Đang tải... (xem toàn văn)
c Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn O cắt nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng CD.. Vẽ hai tiếp tuyến SA và SB.[r]
(1)BÀI 6: HÌNH HỌC A Lí thuyết: SGK – GV cung cấp trên bảng B Bài tập mẫu: Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn ( O; R), hai đờng cao AD vµ BE c¾t t¹i H ( D BC; E AC; AB < AC ) a) Chøng minh c¸c tø gi¸c AEDB vµ CDHE lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh CE.CA = CD CB vµ DB.DC = DH.DA c) Chøng minh OC vu«ng gãc víi DE d) Đờng phân giác AN BAC cắt BC N và đờng tròng ( O ) K ( K khác A) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CAN Chứng minh KO và CI cắt điểm thuộc đờng tròn (O) Bài Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t MB t¹i D a) Chøng minh MCED lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB b) Gäi H lµ giao ®iÓm c¶u CD vµ AB Chøng minh r»ng BE BC = BH BA c) Chứng minh các tiếp tuyến M và E đờng tròn (O) cắt điểm nằm trên đờng thẳng CD Bài Cho đờng tròn (O; R) và điểm S ngoài đờng tròn Vẽ hai tiếp tuyến SA và SB Vẽ đờng thẳng a qua S và cắt đờng tròn (O) M; N với M nằm S vµ N (O a) a) Chøng minh SO vu«ng gãc víi AB b) Gọi H là giao điểm SO và AB; I là trung điểm MN Hai đờng thẳng OI vµ AB c¾t t¹i E Chøng minh ISHE néi tiÕp c) Chøng minh OI.OE = R2 d) Cho SO = 2R vµ MN = R TÝnh diÕn tÝch tam gi¸c ESM theo R Bài 4: Cho tam giác MNP vuông M, đờng cao MH ( H trên cạnh NP ) Đờng tròn đờng kính MH cắt các cạnh MN A và cắt cạnh MP B Chứng minh AB là đờng kính Đờng tròn đờng kính MH Chøng minh tø gi¸c NABP lµ tø gi¸c néi tiÕp Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP I Chứng minh IN = IP Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh Ccắt H và cắt đờng tròn ngoịa tiếp tam giác ABC lần lợt E và F Chng minh AE = AF Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH Kẻ đờng kính BD Chứng minh tứ giác ADCH là hình bình ¿ Bµi 6: Cho tam gi¸c vu«ng PQR ( ^ ❑ P ¿ = 900 ) nội tiết đờng tròn tâm O, kẻ đờng kÝnh PD Chøng minh tø gi¸c PQDR lµ h×nh ch÷ nhËt Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc Q, R trên PD PH là đờng cao cña tam gi¸c ( H trªn c¹nh QR ) Chøng minh HM vu«ng gãc víi c¹nh PR Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN Gọi bán kính đờng tròn nội, ngoại tiếp tam giác vuông PQR là r và R Chøng minh: r + R √ PQ PR (2) Bµi 7: Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i C O lµ trung ®iÓm cña AB vµ D lµ điểm trên cạnh AB ( D không trùng với A, O, B ) Gọi I và J thứ tự là tâm đờng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD vµ tam gi¸c BCD Chøng minh OI // BC Chứng minh điểm I, J, O, D nằm trên đờng tròn Chøng minh r»ng CD lµ ph©n gi¸c cña gãc ACB vµ chØ OI = OJ Bµi 8: Cho đờng tròn tâm O và M là điểm ngoài đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B là tiếp điểm ) và cát tuyến cắt đờng tròn C, D Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD Chøng minh bèn ®iÓm A, B, O, I n»m trªn mét đờng tròn AB c¾t CD t¹i E Chøng MA2 = ME.MI Gi¶ sö AD = a vµ C lµ trung ®iÓm cña MD TÝnh ®o¹n AC theo a Bài 9: Cho điểm A bên ngoài đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn(B, C là tiếp tuyến) M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M≠B, M≠C) Gọi D, E, F tơng ứng là hình chiếu vuông góc M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF ; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF Chøng minh: a MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp b MF vu«ng gãc víi HK Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn Bài 10:Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự ấy) Gọi (O) là đờng tròn qua B và C Từ A vẽ các tiếp tuyến AE và AF với đờng tròn(O) (E và F là các tiếp ®iÓm) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F năm trên đờng thẳng b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) G Chứng minh EG//AB c) Nèi EF c¾t AC t¹i K Chøng minh AK.AI = AB.AC Bài 11:Cho hình vuôngABCD, M là điểm trên đờng chéo BD, gọi H, I và K lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn AB, BC, AD Chøng minh tam gi¸c MIC b»ng tam gi¸c HMK Chøng minh CM vu«ng gãc víi HK Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhÊt Bài 12: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt M và N, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) và (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O 1O2 chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự là A và B Qua M kẻ cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CA và đờng thẳng DB cắt I Chøng minh IM vu«ng gãc víi CD Chøng minh tø gi¸c IANB lµ tø gi¸c néi tiÕp Chứng minh đờng thẳng MNđi qua trung điểm AB Bài 13: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Dựng đờng tròn đờng kính AB, BC, gọi D và E thứ tự là hai tiếp điểm tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB và BC, và M là giao điểm AD với CE Chøng minh tø gi¸c ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp Chứng minh MB là tiếp tuyến hai đờng tròn đờng kính AB và BC Kẻ đờng kính DK đờng tròn đờng kính AB Chứng minh K, B, E th¼ng hµng Bµi 14: Cho tam gi¸c vu«ng MNP (gãc M = 90 0) Tõ N dùng ®o¹n th¼ng NQ vÒ phÝa tam gi¸c MNP cho NP = NQ vµ gãc MNP = gãc PNQ, vµ gäi I lµ trung ®iÓm cña PQ, MI c¾t NP t¹i E 1.Chøng minh gãc PMI vµ gãc QNP b»ng (3) Chøng minh tam gi¸c MNE lµ tam gi¸c c©n Chøng minh MN.PQ = NP.ME Bài 15: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đờng tròn (D≠A và D≠B) Dựng hình bình hành ABCD Từ D kẻ DM vuông góc với đờng thẳng AC M và từ B kẻ BN vuông góc với đờng thẳng AC N a) Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm trên đờng tròn b) Chøng minh AD.ND = BN.DC c) Tìm vị trí D trên nửa đờng tròn cho BN.AC lớn Bµi 16: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vuông góc E trên AD là F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn t¹i ®iÓm thø hai lµ M Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N Chøng minh: a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM c) BE.DN = EN.BD Bài 17: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Một dây CD cắt AB H Tiếp tuyến B đờng tròn (O) cắt các tia AC, AD lần lợt M và N Chứng minh tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM Các tiếp tuyến C và D đờng tròn (O) cắt MN lần lợt E và F Chøng minh EF = MN/2 Xác định vị trí dây CD để tam giác AMN là tam giác Bài 18: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng a không có điểm chung với đờng tròn(O) Từ điểm A thuộc đờng thẳng a, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn (O) (B, C thuộc đờng tròn (O)) Từ O kẻ OH vuông góc với đờng thẳng a H D©y BC c¾t OA t¹i D vµ c¾t OH t¹i E Chứng minh từ giác ABOC nội tiếp đợc đờng tròn Gọi R là bán kính đờng tròn (O) Chứng minh OH.OE = R2 Khi A di chuyển trên đờng thẳng a, chứng minh BC luôn qua điểm cố định Bài 19: Cho tam giác ABC cân A, có góc BAC = 45 0, nội tiếp đờng tròn (O ; R) Tia AO cắt đờng tròn (O;R) D khác A Lấy điểm M trên cung nhỏ AB (M khác A, B) Dây MD cắt dây BC I Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME=MB §êng trßn t©m D b¸n kÝnh DC c¾t MC t¹i ®iÓm thø hai K Chøng minh r»ng: a BE song song víi DM b Tø gi¸c DCKI lµ tø gi¸c néi tiÕp Kh«ng dïng m¸y tÝnh hoÆc b¶ng lîng gi¸c, h·y tÝnh theo R thÓ tÝch cña h×nh tam gi¸c ACD quay mét vßng quanh c¹nh AC sinh Bài 20: Cho đờng thẳng (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm OA và dây MN vu«ng gãc víi OA t¹i C Gäi K lµ ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MN Chøng minh BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh tÝch AH.AK theo R Bài 21: Cho hình thoi ABCD , có góc A = 60 0, M là điểm trên cạnh BC, đờng th¼ng AM c¾t c¹nh DC kÐo dµi t¹i N Chứng minh đẳng thức: AD2 = BM.DN §êng th¼ng DM c¾t BN t¹i E Chøng minh r»ng tø gi¸c BECD lµ tø gi¸c néi tiÕp Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh điểm E năm trên cung tròn cố định điểm M thay đổi trên cạnh BC Bài 22:Cho đờng tròn tâm ( ), AB là dây cố định đờng tròn không qua t©m M lµ mét ®iÓm trªn cung lín AB cho tam gi¸c MAB lµ tam gi¸c nhän Gäi (4) D và C thứ tự là điểm chính cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD I, đờng thẳng CD cắt cạnh MA và MB thứ tự P, Q Chøng minh tam gi¸c BCI lµ tam gi¸c c©n Chøng minh tø gi¸c BCQI lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh QI = MP Đờng thẳng MI cắt đờng tròn N, M chuyển động trên cung lớn AB thì trung điểm MN chuyển động trên đờng nào ? Bµi 23 Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC ( AB = AC ), trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M Gäi (O 1) là tâm đờng tròn tâm 01 qua M và tiếp xúc với AB B, gọi ( O ) là tâm đờng tròn t©m O2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi AC t¹i C §êng trßn ( O1) vµ ( O2 ) c¾t t¹i D (D M) CMR tam gi¸c BDC lµ tam gi¸c vu«ng Chứng ming 01D là tiếp tuyến đờng tròn tâm ( O2 ) B01 cắt C02 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C năm trên đờng trßn Xác định vị trí M cho đoạn thẳng O102 là ngắn ¿ Bµi 24: Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( AC > AB, ^ ❑ A ¿ = 900 ) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm đờng tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, AC lÇn lît t¹i M, N, P Chøng minh tø gi¸c AMIP lµ h×nh vu«ng §êng th¼ng AI c¾t PN tai D Chøng minh ®iÓm M, B, N, D, I n»m trªn đờng tròn §êng th¼ng BI vµ CI kÐo dµi c¾t AC, AB lÇn lît t¹i E vµ F Chøng minh BE CF = BI CI Bài 25: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Trên đờng tròn (O) lấy điểm C (C không trùng với A, B và CA > CB) Các tiếp tuyến đờng tròn (O) A, t¹i C c¾t ë ®iÓm D, kÎ CH vu«ng gãc víi AB ( H thuéc AB), DO c¾t AC t¹i E 1) Chøng minh tø gi¸c OECH néi tiÕp 2) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB F Chứng minh 2BCF CFB 900 3) BD c¾t CH t¹i M Chøng minh EM//AB -Hết bài (5)