Để dạy tốt được vấn đề này, người giáo viên không chỉ có kiến thức tốt mà còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học, kết hợp các hình thức dạy học thích hợp nhằm phát huy [r]
(1)CHÚ DẪN MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT GTLN: giá trị lớn nhất; GTNN: giá trị nhỏ
2 pt; hpt; bpt; BĐT: phương trình; hệ phương trình; bất phương trình; bất đẳng thức
(2)PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý chọn đề tài
Bất đẳng thức – phận Đại số sơ cấp, đặc biệt có vai trị quan trọng chương trình Tốn phổ thơng Bất đẳng thức có mặt Đại số lẫn hình học ba cấp học phổ thông Bất đẳng thức đa dạng phong phú, ngồi ra, có nhiều ứng dụng quan trọng để giải nhiều toán cách nhanh gọn
Bất đẳng thức vấn đề khó học sinh nói riêng người học Tốn nói chung Để dạy tốt vấn đề này, người giáo viên khơng có kiến thức tốt mà cịn phải biết vận dụng linh hoạt phương pháp dạy học, kết hợp hình thức dạy học thích hợp nhằm phát huy tính tích cực, động học sinh trình tiếp thu kiến thức, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo vấn đề học vào giải toán giải vấn đề thực tế
Nghiên cứu vấn Tốn học nói chung vấn đề bất đẳng thức nói riêng rèn luyện tính kiên trì, chịu khó, xác
Chính lý này, tơi chọn đề tài “Phân tích vấn đề bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức – đại số 10”
2 Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu vấn đề “bất đẳng thức” đại số 10 Trên sở phân tích mục tiêu, nội dung hành thành cách dạy để học sinh tiếp thu kiến thức cách tích cực biết vận dụng kiến thức học cách linh hoạt, sáng tạo
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
(3)phân tích mục tiêu nội dung vấn đề bất đẳng thức chương trình Tốn lớp 10 nhằm đáp ứng cho việc giảng dạy giáo viên tài liệu để học sinh tham khảo để học tốt vấn đề bất đẳng thức
5 Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu liên quan đến bất đẳng thức ứng dụng Nghiên cứu nhiều tài liệu hướng dẫn giảng dạy phân tích chương trình Đại số 10, đặc biệt vấn đề bất đẳng thức
(4)PHẦN NỘI DUNG
BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: BẤT ĐẲNG THỨC 1 Định nghĩa tính chất:
1.1 Định nghĩa:
Định nghĩa 1: Cho hai số a b, ta nói a lớn b (kí hiệu a b ) hiệu a – b số dương; a nhỏ b (kí hiệu a b ) hiệu a – b số âm Ngược lại, hiệu a – b > ta nói a b , a – b < a b
Vậy: a b a b 0; a b a b 0
Các mệnh đề “a b ”; “a b ”; “a b ”; “a b ” gọi bất đẳng thức
Cũng mệnh đề logic khác, bất đẳng thứcc sai
Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức
Định nghĩa 2: Cho hai biểu thức A(x) B(x) phụ thuộc vào biến số x xác định miền D ta viết A(x) > B(x) (hoặc A(x) < B(x) ) hiệu A(x) – B(x) > (hoặc A(x) – B(x) < 0), ứng với trị số x miền D Ngoài ra, tồn giá trị xo thuộc D cho A(xo) = B(xo) ta viết A(x) B(x) ( A(x) B(x))
1.2 Tính chất:
1.2.1 Nếu a > b b < a ngược lại 1.2.2 Nếu a > b b > c a > c 1.2.3 Nếu a > b a + c > b + c, c
(5)1.2.7 Nếu a > b c > ac > bc, c < ac < bc 1.2.8 Nếu a > b > > a > b; < a < b
1.2.9 Nếu n N* a2n > b2n |a| > |b|
1.2.10 Nếu a >
1 x x
a a x x 1.2.11 Nếu < a <
1 x x
a a x x 1.2.12 Nếu a > b > ax > bx
x >
1.2.13 Nếu < a < b < ax < bx
x <
1.2.14 Nếu a > b > hay a < b < 1 a b 1.2.15 Nếu a, b, k >0 a
b
a a k b b k
1.2.16 Tính chất giá trị tuyệt đối:
Định nghĩa: ,
,
a a a
a a
Tính chất:
+ -|a| < a <|a| + |a + b| |a| + |b|
+ ||a| - |b|| |a – b|
1.2.17 Tính chất tam thức bậc hai:
Giả sử x1, x2 hai số cho trước (x1 < x2), đó:
(x x x x 1)( 2) 0 x1x x
2 (x x x x)( ) x x
x x
(6)2 Một số bất đẳng thức sử dụng chương trình tốn lớp 10:
2.1 Bất đẳng thức Cauchy (Augustin Cauchy, nhà toán học người Pháp, 1789 – 1857)
Cho số không âm a1, a2, a3,…,an Khi đó, ta có BĐT sau:
2.1.1
1 2
a a
a a
, dấu “=” xảy a1a2
(Trung bình cộng hai số khơng âm lớn trung bình nhân hai số đó)
2.1.2
1 3
a a a
a a a
, dấu “=” xảy a1 a2 a3
(Trung bình cộng ba số không âm lớn trung bình nhân ba số đó)
2.1.3 Tổng qt:
1 n
i n i n
i i a
a n
, dấu “=” xảy a1a2 a3 an Ở kỉ thứ II (TCN), Euclide – nhà toán học cổ Hy Lạp, phương pháp hình học tìm BĐT cho hai số
Năm 1982, Cauchy – nhà toán học lỗi lạc, Viện sĩ Viện Hàn Lâm Khoa Học Pháp chứng minh trường hợp tổng quát nên ta gọi BĐT 2.1.3 BĐT Cauchy
Sau số hai mươi cách chứng minh BĐT Cauchy (chứng minh quy nạp)
- Với n = 2, BĐT 2.1.3 đúng, thật vậy: Ta có:
2
1
1 2 2
2 a a
a a a a a a a a
, a a1, 20
dấu “=” xảy a1a2
(7)1 k i k i k i i a a k
, dấu “=” xảy a1a2 a3 ak
- Chứng minh BĐT 2.1.3 với n = k +1, tức chứng minh: 1 1 1 k i k i k i i a a k Ta có: 1
1 1
1 1
( 1) ( 1)
k k
k k
k k
i i i k i
i i i i
a k a a a k a
1 1 k k k k k
i k i
i i
k a k a a
1 1
1 1
2
k
k k k
k k
i k i i
i i i
k a a a k a
1 1 ( 1) k k k i i i i
a k a
hay
1 1 1 1 k i k i k i i a a k
Dấu “=” xảy
1
1
1
1 1 1 k k k
k i k
i k
k k
k k
i k i
i i
a a a a
a a a a a a
a a a
Theo nguyên lý quy nạp toán học, BĐT 2.1.3 n2, nN
2.2 Bất đẳng thứcc Bunhiacopxk (Buniakowski, nhà toán học người Nga, 1804 – 1889):
Cho 2n số thực ai, bi (i = n) Khi đó, ta có cácc BĐT:
2.2.1 2 2 2
1 2 2
a b a b a a b b , dấu “=” xảy
1
a a
b b
(8)2.2.2 a b1 1a b2 2a b3 32 a12a22a32 b12b22b32, dấu “=” xảy
1
1
a
a a
b b b
2.2.3 Tổng quát:
2
2
1 1
n n n
i i i i
i i i
a b a b
, dấu “=” xảy
1
1
n n a a a
b b b
Sau xin nêu cách chứng minh 2.2.3
- Nếu ai0,i1 n ta thấy BĐT 2.2.3
- Nếu 2
1 n
a a a , đó, ta xét tam thức bậc hai:
2 2 2 2
1 1 2
( ) n n n n
f x a a a x a b a b a b x b b a
12 22 2
( ) n n 0,
f x a x b a x b a x b x
f x( ) 0, x
Theo định lý dấu tam thức bậc hai, ta có:
2 2 2 2 2
1 2 n n n n
a b a b a b a a a b b a
Hay a b1 1a b2 2 a bn n2 a12a22 an2 b12b22 an2 Dấu “=” xảy t R cho ai tbi bi ta ii, 1 n BĐT 2.2.3 chứng minh
Đặc biệt:
(9)Chương 2: PHÂN TÍCH NỘI DUNG MỤC “BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” ĐẠI SỐ LỚP 10
Bất đẳng thức dạng toán quen thuộc học sinh phổ thông sinh viên ngành Tốn Đây vấn đề khơng qua đơn giản, học sinh phổ thơng khó nắm bắt vấn đề Nhận thấy rằng, nội dung vấn đề giảm tải hệ thống tập bất đẳng thức SGK Đại số 10 tương đối gọn, nhẹ nên chưa thể khai thác hết tính thâm thúy bất đẳng thức Nhưng để tìm hiểu sâu vấn đề rộng lớn, khó có nhiều ứng dụng, khơng đơn đôi ba cách để chứng minh bất đẳng thức SGK, mà có nhiều csch để chứng minh chúng Mỗi cách giải phù hợp với đặc trưng riêng bất đẳng thức
Những kiến thức bản, trọng tâm vấn đề bất đẳng thức nằm Đại số 10 Nhưng lớp 11, 12 có dạng tốn ứng dụng chúng Điều gây khơng khó khăn cho em học sinh phần lớn em học sinh quên phần kiến thức bất đẳng thức học lớp 10 không thành thạo vận dụng chúng Do vậy, nhiệm vụ người giáo viên dạy vấn đề Đại số 10 hay vấn đề có liên quan quan trọng, cho em khắc sâu kiến thức biết cận dụng chúng cần
(10)Nếu sử dụng phương pháp thuyết trình giảng dạy buộc học sinh thuộc lịng sng tính chất, định lý, Điều hạn chế việc phát triển tư duy, khả suy luận học sinh không phát huy tính tích cực em Đây nguyên nhân gây nên sai lầm đáng tiếc học sinh sử dụng tính chất bất đẳng thức giải toán bất đẳng thức
Để dạy kiến thức bất đẳng thức đạt hiệu quả, giáo viên cần giúp học sinh tự phát tính chất khắc sâu chúng Để làm điều này, giáo viên cần dạy theo hướng tích cực hóa đan xen với phương pháp truyền thống Chảng hạn, giáo viên nêu vấn đề, học sinh giải vấn đề, kết luận thành tính chất,… Trong dạy học tính chất dạy tốn bất đẳng thức giáo viên cho phản ví dụ để khắc sâu kiến thức, cần xem xét vấn đề nhiều khía cạnh (như thay đổi giả thiết xem kết toán thay đổi thay đổi phần giả thiêt đưa đến tốn mới, xét xem chiều ngược lại có khơng,…) khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải khác (nếu có) cho tốn, …
Để làm tốt cơng việc địi hỏi người giáo viên việc nắm vững kiến thức, sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cựa học sinh, cịn phải có lịng u nghề, say mê nhiệt tình với công việc phải hiểu rõ đối học sinh dạy
Sau phần phân tích nội dung vấn đề bất đẳng thức Đại số 10 phân dạng tập giáo án giảng dạy bất đẳng thức
2.1 Mục tiêu: Giúp học sinh: Về kiến thức:
- Hiểu khái niệm BĐT
(11)- Nắm vững BĐT trung bình cộng trung bình nhân hai số khơng âm
- Nắm BĐT trung bình cộng trung bình nhân ba số khơng âm
Về kỹ năng:
- Chứng minh số BĐT đơn giản cách áp dụng BĐT nêu học
- Biết cách tìm GTLN, GTNN hàm số biểu thức chứa biến
2.2 Tóm tắt nội dung:
2.2.1.Định nghĩa tính chất bất đẳng thức: * Định nghĩa:
Cho hai số a b, ta nói a lớn b (kí hiệu a b ) hiệu a – b số dương; a nhỏ b (kí hiệu a b ) hiệu a – b số âm Ngược lại, hiệu a – b > ta nói a b , a – b < a b
Vậy: a b a b 0; a b a b 0
Các mệnh đề “a b ”; “a b ”; “a b ”; “a b ” gọi bất đẳng thức
Cũng mệnh đề logic khác, bất đẳng thứcc sai
* Tính chất:
1 a b b c a c a b a c b c
(12)4 a b c d a c b d a c b a b c
5 a b 0 c d 0 ac bd a b 0và n N * an bn a b 0 a b
8 a b 3a 3b
2.2.2 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:
Đối với hai số a, b tùy ý, ta có: a b a b a b
2.2.3 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân: Với a0;b0, ta có:
2 a b
ab
;
2 a b
ab a b
(BĐT gọi BĐT Côsi cho hai số không âm) Với a0;b0;c0, ta có:
3 a b c
abc
;
3 a b c
abc a b c
(BĐT gọi BĐT Côsi cho ba số không âm) Áp dụng:
1 Nếu hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số
2 Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số
2.3 Những điều cần lưu ý:
+ Theo định nghĩa, bất đẳng thức “a>b” “b<a” tương đương Vì ký hiệu “< ” “>” thật không cần thiết Tuy nhiên, thực tế, hai ký hiệu tỏ thuận lợi
Ta ký hiệu “a b” (“a b” để ta có “a < b”( “a >b”)
(13)sinh nói: “Viết khơng Phải viết thứ "5 >0”, thứ hai “5=5” đúng” Trả lời không đúng! Thậy bất đẳng thức “a0” có nghĩa “a>0) “a=0” Nói riêng, “5” có nghĩa
hai khả năng: “5>0” “5=0” xảy Trong truờng hợp này, khả thứ xảy Vậy viết “50” hoàn toàn Cũng vậy, viết “55’
hoàn toàn
Từ định nghĩa ký hiệu “”, suy bất đẳng thức a b không
đúng a <b Vì lý kí hiệu > cịn đọc “khơng nhỏ hơn” Chẳng hạn, bất đẳng thức cịn đọc theo thứ tự
“3 không nhỏ 2” “3 không nhỏ 3”
Tương tự kí hiệu cịn đọc “không lớn hơn”
Các bất đẳng thức “a >b” “c>d” (hoặc “a<b” “c<d”) gọi bất đẳng thức chiều Các bất đẳng thức “a >b” “c<d” gọi bất đẳng thức trái chiều
Chú ý cách nói phản ánh cách viết bất đẳng thức, mà không phản ánh điều biểu thị bất đẳng thức Chẳng hạn, bất đẳng thức “a>b” “c>d” chiều, bất đẳng thức “a>b” “d<c” trái chiều “c>d” hay “d<c” ý nghĩa khơng có thay đổi
Ngồi bất đẳng thức “a>b”, “ab”, người ta dùng bất
đẳng thức kép dạng
a<c<b; a c < b; a<cb; acb
ta có chẳng hạn:
a c b a c
c b
;
a c b
a c a c c b c b
Để chứng minh tính chất bất đẳng thức, phương pháp chủ yếu áp dụng định nghĩa Phép chứng minh nói chung khơngcó khó khăn
(14)Nhân chia hai vế bất đẳng thức với số dương bất đẳng thức chiều, nhân chia hai vế đẳng thức với số âm thi bất đẳng thức trái chiều
Chú ý việc chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc sai lầm logic Trong phép chứng minh bất đẳng thức, ta đưa bất đẳng thức biết, thiết phải xét xem tiến hành tất lập luận theo chiều ngược lại hay khơng Nếu được, dãy lập luận theo chiều ngược lại phép chứnh minh bất đẳng thức cho Tuy nhiên phép biến đổi tương đương, tức bất đẳng thức sau xảy bất đẳng trước xảy ra, khơng cần phải lập luận theo chiều ngược lại
+ Cho hàm số y = f(x) xác định tập D Muốn chứng minh số M (hay m) GTLN (GTNN) f(x) D, ta làm sau:
- Chứng minh BĐT f x( )M f x( ( )m), x D
- Chỉ (không cần tất cả) giá trị x x oD cho f x( )o M ( ( )o
f x m)
2.4 Các dạng tập:
2.4.1 Chứng minh bất đẳng thức:
Các phương pháp để chứng minh BĐT vô đa dạng phong phú Dưới đây, đưa số dạng toán phương pháp chứng minh BĐT phù hợp với nội dung giảm tải chương trình Tốn lớp 10
1 Chứng minh BĐT cách sử dụng định nghĩa, tính chất BĐT
Để chứng minh BĐT A B đúng, ta cần A – B
bằng cách biến đổi biểu thức (A – B) cách thích hợp
Ngược lại, cần chứng minh A – B ta đưa BĐT A B để
chứng minh
(15)CMR, a b ab0 1 a b
Giải: Nếu a b ab0thì b a
ab nên
1 1
.b a ab b
Bài
a CMR: 2
a ab b với số thực a, b
b CMR với hai số thực a, b tùy ý, ta có: a4 b4 a b ab3
Giải: a Ta có:
2
2 0
2
b
a ab b a b
(đúng)
b Ta có: a4 b4 a b ab3 a4 b4 a b ab3 0
a a b3( ) b a b3( ) 0
3 2
(a b a)( b ) (a b) (a ab b )
(đúng)
Do đó: a4 b4 a b ab3
(đpcm)
Bài Hãy so sánh kết sau: a 2000 2005 2002 2003 b a 2 a4 a a6 (a0)
Giải: a Giả sử 2000 2005 2002 2003
2000 2005 2 2002 20032
(16)nên 2000 2005 2002 2003
Do đó, 2000.20005 2002.2003 4010000 4010006 (vơ lý) Vậy: 2000 2005 2002 2003
b Giả sử a 2 a4 a a6 Khi đó,
2
2 a
a a a hay a 2 a a2 a4 a a a a6
nên a2 a4 a a6
Do đó, (a2)(a4)a a( 6) hay 2
6 8
a a a a (vô lý) Vậy: a 2 a4 a a6
Bài
.a CMR: a2 b2 ab 0
với a b R, Khi đẳng thức xảy ra? b CMR a b a3 b3ab2 a b2 với a b R,
Giải: a Ta có:
2 2
2
0
2
b b
a b aba
với
, a b R
Dấu “ = “ xảy
2
2
0
2 0
3
b a
a b b
b Ta có: a3 b3 ab2 a b2 a a( b2) b a( b2)
2 (a b a)( b ) (a b a b)( )
Do a b nên (a b a b )( )2 0, ta có điều phải chứng minh
(17)Cho a, b, c ba số dương CMR: a Nếu a b a a c
b b c
b Nếu a b a a c
b b c
Giải:
Ta có: ( )
( )
a c a c b a b c b b b c
Do đó:
a Nếu < a < b c > ( )
( )
c b a b b c
Suy ra:
a a c b b c
b Nếu a > b > c > ( )
( )
c b a b b c
Suy ra:
a a c b b c
Bài
Cho a, b, c, d bốn số dương a c
b d CMR: a a b c d
b d
b a b c d
a c
Giải: a Từ a c
b d suy 1
a c a b c d
b d b d
b Từ a c
b d a, b, c, d bốn số dương nên b d
a c , suy ra:
1
b d a b c d
a c a c
(18)Cho b, d hai số dương a c
b d CMR:
a a c c
b b d d
Giải: Từ a c
b d b, d hai số dương, suy ra: ad < bc hay ad – bc < 0; bc – ad > 0
Ta có: 0;
( ) ( )
a c a bc ad a c c ad bc
b d b b d b b d d b d d
Vậy: a a c c
b b d d
Bài
Cho a, b, c, d bốn số dương CMR:
1 a b c d
a b c b c d c d a d a b
Giải: Do a, b, c, d số dương nên:
a a
a b c a b c d
b b
b c d a b c d
c c
c d a a b c d
d d
d a b a b c d
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta suy ra:
a b c d
a b c b c d c d a d a b (1) Mặt khác, ta lại có: a a
a b c a c ;
c c
c d a a c nên:
a c
(19)Tương tự: b d b c d d a b
Từ suy ra: a b c d
a b c b c d c d a d a b (2)
Từ (1) (2) suy ra: a b c d
a b c b c d c d a d a b
Bài
CMR: xn
với x1,n N * Giải: Nếu x0 xn 1
Nếu – x |x| suy |x|n hay |xn|
Từ đó, ta có: - xn
(vì - xn |xn|)
Vì vậy: n x
Bài 10
a CMR, với số nguyên dương k ta có 1
(k 1) k k k
b Áp dụng CMR: 12 31 (n 1) n
Giải: a Ta có:
1 1 1 1
( 1)
( 1) 1
k
k k
k k k k
k k k k k k
1 1 1
1
1 1
k k k k k
, k Z
(20)b Áp dụng câu (a) có:
1 1 1 1 1 1
2 (n 1) n 2 3 n n
1
2
1 n
, k Z
(đpcm)
Bài 11
a Cho k 0, chứng minh: 13 1 k k k
b Từ kết trên, suy ra: 3 3
1 1
1 2 3 n Giải:
a Với k 1 ta có:
1 1 1
( 1)
k k k k k k Vậy:
1 1
1
k k k (đpcm) b Theo chứng minh câu (a) ta có:
3 3
1 1 1 1 1 1
1
1 2 3 n 2 3 4 n1 n
1
2
n
(đpcm)
Bài 12
Với số a, b, c tùy ý, chứng minh bất đẳng thức sau nêu rõ đẳng thức xảy nào?
a a b a b
b a b c a b c
Giải:
(21)b Theo tính chất trị tuyệt đối ta có:
a b c a b c mà a b a b a b c a b c (đpcm)
Bài 13
Với số a, b, c tùy ý, chứng minh bất đẳng thức: a b b c a c Giải:
Theo tính chất trị tuyệt đối ta có: a b b c a b b c a c (đpcm)
Bài 14
a CMR: x x 0 với x R b CMR: x x2 x 1
xác định với x R
Giải: a Với x0 hiển nhiên x x 0
Với x0 x x x x0 b Ta có:
2
2 1 1 0
2 2
x x x x x x x
, x R (theo câu (a))
Vậy x x2 x 1
xác định với x.
Bài 15
Chứng minh với số nguyên dương n, ta có:
a 1 1
(22)b 2 2
1 1
1 2 3 n
Giải:
a Ta có: 1 1 ,
( 1) ( 1)
k k
k
k k k k k k
Do đó: 1 1 1 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 n n( 1) 2 3 4 n n 1 n1
Vậy 1 1
1.2 2.3 3.4 n n( 1) (đpcm) b Ta có:
1 1
,
1 k
k k k k k
Do đó: 2 2
1 1 1 1 1 1
21 2
1 2 3 n 1 2 3 n1 n n
Vậy 2 2
1 1
1 2 3 n
Bài 16
Chứng minh rằng: a Nếu x2 y2 1
x y b Nếu 4x 3y15 x2y2 9
Giải: a Vì (x y)2 x2 y2 2xy 2(x y) 2
nên x y
b Vì 4x 3y15 nên
y x Do đó:
2
2 2 16 40
5 25
3
x y x x x x x
(23)2
25 40
25 9
9 x x 3x
Vậy: x2 y2 9
2 Chứng minh BĐT cách sử dụng phép biến đổi tương đương:
Hai BĐT gọi tương tương BĐT BĐT ngược lại
Phép biến đổi gọi tương đương biến đổi BĐT thành BĐT khác tương đương với
Dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh BĐT tức ta biến đổi BĐT cần chứng minh với BĐT BĐT chứng minh
Chú ý đẳng thức sau:
2 2
(a b c ) a b c 2ab2bc2ca
2 2 2
(a b c d ) a b c d 2ab2bc2ca2cd2bd2ad
3 3 2
3 ( )( )
a b c abc a b c a b c ab bc ca
Sau lời giải số tập SGK lớp 10 Bài
CMR: với số thực a, b c, ta có: (a b c)2 3(a2 b2 c2)
Giải:
2 2
(a b c ) 3(a b c ) (1)
2 2 2
2 2 3( )
a b c ab bc c a b c
2 2
2ab 2bc 2c 2(a b c )
2 2
(a b) (b c) (c a)
(2)
(24)Vậy 2 2
(a b c ) 3(a b c ) (đpcm)
Bài
CMR, a0 b0
2 3
2 2
a b a b a b
Giải: Ta có:
2 3
2 2
a b a b a b
3 2 2 2 3 2 0
a ab a b b a b a ab a b b
2
(a b a )( 2 b2) 0 (a b ) (a b ) 0 (đúng) Vậy
2 3
2 2
a b a b a b
Bài
a CMR, x y 0
1
x y
x y
b CMR hai số tùy ý a, b, ta có:
1 1
a b a b
a b a b
Giải:
a Với x y 0, ta có: (1 ) (1 )
1
x y
x y y x
x y
x xy y xy x y
(đúng)
Do đó: 1xx1yy
(đpcm)
b Vì a b a b nên theo câu (a), ta có:
1 1 1
a b a b a b a a
a b a b a b a b a b
(25)Do đó:
1 1
a b a b
a b a b
(đpcm)
Bài
CMR, a0 b0 1 a b a b
Giải:
Với a0;b0 ta có: 1 4 2
a b
a b ab
a b a b a b a b
2
2 2 4 0
a ab b ab a b
(đúng)
Do đó: 1
a b a b
Bài CMR, a0 b0 a3b3 ab a b( ) Đẳng thức xảy nào? Giải:
Ta có: 3 2
( ) ( )( ) ( )
a b ab a b a b a ab b ab a b
2 2
(a b a)( 2ab b ) (a b a b)( )
(1)
Vì (a b)2 0 nên:
- Với a0,b0 (1) nên a3b3ab a b( ) Đẳng thức xảy a b 0 a b 0 a b
Bài
CMR: a2 b2 c2 ab bc ca
với số thực a, b, c Đẳng thức xảy a = b = c
(26)Ta có:
2 2
a b c ab bc ca a2b2c2 ab bc ca 0
2 2
2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca
a b2 b c2 c a2
(1)
Dấu “=” xảy a b b c c a a b c Do (1) nên a2 b2 c2 ab bc ca
(đpcm)
Bài
Cho a, b, c, d bốn số dương a c
b d CMR: a a b c d
b d
b a b c d
a c
Giải: a Ta có: a b c d
b d
(1)
0 0
ad bd bc bd ad bc a c a c
bd bd b d b d
(2)
Do BĐT (2) giả thiết nên BĐT (1) b Ta có: a b c d
a c
(3)
0 0
ac bc ac ad bc ad c a c a
bd bd d b d b
(4)
Do BĐT (4) giả thiết nên BĐT (3)
Bài
(27)a Nếu a b a a c b b c
b Nếu a b a a c
b b c
Giải: a Do < a < b c > nên a a c
b b c
(1) a b c( )b a c( )
ab ac ab bc
ac bc a b (do c0) (2) BĐT (2) giả thiết Vậy (1)
b Do a > b > c > nên a a c b b c
(1) a b c( )b a c( )
ab ac ab bc
ac bc a b (do c0) (2) BĐT (2) giả thiết Vậy (1)
Bài CMR:
a a4 b4 c4 a b ab3
với a b R, b a b c2 3a2 b2 c2
với a b c R, , Giải:
a Ta có: 4 3 3
( ) ( )
a b c a b ab a a b b b a (a b a )( 3 b3) 2
(a b) (a b ab)
(Vì
2 2
2 0
2
b b
a b aba
2
(a b ) 0 với a b R, ) b a b c2 3a2 b2 c2
(1)
2 2 2
2 2 3
a b c ab ac bc a b c
2 2 0
a b c ab ac bc
(28)2 2 (a b) (b c) (c a)
(2)
Bất đẳng thức (2) nên bất đẳng thức (1) chứng minh BÀI TẬP BỔ SUNG:
Ví dụ 1.1: CMR: với số a, b, c, d bất kì, ta có:
2 2 2
a b c d e a b c d e (1) Giải:
Ta có: (1) 4a2 4b2 4c2 4d2 4e2 4ab 4ac 4ad 4ac
2 2 2
4a 4b 4c 4d 4e 4ab 4ac 4ad 4ac
2 2 2 2
(a 4ab ) (b a 4ac ) (c a 4ad ) (d a 4ae ) 0e
2 2
(a )b (a )c (a )d (a )e
BĐT cuối nên ta có đpcm dấu dẳng thứcc xảy
2 2
a b c d e
Ví dụ 1.2 Cho a, b, c >0 CMR: a b c 1
bc ca ab a b c
(2)
Giải:
Ta có: (2) a2b2c22bc ac ab (do a b c, , 0)
2 2 2 2 2 0
a b c bc ac ab
a b c 20 (2’) Vì (2’) ln ln a b c, , 0 nên (2) (đpcm) Ví dụ 1.3 Cho a, b, c R thỏa a2b2c2 1
2
abc a b c ab bc ca (3) Nhận xét:
(1a)(1b)(1c) 1 ab bc ca a b c abc 0 từ 2
a b c suy ra: a b c, ,
(29) 2
(1 a)(1 b)(1 c) a b c ab bc ca a b c
2
1
(1 )(1 )(1 ) 2 2 2
2
a b c a b c ab bc ca a b c
2
1
(1 )(1 )(1 )
2
a b c a b c
(3’)
Vì (3’) nên (3) (đpcm)
Ví dụ 1.4: Cho a, b, c số tùy ý thuộc đoạn 0;1 CMR:
2 2 1 2
a b c a b b c c a (4) Giải:
Nhận xét: (1 a)(1 b)(1 c) 1 ab bc ca a b c abc 0
Do đó: (4) 2
(1 ) (1 ) (1 )
c a a b b c
(4’)
Vì 0a b c, , 1 nên a2 a b; b c; c
Do đó: c2(1 a) a2(1 b) b2(1 c) c(1 a) a(1 b) b(1 c)
Vì để có (4’) ta cần chứng minh:c(1 a)a(1 b)b(1 c) 1 (4’’) Ta có: (4’’) 1 a b c ab bc ca 0 (1 a)(1 b)(1 c) 0 (4’’’) Vì (4’’’) nên (4’’) Từ suy (4’) tức ta có đpcm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1.1 Cho a 2, b CMR: aba + b
1.2 Cho a, b, c, x, y R thỏa mãn: 2 ax by c a b
CMR:
2 2
2 c x y
a b
1.3
a Cho a, b, c 0 thỏa a c + d b c + d CMR: ab ad + bc
b Cho a3 >36 abc = CMR: 2
a
b c ab bc ca
(30)a CMR: 2
a b c ab bc ca
b Biết a2 b2 c2 1
CMR: 1
2 ab bc ca
1.5
a Cho a, b, c, d R CMR: a c2 b d2 a2 b2 c2 d2
b Cho a, b, c >0 CMR: a c b d ab cd 3 Chứng minh BĐT cách sử dụng BĐT Côsi: Bài CMR:
a Nếu a, b hai số dấu a b b a b Nếu a, b hai số trái dấu a b
b a Giải: a Nếu a, b hai số dấu a b;
b a hai số dương nên theo BĐT Cơsi ta có:
2
a b a b
b a b a
b Nếu a, b hai số trái dấu a b ; b
a
hai số dương nên theo BĐT Cơsi ta có:
2 2
a b a b a b
b a b a b a
(31)Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương a b c4 , 4,
b c a ta có:
4 4 4
3
3
a b c a b c
abc b c a b c a
Bài Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh bất đẳng thứcc sau rõ đẳng thức xảy nào?
a a b ab 14ab
b a b c ab bc ca 9abc
Giải:
a Với a0;b0 ta có: a b 2 ab0; ab 1 2 ab 0 Từ suy (a b ab )( 1) 2 ab.2 ab4ab
Đẳng thức xảy a b 1 (đpcm) b Với a b c 33 abc 0
ta có: a b c 33abc 0; ab bc ca 33 a b c2 2 Từ suy ra: a b c ab bc ca 33a b c2 2 9abc
Đẳng thức xảy a b c (đpcm)
Bài Cho ba số dương a, b, c CMR: a b c
b c a
Giải: Với a0;b0;c0 thì:
1 a a
b b
1 b b
c c
1 c c
a a
(32)Từ suy 1 a 1 b 1 c 23 a b c . 8
b c a b c a
Bài CMR a, b, c, d bốn số khơng âm
4
2 a b c d
abcd Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm a, b ta được: a b 2 ab Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm c, d ta được: c d 2 cd Do đó: a b c d 2 ab cd
Suy ra:
2
2
a b c d
ab cd
ab cd 2 abcd 4 abcd
2
4
2
a b c d a b c d
abcd abcd Vậy: a b c d
abcd
Bài CMR: Nếu 0a b
2
1 2
a b
a ab b
a b
Giải: Do 0a b nên a
b suy ra: 1
1 a
a
a b b
tức
2 1 a
a b
(1)
Lại có 1 a b ab nên
2
1 ab
a b
(2)
Do 0a b nên
2 a b
(33)Từ (1), (2), (3) suy điều cần chứng minh BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1 Cho xy0 CMR:
( )( 1)
x
x y y
2 Cho 1 1
1a1b1c1b CMR:
1 81 abcd
3 1 2 81
2 2
S
a b c ab bc ca
, a b c, , 0 a b c 1 CMR: a b, 0 ta có:
a (1 a b a b ab)( ) 9 ab b 3a3 7b3 9ab2
4 Chứng minh BĐT cách sử dụng BĐT Bunhiacopxki: Bài CMR:
a Nếu x2 y2 1
x y 5 b Nếu 3x4y1 2
25 x y
Giải:
a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cập số (1; 2) (x; y) ta có:
x 2y2 12 22 x2 y2 5x2 y2
Mặt khác: x2 y2 1 x y 5
(đpcm
b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cập số (3; 4) (x; y) ta có:
3x 4y2 32 42 x2 y2 25x2 y2
Mặt khác: 3 4 1 2
25
(34)1 Cho , ,
x y z x y z 1 CMR: 4x 3 4y 3 4z 3 39
2 CMR: 2
2
a b c a b c
b c c a a b
, với a b c, , 0
3 Cho ba số thực a, b, c CMR:
2 (1 )2 (1 )2 (1 )2 2 a b b c c a
4 Cho hai số thực a, b thỏa mãn 2
a b CMR: 8 a b
5 Chứng minh bất đẳng thức sau: a a2 b2 c2 12
biết a b c 6 b 2
3a 4b 7 biết 3a 4b7 c a3b5c0 biết a2b2c2 1
5 Chứng minh BĐT cách sử dụng bất đẳng thức tam giác:
Bài Chứng minh nửa chu vi tam giác lớn độ dài cạnh tam giác
Giải:
Gọi a, b, c ba cạnh tam giasc thi nửa chu vi tam giác là:
2 a b c p
Ta có:
2
a b c a b c c
p a Vì b c a nên p a Chứng minh tương tự, ta có: p b p c , (đpcm)
Bài CMR, a, b, c độ dài cạnh tam giác thì:
2 2
2
a b c ab bc ca
(35)Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác vai trị a, b, c nên ta giả thiết thêm a b c Khi đó:
0 a b c nên (a b )2 c a2; 2b2 c22ab 0 b c a nên (b c )2 a b2; 2c2 a22bc 0 a c a nên (a c )2b a2; 2c2 b22bc
Từ đó, ta có: 2(a2 b2 c2) a2 b2 c2 2(ab bc ca)
2 2 2
a b c ab bc ca
Bài Cho a, b, c số đo ba cạnh; A, B, C số đo (độ) ba góc tương ứng tam giác CMR:
a (a b A B )( ) 0 ;khi đẳng thức xảy ra? b 60o aA bB cC 90o
a b c
; đẳng thức xảy ra?
Giải:
a Áp dụng mối liên hệ cạnh góc tam giác, ta có: Nếu a b A B;
Nếu a b A B;
Vì vậy, ta ln có: (a b A B )( ) 0 , đẳng thức xảy a = b(A=B), tức tam giác ABC cân C
b Theo câu (a) ta có:
( )( ) ( )( ) ( )( )
A
3( A ) ( )( )
A
60
o
a b A B b c B C c a C A
a bB cC bA aB bB cB bC cC aC cA aA
a bB cC a b c A B C
a bB cC A B C
a b c
(36)aA + bB + cC < (b + c)A + (c + a)B + (a + b)C
2(aA + bB + cC) < (A + B + C)(a + b + c) Từ suy ra: aA bB cC 90o
a b c
Vậy: 60o aA bB cC 90o
a b c
2.4.2 Ứng dụng BĐT để tìm GTNN, GTLN biểu thức, hàm số: Bài Tìm GTNN hàm số sau:
a
2 16 ( )
f x x x
b ( ) g x
x x
với 0x1
Giải: a Theo BĐT Cauchy ta có: 2
2
16 16
2
x x
x x
Đẳng thức xảy x2 Vậy GTNN f(x) x2 b Do 0x1 nên 1 x0
Ta có: 1 x x x 2 1 x x x
1 2
3 2
1 1
x x x x
x x x x x x
Đẳng thức xảy
(37)Vậy GTNN g(x) 2 3 x 1
Bài Tìm GTLN GTNN hàm số: f x( ) ( x3)(5 x) với 3 x Giải:
Vì 3 x nên 5 x x3 hai số khơng âm có tổng: x 3 x8, tích chúng lớn hai số
Mặt khác: x 3 x x1 nên GTLN f x( ) ( x3)(5 x) f(1) 16 Ta có: f x( ) ( x3)(5 x) 0 dấu “=” xảy x3 x5 nên GTNN f x( ) ( x3)(5 x) f( 3) f(5) 0
Bài Tìm GTNN hàm số: ( ) f x x
x
với x1
Giải: Vì x1 nên 1;
1 x
x
hai số dương Do đó:
2 2
( ) 1 2
1 1
f x x x x
x x x
Dấu “=” xảy
2
1
1 x
x x
x
Vậy GTNN ( ) f x x
x
f(1 2) 2
Bài Tìm GTNN GTNN hàm số biểu thức: A x1 4 x Giải:
Với 1 x 4, ta có:
A2 x 1 4 x2 3 2 x 1 4 xCauchy3 x 1 4 x 6
(38)6 A
Dấu “=” xảy
2
x x x
(thỏa mãn điều kiện 1 x 4) Vậy GTLN A là:
Mặt khác: A2 x 1 4 x2 3 2 x 1 4 x 3
Vì x1 4 x0 nên A
Dấu “=” xảy ( 1)(4 ) x
x x
x
Vậy GTNN A
Bài a Cho hai số a b a b, ( ) Tìm GTNN biểu thức:
2 2
( )
f x x a x b
b Cho ba số a, b, c đơi khác Tìm GTNN biểu thức:
2 2 2
( )
g x x a x b x c
Giải: a f x( ) (x a)2 (x b)2 2x2 2(a b x a) b
2 2
( )
2
2
a b a b
x
2
( )
( ) , ,
2 a b
f x a b
; đẳng thức xảy
2
2
a b a b
x x
Vậy: f(x) đạt GTNN ( )2 a b
2 a b x
(39) 2 2 2 2 2
( ) 3( )
g x x a x b x c x a b c x a b c
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
3
3
a b c a b b c c a
x
2 2
( ) ( ) ( )
( )
3
a b b c c a
f x
; Dấu xảy
2
3
a b c a b c
x x
Vậy g(x) đạt GTNN ( )2 ( )2 ( )2
a b b c c a
3 a b c x
Bài Tìm GTNN biểu thức: f x( ) x 2006 x 2007 Giải:
Theo tính chất trị tuyệt đối ta có:
( ) 2006 2007 2006 ( 2007)
f x x x x x
Đẳng thức xảy x2006 x2007 Vậy GTNN f(x) là:
Bài Cho a, b, c ba số dương Tìm GTNN của: A a b c b c c a a b
Giải: Đặt x b c y c a z a b ; ;
Do a, b, c dương nên x, y, z dương ; ;
2 2
x y z x y z x y z
a a a
Khi đó, ta có: A x y z2 x y z2 x y z2
x y z
2
x y x z y z
y x z x z y
Theo BĐT Cơsi ta có:
2
x y x y
(40)2 x z x z
zx z x Dấu “=” xảy x z
y z y z
z y z y Dấu “=” xảy zy
1
2.3
2
A
Vậy:
2
MinA đạt x y z
Bài Cho a0, tìm GTLN của: y x a ( )x với
2 a x
Giải: Do
2 a x
nên a 2x0 Ta có:
3 3
2 1 2 2
( ) ( )( )
4 4 27
x a x a x a a
x a x x a x a x
Đẳng thức xảy 4x a 2x, tức là: a x
Vậy GTLN y 27 a
đạt a x
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1 Tìm GTLN hàm số: y x x
2 Tìm GTNN hàm số:
3
( )
( , ) x y ( 0, 0)
f x y x y
xy
3 Tìm GTNN hàm số: 32
x y
x
4 Cho số x, y, z x2002 y2002 z2003 3
Tìm GTLN biểu thức F x2 y2 z2
(41)5 Cho x y 0 x3y33(x2y2) 4( x y ) 0 Tìm GTLN biểu thức: 1
M
x y
6 Cho x y z, , 0 Tìm GTNN biểu thức:
6
( )
( , , ) x y z f x y z
xy z
7 Cho x2 y2 z2 1
Tìm GTLN biểu thức: a F x 2y3z
b f x y z( , , ) x y z xy yz zx , với x2y2z2 1
2.5 Một số giáo án đề nghị:
GIÁO ÁN GẢNG DẠY 1
Tiết 1: Ôn tập bổ sung tính chất bất đẳng thức
I Mục tiêu dạy:
- Kiến thức:
Giúp học sinh nắm được:
+ Định nghĩa tính chất bất đẳng thức + Phương pháp chứng minh bất đẳng thức
- Kỹ năng: Rèn luyện cho học sinh kỹ suy luận logic
- Giáo dục tư tưởng: Rèn luyện cho học sinh tính nghiêm túc học tập, động sáng tạo, cần cù vượt khó
II Phương pháp phương tiện dạy học:
- Phương pháp: Khám phá kết hợp với đàm thoại, diễn giảng - Phương tiện: Giáo án, thước kẻ,…
(42)1 Vào bài: Cho số -2 0,5 -2a2 0,2 Yêu cầu học sinh so sánh cặp số Ta gọi: -2 <0,5 0,2 >-2a2 bất đẳng thức.
Bất đẳng thức phận quan trọng tốn học, có nhiều ứng dụng thực tế Vậy, bất đẳng thức định nghĩa nào? Và có tính chất gì? Chứng minh chúng sao? Bài học hơm giúp giải vấn đề 2 Nội dung mới:
Thời gian
Nội dung Hoạt động thầy Hoạt động trò
1 Ơn tập bổ sung tính chất bất đẳng thức:
1 Định nghĩa
- Số thực a lớn số thực b, kí hiệu a>b Ta có:
0 a b a b
- Số thực a lơn số thực b, kí hiệu:
a b Ta có: a b a b
2 Định nghĩa - Các mệnh đề “a>b”, “ab”, “a<b”, “ab”
goji bất đẳng thức; a gọi vế trái, b gọi vế phải
- “a>b” “c>d” (hoặc “a<b” “c<d”) hai bất
Nếu 5>2 5-2?
Ngược lại, 5-2>0 5, 2?
Tổng quát lên cho hai số thực a, b bất kỳ?
Ta có: 0,5
3>2 bất đẳng thức Tổng quát, cho hai số a, b Thế bất đẳng thức?
Trong phương trình f(x)=g(x) f(x) vế trái, g(x) vế phải Tương tự, vế trái, vế phải bất đẳng thức a>b (hoặc a b, a<b, ab)? Thế hai bất đẳng
thức chiều?
5-2>0 5>2
Các mệnh đề
“a>b” , “ab”,
“a<b”, “ab”
gọi bất đẳng thức
(43)đẳng thức chiều; “a>b” “c<d” (hoặc “a<b” “c>d”) hai bất đẳng thức trái chiều
- Nếu “a>b c>d”
“c>d” hệ “a>b” - Nếu “a>b c>d”
“a>b” “c>d” hai bất đẳng thức tương đương
3 Các tính chất bất đẳng thức:
Chỉ xét bất đẳng thức a>b, bất đẳng thứcc khác tương tự
Với a, b, c, d R Khi đó:
Ta có phương trình f1(x)=g1(x) (1) f2(x)=g2(x) (2), phương trình (2) phương trình (1)?
Tương tự:
- Nếu ta có “a>b c>d”
thì bất đẳng thức “c>d” hệ bất đẳng thức “a>b”
- Nếu ta có “a>b c>d”
thì “a>b” “c>d” hai bất đẳng thức tương đương
Để chứng minh hay
thực biến đổi bất đẳng thức ta cần biết số tính chất chúng Đó tính chất nào?
Học sinh trả lời
câu hỏi sau: + a>ba-b?
+ b>cb-c?
+ Khi đó: (a-b)(b-c)? Từ (1), (2), (3) ta được? + Thu gọn?
+ Theo định nghĩa?
gọi vế phải bất đẳng thức
“a>b” “c>d”
(hoặc “a<b” “c<d”) hai bất đẳng thức chiều; “a>b” “c<d” (hoặc “a<b” “c>d”) hai bất đẳng thức trái chiều
Phương trình (2)
là phương trình hệ (1)
Phương trình (1)
và (2) tương đương
a-b>0 (1)
b-c>0 (2)
(44)Tính chất a b
a c b c
(tính chất
bắc cầu)
Tính chất
a b a c b c
Hệ
a b c a c b (quy tắc chuyển vế)
Ta có tính chất
Yêu cầu học sinh nhà
chứng tỏ chiều ngược lại không
Tương tự
+ a>b, theo định nghĩa ta suy bất đẳng thức? + Thêm, bớt số c vế trái ta được?
+ Viết dạng hiệu hai số?
+ Theo định nghĩa? Ta có tính chất
u cầu học sinh phát
biểu tính lời
Từ tính chất ta
thấy:
Nếu cộng hai vế bất đẳng thức a >b+c cho số (-c) ta được?
+ a>b a-b?
+ c>d c-d?
+ (a-b)(c-d)?
+ Từ (1), (2), (3) ta được? + Viết dạng hiệu hai số?
+ Theo định nghĩa ta suy bất đẳng thức gì?
a-c>0 a>c
a-b>0
a+c-b-c>0 (a+c)-(b+c)>0 a+c>b+c
a+(-c)>b+c+(-c) Hay a-c>b
(45)Tính chất a b
a c b d b c
Chú ý 2: Không trừ hai bất đẳng thức chiều cho
Tính chất
,
,
ac bc c a b
ac bc c
Đặc biệt: a b a b
Yêu càu học sinh phát
biểu tính chất lời
Có a b
a c b d c d
đúng hay sai?Cho ví dụ?
Trường hợp 1:
Cho a b c hay
0 a b c
+ Theo giả thiết ta bất đẳng thức?
+ Khai triển?
+ Theo định nghĩa ta bất đẳng thức? Trường hợp 2: Cho a b c hay
0 a b c
(cùng với
những câu hỏi trên) Đưa đến tính chất
Yêu cầu học sinh phát
biểu tính chất lời
a+c>b+d
Sai Ví dụ:
6 1
(sai)
(46)Tính chất 0 a b ac bd c d
Chú ý: Khơng có quy tắc chia hai vế bất đẳng thứcc chiều
Tính chất
0 n n
a b a b (n nguyên dương)
Tính chất
0 n n
a b a b (n nguyên dương)
+ Có
0 a b c
Theo
tính chất ta bất đẳng thức?
+ Có
0 c d b
Theo
tính chất ta bất đẳng thức?
+ Từ (1) (2) theo tính chất ta bất đẳng thức
Ta có tính chất
u cầu học sinh phát
biểu tính chất lời
Quy tắc suy luận sau
sai, sao?
4
4.3 ( 2)( 7)
Cho
0
a b c a c
c d b d
Đúng hay sai? Cho ví dụ?
Nếu áp dụng (n-1) lần
tính chất cho bất đẳng thức a>b>0 ta bất đẳng thức?
Tính chất cịn
ac>bc (1) bc>bd (2)
ac>bd
Vì (-2) (-7) số âm
Sai Ví dụ:
6
(sai)
1
n n
a a a b b b
(47)Hệ quả: Nếu a b, 0
2
a b a b
Tổng quát: Nếu a b, 0
2
a b a b
4 Chứng minh bất đẳng thức:
Muốn chứng minh bất đẳng thức, ta dùng định nghĩa tính chất bất đẳng thức Khi dùng tính chất bất đẳng thức, thường theo hai hướng biến đổi:
- Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức tương đương mà ta biết
- Biến đổi bất đẳng thức biết thành bất đẳng thức cần chứng minh * Các kết thường dùng: + x2 0
, x R; Dấu “=”
trong trường hợp mũ n
Từ tính chất 6,
trường hợp n=2 ta có bất đẳng thức?
Áp dụng tính chất 7, từ a2>b2 ta suy bất đẳng thức?
Từ (1) (2) ta có hệ
Bằng cách để chứng
minh bất đẳng thức bất đẳng thức đúng?
Xét ví dụ: CMR: 2
2 a a ab, ,
a b R
Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh theo cách (nếu cần)
Giáo viên trình bày cách
giải khác:
a b 0 2 a >b
(1)
2
a >b a b (2)(với a, b>0)
Cách 1:
Ta có: a +b2 2ab 2
2
a +b
( )
ab a b
(đúnga b R, ) Dấu “=” xảy
a b
(48)xảy x0 + a2 b2 c2 0
, , a b c R
; Dấu “=” xảy a b c 0
Ví dụ: [lấy từ tập 3, 7a trang 109, 110] Cho ba số thực a, b, c CMR:
a 2
0 a b ab
b.a2 b2 c2 ab bc ac
Đẳng thức xảy nào?
Ta có:
(a b ) 0, a b,
2 2 0, ,
a b ab a b
2 2 , ,
a b ab a b
(đpcm)
Qua cách trình bày
lời giải yêu cầu học sinh rút phương pháp thường sử dụng để chứng minh bất đẳng thức?
Gọi học sinh lên bảng
giải: HS1 giải câu a), HS2 giải câu b)
Giáo viên gợi ý cách giải giải (bằng phương pháp biến đổi tương đương) (nếu cần)
Sau yêu cầu học sinh khác giải cách khác (bằng phương pháp tổng hợp sở biết mệnh đề xuất phát) Nhận xét: Trong hai cách nêu trên, cách bị hạn chế gặp khó khăn việc phát bất đẳng thức biết phù hợp với bất đẳng thức cần chứng minh
chứng minh
(49)3 Củng cố:
Phần in sẳn giấy A4 – Giáo viên phát cho học sinh để lớp giải Chọn câu đúng:
1 Nếu 0<b<a 0<c<d
a ac>bd c ac<bd b a b
c d d a b c d Nếu a>b c<d
a a+c>b+d c a b c d b ac>bd d a-c>b-d Bài tập lớp (nếu thời gian) CMR: a a b
b a , với a, b dấu Đẳng thức xảy nào? b 2 a 2 1 2a2
(50)GIÁO ÁN GIẢNG DẠY Bài: Bất Đẳng Thức
Tiết 2: Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức giá trị trung binh cơng trung bình nhân
I Mục tiêu dạy:
- Giúp học sinh nắm bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cơsi cho hai, ba số không âm)
- Biết vận dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức khác
- Biết vận dụng bất đẳng thức Cơsi hệ để tìm GTLN, GTNN hàm số
- Giáo dục tư tưởng: Rèn luyện tính nghiêm túc, động sáng tạo, vượt khó lao động, học tập
II Phương pháp:
(51)1 Kiểm tra cũ:
Chứng minh a2 b2 2 ,ab a b R,
Nếu yêu cầu chứng minh a b 2 ab ta cần điều kiện cho hai số a, b? Khi đó, ta có tốn: Chứng minh: a b 2 ab (1),a b R,
Tương tự, ta có (1) a b ab 0 a b2 0 (đúng a b, 0) Dấu đẳng thức xảy a b a b
2 Nội dung mới:
Nội dung dạy Hoạt động thầy Hoạt động trò Bất đẳng thức giá trị
tuyệt đối:
Giá trị tuyệt đối số thực x định nghĩa
,
,
x x x
x x
Nhận xét: x 0 x2 x2
3 xx ; xx
Định lý 2:
(52)Ví dụ: CMR:
, , x y y z x z x y R
Vào bài: Bằng hình ta thấy bất đẳng thức Thật vậy:
Cho nửa đường tròn (O, AB), C thuộc cung AB, CH AB Đặt AH = a, BH = b (với a,b>0) hình sau:
Hình
Theo hình (1) hãy: Tính CH theo a, b? Thính CO theo a, b?
CH ab
(53)3 BĐT trung bình cộng trung bình nhân:
a Đối với hai số không âm: Định lý:
Với a b, 0, ta có:
a b ab
Đẳng thức xảy a b
“trung bình cộng lớn trung bình nhân số không âm” Chứng minh: (học sinh ghi
So sánh CH CO?
Dấu “=” xảy nào?
Nhận xét:
a b
gọi trung bình cộng hai số khơng âm a b
ab gọi trung bình nhân hai số khơng âm a b Kết bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho hai số khơng âm (cịn gọi bất đẳng thức Cơsi cho hai số không âm)
Gọi học sinh phát biểu định lí
CO CH
2 a b
ab
(54)chứng minh)
Chú ý: Cách viết khác:
a b ab Hay
2
2 a b a b
(với
,
a b ) Ví dụ:
Cho a b, 0 CMR:
a b 1 a b
Hệ 1:
,
ons x y
x y S c t
xy lớn khi
S x y
Hướng dẫn học sinh
giải
-Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho hai số dương a,b ta được?
-Tương tự hai số dương 1,
a b Từ (1) (2) suy ra:
giới thiệu bảng phụ
1, cho học sinh phát vấn đề
Hướng dẫn học sinh
nếu mệnh đề tổng quát cho hai số x, y?
Ta có hệ
bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân
2
a b ab (1)
1 1
2
a b ab (2) 1
(a b)
a b
Đẳng thức xảy a b
Tổng (x + y) khơng đổi 6; tích xy lớn x = y =
(55)Ví dụ: Tìm GTLN hàm số sau:
a yx3 5 x với
3 x
b y4 x 2x2 với
1 x
Ý nghĩa hình học:
Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn
Hệ 2:
,
ons
x y
x y P c t
x + y nhỏ x y P
Ta sử dụng hệ
quả để tìm GTLN hàm số
Gọi hai học sinh lên
bảng giải
Giáo viên gợi ý (khi
cần):
- Ta có: x + – x hai số không âm - Xét tổng chúng? - Áp dụng hệ quả? Tương tự cho câu b
Giới thiệu bảng phụ
2 cho học sinh nhận xét phát hiển vấn đề
Tương tự giới thiệu
bảng phụ cho học sinh nhận xét phát vấn đề
Sau tổng quát
2 2
2
x y S
xy
Suy xy lớn S S x y (đây phần chứng minh cho hệ
Học sinh 1:
Vì 3 x nên x 0; – x 0 và
x 3 – x 8
Suy ra: x – x lớn
nhất
x – x x=1 Vậy maxy = 16 x=1
Học sinh 2:
Ta có:
4 2
2
y x x
x x
Vì 1 x nên x 1 0; 4 x0 x 1 x5
4 x x 1
lớn
khi
2 x x x
Vậy maxy=25
3 x
(56)Ví dụ: Tìm GTNN hàm số sau:
a y x x
với x0
b
1 y x
x
với x1
Ý nghĩa hình học:
Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ
thành hệ
Giáo viên hướng dẫn
học sinh chứng minh
Có thể sử dụng hệ
quả để tìm GTNN hàm số
Gọi hai học sinh lên
bảng giải Câu a:
Giáo viên gợi ý (nếu cần):
- Ta có: x,4
x hai số dương
- Tính tích chúng - Áp dụng hệ 2? Tương tự cho câu b
Giới thiệu bảng phụ
4 cho học sinh nhận xét phát vấn đề
Hướng dẫn học sinh
về nhà chứng minh
tổng x y nhỏ x y
Với hai số dương x, y có xy P khơng đổi
Theo BĐT trung bình cộng trung bình nhân ta có x y 2 xy
Suy ra: x y nhỏ nhất
x y P
Học sinh 1:
Ta có: x,4 x
4
x x Suy x
x
nhỏ
4
2
x x
x
(vì x0) Vậy miny=4 x=2
Học sinh 2:
Ta có: 1
1 y x
x
Vì x >1 nên x1 0 ;
1 x
và 1 x
x
Suy 1
1 x
x
nhỏ 1
1 x
x
(57) Từ định nghĩa yêu
cầu học sinh nêu nhận xét 1, 2,
Hướng dẫn học sinh
chứng minh (bình phương hai vế BĐT đưa BĐT hiển nhiên đúng)
Hướng dẫn học sinh
sử dụng BĐT (1) định lý (2) để giải ví dụ
2 x
(vì x>1) Vậy miny= x=2
3 Củng cố bài:
a Nội dung khung lưu bảng xóa Gọi học sinh lên bảng điền lại
b Bài tập nhà c Bài tập thêm nhà:
1 CMR:
a 2u1 2v1 u v với , u v
b 1
2
n n
u v
với
,
u v uv1,n N a Tìm GTLN hàm số: y 1 x2
với 1 x b Tìm GTNN hàm số: ,
2
x
y x
x
(58)KẾT LUẬN
(59)TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông: Đại số 10 nâng cao Bộ giáo dục đào tạo Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông: Sách giáo viên - Đại số 10 nâng cao Bộ giáo dục đào tạo
(60)MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý chọn đề tài
2 Mục đích nghiên cứu
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
5 Phương pháp nghiên cứu
PHẦN NỘI DUNG
BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: BẤT ĐẲNG THỨC
1 Định nghĩa tính chất:
1.1 Định nghĩa:
(61)2 Một số bất đẳng thức sử dụng chương trình tốn lớp 10:
2.1 Bất đẳng thức Cauchy (Augustin Cauchy, nhà toán học người Pháp, 1789 – 1857)
2.2 Bất đẳng thứcc Bunhiacopxk (Buniakowski, nhà toán học người Nga, 1804 – 1889):
Chương 2: PHÂN TÍCH NỘI DUNG MỤC “BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” ĐẠI SỐ LỚP 10
2.1 Mục tiêu: 10
2.2 Tóm tắt nội dung: 11
2.3 Những điều cần lưu ý: 12
2.4 Các dạng tập: 14
2.5 Một số giáo án đề nghị: 40
KẾT LUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58