0 biểu thị liên quan A, B, C Bước 3: (P) chứa (d) nên ⃗ Tìm giá trị lớn cos α (13) ¿ x=−t y=− 1+ 2t Ví dụ: Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng (d): z=2+t ¿{{ ¿ và tạo với mp(Q): 2x – y – 2z – = góc nhỏ Hướng dẫn giải: |3 B| Áp dụng kết bài toán trên tìm cos α = √ B +4 BC+2 C2 = C +1 + B √( ≤ ) √3 Suy cos α lớn C ⇔ =−1 √3 B ⇔ C=− B Vậy mp(P) có phương trình x + y – z + = Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ Oxyz cho điểm A(2; 5; 3), đường thẳng d: x −1 y z −2 = = Viết phương trình mp(P) chứa (d) cho khoảng cách từ A 2 đến (P) lớn Cho d1: x −1 y − z −3 = = 1 −1 x y −1 z+ và d2: − = = −1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 đồng thời tạo với d2 góc nhỏ Trong không gian với hệ Oxyz cho d: x +1 y − z +1 = = Viết phương 1 −1 trình mp(P) chứa d và tạo với mp(Oxy) góc nhỏ Bài toán : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Cho mặt phẳng ( α ) và điểm A thuộc ( α ), điểm B khác A Tìm đường thẳng Δ nằm ( α ) qua A và cách B khoảng nhỏ Cách giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc B trên Δ ,ta thấy d(B; Δ ) = BH AB B Vậy khoảng cách đó lớn và H ≡ A Khi đó Δ là đường thẳng qua A có véc tơ u Δ=[ ⃗ na,⃗ AB ] Gọi T là hình chiếu phương là ⃗ P H A H B trên ( α ) , ta thấy BH ≥ BT Vậy khoảng cách BH nhỏ BT và H ≡ T hay đường thẳng Δ qua A và T để viết phơng trình đường thẳng Δ ta có hai cách : (14) +, Tìm hình chiếu vuông góc T B trên Δ , từ đó viết phương trình đường thẳng Δ qua A và T u Δ =[ ⃗ nα , [⃗ nα , ⃗ AB ] ] +, Tìm toạ độ véc tơ phương đường thẳng Δ : ⃗ Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đường thẳng Δ ': x=t y=1+t z=1+2 t (t ∈ R) ¿{{ Δ qua A(1;1;1) vuông góc với và cách điểm B(2;0;1) khoảng lớn Lời giải: Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với Δ ’ Khi đó đường thẳng Δ nằm mặt phẳng ( α ) qua A và cách B khoảng lớn AB=(1 ; −1 ; 0), ⃗ n α =(1 ; 1; 2),⃗ u Δ =[ ⃗ nα , ⃗ AB ] =( 2; ; −2 ) Theo bài toán trên, ta có ⃗ Vậy phương trình đường thẳng Δ ¿ x=1+t y =1+ t là z=1 −t (t ∈ R) ¿{{ ¿ Dạng 2: Cho mặt phẳng ( α ) và điểm A thuộc ( α ) , đường thẳng d không song song hay nằm trên ( α ) Tìm đường thẳng Δ nằm ( α ) qua A và tạo với đường thẳng d góc bé nhất, lớn Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với d Trên đường thẳng này lấy điểm B khác A cố định Hình chiếu vuông góc B trên Δ và ( α ) theo thứ tự là H và K BH BK Ta có: (d, Δ ) = BAH; sin(d, Δ ) = AB ≥ AB Vậy (d, Δ ) nhỏ và H ≡ K , hay Δ chính là đường thẳng AK A d K P A H u Δ =[ ⃗ nα , [ ⃗ nα , u⃗d ] ] , Ta thấy véc tơ phương Δ là ⃗ còn đường thẳng Δ tạo với d góc lớn 900 nα , ⃗ ud ] và có véc tơ phương là u⃗Δ=[ ⃗ Dạng : Cho mặt phẳng ( α ) và điểm A thuộc ( α ) ,đường thẳng d không song song với ( α ) , không nằm trên ( α ) , không qua A Tìm đường thẳng (15) nằm mặt phẳng ( α ) qua A cho khoảng cách Δ và đường thẳng d là lớn Cách giải: Gọi d’ là đường thẳng qua A và song song với d và B là giao d điểm d d’ với mp ( α ) Gọi H là hình chiếu vuông góc B trên H C B mặt phẳng (d’, Δ ) Khoảng cách d và Δ BH P A Gọi C là hình chiếu vuông góc B trên d’ Ta thấy BH ≤ BC ,nên BH lớn và H ≡ C Δ u Δ =[ ⃗ nα ,⃗ BC ] Có thể thay Khi đó đường thẳng Δ có véc tơ phương ⃗ BC ⃗ AT , đó T là hình chiếu vuông góc A trên d véc tơ ⃗ Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ Oxyz viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 1; 2) và vuông góc với d2: α x −1 y − z = = 2 đồng thời tạo với trục Oz góc nhỏ Trong không gian với hệ Oxyz, cho d1: x −1 y − z = = 1 và hai điểm A(1; 1; 0); B(2; 1; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với d1 cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d2 lớn Phần : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Kết : Khi chưa thực đề tài này tôi cảm thấy học sinh hay vướng mắc giải các bài toán cực trị hình học không gian Sau nghiên cứu và thực giảng dạy theo đề tài này đã gây hứng thú học tập cho học sinh và giúp học sinh giải nhiều bài khó đây là dạng toán thường xuất các đề thi đại học ,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp Giải dạng bài tập này giúp học sinh rèn luyện khả tư cho học sinh ,phát huy tỉnh tích cực sáng tạo học toán và nữagiúp học sinh hệ thống kiến thức và phương pháp giải để học sinh tự tin bước vào các kỳ thi Thực tế thực đề tài này chất lượng học sinh nâng lên rõ rệt Lớp Số Điểm 8-10 Điểm 6.5 Điểm đến Điểm đến Điểm (16) HS đến 6.5 dưới 12 B 45 13.3 13 28.9 22 48.9 9.8 0 12E 45 17.8 15 33.3 19 42.2 6.7 0 Bài học kinh nghiệm : Việc lựa chọn phương pháp , hệ thống kiến thức và rèn cho học sinh khả tư là cần thiết Trong thực tế nhiều học sinh tiếp thu phương pháp nhanh việc trình bày chưa chặt chẽ vì giáo viên cần sửa cho học sinh cách tỉ mỉ Trên đây là mộy số kinh nghiệm rút từ thực tế giảng dạy môn toán lớp 12 năm học 2012-2013 Trong khuôn khổ có hạn đề tài không tránh khỏi thiếu sót , mong các cấp lãnh đạo các bạn đồng nghiệp trao đổi góp ý để đề tài đầy đủ hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán trường THPT nói chung ,trường THPT Ba Đình nói riêng XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN mình viết, không chép nội dung người khác Mai Thị Mơ (17)