Các vấn đề đã được chúng tôi giải quyết tương đối trọn vẹn là cơ sở lân cận, điều kiện cần và đủ để một không gian là mêtric hóa được, điều kiện cần và đủ để một không gian là chuẩn hóa [r]
(1)Topological Vector Spaces
TRAN QUAN KY
Department of Mathematics
Hue University’s College of Education E-mail address: quankysp (at) gmail
(2)Mục lục Lời mở đầu Tập lồi, tập cân, tập hút không gian vectơ
2 Không gian vectơ tôpô
3 Cơ sở lân cận
4 Tính chất tách 12
5 Khơng gian mêtric hóa 15
6 Họ nửa chuẩn tính chất lồi địa phương 18
7 Bài tập 28
(3)Lời mở đầu
Một cách đơn giản để đưa tôpô vào không gian vectơ cho tơpơ tương thích với cấu trúc đại số cho trước chuẩn Tuy nhiên, lớp không gian chưa đủ rộng để nghiên cứu vấn đề cụ thể giải tích, nhiều khơng gian vectơ quan trọng nảy sinh mà tôpô tự nhiên khơng thể cho chuẩn Tài liệu khảo sát lớp khơng gian đó, chúng tổng qt không gian định chuẩn gọi khơng gian vectơ tơpơ
Mở đầu, tài liệu trình bày số kết cần thiết tập lồi, tập cân tập hút, công cụ quan trọng việc khảo sát tôpô không gian vectơ tôpô Phần nội dung tài liệu khảo sát sở lân cận tính chất tách khơng gian vectơ tơpơ, khơng gian mêtric hóa được, khơng gian chuẩn hóa khơng gian lồi địa phương
Các vấn đề giải tương đối trọn vẹn sở lân cận, điều kiện cần đủ để khơng gian mêtric hóa được, điều kiện cần đủ để không gian chuẩn hóa được, tính chất tách khơng gian vectơ tôpô, mối liên hệ họ nửa chuẩn tính chất lồi địa phương Các vấn đề lý thuyết với mức trừu tượng cao minh họa rõ qua nhiều ví dụ tài liệu
Tuy nhiên, nhiều nguyên nhân khác nhau, chưa trình bày vấn đề: khơng gian thương, không gian hữu hạn chiều, tập bị chặn tập compact, ánh xạ tuyến tính phiếm hàm tuyến tính khơng gian vectơ tơpơ,
Tuy có nhiều cố gắng tài liệu tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn trình bày Chúng tơi mong có góp ý bạn đọc
Xin chân thành cảm ơn
(4)1
Tập lồi, tập cân, tập hút không gian vectơ
Trong mục này, ta dùng kí hiệu X để khơng gian vectơ trườngKĐịnh nghĩa 1.1. ChoA⊂X Khi đó
(a)Ađược gọi làtập lồinếu với mỗit∈[0,1], tA+ (1−t)A⊂A.
(b)Ađược gọi làtập cânnếu với mỗiα∈K mà|α| ≤1thìαA⊂A.
(c)Ađược gọi làtập hút với mỗix∈X, tồn tạit >0sao cho nếu|s|> t
thìx∈sA.
(d)Ađược gọi làtập tuyệt đối lồinếu Avừa tập lồi vừa tập cân
Nhận xét 1.2. TrongR2, ta tìm thấy tập lồi mà không cân tập
cân mà không lồi (?)
Định lý 1.3. ChoA, B⊂X,x∈X vàα∈K Khi đó
(a) NếuA là tập lồi thìαA, x+Alà tập lồi Hơn nữa, nếu B là tập lồi thìA+Blà tập lồi.
(b) NếuAlà tập cân thìαAlà tập cân Hơn nữa, nếuBlà tập cân thìA+B là tập cân.
(c) NếuAlà tập hút thì0∈A Hơn nữa, nếu(rn)n là dãy số khơng bị chặn thì
X = ∞ [
n=1
rnA.
(d) Nếu A là tập cân với mọi α ∈ K mà |α| = thì αA = A, với mọi
α, β∈Kmà|α| ≤ |β|thìαA⊂βA.
Chứng minh. Phép chứng minh (a) (b) tầm thường Ở ta trình bày chứng minh (c) (d)
(5)mà |s| > t thì x ∈ sA Vì (r
n)n khơng bị chặn nên có n0 để |rn0| > t Ta có
x∈rn
0V Từ ta đượcX ⊂ ∞ S
n=1
rnV Ta suy 0∈A Bao hàm thức
ngược lại hiển nhiên
(d) Giả sửAlà tập cân và|α|= Khi đó|α|=|α−1|= 1≤1nênαA⊂Avà α−1A⊂A Do đóαA⊂AvàA⊂αA VậyαA=A.
Bây giả sử Alà tập cân và|α| ≤β Nếu β= 0 thìα=β= 0nên hiển
nhiênαA=βA Nếu β,0thì
α β
≤1nên α
βA⊂A, tức làαA⊂βA
Định lý 1.4. Giả sử (Ai)i∈I là họ khác rỗng tập của X và
A= T
i∈I
Ai Khi đó
(a) NếuAi là tập lồi với mọii∈I thìAlà tập lồi. (b) NếuAi là tập cân với mọii∈I thìAlà tập cân. Chứng minh.
(a) Lấy tùy ý x, y∈A vàt∈[0,1] Khi với mỗii ∈I,x, y∈A
i doAi
lồi nêntx+ (1−t)y∈Ai Suy ratx+ (1−t)y∈A Vậy Alà tập lồi.
(b) Lấy tùy ýα∈K,|α| ≤1 Vì mỗiAi cân nênαAi⊂Ai
αA=\
i∈I
αAi⊂
\
i∈I
Ai=A.
Vậy Alà tập cân
2
Không gian vectơ tôpô
Định nghĩa 2.1. Cho X không gian vectơ τ tôpô X (X, τ) gọi không gian vectơ tôpô điều kiện sau thỏa mãn:
(i)(X, τ)là không gianT1,
(ii) Phép cộng hai vectơ: X×X −→X, (x, y)7−→ x+y và phép nhân vectơ
với vơ hướng:K×X−→X,(α, x)7−→αxlà liên tục.
(6)V2của ysao choV1+V2 ⊂V Phép nhân vectơ với vô hướng liên tục nghĩa
là với x ∈X, α ∈K và V là lân cận tuỳ ý của αx, tồn tại r > 0và lân
cậnU củaxsao cho với β∈K mà|β−α|< rthìβU ⊂V.
Nhận xét 2.2. Một tơpơ trênX thỏa điều kiện (ii) gọi tương thích với cấu trúc đại số X Như vậy, (X, τ) không gian vectơ tôpô τ
là tương thích với cấu trúc đại số X τ thỏa tiên đề tách T1 Thật ra, nhiều tài liệu, định nghĩa không gian vectơ tôpô, người ta khơng địi hỏi (X, τ) khơng gian T1 Tuy nhiên, để nhận kết quan trọng thú vị, người ta cần đến giả thiết Vì vậy, chúng tơi đưa vào tiên đề Cách trình bày theo quan điểm Rudin
Nhận xét 2.3. Cho(X, τ) không gian vectơ tôpô
1 Lấy tuỳ ý a ∈ X, λ ∈ K\ {0} Khi ta có ánh xạ Ta : X → X
Mλ:X→X được xác định sau:
Ta(x) =a+x, Mλ(x) =λx, x∈X.
Ta Mλ gọi phép tịnh tiến (theo vectơ a) phép vị tự
(theo tỷ sốλ).Ta vàMλ phép đồng phôi từXlênX Thật vậy, dễ thấy
rằngTa vàMλ song ánh, có ánh xạ ngược làT−a vàM1/λ Từ tiên đề thứ định nghĩa không gian vectơ tôpô ta suy ánh xạ ánh xạ liên tục VậyTa vàMλ phép đồng phơi từX lênX
Vì điều này, ta nói rằngτlà bất biến phép tịnh tiến phép vị tự Từ ta suy rằng:
(i) Với mỗia∈X,V là lân cận của0khi khiV+alà lân cận
củaa
(ii) Với mỗiα ∈K\ {0},V lân cận của0khi αV
một lân cận của0
Như vậy, cấu trúc tôpô không gian vectơ tơpơ hồn tồn xác định tập hợp tất lân cận của0, hay gọn hơn, sở lân cận Khi biết sở lân cận sở lân cận phần tử
(7)này, khơng nói thêm, cụm từ "cơ sở lân cận không gian vectơ tôpô
X" dùng để sở lân cận của0∈X.
Định nghĩa 2.4. ChoX không gian vectơ tôpô Tập hợpA⊂X được
gọi làtập bị chặnnếu với lân cậnV của0, tồn tạit >0sao choA⊂sV
với mọis∈Kmà |s|> t
Định nghĩa 2.5. ChoXlà không gian vectơ tơpơ vớiB là sở lân cận.
Khi B được gọi cân phần tử cân gọi lồi
nếu phần tử lồi Hơn nữa, phần tử củaBlà lồi cân
thì ta nóiB là sở lân cận lồi cân.
Định nghĩa 2.6. Cho(X, τ)là không gian vectơ tôpô
(a)X gọi làlồi địa phươngnếu tồn sở lân cận lồi (b)X gọi làbị chặn địa phươngnếu 0∈X có lân cận bị chặn.
(c) X gọi compact địa phương ∈ X có lân cận mà bao
đóng compact
(d)Xđược gọi làmêtric hóa đượcnếuτ sinh metric xác định trênX
(e)X gọi mộtF - không gian nếuτđược sinh mêtric bất biến qua phép tịnh tiến đầy đủ
(f) X gọi mộtkhông gian Frechet X F - không gian lồi địa phương
(g) X gọi chuẩn hoá được tồn chuẩn X cho τ
trùng với tôpô sinh chuẩn
Ví dụ 1. Trước hết, khơng gian định chuẩn(X,||.||)là không gian vectơ
tôpô Thật vậy, không gian định chuẩn rõ ràng không gian T1 từ tính chất chuẩn suy phép cộng hai vectơ phép nhân vectơ với vô hướng liên tục với tôpô xác định chuẩn Họ hình cầu mở{B(0,1
n)|n∈
N} sở lân cận Mỗi hình cầu mở tập lồi Do
(8)Ví dụ2. Với p∈(0,1), xét lp={x= (x
n)n∈R ∞|
∞ X
n=1
|x
n|p<+∞}.
Khi đólp khơng gian vectơ thực Ta trang bị cholp mêtricd xác định
d(x, y) = ∞ X
n=1
|x
n−yn|p, x= (xn)n, y= (yn)n∈lp.
Với tôpô sinh mêtric này,lplà không gian vectơ tôpô không gian lồi địa phương Do đólp khơng gian mêtric hóa khơng phải khơng gian chuẩn hóa (xem chi tiết [KH2], trang 16)
3
Cơ sở lân cận
Định lý 3.1. ChoX là khơng gian vectơ tơpơ Khi đó (a) Mỗi lân cận của0là tập hút.
(b) Mỗi lân cận của0chứa lân cận mở, cân của0.
(c) Mỗi lân cận V của chứa lân cận mở, cân W của thoả mãn W +W ⊂V
(d) Mỗi lân cận lồi của0chứa lân cận mở, cân, lồi của 0. Chứng minh.
(a) Lấy tuỳ ýx∈X Khi ánh xạ f(λ) =λx liên tục tạiλ= 0 nên với lân
cận V cho trước 0, tồn tạir > cho |λ| < r thì λx ∈V, tức là
nếu|s|> r
x
s ∈V, suy rax∈sV Vậy V tập hút
(b) Giả sửV lân cận của0 Khi tồn tạir >0và lân cận mở U
của0sao choαU ⊂V với mọiα∈Kmà|α|< r ĐặtW = S
|α|<r
αU Rõ ràng
W lân cận mở 0,W ⊂V Hơn nữa, với mỗiλ∈K và |λ| ≤1ta
có
λW =λ [
|α|<r
αU= [
|α|<r
(αλ)U ⊂ [
|α|<r
(9)nênW tập cân Đây lân cận cân mở của0chứa trongV (c) Giả sửV lân cận của0 Khi vì0 = 0+0và phép cộng hai vectơ liên tục nên tồn lân cận 0là V1 V2 cho V1+V2 ⊂ V Đặt U =V1∩V
2 U lân cận của0 Theo (b) thìU chứa lân cận mở, cânW của0 Do ta có
W +W ⊂U+U ⊂V1+V2⊂V
VậyW lân cận mở, cân của0chứa trongV thỏa mãnW+W ⊂V.
(d) Giả sửV lân cận lồi của0 ĐặtU = T |α|=1
αV Dễ thấyUlà tập lồi Theo (b),V chứa lân cận cânW Với|α|= 1, doW =αW ⊂αU
nênW ⊂V VậyU là lân cận của0 Ta chứng minhU là tập cân.
Thật vậy, với mọiλ∈Kmà|λ| ≤1ta cóλ=rµvới0≤r≤1và|µ|= 1.Để
ý rằng, vìαV tập lồi chứa0nênr(αV)⊂αV, từ ta có λU =r(µU) = \
|α|=1
r(µα)V = \ |α|=1
rαV ⊂ \
|α|=1
αV =U.
Vậy U lân cận cân, lồi của0chứa trongV Với định lý 4.4 ta thấy intU lân cận mở, cân, lồi của0
Từ định lý ta có hệ sau:
Hệ 3.2. ChoXlà không gian vectơ tôpô TậpA⊂Xlà tập bị chặn khi với lân cậnV của0, tồn tạit >0sao cho A⊂tV.
Chứng minh.
(⇒) Hiển nhiên, định nghĩa tập bị chặn không gian vectơ tôpô.
(⇐) Lấy tùy ýV là lân cận của 0 Từ định lý 3.1 ta suy ra V chứa lân
cận cânU của0 Theo giả thiết, tồn tạit >0sao choA⊂sU với mọis∈K
mà|s|> t VìU là tập cân nên nếu|s|> tthìtU ⊂sU, ta có A⊂tU ⊂sU ⊂sV
(10)Hệ 3.3. ChoX là khơng gian vectơ tơpơ Khi đó (a)X có sở lân cận mở, cân.
(b) Nếu X là khơng gian lồi địa phương thìX có sở lân cận mở, lồi, cân.
Chứng minh.
(a) Ta biết họ tất lân cận của0là sở lân cận củaX Theo định lý 3.1 lân cận của0lại chứa lân cận mở, cân của0 Vì vậy, họ tất lân cận mở, cân của0là sở lân cận củaX
(b) NếuX không gian lồi địa phương thìX có sở lân cận lồi Theo định lý (3.1) lân cận lồi của0lại chứa lân cận mở, lồi, cân Vì vậy, họ tất lân cận mở, lồi, cân của0là sở lân cận củaX
Hệ 3.4. Cho X là không gian vectơ tôpô và V là lân cận của
0 Khi tồn lân cận mở, cânU của 0sao cho U+U+U+U ⊂V
Chứng minh. VìV lân cận của0nên theo định lý (3.1) tồn lân cận cân
W 0sao cho W +W ⊂V Cũng do W là lân cận của0nên tồn lân
cận mở, cânU choU+U ⊂W Do đó U+U+U+U ⊂W +W ⊂V
Vậy ta có lân cậnU phải tìm
Để ý chứng minh trên, 0∈ U nên từ bao hàm thức U +U + U+U ⊂V ta suy raU+U+U ⊂V Từ ta thấy rằng, mở rộng hệ
quả sau:
Hệ 3.5. Cho X là không gian vectơ tôpô và V là lân cận của
0 Khi với mỗin∈N, tồn lân cận mở, cânU của0sao cho
n
X
i=1
(11)Bây giờ, giả sử B là họ khác rỗng gồm tập của X chứa 0.
Vấn đề đặt làB phải thỏa mãn điều kiện để xác định tôpôτ
trênX cho(X, τ)là không gian vectơ tôpô Định lý sau giải vấn đề Đồng thời, định lý đưa phương pháp để trang bị tôpô cho không gian vectơ
Định lý 3.6. Trong không gian vectơ tôpôXtồn sở lân cậnB của0sao cho:
(a) Với mỗix,0, tồn tạiV ∈ Bsao chox<V;
(b) MỗiV ∈ Blà tập cân, hút;
(c) Với mỗiV ∈ B, tồn tạiW ∈ Bsao cho W+W ⊂V;
(d) Với cặpV1, V2∈ B, tồn tạiV ∈ Bsao cho V ⊂V1∩V2.
Ngược lại, nếu X là không gian vectơ vàB là họ khác rỗng tập con củaX thỏa mãn điều kiện (a) - (d) tồn tôpôτ trên X sao cho(X, τ)là không gian vectơ tôpô và Blà sở lân cận của0∈X. Chứng minh. Chiều thuận hiển nhiên, sau ta chứng minh chiều ngược lại
Với mỗix∈X, gọiB(x) ={x+V|V ∈ B} Để chứng minh họB(x)thỏa
mãn tiên đề sở lân cận tôpô ta cần chứng minh
x= Hơn nữa, ta cần chứng minh với mọiV0 ∈ B, tồn tạiW
0 ∈ B cho với mỗiy∈W0, có Vy ∈ B(y)đểVy ⊂V0.
Thật vậy, vìV0∈ Bnên theo (c), tồn W0∈ B choW0+W0⊂V0 Lúc với mỗiy∈W0, tồn tạiV
y =y+W0∈ B(y)đểVy ⊂W0+W0⊂V0 Vậy tồn tôpôτtrênX choB(x)là sở lân cận mỗix∈X.Do
cách xác định B(x), x∈ X, ta suy ra τ bất biến phép tịnh tiến Nói
cách khác, phép tịnh tiến phép đồng phôi không gian tôpô(X, τ).
Từ (a) ta suy ra(X, τ) không gianT1 Công việc lại chứng minh phép cộng vectơ nhân vectơ với vô hướng liên tục
(12)Khi đóx+W lân cận củax,y+W lân cận củay (x+W) + (y+W) =x+y+W+W ⊂x+y+V
Từ suy phép cộng vectơ liên tục
Lấy tùy ý x ∈ X, α ∈ K V ∈ B Theo (c), tồn W ⊂ B cho
W +W ⊂W Vì W là tập hút nên tồn tạit >0sao chox∈tW Vớiβ∈K,
y∈X sao cho
|β−α|<
t, y∈
|α|+1 t
−1
W +x,
chú ý đến tính cân củaW, ta có
βy−αx=β(y−x)+(β−α)x∈
|α|+
t |α|+
1
t
−1
W+1
t.tW =W+W ⊂V
Từ suy phép nhân vectơ với vô hướng liên tục Vậy (X, τ) không gian vectơ tôpô
Nhận xét 3.7. Trong [HT] [HP] để chứng minh chiều ngược lại, tác giả thêm điều kiện họB thỏa mãn:
(e) NếuV ∈ BthìαV ∈ Bvới mọiα,0.
Điều kiện sử dụng để suy
|α|+ t
−1
W lân cận của0 Tuy nhiên, suy kết mà không cần đến điều kiện (e) Thật vậy, giả sửV ∈ B Theo (c), tồn tạiW ∈ Bsao choW+W ⊂V.
Vì2W ⊂W+W nên suy raW ⊂
2V Do 12V lân cận của0 Bằng quy nạp, 21nV lân cận 0với mỗin∈Nva V cân nênαV
là lân cận của0với mọiα,0
Ví dụ 3. Kí hiệu R∞ tập tất dãy số thực x= (xn)n Khi đóR∞
khơng gian vectơ thực với phép tốn đại số:
x+y= (xn+yn)n, αx= (αxn)n,
với mọix= (xn)n, y= (yn)n∈R∞vàα∈R
Với bộmsốk1, k2, , km ∈Nvà sốr >0, ta gọiV(k1, k2, , km;r)là
tập hợp tất dãyx= (xn)n∈R∞sao cho|xk
(13)Khi họ tất tập V(k1, k2, , km;r) (với giá trị có
k1,k2, ,kmvàr) thỏa mãn điều kiện nêu định lý 3.6 nên sở
lân cận 0của tôpô R∞ cho với tơpơ đó,R∞ khơng
gian vectơ tơpơ Hơn nữa, ta kiểm tra phần tử họ lồi nênR∞ khơng gian lồi địa phương
Định lý 3.8. Giả sửV là lân cận của0trong không gian vectơ tôpôX. (a) Nếu0< r1< r2< vàrn→ ∞ khin→ ∞ thì
X= ∞ [
n=1
rnV
(b) Nếuδ1 > δ2 > vàδn→0khi n→ ∞, nếuV là bị chặn họ {δnV :n∈N}
là sở lân cận củaX. Chứng minh.
(a) VìV tập hút nên theo định lý 1.3 ta có điều phải chứng minh (c) Trước hết dễ thấy phần tử họ lân cận của0 LấyU lân cận tuỳ ý của0 VìV bị chặn nên tồn t >0sao choV ⊂sU với
mọis∈Kmà|s|> t Theo giả thiết, dãy số dương
δn
ntăng tiến ra+ ∞
nên cón0để
δn0 > t Khi đóV ⊂
1
δn0U, hay làδn0V ⊂U Từ suy họ
{δnV :n= 1,2,3, }là sở lân cận củaX.
4
Tính chất tách
Định lý 4.1. Giả sử A và B là tập khơng gian vectơ tơpơ X, trong đóA là tập compact, B là tập đóng và A∩B= ∅ Khi tồn lân cận mởV của 0sao cho
(14)Chứng minh. Nếu A = ∅ thì với lân cận V tuỳ ý, ta có A+V = ∅ nên kết
luận định lý hiển nhiên Vì vậy, ta giả sửA,∅ Lấy tuỳ ýx∈A Khi
đóx<Bvà vìB đóng nênX\B lân cận củax Theo hệ 3.4, tồn
tại lân cận cân mởVx của0sao cho
x+Vx+Vx+Vx⊂X\B,
Từ tính cân củaVx ta suy
(x+Vx+Vx)∩(V
x+B) =∅. (1)
Dễ thấy họ(x+Vx)x∈Alà phủ mở củaAvà vìAlà compact nên tồn
x1, x2, , xn∈Asao cho A⊂(x1+Vx
1)∪(x2+Vx2)∪ ∪(xn+Vxn).
ĐặtV =Vx1∩V
x2∩ ∩Vxn thìV lân cận mở của0và
A+V ⊂ n
[
i=1
(xi+Vxi+V)⊂
n
[
i=1
(xi+Vxi+Vxi). (2)
Với mỗii = 1,2, , n, từ (1) ta có
(xi+Vxi+Vxi)∩(B+V)⊂(xi+Vx
i+Vxi)∩(B+Vxi) =∅,
nên(xi+Vxi+Vxi)∩(B+V) =∅ Kết hợp với (2) ta suy
(A+V)∩(B+V) =∅.
Vậy ta có điều phải chứng minh
Hệ 4.2. Mỗi không gian vectơ tôpô khơng gian T3 (hay khơng
gian quy).
Chứng minh. Giả sửX không gian vectơ tôpô Lấy tuỳ ýx∈X vàF⊂X
sao choF tập đóng vàx<F Khi đóA={x}là tập compact vàB=F
là tập đóng nên theo định lý 4.1, tồn lân cận mở V cho (x+V)∩(F+V) =∅.Như vậy, tồn tạix+V là lân cận mở củax,F+B
(15)Từ hệ ta suy không gian vectơ tôpôX không gian Hausdorff Thực ra, ta chứng minh khơng gian vectơ tơpơ khơng gian hồn tồn quy ([RU], Exercise 16, p.21)
Hệ 4.3. Giả sử B là sở lân cận không gian vectơ tơpơ X. Khi với mỗiV ∈ B , tồn tạiU ∈ Bsao cho U ⊂V.
Chứng minh. Với V ∈ B, vì X là khơng gianT3 nên tồn lân cận W
của0sao choW ⊂V Mặt khác, vìBlà sở lân cận nên tồn tạiU ∈ Bsao
choU ⊂W Do đóU ⊂W ⊂V
Mối liên hệ cấu trúc tôpô cấu trúc tuyến tính khơng gian vectơ tơpơ thể định lý sau:
Định lý 4.4. ChoX là không gian vectơ tôpô,A,B,C, E,Y là tập con củaX Khi đó
(a)A= T
V∈Γ
(A+V), vớiΓ là họ tất lân cận của0. (b)A+B⊂A+B.
(c) NếuAcompact thìAbị chặn.
(d) NếuY là khơng gian của XthìY cũng vậy. (e) NếuClà tập lồi thìC, C◦cũng vậy.
(f) NếuBlà tập cân thìB là tập cân nếu0∈B◦thìB◦ cũng tập cân. (g) NếuE là tập bị chặn thìEcũng vậy.
Chứng minh.
(a) Trước hết ta để ý rằngV ∈Γ khi khi−V ∈Γ Vì ta có x∈A⇔(x+V)∩A,∅, ∀V ∈Γ
⇔x∈A−V , ∀V ∈Γ ⇔x∈A+V , ∀V ∈Γ.
Từ suy
A=\
V∈Γ
(16)(b) Lấy tuỳ ý a ∈ A, b ∈ B và V là lân cận của a+b Ta cần chứng
minhV ∩(A+B),∅ Thật vậy, tính chất liên tục phép toán cộng hai
vectơ nên tồn lân cậnV1 củaavà lân cận V2 củabsao choV1+V2⊂V Vì a ∈ A và b ∈ B nên tồn tại x ∈ V1 ∩A và y ∈ V2 ∩B Khi ta có x+y∈V ∩(A+B) nênV ∩(A+B),∅ Vì vậy,a+b∈A+B.
(c) Lấy tùy ýV lân cận Khi V chứa lân cận mở, cân
W Theo định lý (3.8) ta có
A⊂
∞ [
n=1
nW
VìAlà compact nên tồn số nguyên dươngn1< n2< < nk cho A⊂n
1W ∪n2W ∪ ∪nkW
Mặt khác, vìW tập cân nên
n1W ⊂n2W ⊂ ⊂nkW
Từ ta suy raA⊂n
kW Theo hệ (3.2),Alà tập bị chặn
(d) Lấy tuỳ ýα, β∈K, ta cần chứng minhαY +βY ⊂Y Trước hết, ta thấy
αY =αY Điều hiển nhiên nếuα= Nếuα,0thì αY tập
đóng chứaαY nên αY ⊂αY Mặt khác, do Mα liên tục nên αY =Mα(Y)⊂M
α(Y) =αY
Vậy ta ln có αY =αY Tương tự ta có βY =βY Bây giờ, áp dụng (b) ta có
αY +βY =αY +βY ⊂αY +βY ⊂Y
Bao hàm thức cuối có doY khơng gian củaX VậyY không gian củaX
(e) Phép chứng minhClà tập lồi tương tự (c).Ở ta chứng minhC◦là tập lồi Trước hết vìC◦⊂C vàClà tập lồi nên với mỗit∈[0,1]tuỳ ý ta có
(17)tức
tC◦+ (1−t)C◦⊂C. (3)
Để ý rằngtC◦ và(1−t)C◦ là tập mở nên tổng chúng mở do
(3) nên tổng bị chứa trongC◦ VậyC◦là tập lồi
(f) Phép chứng minhB tập cân tương tự (c) Bây giả sử 0∈ B◦, ta sẽ
chứng minh B◦ tập cân Lấy tuỳ ý α ∈ K mà |α| ≤ Nếu α =
0 ∈ B◦ nên hiển nhiên là αB◦ = B◦ Nếu α , 0 thì αB◦ chứa trong αB và
doB tập cân nênαB⊂B Do đó αB◦⊂B Mặt khác, vìMα là phép
đồng phơi nênαB◦ tập mở Từ ta cóαB◦⊂B◦ Điều chứng tỏB◦
là tập cân
(g) Lấy tuỳ ý V lân cận Do X không gian T3 nên tồn lân cận W 0sao choW ⊂V VìE là bị chặn nên tồn tại t >0sao cho E⊂tW Do đóE⊂tW =tW ⊂tV VậyElà tập bị chặn.
5
Khơng gian mêtric hóa được
Định lý 5.1. Cho X là khơng gian vectơ tơpơ Lúc đó X có sở lân cận đếm khiXmêtric hóa được.
Chứng minh.
(⇒) Giả sửX có sở lân cận đếm Theo định lý (3.1), X có cơ
sở lân cận mở, cân{Vn|n∈N}sao cho với mỗin∈N,
Vn+1+Vn+1⊂Vn.
GọiN là tập hợp tất tập hữu hạn của N Với mỗiM∈ N , ta đặt
VM =X
k∈M
Vk pM = X
k∈M 2k.
Ta thấyVM lân cận của0,0< pM <1 Ngoài ra, nếupM <
2n với
(18)Xét hàm sốf :X→Rxác định sau:
f(x) =
1 x< S
M∈N
VM
inf
x∈VMpM x
∈ S
M∈N
VM
Từ định nghĩa suy ra0≤f(x)≤1với mọix∈X Ta chứng minh f(x) = 0⇔x= 0. (4)
Với n∈N, đặtMn={n}thì Mn∈ N Vì0∈VM
n nên f(0)≤
1 2n Do
đóf(0) = Giả sử x ∈X,x ,0 Nếux <Vn với mọi n∈N thìf(x) =
Trong trường hợp ngược lại, X không gian Hausdorff nên tồn Vn
sao chox<Vn.Lúc đóx<Vk với mọik≥n, ta suy raf(x)>
1
2n Tóm lại, f(x) = 0khi khix=
Với mỗiM∈ N, tậpVM là cân nên với mọix∈X, ta cóx∈VM
khi khi−x∈V
M, từ suy
f(x) =f(−x). (5)
Tiếp theo ta chứng minh với mọix, y∈X,
f(x+y)≤f(x) +f(y). (6)
Điều hiển nhiên nếuf(x)+f(y)≥1 Xét trường hợpf(x)+f(y)<1.
Khi tồn tạiε >0sao cho
f(x) +f(y) + 2ε <1.
Vìf(x)<1vàf(y)<1nên tồn tạiH, K ∈ N sao chox∈VH,y∈VK và pH < f(x) +ε, pK < f(y) +ε.
(19)khi dãy thu dãy tăng thực Gọi M tập tất phần tử dãy Ta có
x+y∈V
H+VK ⊂VM pM =pH+pK < f(x) +f(y) + 2ε <1,
nên f(x+y) < f(x) +f(y) + 2ε Vì điều với ε >0bé tùy ý nên ta suy raf(x+y)≤f(x) +f(y).
Với mọix, y∈X, ta đặt d(x, y) =f(x−y) Ta có hàm sốd :X×X→R
Từ (4), (5), (6) định nghĩa củad, ta thấy ngayd mêtric trênX.
Với n ∈N, gọi Bn hình cầu mở tâm 0bán kính
2n không
gian mêtric(X, d), tức
Bn={x∈X|d(x,0) =f(x)<
2n}.
Ta chứng minh tôpô sinh mêtricd trùng với tôpô ban đầu trênXbằng cách chứng tỏ với mỗin∈N,
Bn⊂Vn⊂Bn−1. (7)
Lấy tùy ý x∈Bn Khi đó f(x)<
2n nên tồn M∈ N chox∈ VM pM <
1
2n Theo nhận xét phần đầu chứng minh ta suy x∈VM ⊂ Vn
Vậy
Bn⊂V
n. (8)
Bây lấy tùy ýx∈Vn=VM
n Khi
f(x)≤p Mn=
1 2n <
1 2n−1, nênx∈Bn−1.Vậy
Vn⊂Bn−1. (9)
Từ (8) (9) ta nhận (7) VậyXlà khơng gian mêtric hóa
(⇐) Giả sửXlà khơng gian mêtric hóa được, tơpơ ban đầu trên X sinh mêtric d Khi rõ ràng họ hình cầu mở{B(0,1
n)|n∈N}
(20)Nhận xét 5.2. Ta nói thêm tính chất mêtricd định lý Các tính chất chứng minh dễ dàng dựa vào định nghĩa củadvà tính cân mỗiVM,M∈ N.
1 Với mọix∈X và mọiλ∈Ksao cho|λ| ≤1, ta cód(λx,0)≤d(x,0)
2 Với mọix, y, z∈X,d(x+z, y+z) =d(x, y).
Vì vậy, ta nóid bất biến phép tịnh tiến Với mọir∈(0,1], ta cóB(0, r) = S
pM<r
VM.
Vì tập VM cân nên B(0, r) tập cân Ngoài ra, với r > 1, B(0, r) = B0(0,1) = X tập cân Vậy hình cầu mở tâm 0đều tập cân
Định lý 5.3. Cho X là không gian bị chặn địa phương Lúc đó X là khơng gian mêtric hóa được.
Chứng minh. Vì X khơng gian bị chặn địa phương nên ∈ X có lân
cận V bị chặn Vì theo định lý 3.8, X có sở lân cận đếm
{1
nV : n∈N} Theo định lý 5.1,Xlà khơng gian mêtric hóa
6
Họ nửa chuẩn tính chất lồi địa phương
Các khơng gian vectơ tơpơ tùy ý có tính chất khác hẳn tính chất quen thuộc khơng gian Euclide không gian định chuẩn Một lớp quan trọng không gian tổng quát không gian định chuẩn bảo tồn nhiều tính chất khơng gian định chuẩn không gian lồi địa phương
Định nghĩa 6.1. ChoXlà không gian vectơ trườngK Một hàm số
p:X→Rđược gọi mộtnửa chuẩntrênXnếu
(a)p(x+y)≤p(x) +p(y),
(b)p(αx) =|α|p(x),với mọix, y∈X và mọiα∈K.
(21)Một họ P các nửa chuẩn trên X được gọi là họ tách tập X nếu với mỗi x∈X, tồn tạip∈ P sao cho p(x),0.
Định lý 6.2. Giả sửplà nửa chuẩn không gian vectơX Khi đó (a)p(0) = 0,
(b)|p(x)−p(y)| ≤p(x−y), (c)p(x)≥0, với mọix, y∈X.
(d)plà chuẩn trênXnếu p(x),0với mọix,0.
Chứng minh.
(a) Vìp(αx) = |α|p(x),với mọix∈ X và mọi α∈ Knên vớiα = 0ta nhận
đượcp(0) =
(b) Từ tính cộng tính củapta có
p(x) =p(x−y+y)≤p(x−y) +p(y)
cho nên
p(x)−p(y)≤p(x−y).
Thay đổi vai trò củaxvàycho ta
p(y)−p(x)≤p(y−x).
Vìp(x−y) =p(y−x) nên ta suy ra
|p(x)−p(y)| ≤p(x−y).
(c) Thayy= 0trong (b) ta đượcp(x)≥0với mọix∈X.
(d) Dễ dàng suy từ định nghĩa nửa chuẩn tính chất (a), (c)
Định nghĩa 6.3. Cho A tập lồi, cân, hút không gian vectơ X Với x∈X, tồn tại t > 0sao cho t−1x∈ A, tức{t >0|t−1x∈ A}là một
tập hợp khác rỗng bị chặn nên tồn infimum Đặt
pA(x) = inf{t >0|t−1x∈A}, x∈X.
(22)Nhận xét 6.4. ChoAlà tập lồi, cân, hút không gian vectơX Giả sửx∈X vàt > pA(x) Khi đót−1x∈A.
Thật vậy, t > pA(x) nên tồn s ∈ [pA(x), t) cho s−1x ∈ A Vì
0≤t−1s <1vàAlà tập cân nênt−1x= (t−1s)(s−1x)∈A.
2 Giả sửx<A Khi đópA(x)≥1
Thật vậy, pA(x)<1thì từ nhận xét ta suy rax∈A, mâu thuẫn với
giả thiết Ta ln có
{x∈X|pA(x)<1} ⊂A⊂ {x∈X|pA(x)≤1}.
Thật vậy, bao hàm thức {x∈ X|p
A(x) <1} ⊂Ađược suy từ nhận xét
2, bao hàm thứcA⊂ {x∈X|pA(x)≤1}là dễ thấy.
Định lý 6.5. Choplà nửa chuẩn không gian vectơX Đặt A={x∈X|p(x)<1} và B={x∈X|p(x)≤1}.
Khi đóA,Blà tập lồi, cân, hút vàpA=pB=p, đópA,pBlần lượt là phiếm hàm Minkowski củaAvàB.
Chứng minh. Từ tính chất củapta có ngayAlà tập cân Lấy tùy ýx∈X và t > p(x) Khi với mọis,|s|> t ta có
p(s−1x) =|s|−1p(x)≤t−1p(x)<1,
nêns−1x∈A, hayx∈sA VậyAlà tập hút.
Lấy tùy ýx, y∈Avàt∈[0,1], ta có
p(tx+ (1−t)y)≤tp(x) + (1−t)p(y)<1.
Vậy A tập lồi Tóm lại,Alà tập lồi, cân, hút Lập luận tương tự ta cóBlà tập lồi, cân, hút
Với mỗix∈X, để ý vớit >0,
(23)t−1x∈B⇔p(t−1x)≤1⇔t≥p(x).
Do
{t >0|t−1x∈A}= (p(x),+∞),
{t >0|t−1x∈B}= [p(x),+∞) nếu p(x)>0
và
{t >0|t−1x∈B}= (0,+∞) nếup(x) = 0.
Từ suy rapA(x) =pB(x) =p(x) VậypA=pB=p
Nhận xét 6.6. Giả sửplà nửa chuẩn không gian vectơ X r > Từ định lý ta suy tập
A0 ={x∈X|p(x)< r} và B0={x∈X|p(x)≤r}
là tập lồi, cân, hút
Định lý 6.7. ChoV là tập lồi, cân, hút không gian vectơ tôpô X. Khi đópV là nửa chuẩn trên X.
Chứng minh. Trước hết, V cân nên với mọiα ∈K,α ,0và x∈ X
ta có
pV(αx) = inf{t >0 : t −1
αx∈V}
= inf{t >0 : t−1|α|x∈V}
=|α|inf{ t
|α| >0 :
t
|α|
−1
x∈V}
=|α|inf{s >0 : s−1x∈V}
=|α|pV(x),
tức làpV(αx) =|α|pV(x).Điều hiển nhiên với α= Vậy pV(αx) =|α|pV(x)
với mọiα∈K
Lấy tùy ýx, y∈X, ta chứng minh
(24)Lấy ε >0 bé tùy ý Đặt t=pV(x) +ε,s=pV(y) +ε Theo nhận xét 6.4
t−1x, s−1y∈V VìV là tập lồi và x+y
s+t = t s+t(t
−1
x) + s
s+t(s
−1
y) tổ hợp lồi hai phần tử trongV nên xs++yt ∈V Do đó
pV(x+y)≤t+s=pV(x) +pV(y) + 2ε.
Vì điều với ε > 0tùy ý nên ta suy pV(x+y) ≤ pV(x) +pV(y)
Vậy pV nửa chuẩn trênX.
Định lý 6.8. Giả sửB là sở lân cận lồi, cân không gian vectơ tôpô X. Với mỗi V ∈B , gọi pV là phiếm hàm Minkowski của V Khi đó P ={p
V|V ∈ B }là họ tách nửa chuẩn liên tục trênX.
Chứng minh. Vì phần tử củaB là tập lồi, cân, hút nên theo định lý
6.7, P là họ nửa chuẩn Ta chứng minh họ tách mỗi
phần tử liên tục
Giả sửx∈X và x,0 VìX là khơng gian T
1 vàB sở lân cận tại0nên tồn V ∈ Bsao cho x<V Theo nhận xét 6.4 thì pV(x)≥1 Vậy P là họ nửa chuẩn tách.
Lấy tùy ýpV ∈ P vàε >0 Khi với mọix, y∈X sao chox−y∈εV,
ta cóε−1(x−y)∈V nên
|pV(x)−pV(y)| ≤pV(x−y)≤ε.
Suy rapV liên tục VậyP họ nửa chuẩn liên tục
Tiếp tục nhận xét 6.4 ta có nhận xét sau
Nhận xét 6.9. ChoAlà tập lồi, cân, hút không gian vectơX Khi IntA = {x ∈ X|pA(x) < 1} và A = {x ∈ X|pA(x) ≤ 1} Ta chứng minh
IntA = {x ∈ X|pA(x) < 1} Thật vậy, từ nhận xét 6.4 định lý ta có
ngay {x ∈ X|p
A(x) < 1} ⊂IntA Ngược lại, lấy tùy ý x ∈ IntA Vì IntA
(25)cận U x cho với α∈ K mà|α−1| < r αU ⊂ A Từ suy
ra có0< t <1(chẳng hạnt= 1+1r/2) đểt−1x∈A Do đópA(x)≤t <1 Vậy
IntA⊂ {x∈X|pA(x)<1} Từ ta có điều phải chứng minh.
Từ hệ 3.3 định lý 6.8 ta rút hệ sau
Hệ 6.10. Trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương, tồn họ nửa chuẩn tách liên tục.
Định lý 6.11. Giả sử P là họ tách nửa chuẩn không gian vectơX Với mỗip∈ P và mỗin∈N, đặt
V(p, n) ={x∈X|p(x)< n}.
GọiB là họ tất giao hữu hạn tập có dạngV(n, p) Khi đó B là sở lân cận lồi, cân tại0cho tơpơ trênX Với tơpơ đó,X trở thành một không gian lồi địa phương thỏa mãn:
(a) Mỗip∈ P là liên tục,
(b) TậpE⊂Xlà bị chặn mỗi p∈ P là bị chặn trên E.
Chứng minh. Dễ thấy họBthỏa mãn điều kiện định lý 3.6 nên tồn
tại tôpôτtrênXsao cho(X, τ)là không gian vectơ tôpô vàBlà cơ
sở lân cận của0∈X.
Giả sử p ∈ P và (α, β) là khoảng mở chứa 0 Khi tồn tại n ∈ Nsao cho (−1
n,n1) ⊂ (α, β) Rõ ràng V(p, n) lân cận 0∈ X
vàp(V(p, n))⊂(−1
n,1n) Do đópliên tục 0∈X Từ (b) định lý 6.2 ta
suy raplà liên tục X
Giả sửE ⊂X là tập bị chặn Lấy tùy ý p∈ P VìV(p,1) là lân
cận nên tồn tạik >0 choE ⊂ kV(p,1) Lúc đóp(x) < k với mọi x∈E Suy rapbị chặn trênE.
Đảo lại, giả sử p∈ P bị chặn trênE⊂X LấyU là lân cận của
0 Khi tồn tạip1, p2, , pm∈ P vàn1, n2, , nm∈Nsao cho
m
\
i=1
(26)Với i = 1,2, , m, có Mi > cho pi(x) ≤ M
i với mọix ∈ E Lấy n ∈ N cho n > Mini với i = 1,2, m. Khi với x ∈ E,
pi(x) ≤ Mi < n
ni nên x ∈ nV(pi, ni) Do x ∈ m
T
i=1
nV(pi, ni) ⊂ nU. Vậy E⊂nU.Điều chứng tỏ Elà tập bị chặn.
Nhận xét 6.12. Cho(X, τ)là không gian lồi địa phương vàBlà cơ
sở lân cận lồi, cân Theo định lý 6.8,Bxác định họP là họ tách nửa
chuẩn liên tục X Theo định lý 6.11, họ P cảm sinh tôpô trên X,
gọi làτ0 Vấn đề đặt hai tơpơ có trùng khơng?
Trước hết, mỗip∈ P là liên tục đối vớiτ nênV(p, n) =p−1−1 n,1n
∈ τ, với mọip∈ P vàn∈N.Hơn nữa, vớiV ∈ B, cóp=pV ∈ P
V(p,1) ={x∈X|p
V(x)<1} ⊂V
Từ suy raτ=τ0.
Nhận xét 6.13. Giả sử X không gian vectơ, P = {p
n|n ∈ N} họ
tách, đếm nửa chuẩn X Theo định lý 6.11, P cảm sinh một
tơpơτvà(X, τ)là khơng gian vectơ tơpơ Vì họP là đếm nênτcó một
cơ sở lân cận tại0là đếm Do theo định lý 5.1,(X, τ)là mêtric hóa Trong trường hợp này, mêtric bất biến với phép tịnh tiến cảm sinh
τcó thể xác định cách trực tiếp thông qua họP như sau: d(x, y) = max
n∈N
cnpn(x−y)
1 +pn(x−y) ,
trong đó(cn)nlà dãy số dương hội tụ về0
Gọiτ0 tôpô cảm sinh bởid Ta chứng minhτ=τ0.Muốn vậy, ta ý rằng, họ hình cầu mở{B(0, r)|r >0}là sở lân cận tại0của (X, τ0).
Mặt khác, họ tất giao hữu hạn tậpV(pi, ri) ={x∈X|p i(x)< ri}, (vớiri>0,i ∈N) sở lân cận tại0của(X, τ)
Lấy tùy ýr >0 Vìcn→0nên có hữu hạncn> r, với sốnđó cnpn(x)
1 +pn(x) < r⇔pn(x)<
(27)Với sốnkhác thìcn≤r nên cnpn(x)
1 +pn(x) < r. Vậy B(0, r) giao hữu hạn tập có dạng
{x∈X|pn(x)< r cn−r
}.
Vì pnlà liên tục τ nên tập có dạng mở đối vớiτ
suy raB(0, r) mở τ Hơn nữa, từ nhận xét 6.6 ta suy B(0, r) lồi cân
Bây giờ, lấy W = Tm
k=1
V(pik, rik) Ta cần xét với rik < với k =
1,2, , m. Lấy r >0 cho 2r <min{c
i1ri1, , cimrim} x ∈ B(0, r) Khi
đó
cikpik(x)
1 +pik(x) < r <
cikrik
2 , suy pik(x) < rik
2−ri
k
< rik với k = 1, , m. Do B(0, r) ⊂ W Vậy
họ hình cầu {B(0, r)|r > 0} là sở lân cận tại 0 của (X, τ) Ta suy ra τ=τ0.Nói cách khác,τđược sinh mêtricd
Tiếp theo, trênXta lại xét mêtric bất biến với phép tịnh tiến sau đây:
d1(x, y) = ∞ X
n=1
2−n pn(x−y) +pn(x−y)
, x, y∈X.
d2(x, y) = ∞ X
n=1
2−nmin{p
n(x−y),1}, x, y∈X.
Ta chứng minh rằngd1,d2vàd mêtric tương đương tôpô trênXnên τcũng tôpô sinh bởid1,d2
Ví dụ4. Ta trở lại với khơng gian vectơ R∞ ví dụ Với mỗin ∈N,
xác định hàm số
pn: R∞ → R
(28)Dễ thấy họ P = {p
n|n∈ N}là họ tách, đếm nửa chuẩn
R∞ Do P xác định tôpô τ cho (R∞, τ) không gian lồi địa
phương Cơ sở lân cận tại0của τlà tất tập có dạng
m
\
i=1
{x∈R∞ :pk
i(x)< rki},
trong ki ∈N,rk
i >0với i= 1, , m Đặtr= min{rki, i = 1, , m}ta
được tập có dạng nhỏ
m
\
i=1
{x∈R∞ :pk
i(x)< r}.
Đó V(k1, k2, , km;r) mà ta đề cập ví dụ Vậy họ tất
các tập V(k1, k2, , km;r) (với giá trị có k1,k2, , km r)
sẽ sở lân cận tại0của τ
Ví dụ5. GọiC(R)là tập tất hàm số thực liên tục trênR Khi đóC(R)
là khơng gian vectơ với phép tốn thơng thường cộng hai hàm số nhân số thực với hàm số Với mỗin∈N, xác định hàm số
pn: C(R) → R
f 7→ max
[−n,n]
|f(x)|.
Dễ thấy họ P = {p
n|n∈ N}là họ tách, đếm nửa chuẩn C(R) Do P xác định tơpơτ cho(C(R), τ)là không gian lồi địa
phương Hơn nữa,(C(R), τ) khơng gian mêtric hóa vớiτ sinh
ra mêtric
d(f , g) = max
n∈N
cnpn(f −g)
1 +pn(f −g) ,
trong (cn)n dãy số dương hội tụ Có thể kiểm tra (C(R), d) khơng gian đủ đóC(R)là khơng gian Frechet
Ví dụ 6. Giả sử a, b ∈ R a < b Với n ∈ N, kí hiệu Cn
[a,b] khơng gian vectơ hàm số khả vi liên tục tới cấp ntrên[a, b] với phép tốn thơng thường Kí hiệuC∞[a,b]=
∞ T
n=1
(29)vi vô hạn [a, b] Ta biết C[na,b] không gian Banach với chuẩn
||f||n= sup{|f(k)(x)| : a≤x≤b,0≤k≤n}, f ∈Cn
[a,b]. HọP ={||.||n|n∈N}là họ tách, đếm nửa chuẩn trênC∞
[a,b] Do P xác định tôpôτ sao cho (C∞
[a,b], τ) không gian lồi địa phương Hơn nữa, (C[∞a,b], τ) khơng gian mêtric hóa với τ sinh mêtric
d(f , g) = max
n∈N
cn||f −g||n
1 +||f −g||n,
trong đó(cn)nlà dãy số dương hội tụ về0
Giả sử (fi)i dãy Cauchy (C∞[a,b], d), tức d(fi, fj) →0 i, j→ ∞ Khi đó, với mỗin∈N,||fi−fj||n→0khii, j→ ∞nên(fi)ilà dãy
Cauchy trong(C[na,b],||.||
n) Do tồn tạif0,n∈C[na,b]sao cho||fi−f0,n||n→0
khii → ∞ Ta chứng minhf0,n=f0,mvới mọin, m∈N Thật , không
mất tính tổng qt, giả sửm < n Khi đóf0,n∈C[ma,b] ||fi−f0,n||m ≤ ||fi−f0,n||n→0, i → ∞,
nên f0,n=f0,m Vậy hàmf0 =f0,n không phụ thuộc vào nvàf0 ∈C∞
[a,b] Vì với mỗin∈N,||fi−f0||n→0khii→ ∞, nên ta dễ dàng suy rad(fi, f0)→0
Vậy (C[∞a,b], d)là không gian đủ
Tóm lại,C[∞a,b] khơng gian Frechet
Định lý 6.14. Một khơng gian vectơ tơpơX là chuẩn hóa khi điểm0∈X có lân cận lồi, bị chặn.
Chứng minh.
(⇒) Giả sửX là chuẩn hóa tơpơ trên X được sinh chuẩn||.||.
Lúc hình cầu mở
B(0,1) ={x∈X| ||x||<1}
(30)(⇐) Giả sử điểm0∈X có lân cận lồi, bị chặn Khi theo định lý 3.1,
điểm 0∈X có lân cận mở, lồi, cân, hút bị chặnV GọipV là phiếm
hàm Minkowski V Theo định lý 6.7, pV nửa chuẩn Để chứng
minh pV chuẩn X ta cần chứng tỏ pV(x) , với
x ,0 Thật vậy, theo định lý 3.8, họ {1
nV|n∈ N}là sở lân cận
0 Vìx,0vàX khơng gianT1 nên tồn tạin∈Nsao chox<
nV Theo
nhận xét 6.4,pV(x) =
1
npV(nx)≥
1
n.VậypV(x),0với mọix,0 Đặt ||x||=pV(x), x∈X,
thì||.||là chuẩn trênX.
Gọi τlà tôpô không gian vectơ tôpôX τ0 tôpô cảm sinh
||.|| Khi họ{1
nV|n∈N}là sở lân cận không gian vectơ tôpô
(X, τ), họ {B(0,1
n)|n∈N}là sở lân cận không gian vectơ tơpơ
(X, τ0) Mặt khác, vìV tập mở nên theo nhận xét 6.4, ta có
B(0,1
n) ={x∈X : ||x||<
1
n}={
1
nx∈X : ||x||<1}=
1
nV
Từ suy raτ=τ0 VậyX khơng gian chuẩn hóa
Từ định lý (6.14) định lý (3.1) ta dễ dàng nhận kết sau Định lý 6.15 (Kolmogorov) Cho X là không gian vectơ tơpơ lồi địa phương Khi đóXchuẩn hóa nếu Xlà bị chặn địa phương.
Ví dụ7. Rõ ràng không gian định chuẩn không gian chuẩn hóa Trở lại với khơng gian vectơ tơpơC(R)trong ví dụ Ta chứng minh
C(R)khơng phải khơng gian chuẩn hóa
Thật vậy, giả sử có chuẩn||.||trênC(R)sao cho tơpơ sinh chuẩn trùng
với tôpô sinh họ nửa chuẩn P ={pn|n∈N} Kí hiệu
B(0,1) ={f ∈C(R) : ||f||<1},
thì tồn tạipn1, pn2, , pnk∈ P, (n1< n2< < nk) vàr >0sao cho
V ={f ∈C(R) : pn
(31)Lấy f0 ∈ C(R) chof0(x) = 0với x∈[−nk, nk] tồn x > nk để
f0(x), 0.Lúc ||f0|| > 0và pni(f0) = với i = 1, , k Từ suy
mf0 ∈V ⊂B(0,1) với mọim∈N Do đóm||f0||<1với mọim∈N.Điều
đó vơ lý vì||f
0||>0 VậyC(R)khơng phải khơng gian chuẩn hóa Nhận xét 6.16. Về mối liên hệ không gian lồi địa phương họ nửa chuẩn, ta thấy: Trong không gian lồi địa phương tồn họ tách nửa chuẩn liên tục Ngược lại, họ táchP các nửa chuẩn không
gian vectơX xác định tôpô lồi địa phương trênX cho mỗip∈ P
là liên tục
Khi giải vấn đề cụ thể giải tích, ta thấy nhiều không gian vectơ, tôpô tự nhiên cho chuẩn Một phương pháp thường dùng để trang bị tôpô không gian cho họ nửa chuẩn tách
Định lý 6.17. Cho X là không gian Frechet Khi tập lồi, cân, đóng, hút lân cận của0∈X.
Chứng minh. Giả sửV tập lồi, cân, đóng, hút Theo định lý 1.3 ta có
X= ∞ S
n=1
nV VìX không gian Frechet nênXthuộc phạm trù tồn n0 ∈ Nsao cho int(n0V) , ∅ Vì V tập đóng Mn
0 phép đồng phôi nên suy int(n0V) =int(n0V) ,∅ Dễ thấy int(n0V)−int(n0V) tập mở chứa V lồi nên n0V +n0V = 2n0V, V cân nên
n0V =−n0V, ta suy
0∈int(n0V)−int(n0V)⊂n0V −n0V =n0V +n0V = 2n0V
Vậy n0V lân cận 0và doM
2n0 phép đồng phôi nên V lân
cận của0
7
Bài tập
1.Với cặp(x, y)∈R2, ta đặt
(32)trong φ(x) = x
1 +|x| Chứng minh d1 d2 mêtric tương
đương tôpô trênR, mặc dùd1 đầy đủ vàd2 không đầy đủ
2.Chứng minh mêtric nhắc đến nhận xét 6.13 tương đương tôpô
3. Chứng minh không gian C(R) ví dụ khơng gian
Frechet
4. Chứng minh không gian vectơ tơpơ khơng gian hồn tồn quy
5. Cho X =C[0,1] tập tất hàm giá trị thực liên tục [0,1] Với mỗit∈[0,1], ta đặt pt(x) =|x(t)|,x∈X GọiP ={pt :t∈[0,1]} Ngoài ra,
trênX, ta định nghĩa
d(x, y) = Z
0
|xt−yt|
1 +|x(t)−y(t)dt, x, y∈X.
a) Chứng minh rằngP là họ tách nửa chuẩn trênX.
b) Chứng minh rằngd mêtric trênX
c) Gọiτlà tôpô sinh họ nửa chuẩnP vàτd là tôpô sinh mêtricd.
Chứng minh (xn)n hội tụ x0 theo τ thì(xn)n hội tụ vềx0 theoτd
d) Chứng minh ánh xạ id: (X, τ)→(X, τd)và ánh xạ id: (X, τd)→
(X, τ)là ánh xạ không liên tục
e) Chứng minh (X, τ) khơng có sở lân cận đếm Từ suy raτ
vàτd khơng trùng
f) Điều ngược lại (c) có không?
6.Cho X=C[0,1] tập tất hàm giá trị thực liên tục trên[0,1] Trên
X ta xác định mêtric
d(x, y) = sup [0,1]
|x(t)−y(t)|
(33)TậpX với tơpơ có phải không gian vectơ tôpô không?
♥ Ghi tài liệu tham khảo ♥
(34)Tài liệu tham khảo
[ĐH] Nguyễn Định & Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực, NXB Giáo dục, 2000
[KL] Phan Huy Khải & Đỗ Văn Lưu, Giải tích lồi, NXB Khoa học - kĩ thuật, 2000
[KH1] Nguyễn Văn Khuê & Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 2, NXB Giáo dục, 2001
[KH2] Nguyễn Văn Khuê & Lê Mậu Hải,Bài tập giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001
[HP] Huỳnh Thế Phùng,Giải tích lồi, Giáo trình Cao học, 2006 [HT] Hồng Tụy,Giải tích đại, tập 3, NXB Giáo dục, 1978
[K-F] A.N.Kolmogorov & S.V Fomine, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 1 (bản dịch tiếng Việt Võ Tiếp & Trần Phúc Chương), NXB Giáo dục, 1982
[RO] A.P Robertson & W.Robertson, Topological Vector Spaces, Cam-bridge Press, 1964