Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc Híng dÉn:... T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña..[r]
(1)tµi liÖu tham kh¶o bất đẳng thức đại số I.KiÕn thøc c¬n b¶n: 1.C¸c bÊt d¼ng thøc th«ng dông: a) ∀ A : A ≥ , A 2=0 ⇔ A=0 b)Cho a> , ta cã: | A|≤ a ⇔− a ≤ A ≤ a | A|≥ a ⇔ A≤−a ¿ A ≥a ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ c) ∀ a , b :|a|−|b|≤|a+ b|≤|a|+|b| 2.§¼ng thøc liªn quan: a) c − a ¿2 b − c ¿ 2+¿ a − b ¿2 +¿ ¿ a2 +b 2+ c −ab − bc − ca= ¿ b) a3 +b 3+ c − abc=(a+ b+c )(a2 +b 2+ c2 −ab − bc − ca) II.C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Chøng minh r»ng ∀ a , b ≥0 , ta cã : a+b ≥ √ ab Vµ a+b=2 √ ab ⇔a=b (Bất đẳng thức Cô-Si) Chøng minh: Ta cã √ a − √ b ¿ ≥ Suy a+b − √ ab ≥ a+b − √ab=¿ VËy a+b ≥ √ ab Vµ √ a − √ b ¿ =0 ⇔ √ a − √ b=0 ⇔ a=b a+ b=2 √ ab ⇔ a+b −2 √ ab=0 ⇔ ¿ VÝ dô 2: Chøng minh r»ng ∀ a , b , c ≥ , ta cã : Vµ x+ y ¿ ≤ ⇔ −2 ≤ x + y ≤2 x + y ¿ ≥ ⇔0 ≤ ¿ x+ y ¿2 −¿ ⇒ 4¿ a+b +c=3 √3 abc ⇔ a=b=c (Bất đẳng thức Cô-Si) Chøng minh: 2 Ta cã a+b +c − √3 abc= ( √3 a+ √3 b+ √3 c ) [ ( √3 a − √3 b ) + ( √3 b− √3 c ) + ( √3 c − √3 a ) ] ≥ Suy a+b +c − √ abc ≥0 x+ y ¿ ≤ ⇔ −2 ≤ x + y ≤2 x+ y ¿ ≥ ⇔0≤ ¿ VËy x+ y ¿ −¿ ⇒ 4¿ Vµ a+b +c=3 √3 abc ⇔ a=b=c VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : ac+2bd ¿2 , ∀2 a , b2 , c , d (a +b )(c +d )≥ ¿ DÊu “=” x¶y nµo ? (2) (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ) Chøng minh: ad − bc ¿2 ≥ Ta cã ac+ bd ¿2=a d +b2 c − acbd=¿ (a2 +b 2)(c +d )− ¿ bd ¿ ≥ Suy ac+ 2 (a +b )( c2 +d )− ¿ bd ¿2 VËy ac+ DÊu “=” x¶y vµ chØ 2 2 (a +b )(c +d )≥ ¿ ad=bc VÝ dô 4: Chøng minh r»ng : x x 2+ y y + z z ¿ , (x 1+ y12+ z 21 )(x22 + y 22 + z 22) ≥ ¿ ∀ x1 , x2 , y1 , y2 , z1 , z2 DÊu “=” x¶y nµo ? (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ) Chøng minh: x x 2+ y y + z z ¿ (x 1+ y12+ z 21 )(x22 + y 22 + z 22) ≥ ¿ 2 2 2 2 2 2 ⇔ x y + y x2 + x z + z x + y z + z y ≥2 x x y y 2+ x x z1 z 2+ y y z z : luôn đúng VÝ dô 5: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc Chøng minh r»ng : 2 a) a +b ≥ a+ b ≥ ab ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 b) a +b ≥ a+b ,víi a+b ≥ 2 2 2 c) a +b +c ≥ a+ b+c ≥ ab + bc+ca 3 3 3 d) a +b +c ≥ a+b+c abc 3 DÊu “=” xÈy nµo ? VÝ dô 6: Cho a2 +b 2=1 Chøng minh r»ng : − √ ≤a+ b ≤ √2 Chøng minh: 2 2 Ta cã a+b ¿ ≤ 2(a + b )=2 Suy a+b ¿ ≤ ⇔|a+b|≤ √ ¿ ¿ VËy − √ ≤a+ b ≤ √ VÝ dô 7:Chøng minh r»ng ∀ a , b ta cã : a2 +b ± ab ≥ DÊu “=” x¶y nµo ? Chøng minh: Ta cã a2 +b ± ab=a2 ±ab+ b2 + b2= a ± b + b2 ≥ 4 ( ) Suy a2 +b ± ab ≥ DÊu “=” x¶y vµ chØ ¿ a ± b=0 b=0 ⇔ a=b=0 ¿{ ¿ III.C¸c bµi tËp: Bµi Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng : a) + ≥ b) x y x+ y 1 + + ≥ DÊu “=” xÈy nµo ? x y z x+ y+ z (3) Bµi 2.Cho a+b=2 Chøng minh r»ng : a +b4 ≥ a b + ≥ √ a+ √ b Bµi Cho a , b>0 Chøng minh r»ng: √b √ a Bµi 4.Chøng minh r»ng víi sè d¬ng a, b, c bÊt k×, ta lu«n cã 3 a b c a+b+ c + + ≥ 2 2 a +ab+b b + bc+c c +ca +a (Híng dÉn: Ta cã a ≥ a −b ) a +ab+b Bµi Cho x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn x 2+ y + z 2=1 Chøng minh r»ng : − ≤ xy +yz +zx ≤1 Bµi Cho sè a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng : a) ab+ bc+ ca ¿ ≥3 acb (a+ b+c ) ¿ a b c d (a c ) (b d )2 b) 2 2 2 2 2 2 Híng dÉn: a b c d (a c) (b d ) a b c d ac bd , DÊu “=” xÈy ad bc 0 3 c) a b c 6abc (a b c)(ab bc ca) ; d) (a b c) 9abc 4(a b c)( ab bc ca) Bµi 7.Cho a, b,c > Chøng minh r»ng : √ a2 +ab+ b2+ √ b2 +bc +c +√ c 2+ca + a2 ≥ √ 3(a+ b+c ) (Híng dÉn: Ta cã √ a2 +ab+ b2 ≥ √3 ( a+b) ) 1 + ≥ 2 1+ a 1+b 1+ ab 1 + + ≥ 3 1+ a 1+b 1+ c 1+ abc Bµi 8.a)Cho ab ≥ Chøng minh r»ng : b)Cho a , b , c ≥ Chøng minh r»ng : Híng dÉn: b− a ¿2 (ab− 1) ¿ ¿ a) 1 + ≥ ⇔¿ 2 1+a 1+b 1+ab b)¸p dông c©u a) cho biÓu thøc 1 1 + + + 3 1+ a 1+b 1+ c 1+ abc áp dụng bất đẳng thức Cô si : Bµi 9.Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n + = Chøng minh r»ng a c b A=(3 − x )(4 − y)(2 x +3 y) DÊu “=” xÈy nµo? Híng dÉn: Ta cã + = Suy b= ac a c b a+c a+b c+ b a+3 c a+c c a + = + =1+ ( + ) ≥ DÊu “=” xÈy a=b=c 2a−b 2c−b 2a 2c a c Vµ Bµi 10.Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng 1+ x 1+ y 1+ z + + ≥3 2 ( ) ( )( ) DÊu “=” xÈy nµo? vµ 1+ x 1+ y 1+ z + + ≥3 2 ( ) ( )( ) (4) Bµi 11.Cho x, y, z thuéc ®o¹n [0; 1] Chøng minh r»ng : x y z 1 + + ≤ ≤ + + 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z Híng dÉn: x ≤ 1+ x vµ + + ≥ ≥ 1+ x 1+ y 1+ z 3+ x+ y+ z Bµi 12.Cho sè d¬ng a , b , c Chøng minh r»ng : t −1 ¿2 (t +2t +3)≥ t − t +3 ≥0 ⇔ ¿ Ta cã Híng dÉn: abc Ta cã a2 + bc ≥ a √ bc= Suy ≤ √ bc ≤ b+ c √ bc a + bc abc abc Bµi 13 Cho a , b , c ≥ vµ + + ≥2 Chøng minh r»ng : abc ≤ 1+ a 1+b 1+ c Híng dÉn: 1 + + ≥2 ⇒ ≥ b + c ≥ bc 1+ a 1+b 1+ c 1+ a 1+ b 1+c (1+ b)( 1+ c) abc ≥ Suy (1+a)(1+b)(1+c ) (1+a)(1+b)(1+c ) Bµi 14 Cho a , b , c tháa m·n ®iÒu kiÖn a+b +c=1 Chøng minh r»ng : 1 1+ 1+ 1+ ≥ 64 a b c √ ( )( )( ) Híng dÉn: a+1 a+b+ a+c √ ab+2 √ ac √ a2 bc 1+ = = ≥ ≥ a a a a a Bµi 15.Cho a , b ≥ Chøng minh r»ng : a √ b −1+b √ a −1 ≤ ab Híng dÉn: ⇔√ a √ b −1+b √ a −1 ≤ ab a −1 √ b −1 + ≤1 a b mµ √ a − ≤ a −1+1 = a 2a Bµi 16 Cho a , b , c >0 Chøng minh r»ng : 1 1 1 + + ≤ + + a+ b+c b+ c+ a c+ a+b a b c Híng dÉn: ¸p dông + ≥ (x, y >0 ) x y x+ y Bµi 17 Cho a , b , c >0 Chøng minh r»ng : 1 1 1 + + ≤ + + a+b b+c c + a a b c Híng dÉn: ¸p dông + ≥ (x, y >0 ) x y x+ y ( ( ) Bµi 18 Cho a , b , c >0 Chøng minh r»ng : a) a + b + c ≥ ; b) b+c c +a a+b a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ b+c c +a a+b ) (5) a b c d 2 c) b c c d d a a b + b+c c +a a+b 15 + + ≥ d) a + b + c b+c c +a a+b a b c Híng dÉn: a) a + b + c ≥ ⇔ (a+b +c)( 1 + + )≥ b+ c c +a a+b b+c c +a a+b 1 ⇔ (2 a+2 b+2 c)( + + )≥ : luôn đúng b+ c c+ a a+b 2 b) a + b + c ≥ a+ b+c ⇔ (a+b +c)( a + b + c )≥ (a+b+ c) b+ c c +a a+b b+c c +a a+b a a 2a c) = ≥ b+ c √ a (b+c ) a+ b+c Bµi 19 Cho a , b>0 vµ a+b=1 Chøng minh r»ng : 1 + 2 ≥6 ; + 2 ≥ 14 a) b) ab a + b ab a + b √ Híng dÉn: a) 1 + 2 ≥6 ab a + b ⇔ a2+ b2 +ab ≥ ab(a2+ b2 )⇔ 12 a b2 −7 ab+ 1≥ Đặt t=ab , với t ≤ Suy f (t)=12 t −7 t +1≥ : luôn đúng Bµi 20.(§H2011A)Cho x, y, z lµ ba sè thùc thuéc ®o¹n [1; 4] vµ x ≥ y , x ≥ z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= x + y + z x +3 y y + z z + x Híng dÉn: P= 2+3 y x + 1+ + z x 1+ y z ≥ (áp dụng bất đẳng thức : + y x 1+ x y 1 + ≥ 1+ a 1+b 1+ √ ab √ 2+ ( ab ≥ ) DÊu “=” xÈy vµ chØ a=b hoÆc ab=1 ) DÊu “=” xÈy vµ chØ x= y hoÆc x=z (1) §Æt √ x =t , víi y t ∈ [ ; ] Ta cã P≥ t2 + 2t +3 1+t XÐt hµm sè f (t)= t2 + , víi t ∈ [ ; ] Ta cã f ' (t)<0 t +3 1+t Suy f (t)≥ f (2)=34 DÊu “=” xÈy vµ chØ t=2 ⇔ x =4 ⇔ x =4 , y =1 (2) 33 y Suy P≥ 34 Tõ (1) vµ (2) suy dÊu “=” xÈy vµ chØ : 33 x=4 , y=1 , z=4 VËy P=34 , : x=4 , y=1 , z=4 33 Bµi 21.(§H2011B)Cho a vµ b lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 2 2(a + b )+ab=(a+b)(ab+2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=4 ( a b3 a2 b + − + b a3 b2 a ) ( ) Híng dÉn: §Æt t= a + b , ta cã P=4 ( t − 3t ) −9 ( t − )=4 t − t2 −12 t+18 b a (6) Víi 2(a 2+ b2)+ab=(a+b)(ab+2)⇔ a + b + 1= + (ab+2) ⇔2 ( ab + ba )+1=( 1b + 1a )( ab+2) x+ y ¿2 x+ y ¿ −2 ¿ A=¿ (b a) (b a) a b 2 a b ⇔2 ( + )+1=a+b + + ≥2 √ 2( + ) b a a b √b √a Bµi 22.(§H2009D)Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n x+ y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S=(4 x2 +3 y )(4 y +3 x)+25 xy Bài 23.(ĐH2009B)Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn x+ y ¿ + xy ≥ Tìm giá ¿ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=3 (x + y + x y 2)−2(x + y 2)+1 Híng dÉn: x 2+ y ¿2 −2(x + y 2)+1 DÊu “=” xÈy vµ chØ x 2= y A≥ ¿ x+ y ¿ −2 ≥ ⇒ x+ y ≥ x + y ¿3 +¿ §Æt t=x 2+ y2 , víi x+ y ¿3 + xy ≥ 2⇒ ¿ ¿ x+ y ¿2 ¿ Suy DÊu “=” xÈy vµ chØ x= y= ¿ x 2+ y ≥ ¿ Suy t ≥ DÊu “=” xÈy vµ chØ x= y= 2 9 f (t ) t 2t A ≥ t − 2t +1 f ' (t)= t −2>0 Vµ XÐt hµm sè , ta cã Suy f (t)≥ f ( )= DÊu “=” xÈy vµ chØ t= ⇔ x= y = 16 Suy A ≥ DÊu “=” xÈy vµ chØ x= y= 16 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng ; x= y= 16 2 Bµi 24.(§H2009A)Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x ( x+ y+ z )=3 yz , ta cã Híng dÉn: y+ z ¿3 x+ z ¿ +3( x+ y )( x + z)( y + z )≤ ¿ x+ y ¿ 3+ ¿ ¿ y+ z ¿2 x + z ¿ −(x + y)( x + z )=¿ Ta cã x+ y ¿ 2+¿ x ( x+ y+ z )=3 yz ⇔ (x+ y )( x + z)=4 yz ⇔¿ y + z ¿3 Suy y + z ¿ ( y + z )=3 ¿ 3(x + y )( x+ z )( y + z)=3 yz ( y+ z)≤3 ¿ (7) vµ y + z ¿3 y+ z ¿2 ≤2 ¿ x+ z ¿3 =(2 x+ y+ z) ¿ (v× x + y ¿3 +¿ ¿ x + y + z ≤2( y+ z ) ) Bµi 25.(§H2005D)Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng √1+ x + y + √ 1+ y 3+ z + √1+ z + x3 ≥3 √ xy yz zx Bµi 26.(§H2005A)Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n + + =4 Chøng minh x y z 1 + + ≤1 r»ng x + y + z x+ y + z x + y +2 z Híng dÉn: Ta cã 1 1 1 ≤ + ≤ + + x + y + z x + y x + z 16 x y z ( ) ( ) DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z 1 ≤ + + , x +2 y + z 16 x y z 1 1 ≤ + + x + y +2 z 16 x y z 1 1 1 + + ≤ + + =1 Suy x + y + z x+ y + z x + y +2 z x y z Bài 27.(ĐH2006A)Cho hai số thực x ≠ , y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 2 ( x+ y) xy= x + y − xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A= + x y T¬ng tù ta cã : ( ) ( ) ( ) Híng dÉn: Ta cã ( x+ y) xy= x2 + y − xy ⇔ + = + − x y (x y) xy ⇔ ( 1 1 3 1 + − + = ≤ + x y x y xy x y ) ( ) ( ) DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y 1 1 1 + − + ≤ ⇒ + ≤ DÊu “=” xÈy vµ chØ x= y= x y x y x y Vµ A= + 1 + − = + ≤ 64 DÊu “=” xÈy vµ chØ x y x y xy x y x= y= VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A b»ng 64; x= y= Suy ( ( ) ( ) ) [( ) ] ( ) Bài 28.Cho a là số cố định, còn x, y là các số thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ biÓu thøc Híng dÉn: x +ay +5 ¿2 x − y +1 ¿2 +¿ A=¿ A=0 ⇔ a) x −2 y +1=0 cã nghiÖm ⇔ a≠ − x +ay +5=0 ¿{ x −4 y+ 5¿ b)Với a=− Khi đó x − y +1 ¿2 +¿ A=¿ (8) 9 2t +3 ¿ =5 t +12t +9=5 t + + ≥ §Æt t=x − y +1 Ta cã 5 A=t +¿ Suy A ≥ DÊu “=” xÈy vµ chØ t=− 5 Suy A= t=− 5 VËy nÕu a ≠ −4 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0, vµ nÕu a=− th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng Bµi t¬ng tù: Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x+ 2≤ y T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc H=5 x 2+ 20 y −20 xy+22 x − 44 y +26 Bµi 29 Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x 2+ y =1+ xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc T =x + y − x y ( ) Híng dÉn: Ta cã x 2+ y =1+ xy ≥2 xy vµ x 2+ y =1+ xy ≥− xy Suy − ≤ xy ≤1 1+xy ¿2 − x2 y 2=− x y +2 xy +1 vµ x 2+ y ¿2 −3 x y 2=¿ T =¿ §Æt t=xy Suy max T = ; T = Bµi 30.Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n ≤ x ≤3 , biÓu thøc A=(3 − x )(4 − y)(2 x +3 y) ≤ y ≤ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña Híng dÉn: Ta cã A= (6 − x )(12− y)(2 x+ y )≤ −2 x+12 −3 y +2 x+3 y =36 6 ( ) DÊu “=” xÈy vµ chØ 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2 VËy maxA=36; x=0, y=2 Bµi 31.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n x ≥ , y ≥ , z ≥ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc F= √ x − + √ y −4 + √ z − x Híng dÉn: y z Ta cã: √ x −3= ( x − 3).3 ≤ x − 3+3 = x ⇔ √ x −3 ≤ DÊu “=” xÈy vµ chØ x √3 √3 √3 x-3=3 hay x=6 T¬ng tù √ y − ≤ DÊu “=” xÈy vµ chØ y=8 √ y √ z −2 ≤ DÊu “=” xÈy vµ chØ z=4 z √2 Bµi 32.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy + yz+zx =4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F=x + y + z Híng dÉn: Ta cã x 2+ y + z ≥ xy+ yz+ zx=4 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z= ± x 2+ y 2+ z ¿2 ¿ ¿ 4 F=x + y + z ≥ ¿ Bµi 33.Cho x, y, z > vµ x+y+z=1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P= x + y + z x+ y+ z+ Híng dÉn: (9) Ta cã P=3 −( + + ) x+1 Mµ y +1 z +1 1 (x+ y+ z+3)( + + )≥ x+ y +1 z+ ⇔( 1 + + )≥ x +1 y +1 z +1 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z= Suy P≤ DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z= Bµi 34.Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n abc=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu bc thøc P= ac ab + 2 a b+ a c b a+b c c a+c b Híng dÉn: §Æt x= , y= , z= Ta cã xyz=1 vµ a b c 2 x y z x+ y + z DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1 P= + + ≥ ≥ y + z z+ x x + y 2 + Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007) sin x π > cos x , ∀ x ∈ ; x b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n a=x+ y , b= y + z ,c= z+ x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P=x +2 y 2+3 x +4 xy − x Bµi 36.(HSG TØnh NA 2006)Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0< x ≤ y < π Chøng minh r»ng ( x − x )sin y ≤( y −6 y )sin x Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x> , y > , x + y=1 vµ m m lµ sè d¬ng cho tríc T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tæng S= 2 + xy x +y a)Chøng minh r»ng : ( ) ( ) Bµi 38.(HSG TØnh NA 2008)Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= √ bc + √ ca + √ ab a+3 √ bc b+ √ca c+3 √ ab Híng dÉn: a b c + + ) Ta cã P=3 −( a+3 √ bc b+3 √ ca c +3 √ ab a b c + + §Æt Q= Ta cã a+3 √ bc b+ √ca c+3 √ ab √ a+ √b+ √ c ¿2 a b c ( + + )(a+3 √ bc+ b+3 √ ca+ c+ √ab)≥ ¿ a+3 √ bc b+3 √ ca c +3 √ ab √ a+ √b+ √ c ¿2 ¿ √ a+√ b+ √ c ¿ +√ ab+ √ bc+ √ ca DÊu “=” xÈy vµ chØ ¿ ¿ ¿ ⇔ Q ≥¿ Suy P≤ DÊu “=” xÈy vµ chØ a=b=c VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng ; a=b=c a=b=c Bµi 39.(HSG TØnh NA 2009)Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z Chøng minh r»ng 1 36 + + ≥ x y z 9+ x y 2+ y z 2+ x z2 Híng dÉn: (10) 1 36 + + ≥ ⇔( xy +yz +zx)(9+ x y + y z + z x 2)−36 xyz ≥ x y z 9+ x y 2+ y z 2+ x z2 Ta cã [ ] 3 ⇔ ( √ xyz ) 9+3 ( √ xyz ) −36 xyz ≥ ⇔ ( √ xyz ) − √ xyz+3 ≥ DÊu “=” xÈy vµ chØ x= y=z 2 Đặt t=√3 xyz , với t>0 Ta có t −14 ¿ (t +2t +3)≥ : luôn đúng t − t +3 ≥0 ⇔ ¿ Bµi 40.(HSG TØnh NA 2010B) a)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n log4 ( x+ y )+log ( x −2 y )=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=2 x −| y| b)Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n a+b +c=1 Chøng minh r»ng ab bc ca ab c bc a ca b Híng dÉn: b)§Æt A= ab bc ca Ta cã + ab+c bc +a ca +a a=b=c= Suy A ≤ √ + √ √ A ≤3 ( abab+c + bcbc+ a +caca +b ) DÊu “=” xÈy Bµi 41.(HSG TØnh NA2010A) a)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n log4 ( x+ y )+log ( x −2 y )=1 Chøng minh r»ng x −| y|≥ √ 15 2 2 b)Cho các số thực a, b, c không đồng thời bẳng 0, thỏa mãn a+b +c ¿ =2( a + b +c ) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Híng dÉn: a+b+ c ¿ b)Ta cã a+b +c ¿ 2=2(a2+ b2 +c 2)⇔ ab +bc +ca= ¿ Suy ¿ a+ b+c ¿ ¿ ¿ 3 (a + b +c ) P= ¿ §Æt x= a , y= b , a+b+ c a+b +c ¿ x + y + z=1 xy + yz+zx = ⇔ ¿ y + z =1− x yz=x − x+ ¿{ ¿ z= c Ta cã a+b+ c 2 Vµ y + z ¿ ≥ yz ⇔ x − x ≤ ⇔ ≤ x ≤ ¿ ¿ a3 +b 3+ c3 P= (a+b+ c)(ab+ bc+ ca) (11) 3 x +¿=4 x + x − x+3 P=4(x + y + z 3)=4 ¿ ( 1− x ¿3 −(1− x) x − x+ Suy ) XÐt hµm sè f ( x)=4 x 3+ x − x+ , víi x ∈ ; f ' (x)=12 x 2+ x −7=0 ⇔ x= [ ] Ta cã Bµi 42.Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x+ y+ z ≤ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2 P=x + y + z + x+ y+ z 2 biÓu thøc Híng dÉn: §Æt t=x+ y+ z Ta cã ( x+ y+ z)( + + )≥9 x y z 1 ⇒ + + ≥ Víi x y z t t∈¿ Suy P≥ t + DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1 t Bµi 43.Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y tháa m·n + =6 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y biÓu thøc S=x + y Bµi 44.Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n x+ y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= x + y y +1 x+ Bµi 45.Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x 2+ y + z 2=1 Chøng minh r»ng x y z 3 + + ≥ √ y + z z 2+ x2 x + y 2 Híng dÉn: x y z 3 + 2+ 2≥ √ 2 y +z z + x x + y 2 x y z √3 + + ≥ 2 2 x (1− x ) y (1 − y ) z( 1− z ) XÐt hµm sè f (t)=t (1 −t 2) , víi t ∈(0 ; 1) Ta cã f (t)≤ √3 an +bn a+b n Bµi 46.Cho n lµ sè tù nhiªn lín h¬n Chøng minh r»ng ≥ 2 Ta cã ⇔ ( ) Híng dÉn: c − x ¿n , víi c>0 Ta cã f (x) ≥ f ( c ) n f ( x)=x +¿ §Æt a=x , b=c − x Suy a+b >0 n n n VËy a +b ≥ a+b 2 XÐt hµm sè ( ) Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012) Cho ba sè thùc x, y, z tháa m·n x y z xyz và x 1, y 1, z T×m gi¸ trÞ nhá P nhÊt cña biÓu thøc Híng dÉn: P x y z y2 z x x 1 y y 1 z z 1 x x y z x y2 z2 y2 z2 x2 (1) (12) Mà x 1 y y 1 z z 1 x y2 z2 x2 1 1 1 x 1 y 1 z 1 y z z x x y 2 x 1 y 1 z 1 xy yz xz (2) Tõ (1) và (2) suy 1 1 1 1 P 2 x y z x y z xy yz zx 1 1 xy yz zx Tõu gi¶ thiÕt ta cã 1 1 1 1 2 x y z xy yz zx Mà (3) (4) (5) 1 1 1 1 x y z 3 xy yz zx x y z (6) Tõ (3), (4), (5) và (6) suy P DÊu b»ng xÈy x y z VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P là Bµi 48.(HSG12B-NA:2011-2012) Cho x,y,z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P 1 x2 1 y2 1 z2 _ khai thác số bất đẳng thức quen thuộc i.Phơng pháp biến đổi tơng đơng: Bµi to¸n 1: Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng: a b a b + ≥ √ a+ √ b √b √ a + + ≥2 1.1)Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng √ b √ a √ a+ √ b Híng dÉn: a b a b 1 + ≥ √ a+ √ b Suy + + ≥ √ a+ √ b+ ≥2 Ta cã √b √ a √ b √ a √ a+ √b √ a+ √ b 1.2)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng a2 b2 c2 + + + ≥2 b+c c +a a+b a+b+c Híng dÉn: Ta chøng minh 2 a b c a+ b+c ThËt vËy: + + ≥ b+c c +a a+b (13) 2 2 2 a b c a+ b+c a b c + + ≥ ⇔ a+ + b+ + c+ ≥ (a+b +c) b+c c +a a+b b+c c +a a+b a+b+ c a+ b+c a+ b+c ⇔a +b +c ≥ (a+ b+c ) b +c c +a a+b a b c a b c ⇔ + + ≥ ⇔1+ +1+ +1+ ≥ b+ c c+ a a+ b b+c c+ a a+ b Mà 1+ a +1+ b +1+ c ≥(a+ b+c ) + + ≥ : luôn đúng b +c c +a a+b a+b b+c c +a ( ( ) ( ) ( )( )( ) ) ( ) 1.3)Cho x, y, z lµ nh÷ng sè thùc d¬ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x y z P= + + + √ y+ √ z √ z + √ x √ x + √ y √ x+ √ y + √ z 1.4)Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x+ y+ z ≤ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2 P=x + y + z + x+ y+ z 2 biÓu thøc Híng dÉn: §Æt t=x+ y+ z Ta cã ( x+ y+ z)( + + )≥9 x 1 ⇒ + + ≥ Víi x y z t y z t∈¿ Suy P≥ t + DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1 t Bµi to¸n 1.5: a)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc tháa m·n a+b +c ≥ Chøng minh r»ng a+ b+c ¿3 ¿ ¿ a3 +b 3+ c ≥ ¿ b)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc Chøng minh r»ng a+ b+c ¿2 ¿ ¿ a2 +b 2+ c ≥ ¿ 1.6)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xy + yz+ xz=xyz Chøng minh r»ng 3 x + y + z ≥ 81 Híng dÉn: x + y + z ¿3 1 ¿ Ta cã Mµ xy + yz+ xz=xyz ⇔ + + =1 ¿ x y z 3 x + y + z ≥¿ Suy (x+ y+ z)( + + )≥9 ⇔ x+ y + z ≥ x y z VËy x 3+ y3 + z ≥ 81 1.7)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 3 biÓu thøc P= + + 1+ a 1+b 1+c ( )( )( ) Híng dÉn: §Æt x= 1+ a , y= 1+b , z= DÊu “=” xÈy vµ chØ 1+ c Ta cã + + =4 Suy x+ y+ z ≥ x= y=z = x hay y z a=b=c= (14) P=x + y + z ≥ Suy a=b=c= 81 DÊu “=” xÈy vµ chØ 64 x= y=z = hay VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng 81 , a=b=c= 64 1.8)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= a b c + + b+c c+ a a+ b ( )( ) ( ) Híng dÉn: §Æt x= a , y= b , z= c Ta cã + + ≥6 Suy x+ y+ z ≥ b+c c +a a+b x y z Bµi to¸n 1.9: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ b+c c +a a+b Híng dÉn: a b c a2 b2 c2 a+ b+c ⇔ (a+b +c)( + + )≥ (a+b+ c) + + ≥ b+ c c +a a+b b+c c +a a+b a b c 1 ⇔ + + ≥ ⇔ (a+b +c)( + + )≥ b+ c c+ a a+ b b+ c c +a a+b 1 ⇔ (2 a+2 b+2 c)( + + )≥ : luôn đúng b+ c c+ a a+b 1.10)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n ab+ bc+ ca=1 Chøng minh r»ng a2 b2 c2 √ + + ≥ b+c c +a a+b Híng dÉn: a+b +c ¿ ≥ 3(ab +bc +ca)⇒a+ b+c ≥ √ ¿ 1.11)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x+ y+ z=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x+ y ¿ ¿ y + z ¿2 ¿ z+x¿ ¿ ¿ ¿ ¿ P=¿ Híng dÉn: §Æt a=x+ y , b= y + z ,c= z+ x Ta cã a+b +c=2 vµ a2 b2 c a+b+ c P= + + ≥ =1 b+ c c+ a a+ b Bµi to¸n 1.12:Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng 1+ x 1+ y 1+ z + + ≥3 2 ( ) ( )( ) vµ 1+ x 1+ y 1+z + + ≥3 2 ( ) ( )( ) DÊu “=” xÈy nµo? 1.13)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng a) ( x+ y )2+ ( y + z )2 + ( z + x )2 ≥ 12 b) ( x+ y )3+ ( y+ z )3 + ( z + x )3 ≥ 24 1.14)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x+ y+ z=1 Chøng minh r»ng 2 x + y +z ≥ vµ x 3+ y3 + z ≥ (15) 1.15)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 2+ y + z 2=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x + y + z 1.16)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 2+ y =1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x + y Bµi to¸n 1.17: Cho a , b , c >0 Chøng minh r»ng : 1 1 1 + + ≤ + + a+b b+c c + a a b c Híng dÉn: ¸p dông + ≥ (x, y >0 ) x y x+ y ( ) 1.18)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x ≠ , y ≠ Chøng minh r»ng 1 1 + + ≤ a+b b+c c +a 1.19)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 Chøng minh r»ng ab bc ca + + ≤ a+b b+c c +a 1.20)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A= ab + bc + ca a+b b+c c +a Híng dÉn: √ √ √ √ √ √√ √ √ ab bc ca a+b b +c c+ a + + ≤ + + ≤ (√ a+b+ √b+ c+ √ c+ a) a+b b+c c +a a+b √ b+ c √ c +a √ a+b+ b +c + c+ a ¿2 ≤ (a+b+ c)=6 ⇒ √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √6 ¿ √ Suy A ≤ DÊu “=” xÈy a=b=c= A= Bµi to¸n 1.21.Chøng minh r»ng víi sè d¬ng a, b, c bÊt k×, ta lu«n cã 3 a b c a+b+ c + + ≥ 2 2 a +ab+b b + bc+c c +ca +a (Híng dÉn: Ta cã a ≥ a −b ) a +ab+b 1.22)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 Chøng minh r»ng 3 a b c + + ≥ 2 2 2 a +ab+b b + bc+c c +ca +a 1.23)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n abc=1 Chøng minh r»ng a3 b3 c3 + + ≥1 a2 +ab+b b2 + bc+c c +ca +a2 Bµi to¸n 1.24:Cho a, b,c > Chøng minh r»ng : √ a2 +ab+ b2+ √ b2 +bc +c +√ c 2+ca + a2 ≥ √ 3(a+ b+c ) (Híng dÉn: Ta cã √ a2 +ab+ b2 ≥ (a+b) ) 1.25)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 Chøng minh r»ng : √ a2 +ab+ b2+ √ b2 +bc +c + √ c 2+ca + a2 ≥ √ 1.26)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n abc=1 Chøng minh r»ng : √ a2 +ab+ b2+ √ b2 +bc +c + √ c 2+ca + a2 ≥ √3 Bµi to¸n 1.27:Cho a , b , c >0 Chøng minh r»ng : a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ b+c c +a a+b Híng dÉn: Ta cã a + b + c ≥ b+c c +a a+b ⇔ (a+b +c)( 1 + + )≥ b+ c c +a a+b (16) 1 + + )≥ : luôn đúng b+ c c+ a a+b 2 vµ a + b + c ≥ a+ b+c ⇔ (a+b +c)( a + b + c )≥ (a+b+ c) b+ c c +a a+b b+c c +a a+b 1.28)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 Chøng minh r»ng : a2 b2 c2 + + ≥ b+c c +a a+b 1.29)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x= y=2 Chøng minh r»ng : a2 b2 c2 + + ≥ b+c c +a a+b ⇔ (2 a+2 b+2 c)( II.Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hµm sè mét biÕn: 2.1)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n + =5 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x y thøc H=x + y + x+ y Híng dÉn: §Æt t=x+ y , víi + =5 Ta cã : (x+ y)( + )≥ 25⇒ x+ y ≥ 5⇒ t ≥ x y x y H=t + t Vµ 2.2)Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy + yz+zx =1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x + y + z + 4 Híng dÉn: x + y +z §Æt t=x + y + z , víi x 2+ y + z ≥ xy+ yz+ zx=1 Suy x2 + y + z ¿ ¿ ¿ 4 x + y +z ≥ ¿ 2.3)Cho c¸c sè thùc a, b tháa m·n a2 +b 2=1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=(a+b)( 2ab+ a+b) Híng dÉn: Ta cã a+b ¿ 2+(a+ b)− a+b ¿2 −(a+b) a+b ¿ 3+ ¿ ¿=¿ P=(a+b)¿ 2 §Æt t=a+ b , víi a2 +b 2=1 Suy a+b ¿ ≤ 2(a + b )≤ 2⇔ − √ 2≤ a+ b≤ √ ¿ hay t ∈[− √ 2; √2] Vµ P=t +t2 −t , víi t ∈[− √ 2; √2] 2.4)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x+ y=xy T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x + y − xy Híng dÉn: x+ y ¿2 −3 xy x+ y ¿ − 9(x+ y) Ta cã x+ y ¿3 −3 ¿ ¿ − xy=¿ P=(x+ y)¿ x+y¿ §Æt t=x+ y , víi x+ y=xy ≤ ¿ Vµ P=t − t −9 t , víi t ≥ ⇒ x+ y≥4 ⇒t ≥4 (17) 2.5)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n + =1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x y P=x + y 2+ x+ y thøc Híng dÉn: x+ y ¿ −2(x + y )+ x + y §Æt t=x+ y Víi P=¿ 1 ( x+ y)( + )≥ ⇒ x + y ≥ x y 2.6)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n + = Chøng minh r»ng x y z x +y z 33 DÊu “=” xÈy nµo ? + ≥ x+ y z Híng dÉn: x+y ¿ ¿ ¿ DÊu “=” xÈy x= y 2 x +y z + ≥¿ x+y z §Æt t= x + y Víi + = ⇒ x+ y ≥ hay z x y z z XÐt hµm sè f (t)= t + , víi t ≥ t t ≥ DÊu “=” xÈy x= y=2 z 2.7)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x + y 2+ z2 + x+ y+ z Híng dÉn: x+ y+ z ¿2 ¿ DÊu “=” xÈy ¿ P≥¿ x= y=z §Æt t=x+ y+ z Ta cã P≥ f (t)= t + víi t> t 2.8)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x + y 2+ z2 + x+ y+ z Híng dÉn: x+ y+ z ¿2 ¿ DÊu “=” xÈy x= y=z ¿ P≥¿ §Æt t=x+ y+ z Ta cã x+ y+ z ≥ √3 xyz=3⇒ t ≥ vµ P≥ f (t)= t + víi t ≥ t 2.9)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng xy ( x 2+ y 2)+ x+ y ≥ xy Híng dÉn: 1 2 2 xy ( x + y )+ x+ y ≥ xy ⇔ 4( x + y )+ + ≥ x x+ y 1 2 ( x + y )+ + ≥2 ¿ x y x+ y ¿ 2+ y (18) §Æt t=x+ y XÐt hµm sè f (t)=2 t 2+ , víi t> t 2.10)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x 2+ y =xy ( x + y ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x + y − xy Híng dÉn: x + y ¿2 x+ y ¿ −3 ¿ P=¿ §Æt t=x+ y Víi x 2+ y =xy ( x + y ) Ta cã Suy x+ y ¿ ¿ ¿ ¿ x+ y ¿ ¿ ¿ ¿ x+ y ¿3 ¿ ¿ xy ( x + y )≤ ¿ vµ x+ y ¿ ¿ ¿ ¿ hay x+ y ≥ Vµ P=t − t2 , víi t ≥ 2.11)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x 2+ y =xy ( x + y ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x + y − 9(x + y )− xy c)( a+b+ c) 2.12)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n b+ c ¿ =a(b+ a +¿ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=a3+ b3 +c +3( bc −2 a)(b +c) − 9(a+ b+c ) Híng dÉn: §Æt x=a , y=b+c 2.13)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 2+ y + z 2=1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=xy+ yz+ zx+ xy +yz +zx +2 Híng dÉn: §Æt t=xy + yz+ zx , víi x 2+ y + z 2=1 ⇒ − ≤ xy + yz+zx ≤1 hay t ∈ − ; Ta cã P=f (t)=t+ t+ [ ] , víi t ∈ − ; [ ] t +2 ¿ ¿ t +2 ¿2 ¿ ¿ ¿ f ' (t)=1 − ¿ 13 f (0)=2 , f (− )= , f (1)= Suy Pmax=f (1)= t=1 hay x= y=z =± √3 vµ Pmin =f (0)=2 t=0 hay xy + yz+zx =0 vµ x 2+ y + z 2=1 2.14)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n + = Chøng minh r»ng x y z x+ y z 17 + ≥ DÊu “=” xÈy nµo ? z x+ y 2.15)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n + = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z biÓu thøc x 2+ y + z ≥ (19) 2.16)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n + = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x biÓu thøc P= x + y + ( z ) ( x +z y ) y z 2.17)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n + = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x biÓu thøc P= x + y + y z ( z ) ( x +z y ) 2.18)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n + = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x biÓu thøc P= x+ y + √ √ z y z z x+ y 2.19)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x 2+ y +2=2(x+ y)+ √ xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=2 xy+ √ xy − x+ y Híng dÉn: 2 Ta cã x+ y ¿ + ≤ 2(x + y )+4=4(x + y )+2 √ xy ≤ 5( x + y) ¿ x+ y ¿ −5 (x+ y )+4 ≤0 ⇔ 1≤ x+ y ≤ ⇒¿ vµ x+ y ¿ −2(x + y )+2 Suy xy+ √ xy=¿ x+ y ¿ −2( x + y )+2− x + y §Æt t=x+ y , víi t ∈ [ ; ] A=¿ Khi đó A=f (t )=t −2 t+ 2− ,với t ∈ [ ; ] t t −2 t + 2(t +1)(t −2 t+2) f ' (t)=2 t − 2+ = = >0 t t2 t2 Suy max A=f (4)=8 x=y=2; vµ A=f (1)=5 x= y= 4 2.20)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n x + y =2 xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x+ y ¿ 2 2 A=xy +3 x y + xy (x + y )− ¿ Híng dÉn: x+ y ¿2 ¿ x 2+ y ¿2 ¿ Ta cã x + y ¿4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x+ y ¿ ≤ ⇔ −2 ≤ x + y ≤2 x + y ¿4 ≥ ⇔0 ≤ ¿ x+ y ¿2 −¿ ⇒ 4¿ x+ y ¿2 Vµ x+ y ¿ −2 ¿ §Æt t=x+ y , víi A=¿ t ∈ [ − 2; ] (20) Khi đó A=f (t)=t − 2t ,với t ∈ [ − 2; ] f ' (t)=4 t − t=0 ⇔ t=0 , t=±1 f (0)=0 , f (±1)=− 1, f (± 2)=8 Suy max A=4 x= y=± A=− x= 1+ √2 √ −5 , y = − √ √ − hoÆc 2 1− √2 √ −5 1+ √ √ − hoÆc −1+ √ √ −1 − 1− √ √ −1 hoÆc x= , y= x= , y= 2 2 −1− √ √ −1 − 1+ √2 √ −1 x= , y= 2 2.21)Cho c¸c sè thùc x ≠ , y ≠ tháa m·n x + y +2=2( x 2+ y 2)+ xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=2 x y + xy − 2 x +y Híng dÉn: x 2+ y ¿2 +2 ≤ x + y +2=2( x + y )+ xy ≤ ( x + y ) Ta cã ¿ 2 2 2 2 x + y ¿ −5( x + y )+ ≤ ⇔1 ≤ x + y ≤ ⇔¿ x 2+ y ¿2 −2(x + y 2)+2 − 2 2 vµ x + y §Æt t=x + y , víi t ∈ [ ; ] A=¿ 2.22)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 2(x 3+ y 3)+ x y =6 x y T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=4 + + x y xy ( ) Híng dÉn: 3 3 2 2( x + y )+ x y =6 x y ⇔ Ta cã ( x1 + y1 )+ 2=12xy 3 vµ 1 1 12 1 + + 2≤ + +2= ≤ + x y xy x y x y Suy + + 2≤ + ⇔ ≤ + ≤1+ √ x y x y x y §Æt t= + , víi t ∈ [ ; 1+ √ ] Ta cã A=4 t +t −t +1− = t2 +3 t +1− x y 2t+2 t+ 2 XÐt hµm sè f (t) = t +3 t +1− ,víi t ∈ [ ; 1+ √ ] t+ 2 t+2 ¿ ¿ ¿ f ' (t)=2 t + 3+ ¿ Suy A=f (1)=19 x= y=2 ; max A=f (1+ √3) x= y= √ −1 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) (21)