Phương pháp thường gặp: Trong các bài toán tọa độ trong mp Oxy thi ĐH trong các năm đề chung của bộ GD và ĐT 2002-2013, tất cả các bài toán có yếu tố đường phân giác trong đều có thể giả[r]
(1)Ngày: 02/05/2014 Tag: phân giác, tọa độ phẳng, lớp 10, ôn thi đại học BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TRONG BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Oxy Lê Minh Hiếu Phương pháp thường gặp: Trong các bài toán tọa độ mp Oxy thi ĐH các năm đề chung GD và ĐT (2002-2013), tất các bài toán có yếu tố đường phân giác có thể giải đường phương pháp nhất: Lấy điểm đối xứng Kể nhiều đề thi thử có thể giải phương pháp trên Lý thuyết để áp dụng đây Cho góc tOt ' có tia phân giác là Os , đó với điểm M bất kì thuộc đường thẳng Ot , M ' đối xứng với M qua đường thẳng Os thì M ' thuộc đường thẳng Ot ' Bài 1: (ĐH khối D/2011) Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B 4;1 , t M s O M' t' B(-4;1) trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác góc A A có phương trình x y Tìm tọa độ các đỉnh A và C Gợi ý giải: Gọi các điểm hình vẽ Khi đó từ đẳng thức x-y-1=0 G(1;1) M B' BM BG ta có tọa độ điểm M Tọa độ điểm đối xứng C B ' dễ dàng tính Tọa độ điểm A tính lấy giao điểm đường phân giác và đường thẳng MB ' Cuối cùng đỉnh C chính là đỉnh còn lại tam giác đã có tọa độ hai đỉnh và trọng tâm Đáp số: A(4;3) , C (3; 1) Bài 2: (ĐH khối B/2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(-4;1), phân giác góc A có phương trình x + y - = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 và đỉnh A có hoành độ dương Gợi ý giải: Gọi điểm A(t;5 t ) thuộc đường phân giác Từ hệ thức AC AM ' ta tính tọa độ điểm A Tọa độ điểm B tính nhờ B AM ' và S ABC d B, AC AC 24 Đáp số: 3x y 16 C(4;-1) x+y-5=0 A M' B (2) Bài 3: (ĐH khối B/2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ B H(-1;-1) Đêcac vuông góc Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông x-y+2=0 A góc C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác góc A có phương trình x - y + = và đường cao kẻ từ H' B có phương trình 4x + 3y - = Các bước giải: C 4x+3y-1=0 Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua đường phân giác góc A Khi đó ta tính H’(-3;1) Phương trình đường thẳng AC qua H’ và vuông góc với đường cao từ đỉnh B có phương trình: 3x-4y+13=0 A là giao điểm hai đường thẳng nên có tọa độ A(5;7) Đường thẳng CH qua C vuông góc với AH nên có phương trình 3x+4y+7=0 Từ đó tìm 10 tọa độ C là giao điểm hai đường ĐS: C ; 4 Bình luận: Trong các bài toán trên có chung kiện là trên cạnh đã cho tọa độ điểm, lấy đối xứng qua đường phân giác thì điểm thuộc cạnh kía Kĩ trình bày: Bài toán tìm tọa độ điểm đối xứng qua đường quen thuộc Các em có thể tìm tọa độ hình chiếu cách lấy giao điểm hai đường vuông góc, tìm hình chiếu cách tham số hóa hình chiếu; sau đó lấy đối xứng qua hình chiếu Tuy nhiên thầy giới thiệu cách trình bày khác hai cách trên Ví dụ tìm điểm H’ bài 3, ta có thể trình bày sau: Gọi H’(a;b) là điểm đối 1(a 1) 1(b 1) xứng với H qua đường thẳng x y , đó ta có hệ sau a b , giải hệ ta có H '(3;1) Đến đây có nhiều em chưa hiểu? Hệ trên giải thích sau: Với a 1 b 1 I ; là trung điểm HH’, vectơ HH '(a 1; b 1) , vectơ phương đường phân 1(a 1) 1(b 1) HH '.u giác d: u (1;1) , đó ta có hệ a 1 b 1 I d 2 Phương pháp dùng công thức góc hai đường thẳng: Bài 4: (Thi thử lần - 2014, THPT Chuyên ĐH Vinh) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 1), phương trình đường phân giác góc BAC là x y Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết BC và góc BAC nhọn Bình luận: Đến đây chúng ta không thể tìm điểm trên hai cạnh AB hay AC để lấy đối xứng! Cách 1: Dùng góc hai đường thẳng Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: R IA Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có BC R sin A sin A B x-y=0 A(3;3) I(2;1) C (3) Do góc BAC nhọn nên ta có cos A A cos A A và cos2 cos 2 5 Gọi n(a; b), a b2 là vtpt đường thẳng AB, đó ta có cosin góc đường thẳng AB và đường phân giác góc A (d) là: a b 2 cos AB, d 3a 10ab 3b a b2 a 3b a b TH1: vtpt đường thẳng AB là n AB (1; 3) thì vtpt đường thẳng AC là n AB (3; 1) t t Phương trình đường thẳng AB: x y Gọi B 3t 6; t AB ta có AI 8 6 B 0; B 3;3 (loại vì trùng A) Tương tự ta có C ; 5 5 8 6 TH2: Vì vai trò điểm B và C nên ta có B ; và C 0; 5 5 8 Đáp số: B(0; 2), C ; B ; , C (0; 2) 5 5 5 5 Cách 2: Chúng ta có thể dựa vào tính chất hình học để có lời giải sau: Vì AD là phân giác góc A nên AD cắt đường tròn (ABC) A E là điểm chính cung BC IE BC Vì E thuộc đường thẳng x y và IE IA R E (0; 0) I B Chọn n BC EI (2; 1) pt BC có dạng x y m H D E C Từ giả thiết HC IH IC HC 5 m 2 BC : x y | m5| 3 5 m 8 BC : x y Vì BAC nhọn nên A và I phải cùng phía BC, kiểm tra thấy BC : 2x y thỏa mãn d ( I , BC ) 2 x y 8 6 8 6 B(0; 2), C ; B ; , C (0; 2) Từ hệ 2 5 5 5 5 ( x 2) ( y 1) [Lê Minh Hiếu, GV Toán THPT Vĩnh Định – Quảng Trị, ĐT 0915003286] [email: minhhieuqt@gmail.com, facebbok: facebbok.com/minhhieuqt] (4)