Hãy xác định ma trận của ánh xạ f, g, gf trong cặp cơ sở chính tắc của các không gian tương ứng.. Giải: Ma trận của ánh xạ f và g trong cơ sở chính tắc lần lượt là.[r]
(1)Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài 1: Khái niệm ánh xạ tuyến tính – và các tính chất Khái niệm ánh xạ tuyến tính 1.1 Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ V và V’ trên trường K Một ánh xạ f : V V ' gọi là ánh xạ tuyến tính f thỏa mãn hai điều kiện sau đây: i) f ( x y ) f ( x ) f ( y ), x, y V (tính bảo toàn phép cộng) f ( x) f ( x), x V , K (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng) ii) - Nếu V = V’ thì ta gọi f là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính Đặt L(V, W) là tập tất các ánh xạ tuyến tính từ V vào W Trên L(V, W) ta đặt các phép toán sau: f g (u ) f (u ) g (u ) f (u ) f (u ) u V , K Khi đó, L(V, W) cùng với hai phép toán định nghĩa trên là không gian vector Sinh viên tự kiểm tra không gian này thỏa các tiên đề không gian vector Chú ý: Ở điều kiện (i) thì phép (+) bên vế trái là phép cộng V còn phép cộng bên vế phải là phép (+) V’, tương tự với điều kiện (ii) Các điều kiện (i) và (ii) định nghĩa có thể thay điều kiện sau: f ( x y ) f ( x) f ( y ), x, y V ; K 1.2 Ví dụ: f : K Km x ( x, 0, , 0) a) Ánh xạ m là ánh xạ tuyến tính và gọi là phép nhúng từ K vào K g : Kn K b) Với i = 1, 2, …, n ta đặt ánh xạ (x1 , x2 , , xn ) xi n là ánh xạ tuyến tính và gọi là phép chiếu lên thành phần thứ i K :V V ' x 0V ' là ánh xạ tuyến tính, gọi là ánh xạ không c) Ánh xạ: h : 2 d) Kiểm tra ánh xạ ( x; y ) (2 x y; x y ) có phải là ánh xạ tuyến tính không? Giải: Với x, y suy x ( x1 , x2 ) và y ( y1 , y2 ) với ; K Khi đó, h( x y ) h( x1 y1 , x2 y2 ) (2( x1 y1 ) x2 y2 , x1 y1 2( x2 y2 )) (2 x1 x2 , x1 x2 ) (2 y1 y2 , y1 y2 ) h( x) h( y ) Khi đó, h( x) (2 x1 x2 , x1 x2 ) Vậy ánh xạ h cho công thức trên là ánh xạ tuyến tính Hơn đây còn là phép biến đổi tuyến tính, hay toán tử tuyến tính từ không gian vector vào chính nó Đại số tuyến tính 1 (2) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Các tính chất: Nếu f là ánh xạ tuyến tính từ V vào V’ thì ta có: i) f ( x y ) f ( x) f ( y ); ii) f (0V ) 0V ' ; f ( x) f ( x); iii) Nếu f : V V ' và g : V ' V '' là các ánh xạ tuyến tính thì gf : V V '' là ánh xạ tuyến tính iv) Qua ánh xạ tuyến tính thì hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính (trong V) biến thành hệ phụ thuộc tuyến tính (trong V’) Tức là hệ các vectơ {x1 , x2 , , xn } f ( x ), f ( x ) , , f ( x ) n phụ thuộc tuyến tính V, thì hệ phụ thuộc tuyến tính V’ v) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng hệ vectơ Tức là: rank ( x1 , x2 , , xn ) rank ( f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )), xi V Định lý xác định ánh xạ tuyến tính: 3.1 Định lý: Cho sở B {e1 , e2 , , en } không gian vectơ V ( n 1 ) và v1 , v2 , , là n vectơ tùy ý không gian vectơ V’ Khi đó, tồn ánh xạ tuyến tính f : V V ' cho f (ei ) vi , i 1, n hay nói khác ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định ảnh sở Ví dụ: 1) Trong cho sở chính tắc {e1 (1,0,0); e2 (0,1, 0); e3 (0,0,1)} , cho 3 vectơ v1 (1,1); v2 (2,3); v3 (4,5) Hãy xác định ánh xạ f : thỏa tính chất f (ei ) vi , i 1, 2,3 Giải: Với x ( x1 , x2 , x3 ) ta có x x1e1 x2 e2 x3e3 Do f là ánh xạ tuyến tính thỏa f (ei ) vi , i 1, 2,3 nên có f ( x) x1 f (e1 ) x2 f (e2 ) x3 f (e3 ) x1v1 x2v2 x3v3 ( x1 , x1 ) (2 x2 ,3x2 ) (4 x3 ,5 x3 ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ) Vậy f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 x3 , x1 3x2 x3 ) ■ 2) Trong cho hai hệ vectơ {u1 (1,1, 0); u2 (0,1,1); u3 (1, 0,1)} và {v1 (1,1,1); v2 (0, 0,1); v3 (1, 2,1)} Hỏi có tồn phép biến đổi tuyến tính f : 3 3 thỏa f (ui ) vi , i 1, 2,3 không? Nếu có hãy xác định công thức f Giải: Hệ vectơ {u1 (1,1, 0); u2 (0,1,1); u3 (1, 0,1)} độc lập tuyến tính 1 0 1 2 0 1 u ,u ,u nên suy là sở Do đó, tồn phép biến đổi tuyến tính 3 từ f : cho f (ui ) vi Đại số tuyến tính 1 (3) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Cho x ( x1 , x2 , x3 ) , giả sử x 1u1 2u2 3u3 Khi đó, x1 1 0 1 3 x 0 1 3 2 2 x3 2 3 1 ( x1 x2 x3 ) 2 ( x1 x2 x3 ) 3 ( x1 x2 x3 ) 1 0 1 3 f ( x) 1v1 2 v2 3v3 1 1 2 0 3 2 1 23 1 1 1 2 3 Vậy công thức biểu diễn phép biến đổi tuyến tính f 1 1 f ( x) x1 ; x1 x2 x3 ; x1 x2 x3 2 2 ■ 2 3) Giả sử cho f L( , ) là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (1, 0) (3, 4); f (0,1) ( 2,5) Khi đó, x ( x1 , x2 ) thì f ( x1 , x2 ) x1 f (1, 0) x2 f (0,1) x1 (3, 4) x2 ( 2,5) (3 x1 x2 , x1 x2 ) Đại số tuyến tính 1 (4) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Bài 2: Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ma trận và biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính: 1.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính: Cho f : V V ' là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ n chiều V vào không gian ' ' ' m, n 1 vectơ m chiều V’ (với Giả sử B (e1 , e2 , , en ) và B ' (e1 , e2 , , em ) là hai sở không gian V và V’ Khi đó, vectơ f (e j ) V’ có dạng: m f (e j ) a1 j e1' a2 j e2' amj em' aij ei' i 1 , hay hoàn toàn xác định biết các hệ số A (aij ) M (m, n; K ) f (e j )[ B ] (a1 j , a2 j , , amj ), j 1, n aij , hay f Vậy f xác định ma trận A ( a ) ij mn Ma trận là ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở (B; B’) Ma trận A là ma trận với m dòng (bằng số chiều không gian V’) và n cột (bằng số f (e ) j chiều không gian V), cột thứ j là tọa độ sở B’ ( j 1, n) Nếu f là phép biến đổi tuyến tính thì ma trận f là ma trận vuông cấp n 1.2 Ví dụ: Xét sở chính tắc các không gian vectơ sau đây f : m x ( x, 0, , 0) thì ma trận biểu diễn ánh xạ f cặp a) Ánh xạ tuyến tính 1 0 m , sở chính tắc không gian là g : n b) Ánh xạ tuyến tính ( x1 , x2 , , xn ) x1 có ma trận biểu diễn ánh xạ g cặp n , 0 sở chính tắc không gian là h: c) Ánh xạ ( x, y ) (2 x y,3 x y ) có ma trận biểu diễn ánh xạ h cặp sở 2 chính tắc là id : n n u u d) Ánh xạ đồng có ma trận biểu diễn ánh xạ đồng cặp sở chính tắc là ma trận đơn vị I n 1.3 Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính: Cho f : V V ' là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ n chiều V vào không gian A ( aij )mn vectơ m chiều V’ (m, n 1) và là ma trận f cặp sở (B, B’) Với Đại số tuyến tính 1 (5) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính vectơ x V , ta thiết lập mối quan hệ các tọa độ x B với tọa độ f ( x) V ' B’ n Giả sử Khi đó, x[ B ] ( x1 , x2 , , xn ) và f ( x )[ B '] ( x1' , x2' , , xm' ) hay x x j e j j 1 m và f ( x) xi' ei' i 1 m n m n n n n ' m ' ' ' ' x e f ( x ) f x e x f ( e ) x a e a x e x aij x j , i 1, m j j j i i j j ij i ij j i i i 1 j 1 j 1 i 1 i 1 j 1 j 1 j 1 Cụ thể: x1' a11 x1 a12 x a1n xn ' x2 a21 x1 a22 x a2 n xn x ' a x a x a x m1 m2 mn n m Tức là, Ví dụ: x1' a11 ' x2 a21 ' a xm m1 a12 a1n x1 a22 a2 n x2 am amn xn f ( x) B ' A x B , đây gọi là biểu thức tọa độ f cặp sở (B, B’) 3 Xét phép biến đổi tuyến tính f : với sở chính tắc , đó ma trận f sở này là: 0 A Nếu vector x có tọa độ sở chính tắc là 2 [ x] 28 [ f ( x )] A.[ x] 27 19 Khi đó Ma trận tích các ánh xạ tuyến tính: 2.1 Định lý: Giả sử các ma trận A và B là ma trận các ánh xạ tuyến tính f : V V ' và g : V ' V '' ứng với các cặp sở là (B, B’) và (B’, B’’) thì ma trận ánh xạ tích gf : V V '' ứng với cặp sở (B, B’’) là ma trận BA 2.2 Ví dụ: 2 Cho hai ánh xạ tuyến tính f : và g : xác định sau: f ( x, y, z ) (2 x y z , x y 3z ), ( x, y, z ) 3 g ( x ', y ') ( x ' y ', x ' y ', x ' y '), ( x ', y ') 2 Hãy xác định ma trận ánh xạ f, g, gf cặp sở chính tắc các không gian tương ứng Giải: Ma trận ánh xạ f và g sở chính tắc là Đại số tuyến tính 1 (6) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính 1 B 1 A 1 và 4 C BA 5 3 Ma trận ánh xạ tích gf là Do đó, ánh xạ tích h=gf có dạng sau: h( x, y, z ) ( x y z , x y z,3x y z ), ( x, y, z ) ■ Ma trận ánh xạ tuyến tính các cặp sở khác nhau: 3.1 Định lý: Giả sử ánh xạ tuyến tính f : V V ' có ma trận các cặp sở ( B1 , B1' ) và ( B2 , B2' ) tương ứng là A1 , A2 Nếu C và C’ tương ứng là các ma trận đổi sở 1 A2 C ' A1C B1 B2 B1' B2' từ sang và sang , thì ta có Nếu A1 , A2 là ma trận ánh xạ tuyến tính f : V V hai sở B1 , B2 1 và C : B1 B2 là ma trận đổi sở từ B1 sang B2 Thì A2 C A1C 3.2 Ví dụ: 2 1) Cho ánh xạ tuyến tính f : xác định f ( x, y , z ) ( x y z , x y z ), ( x, y, z ) 3 Tìm ma trận f cặp sở (B, B’) biết B {u1 (1,1, 0); u2 (0,1,1); u3 (1, 0,1)} và B ' {u1' (2,1); u2' (1,1)} Giải: Ma trận f cặp sở chính tắc C C 3, là 1 1 A1 1 1 1 0 C 1 1 Ma trận đổi sở từ C3 sang B là 1 1 1 C ' C ' 1 và Ma trận đổi sở từ C2 sang B’ là Vậy ma trận f cặp sở (B, B’) là 2 A2 (C ') A1C ■ 2 2) Cho toán tử tuyến tính f : xác định sau: f ( x, y ) ( x y, x y), ( x, y ) 2 Tìm ma trận f sở B {u1 (2,1); u2 (3, 2)} Giải: Ma trận f sở chính tắc là Đại số tuyến tính 1 (7) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính 2 A1 1 1 3 C C và Ma trận đổi sở từ C2 sang B là 10 A2 C A1C ■ Vậy ma trận f sở B là 3) Xét ánh xạ tuyến tính f xác định sau: f : 3 ( x, y ) (2 x y, x,3 y ) ' Gọi B0 ; B là sở chính tắc , Đặt B ((2,3);(3, 4)); C ((1,1, 2), (1, 4,5), (0,3, 1)) là sở , 3 Khi đó, ma trận chuyển sở từ B0 sang B là 3 P ' và ma trận chuyển sở từ B0 sang C là: 1 Q 1 1 A ' Nhận thấy ma trận f cặp sở chính tắc B0 , B0 là ma trận Khi đó ma trận f cặp sở B, C là ma trận T xác định sau: 19 /12 1/12 1/ 104 151 3 T Q AP /12 1/12 1/ 20 31 4 1/ 1/ 1/ 1 Đại số tuyến tính 1 (8) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Bài 3: Hạt nhân và ảnh ánh xạ tuyến tính _ Ảnh và tạo ảnh không gian 1.1 Định lý: Cho không gian vectơ V và V’, với ánh xạ tuyến tính f : V V ' ta có: i) Nếu W là không gian V thì f(W) là không gian V’ Ngoài ra, W u1 , u2 , , um f (W ) f (u ), f (u ), , f (u ) m thì ii) Nếu W là không gian hữu hạn chiều V thì f(W) là không gian hữu hạn chiều V’ và dim f (W ) dim W 1 iii) Nếu W’ là không gian V’ thì f (W ') là không gian V 1.2 Ảnh, nhân, hạng và số khuyết ánh xạ tuyến tính: 1.2.1 Định nghĩa: Cho ánh xạ tuyến tính f : V V ' - Ảnh ánh xạ tuyến tính f , ký hiệu Im f f (V ) { f ( x ) V ' | x V } Imf là không gian V’ Kerf f (0 ) x V | f ( x) 0 V' V ' - Nhân ánh xạ tuyến tính f, ký hiệu Kerf là không gian V - Khi V và V’ là không gian hữu hạn chiều thì Imf và Kerf là không gian hữu hạn chiều, dim Im f dim V ' và dim Kerf dim V , số chiều Imf và Kerf gọi là hạng và số khuyết f, ký hiệu rankf và def (f ) Ví dụ: Cho toán tử tuyến tính f xác định trên sở chính tắc xác định sau: 2 A 1 Khi đó Kerf là tập các vector x cho f (x) = Khi đó xét hệ phương trình AX = 0, thực các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận A ta đưa ma trận A dạng bậc thang sau: -1 1 0 0 Khi đó hệ phương trình AX = có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x1 t x2 t x t với t Đại số tuyến tính 1 (9) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Suy Kerf có sở gồm vector là u (1, 1,1) và dim Kerf = Do đó, rankf = Dim Imf = và Imf Im f v1 , v2 với v1 (1, 2,3); v2 (0,1,1) 1.2.2 Định lý: Cho ánh xạ tuyến tính f : V V Khi đó, V là không gian vectơ hữu hạn chiều thì Im(f ) và Ker(f ) hữu hạn chiều, đồng thời dim Im(f ) + dim Ker(f) = dim V Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu: 2.1 Định nghĩa: Ánh xạ tuyến tính f : V V ' , ta nói f là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) và f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) 3.2 Định lý: Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và f : V V ' là ánh xạ tuyến tính Khi đó, các khẳng định sau là tương đương i) f là đơn cấu; ii) Kerf 0V ; iii) f biến hệ vectơ độc lập tuyến tính thành hệ vectơ độc lập tuyến tính Tức là hệ {u1 , u2 , , um } độc lập tuyến tính thì hệ { f (u1 ), f (u2 ), , f (um )} độc lập tuyến tính; iv) f giữ nguyên hạng hệ vectơ, tức là rank{u1 , u2 , , um } rank{ f (u1 ), f (u2 ), , f (um )} ; v) Nếu W là không gian V thì dim( f (W )) dim W ; vi) rank ( f ) dim V 3.3 Định lý: Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và f : V V ' là ánh xạ tuyến tính Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) f là toàn cấu; ii) Imf = V’; iii) rank(f ) = dim V’; iv) f biến hệ sinh V thành hệ sinh V’, nói cách khác VS thì V ' f ( S ') v) Có hệ sinh S V mà ảnh nó là hệ sinh V’ 3.4 Hệ quả: Cho V là không gian vectơ và B {e1 , e2 , , en } là sở nó Giả sử f : V V ' là ánh xạ tuyến tính Khi đó: i) f là đơn cấu và f ( B) { f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} là hệ độc lập tuyến tính ii) f là toàn cấu và f ( B) { f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} là hệ sinh V’ iii) f là đẳng cấu và f ( B) { f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} là sở V’ 3.5 Hệ quả: Cho f : V V ' là ánh xạ tuyến tính Khi đó, i) f là đơn cấu và rank ( f ) dim V dim V ' ; ii) f là toàn cấu và rank ( f ) dim V ' dim V ; iii) f là đẳng cấu và rank ( f ) dim V dim V ' Đại số tuyến tính 1 (10) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính 3.6 Nhận xét: Nếu dimV = dimV’ thì f là đơn cấu f là toàn cấu f là đẳng cấu Tích các đẳng cấu là đẳng cấu Ánh xạ ngược đẳng cấu là đẳng cấu 3.7 Định nghĩa: Hai không gian vectơ V và V’ gọi là đẳng cấu với nhau, ký hiệu V V ' tồn đẳng cấu từ V vào V’ 3.8 Định lý: V V ' và dim V = dim V’ 3.9 Ví dụ: 1) Cho f : là ánh xạ tuyến tính cho f (e1 ) u1 (1,1, 2, 2); f (e2 ) u2 (2,3,5, 6); f (e3 ) u (4, 5,9,10) đó B {e1 , e2 , e3 , e4 } là sở chính tắc Hỏi ánh xạ f có là đơn cấu không? Tại sao? Giải: Ta lập ma trận A với các dòng là tọa độ các vectơ u1 , u2 , u3 , u4 , thực các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta 1 2 d d 2d 2 d3 d1 A d 10 1 2 1 d d3 d 1 1 2 1 2 0 0 Do đó rank( f ) = rank (u1 , u2 , u3 , u4 ) rankA 2 dim Vậy f không là đơn cấu.■ 2) Cho f : là ánh xạ tuyến tính xác định f (e1 ) u1 (1,1); f (e2 ) u2 (1, 2); f (e3 ) u3 (0, 0) Chứng minh f là toàn cấu Giải: 1 rank ( f ) rank (u1 , u2 , u3 ) rank 2 dim( 2 ) 0 Vậy f là toàn cấu.■ 3 3) Cho f : là ánh xạ tuyến tính cho f (e1 ) u1 (1,1,1); f (e2 ) u2 (1,1, 0); f (e3 ) u3 (1, 0, 0) Ánh xạ f có phải là đẳng cấu không? Giải: f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) Ta lập ma trận A với các dòng là tọa độ các vectơ Do 1 1 rankA rank 1 3 0 nên hệ vectơ f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) là sở Ánh xạ f biến sở chính tắc thành sở , nên f là đẳng cấu.■ Nghiên cứu ánh xạ tuyến tính nhờ ma trận và biểu thức tọa độ nó: 4.1 Tính chất: Đại số tuyến tính 1 (11) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Cho V và V’ là hai không gian vectơ n chiều, m chiều Giả sử B {e1 , e2 , , en } ' ' ' và B ' {e1 , e2 , , em } là sở V và V’ Xét ánh xạ tuyến tính f : V V ' A (a ) M (m, n; K ) ij Gọi là ma trận ánh xạ tuyến tính f và thức tọa độ f cặp sở (B, B’) Khi đó ta có: - rank(f ) = rank(A); A[ x][ B ] [ f ( x)][ B '] là biểu - f là đơn cấu rank( A) n m ; - f là toàn cấu rank( A) m n ; - f là đẳng cấu rank( A) n m A M (n; K ) và det A 0 [ x] - x Kerf ma trận cột tọa độ [ B ] là nghiệm hệ phương trình tuyến tính AX = Ngoài ra, def(f ) = dim Kerf = n – rank(A); - x Im f hệ phương trình tuyến tính 4.2 Hệ quả: AX [ x '][ B '] có nghiệm a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 22 2n n a x a x amn xn bm Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát m1 m 2 Khi đó, tập hợp P0 các nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết với n hệ trên là không gian K , có số chiều n – r với r là hạng ma trận các hệ số hệ phương trình (ta gọi là hạng hệ phương trình) P0 gọi là không gian nghiệm hệ phương trình 4.2.1 Hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất: Mỗi sở P0 gọi là hệ nghiệm hệ phương trình nhất, hệ này gồm n – r nghiệm độc lập tuyến tính Khi đã chọn hệ nghiệm thì nghiệm hệ là tổ hợp tuyến tính hệ nghiệm đó Vì hạng hệ là r nên ta có thể chọn r ẩn chính và n – r ẩn tự Giả sử các ẩn chính là x1 , x2 , , xr và các ẩn tự là: xr 1 , xr 2 , , xn là các ẩn tự do, đó, công thức nghiệm hệ có dạng x1 f1 (1 , , , n r ) x f ( , , , ) 2 n r xr f r (1 , , , n r ) xr 1 1 xr 2 x n r n Khi đó, cho n – r số (1 , , , n r ) nhận các giá trị các vectơ sở chính tắc Cn r , ta thu hệ nghiệm hệ Đại số tuyến tính 1 (12) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Việc tìm nhân ánh xạ tuyến tính f : V V ' quy việc tìm không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Do đó, phương pháp trên cho ta cách tìm sở cho Kerf 4.2.2 Ví dụ 1) Cho ánh xạ tuyến tính f : xác định f ( x, y, z , t ) ( x y t ,3x y z , x y z t ) a) Lập ma trận f cặp sở chính tắc b) Tìm Kerf và Imf c) f có phải là đơn cấu, toàn cấu không? Giải: 1 A 1 1 a) Ma trận f sở chính tắc là b) Tìm Kerf: x y t 0 3x y z 0 4 x y z t 0 Xét hệ phương trình tuyến tính AX = sau: Thực các phép biến đối sơ cấp trên dòng ta đưa hệ phương trình trên hệ phương trình tương đương sau: x 2 y x y t 0 x 2 y t 5 y z 3t 0 z y 3t z 5 3 t với , 2 1 X 5 1, 0 Lần lượt cho ta 1 0 X 3 1 Với 0, 1 , ta Do đó, Kerf {(2 , , 5 3 , ) | , } có sở gồm hai vectơ sau: u1 (2,1, 5, 0); u2 ( 1, 0,3,1) Vì dim Imf = rank( f ) = rank(A) = 2, nên ta có thể tìm hai vectơ độc lập tuyến tính Do f (e3 ) (0,1,1); f (e4 ) (1, 0,1) độc lập tuyến tính nên ta có thể chọn { f (e3 ), f (e4 )} làm sở Imf Vậy Đại số tuyến tính Im f (0,1,1); (1, 0,1) {( , , ) | , } (13) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính c) Do Kerf {(0, 0, 0, )} nên f không phải là đơn cấu Vì dim Imf = rank(f ) =2 < = dim , nên f không phải là toàn cấu.■ 3 2) Cho toán tử tuyến tính f : xác định f ( x, y, z ) ( x y z , x y 3z, x y z ) Hãy tìm Kerf và Imf Giải Ma trận f sở chính tắc là 1 A 3 5 Do các cột ma trận A là tọa độ f (ei ) nên thực các phép biến đổi sơ cấp trên cột ma trận A, từ đó suy rank(A) 1 0 0 A 3 Khi đó, Imf = rank(A) = 2, ta chọn hai cột độc lập tuyến tính ma trận làm sở Imf Khi đó, Im f (1, 0, 2), (0,1,1) { , , 2 | , } Để tìm Kerf ta xét hệ phương trình sau: x y z 0 2 x y z 0 4 x y z 0 x y z 0 3 y z 0 3 y z 0 x y z 0 3 y z 0 x y z z y x 4 y z 3 với 4 X 3 Cho 1 ta Vậy Kerf {(4 , , 3 ) | } với sở là u1 (4,1, 3) ■ Chú ý: Sinh viên có thể tìm đọc thêm nội dung phép biến đổi tuyến tính các sách viết đại số tuyến tính _ Tóm tắt chương Nội dung chương này là phần mở đầu cho môn Đại số tuyến tính mà sinh viên học Qua chương này, sinh viên nắm số kiến thức ánh xạ tuyến tính, các loại ánh xạ đặc biệt, cách thức biểu diễn ánh xạ qua ma trận và tọa độ ánh xạ Học xong chương này sinh viên cần nắm các kiến thức sau: - Ánh xạ tuyến tính là gi? Tính chất? Cách xác định ánh xạ là ánh xạ tuyến tính? - Phép biến đổi tuyến tính là gì? - Ảnh và tạo ảnh các không gian có tính chất gì đặc biệt? Đại số tuyến tính 1 (14) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính - Thế nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu? Cách chứng minh ánh xạ tuyến tính là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu? - Tọa độ ảnh vectơ nào? Với các cặp sở khác nhau? - Dùng ma trận ánh xạ nào để chứng minh các tính chất nó? BÀI TẬP Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính a f : 3 3 : f ( x1 , x2 , x3 ) (2 x1 x2 , x3 x2 , x1 ); b f : 3 3 : f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 3, x3 x1 ); c f : 3 3 : f ( x1 , x2 , x3 ) ( x2 x3 , x3 x1 , x1 x2 ); d f : 3 3 : f ( x1 , x2 , x3 ) ( x12 , x2 , x32 ); e f : 3 3 : f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , 4); f f : 3 : f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 , x3 x2 ); g f : 3 : f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 , x1 x ); h f : n [ x] n [ x]: f ( p( x)) p '( x) Cho ánh xạ f : với f ( x, y ) (2 x y , x y , x y m) Tìm các giá trị m để f là ánh xạ tuyến tính 2 Cho ánh xạ tuyến tính f : xác định f (3, 1)=(2, -4) và f (1, 1) =(0, 2) Xác định f ( x1 , x2 ) Cho ánh xạ tuyến tính f : xác định f (1,2,3) = (1,0); f (2, 5, 3) = (1, 0); f (1, 0, 10) = (0, 1) Xác định f ( x1 , x2 , x3 ) Tìm ánh xạ tuyến tính f : [ x] [ x] xác định f (1) 1 x; f ( x) 3 x ; f ( x ) 4 x 3x Cho toán tử tuyến tính f trên xác định sau: f ( x1 , x2 , x3 ) (( a 1) x1 x2 x3 ; x1 (a 1) x2 x3 ; x1 x2 (a 1) x3 ) Với a là số thực nào đó a) Tìm a cho rank( f ) = 3, rank(f ) <3 b) Khi rank(f ) <3, tìm Kerf và Imf, f có phải đơn cấu, toàn cấu không? 4 Cho ánh xạ tuyến tính f : xác định f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( x1 x2 x3 3x4 ,3 x1 x2 x3 x4 , x1 x2 x3 x4 ,3 x1 x2 24 x3 19 x4 ) Tìm sở Kerf và Imf Tìm toán tử tuyến tính c có ảnh sinh hai vectơ (1, 2, 3) và Đại số tuyến tính 1 (15) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính (4, 5, 6) Hỏi ánh xạ f có đơn ánh không? Tìm toán tử tuyến tính f : có nhân sinh hai vectơ (1, 2, 3, 4) và (0,1, 1, 1) Ánh xạ f có không? 3 10 Cho toán tử tuyến tính f : xác định f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 x3 , x1 x3 , x1 x2 x3 ) i) Tìm để f không phải là đẳng cấu ii) Trong trường hợp câu a., hãy tìm sở và số chiều Kerf và Imf 11 Cho ánh xạ f : xác định f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( x1 x2 x3 , x1 x4 , x2 x3 x4 ) a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f cặp sở B {u1 (1,1,1,1); u2 (0,1,1,1); u3 (0, 0,1,1); u4 (0, 0, 0,1)} và B ' {v1 (1,1,1); v2 (1,1, 0); v3 (1, 0, 0)} c) Tìm rank( f ) và def( f ) 3 12 Cho toán tử tuyến tính f : xác định f ( x1 , x2 , x3 ) (2 x2 x3 , x1 x2 ,3 x1 ) Tìm ma trận f sở B {e1 (1,1,1); e2 (1,1, 0); e3 (1, 0, 0)} 3 13 Cho toán tử tuyến tính f : có ma trận sở chính tắc C {e1 (1,0, 0); e2 (0,1, 0); e3 (0, 0,1)} là 1 0 1 Cho B {u1 (3,1, 2); u2 (2,1, 2); u3 ( 1, 2,5)} a) Chứng minh B là sở b) Tìm ma trận f sở B 14 Toán tử tuyến tính f có ma trận sở chính tắc C là 1 11 1 3 a) Tìm Kerf, Imf, rank( f ), def( f ) b) Tìm ma trận f sở sau: B {u1 (1, 0, 0, 0); u2 (1,1, 0, 0); u3 (1,1,1, 0); u4 (1,1,1,1)} 3 15 Cho ánh xạ tuyến tính f : và g : xác định f ( x1 , x2 , x3 ) (2 x1 , x2 x3 ) và g ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 , x3 ) Hãy xác định các ánh xạ f + g; 3f; 2f – 5g Đại số tuyến tính 1 (16) Chương 5: Ánh xạ tuyến tính 2 16 Cho ánh xạ f : và g : xác định f ( x1 , x2 , x3 ) (2 x1 , x2 x3 ) và g ( x1 , x2 ) ( x2 , x1 ) Hãy xác định ánh xạ gf 17 Cho f, g là các toán tử tuyến tính trên xác định f ( x1 , x2 ) ( x2 , x1 ) và g ( x1 , x2 ) (0, x1 ) 2 Hãy xác định ánh xạ fg ; gf ; f ; g 1 18 Chứng minh các toán tử tuyến tính đây là các tự đẳng cấu và tìm f a ) f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 3x2 x3 , x2 x3 , x3 ) b) f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x3 , x1 x3 , x2 ) 19 Cho V là không gian vectơ hai chiều và B {e1 , e2 } là sở V Giả sử B ' {e1' , e2' } '' '' và B '' {e1 , e2 } là các sở V cho: e1' e1 2e2 ; e2' 2e1 3e2 ; e1'' 3e1 e2 ; e2'' 4e1 2e2 2 Nếu ma trận f sở B là và ma trận g sở B’ là 1 2 với f, g là các toán tử tuyến tính trên V Hãy tìm ma trận toán tử tuyến tính f +g sở B’’ Đại số tuyến tính 1 (17)