Tải Bài tập bất đẳng thức và bất phương trình (Có đáp án) - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10

lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình. CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM.. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1.. CẶP BẤT P[r]

4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH Baøi 01

BẤT ĐẲNG THỨC

I– ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1 Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng ''a<b'' ''a>b'' gọi bất đẳng thức 2 Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề ''a< ⇒ <b c d'' ta nói bất đẳng thức c<d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a<b viết a< ⇒ <b c d

Nếu bất đẳng thức a<b hệ bất đẳng thức c<d ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a< ⇔ <b c d

3 Tính chất bất đẳng thức

Như để chứng minh bất đẳng thức a<b ta cần chứng minh a− <b Tổng quát hơn, so sánh hai số, hai biểu thức chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng tính chất bất đẳng thức tóm tắt bảng sau

Tính chất

Điều kiện Nội dung Tên gọi

a< ⇔ + < +b a c b c Cộng hai vế bất đẳng thức với số

c> a< ⇔b ac<bc

c< a< ⇔b ac>bc

Nhân hai vế bất đẳng thức với số a<b c<d ⇒ + < +a c b d Cộng hai bất đẳng thức

cùng chiều 0,

a> c> a<b c<d ⇒ac<bd Nhân hai bất đẳng thức chiều

n∈ℕ∗ 2n 2n

a< ⇔b a + <b + n∈ℕ∗ a>0 2n 2n

a< ⇔b a <b

Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa

0

a> a< ⇔b a< b

3

a< ⇔b a< b

Khai hai vế bất đẳng thức

Chú ý

Ta gặp mệnh đề dạng a≤b a≥b Các mệnh đề dạng gọi bất đẳng thức Để phân biệt, ta gọi chúng bất đẳng thức không ngặt gọi bất đẳng thức dạng a<b a>b bất đẳng thức ngặt Các tính chất nêu bảng cho bất đẳng thức không ngặt

II – BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG V7 TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CƠ-SI)

1 Bất đẳng thức Cơ-si

Định lí

Trung bình nhân hai số không âm nhỏ trung bình cộng chúng ( )

, ,

2 a b

ab≤ + ∀a b≥ Đẳng thức

2 a b

ab= + xảy a=b 2 Các hệ

Hệ

Tổng số dương với nghịch đảo lớn

2,

a a

a

+ ≥ ∀ > Hệ

Nếu x y, dương có tổng khơng đổi tích xy lớn x=y Hệ

Nếu x y, dương có tích khơng đổi tổng x+y nhỏ

x=y

III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Điều kiện Nội dung

0, ,

x ≥ x ≥x x ≥ −x x ≤ ⇔ − ≤ ≤a a x a

a>

x ≥ ⇔a x≤ −a x≥a a−b≤ + ≤a b a +b

CÂU HỎI V7 B7I TẬP TRẮC NGHIỆM 10 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH

Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 10 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205

Khi mua có sẵn File đề riêng;

File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng?

A a b a c b d c d

 <

 ⇒ − < − 

 < 

B a b a c b d

c d  >

 ⇒ − > − 

 >  C a b a d b c

c d  >

 ⇒ − > − 

 > 

D

0 a b

a c b d c d

 > >

 ⇒ − > − 

 > > 

Lời giải Ta có a b a b a b a d b c

c d c d d c

 >  >  >

  

 ⇔ ⇔ ⇒ − > −

  

 > − < − − > −

  

  

Chọn C Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau sai?

A

2

a b b c

a a c  >

 +

 ⇒ > 

 > 

B a b a c b a

a c  >

 ⇒ − > − 

 > 

C a> ⇒ − > −b a c b c. D a> ⇒ − > −b c a c b. Lời giải Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

•

2

a b b c

a a b c a b c a a c

 >

 +

 ⇒ + > + ⇒ > + ⇒ > → 

 > 

A

• a b a a b c a c b a a c

 >

 ⇒ + > + ⇒ − > − → 

 > 

B • a> ⇒ + −b a ( c)> + −b ( c)⇒ − > − a c b c → C • a> ⇒ − < − ⇔ − < − b a b c a c b → D sai Chọn D Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A a b ac bd c d

 <

 ⇒ < 

 < 

B a b ac bd c d

 >

 ⇒ > 

 > 

C

0 a b

ac bd c d

 < <

 ⇒ <

  < < 

D a b ac bd c d

 >

 ⇒ − > − 

 > 

Lời giải Ta có

0 a b

ac bd c d

 < <

 ⇒ <

  < < 

Chọn C

Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A a< ⇒b ac<bc B a< ⇒b ac>bc C c< < ⇒a b ac<bc D    

0 a b

ac bc c

 <

 ⇒ < 

 >  Lời giải Xét bất phương trình a<b ( )∗

Khi nhân hai vế ( )∗ với c, ta

c

a b ac bc c

a b ac bc  >



 < ⇔ < 

 <   < ⇔

> 



Chọn D

Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng?

A

0

a b a b

c d c d

 < <

 ⇒ <

  < < 

B

0 a b c d

a b c d  > >

 ⇒

 >

 > > C a b a b

c d c d

 <

 ⇒ < 

 < 

D

0 a b c d

a d b c  > >

 ⇒

 >

 > > Lời giải Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

• 0 1 0 a b a b c d d c  < <   < <

 

 ⇔ ⇒

 

 < <  < <

 

Chưa đủ kiện để so sánh a b,

c d → A sai

• 0 1 0 a b a b c d d c  > >   > >

 

 ⇔ ⇒

 

 > >  > >

 

Chưa đủ kiện để so sánh a b,

c d → B sai

• a b a b

c d c d  <

 ⇒ < → 

 < 

C sai chưa thiếu điều kiện a b c d, , ,

• 1 a

a b b a d a d

c d d b c b c

c   >   > >

 

 ⇒ ⇒ > > ⇔ > →

 

 > > 

  >

 

Câu Nếu a+2c> +b 2c bất đẳng thức sau đúng? A −3a> −3 b B 2.

a >b C 2a>2 b D 1 a<b Lời giải Từ giả thiết, ta có a+2c> +b 2c⇔ > ⇔a b 2a>2 b Chọn C Câu Nếu a+ <b a b− >a b bất đẳng thức sau đúng?

A ab>0 B b<a

C a< <b D a>0 b<0

Lời giải Từ giả thiết, ta có 0

0

a b a b a

ab

b a b a b

 + <  <  <

  

 ⇔ ⇔ ⇒ <

  

 − > − >  <

  

  

Chọn A Câu Nếu 0< <a bất đẳng thức sau đúng?

A 1 a

a> B

a

a

> C a> a D 2. a >a Lời giải Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

• a a a (1 a)(1 a a) a, a (0;1)

a a a a

− + +

−

− = = > ⇔ > ∀ ∈ → A

• ( )( ) ( )

2 1 1

1 1

0 , 0;1

a a

a

a a a

a a a a

− +

−

− = = < ⇔ < ∀ ∈ → B sai

• a− a= a( a− < ⇔ <1) a a,∀ ∈a (0;1)→ C sai • 2( 1) 0 2, (0;1)

a −a =a a− < ⇔a <a ∀ ∈a → D sai Chọn A

Câu Cho hai số thực dương a b, Bất đẳng thức sau đúng? A 4

2 a

a + ≥ B

1 ab ab+ ≥ C 22 1

2 a a + ≤

+ D Tất

Lời giải Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: • ( ) ( ) ( ) 2

2

4 4

1

1 1

0,

2

1 2 1

a

a a a a

a

a a a a

−

− −

− = = − ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ →

+ + + +

ℝ A sai

• ( ) ( ) ( )

1 1

0 , ,

1 2 1

ab

ab ab ab ab

a b

ab ab ab ab

−

− −

− = = − ≤ ⇔ ≤ ∀ > →

+ + + + B sai

• ( ) ( ) ( ) 2

2 2

2 2

1

1 2 1

0 ,

2

2 2 2

a

a a a a

a

a a a a

+ −

+ + − − +

− = = − ≤ ⇔ ≤ ∀ →

+ + + + C

Chọn C

Câu 10 Cho a b, >0 2, 2

1

a b

x y

a a b b

+ +

= =

+ + + + Mệnh đề sau đúng? A x>y B x<y

C x=y D Không so sánh

Lời giải Giả sử ( )( 2) ( )( 2)

2

1

1 1

1

a b

x y a b b b a a

a a b b

+ +

< ⇔ < ⇔ + + + < + + +

( ) ( )

2 2

2 2 2

1

0

b b a ab ab a a b ab a b

b ab a a b a b ab a b

⇔ + + + + + < + + + + +

⇔ + < + ⇔ − + − >

(a b a)( b ab)

⇔ − + + > với a> >b Vậy x<y Chọn B Câu 11 Tìm giá trị nhỏ m hàm số ( )

1 f x x

x = +

− với x>1

A m= −1 2. B m= +1 2. C m= −1 2. D m= +1 Lời giải Ta có ( ) 2 ( ) 2

1 1

f x x x x

x x x

= + = − + + ≥ − + = +

− − −

Dấu "=" xảy

1 2 1 x x x x  >   ⇔ ⇔ = +  − =  − 

Vậy m=2 2+1 Chọn B

Câu 12 Tìm giá trị nhỏ m hàm số ( ) 2 x f x x + = + A m=2. B m=1. C

2

m= D Không tồn m Lời giải Ta có ( )

2

2

2 2

4 1

4

4 4

x

f x x x

x x x

+ +

= = + + ≥ + =

+ + +

Dấu "=" xảy 2 4 x x x + = ⇔ = − +

: vô lý Lời giải sau:

Ta có ( ) 2 2

2 2

4 1 4

4

4

4 4

x x x

f x x

x x x

+ + + + = = + + = + + + + + Do 2 2

4

2

4 4 4

3 3

4

x x x x x   + +  + ≥ =   + +    + ≥ =  

Dấu "=" xảy ⇔x=0

Suy ( )

2

f x ≥ + = Chọn C

Câu 13 Tìm giá trị nhỏ m hàm số ( )

2 2 2 x x f x x + + =

+ với x> −1 A m=0 B m=1 C m=2 D m=

Lời giải Ta có ( ) ( )

2

2 2 1 1 1 1 1

1

1 1

x

x x

f x x

x x x

+ +

+ + +

= = = + +

+ + +

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 1 ( )

1

x x

x x

+ + ≥ + =

+ +

Dấu "=" xảy

1 1 x x x x  > −   ⇔ ⇔ =  + =  + 

Vậy m=2 Chọn C

Câu 14 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x( ) (x 2)(x 8) x

+ +

Lời giải Ta có ( ) ( )( )

2 10 16 16

10

x x x x

f x x

x x x

+ + + +

= = = + +

Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x 16 x.16 f x( ) 18

x x

+ ≥ = ⇒ ≥

Dấu "=" xảy

0 16 x x x x  >   ⇔ ⇔ =  = 

Vậy m=18 Chọn B

Câu 15 Tìm giá trị nhỏ m hàm số ( )

x f x

x x

= +

− với 1> >x A m=2 B m=4 C m=6 D m=8

Lời giải Ta có ( ) 4 4 4 1( )

1 1

x

x x x x

f x

x x x x x x x

−

− = + − = − + = +

− − −

Vì (0;1)

x x

x

∈ ⇒ >

− nên theo bất đẳng thức Cơsi, ta có

( ) 4 1( ) 1( ) ( )

1

x x x x

f x f x

x x x x

− −

− = + ≥ = ⇔ ≥

− −

Dấu "=" xảy ( )

1 x x x x x x

 > >   ⇔ − ⇔ = =  − 

Vậy m=8 Chọn D

Câu 16 Tìm giá trị nhỏ m hàm số ( ) 1 f x

x x

= +

− với 0< <x A m=2 B m=4 C m=8 D m=16 Lời giải Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có

( )

1 1

2

1 1

x+ −x≥ x −x = x −x

Mặt khác ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

1 1

1

4

x x

x x x x f x

x x

+ −

− ≤ = → − ≤ ⇔ ≥ ⇒ ≥

− Dấu "=" xảy 1

1

x

x

x x

 > > 

⇔ ⇔ =

 = − 

Vậy m=4 Chọn B

Cách Ta có ( ) 1 1

1 1

x x x x x x

f x

x x x x x x

− + − + −

= + = + = + +

− − −

Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có ( )

1

x x x x

f x

x x x x

− −

+ ≥ = ⇒ ≥

− −

Dấu "=" xảy

1 x x x x x x

 > >   ⇔ − ⇔ = =  −  Câu 17 Tìm giá trị nhỏ m hàm số ( )

( ) 32 x f x x + =

− với x>2 A

2

m= B

2

m= C m=4 D m=8

Lời giải Ta có ( )

( ) ( )

2

32 36 36 36

1

4 4

x x x x

f x

x x x x

+ − + + −

= → = + = + +

− − − −

Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có 2 ( )

4

Dấu "=" xảy x x x x  >   ⇔ − ⇔ = =  − 

Vậy m=4 Chọn C

Câu 18 Tìm giá trị nhỏ m hàm số ( ) 2x f x

x +

= với x>0 A m=2 B m=4 C m=6 D m=10 Lời giải Ta có ( )

3

2

2 4 2

2

x

f x x x

x x x x

+

= = + = + +

Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có 2x2 2 3 23 x2 .2 3 83 6.

x x x x

+ + ≥ = =

Dấu "=" xảy 2 2 x x x x  >   ⇔ ⇔ = = 

Vậy m=6 Chọn D

Câu 19 Tìm giá trị nhỏ m hàm số ( ) x f x x +

= với x>0 A m=4 B m=6 C 13

2

m= D 19

2 m= Lời giải Ta có ( )

4

3

3 1

x

f x x x

x x x x x

+

= = + = + + +

Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có 1 44 3 .1 1 4 ( ) 4.

x x f x

x x x x x x

+ + + ≥ = ⇒ ≥

Dấu "=" xảy 3 1 x x x x  >   ⇔ ⇔ = = 

Vậy m=4 Chọn A

Câu 20 Tìm giá trị lớn M hàm số f x( ) (= 6x+3 5)( −2x) với 3; 2 x∈ − 

 

 

A M =0 B M=24 C M =27 D M=30

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức hệ Côsi ( )

, a b

ab≤ + ta

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

3 27 27

4

x x

f x = x+ − x ≤ + + − = ⇒ f x ≤

Dấu "=" xảy

1

1

2

2

x x x x  − ≤ ≤  ⇔ ⇔ =  + = − 

Vậy M=27 Chọn C

Câu 21 Tìm giá trị lớn M hàm số f x( ) x x

−

= với x≥1 A M =0. B

2

M= C M =1. D M=2

Lời giải Ta có ( )

( )2

1 1

1 1 1

x x x

f x

x x x

− − −

= = =

− + − +

Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có ( x−1)2+ ≥1 ( x−1 1)2 =2 x−1 ( ) 1

Dấu "=" xảy ⇔x=2 Vậy

M= Chọn B

Câu 22 Tìm giá trị lớn M hàm số ( ) 4 x f x

x =

+ với x>0 A

4

M = B

2

M= C M =1. D M=2

Lời giải Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có 4 2 2.4 4

x + ≥ x = x

( )

4

x f x

x

→ ≤ =

Dấu "=" xảy ⇔x=2 Vậy

M= Chọn A Câu 23 Tìm giá trị lớn M hàm số ( )

( )2 x f x

x =

+ với x>

A M =0. B

M= C

2

M = D M=1

Lời giải Ta có ( )

( 1)2 2

x x

f x

x x

x

= =

+ +

+

Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có 1 2 2.1 2 2 1 4 x + ≥ x = x→x + x+ ≥ x ( )

4

x f x

x

→ ≤ =

Dấu "=" xảy ⇔x=1 Vậy

M= Chọn B

Câu 24 Tìm giá trị nhỏ m lớn M hàm số f x( )= x+ +3 6−x A m= 2, M =3 B m=3, M=3

C m= 2, M=3 D m= 3, M =3 Lời giải Hàm số xác định 3

6

x

x x

 + ≥

 ⇔ − ≤ ≤

  − ≥ 

nên TXĐ D= −[ 3;6 ] Ta có 2( ) 9 2 ( 3 6)( )

f x = + x+ −x

• Vì (3+x)(6−x)≥0,∀ ∈ −x [ 3;6] nên suy 2( ) ( )

9

f x ≥ →f x ≥ Dấu ''='' xảy ⇔x= −3 x=6 Vậy m=3

• Lại có (3+x)(6−x)≤ + + − =3 x x nên suy 2( ) 18 ( ) 3 2. f x ≤ →f x ≤ Dấu ''='' xảy

2

x x x

⇔ + = − ⇔ = Vậy M =3 Vậy m=3, M =3 Chọn B

Câu 25 Tìm giá trị nhỏ m lớn M hàm số f x( )=2 x− +4 8−x A m=0;M =4 5. B m=2;M=4.

C m=2;M=2 5. D m=0;M = +2 2 Lời giải Hàm số xác định 4

8

x

x x

 − ≥

 ⇔ ≤ ≤

  − ≥ 

nên TXĐ D=[4;8 ] • Ta có 2( ) ( )( ) ( ) ( )( )

3 4 4

Vì

( )( ) [ ]

4

, 4;8

4

x

x

x x

 − ≥

 ∀ ∈



 − − ≥



nên suy 2( ) ( )

4

f x ≥ →f x ≥ Dấu ''='' xảy ⇔x=4 Vậy m=2

• Với x∈[4;8 ,] áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có • 4 16 ( )16

5 5

x

x− = − +x ≥ x− = − ( )1

• 44 (8 ).4

5 5

x

x x x

x

−

− = − + ≥ − = ( )2

Lấy ( ) ( )1 + theo vế, ta 4 44

5

5

x x

x x

− + −

≤ − + − =

Suy 4 8 ( ) ( )

5

f x

x x

f x

− + −

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Dấu "=" xảy 36 x

⇔ = Vậy M=2 Vậy m=2, M =2 Chọn C

Câu 26 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x( )= 7−2x+ 3x+4 A m=3. B m= 10. C m=2 3. D 87

3 m= Lời giải Hàm số xác định 7

3

x

x x

 − ≥

 ⇔ − ≤ ≤



 + ≥ 

nên TXĐ D 7;

 

 

= −

 

 

Ta có ( )2 ( )( )

7 2 4

y = − x+ x+ = − x+ − x x+ + x+

( )( ) 1( ) ( )( ) 29

11 4

3

x x x x x x

= + + − + = + + − + +

Vì

( )( )

3 4 7

, ;

3

7

x

x x x

 + ≥

  

 ∀ ∈ − 



 − + ≥  



nên suy 2( ) 29 ( ) 87.

3

f x ≥ →f x ≥

Dấu ''='' xảy x

⇔ = − Vậy 87

m= Chọn D

Câu 27 Tìm giá trị lớn M hàm số ( ) 8 2.

f x = +x −x A M =1. B M=2. C M =2 2. D M=4. Lời giải Ta có 2( ) ( 8 2)2 2 8 8 8 2 8 2.

f x = x+ −x =x + x −x + −x = + x −x Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 8 2 ( 8 2)2 8

x −x ≤x + −x =

( ) ( )

2 8 2 8 8 8 16 4.

f x x x f x

→ = + − ≤ + = → ≤

Dấu ''='' xảy ( )

2

2

2

2 8

x x

x

x x



 = −



⇔ ⇔ =

 − =



Vậy M=4 Chọn D Câu 28 Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2 3

x +y +xy= Tập giá trị biểu thức S= +x y là:

Lời giải Ta có ( ) ( ) 2

2 3 3

4 x y x +y +xy= ⇔ x+y − =xy≤ + Suy (x+y)2 ≤ ⇔ − ≤ + ≤4 x y Chọn C

Câu 29 Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2 1

x +y +xy= Tập giá trị biểu thức P=xy là:

A 0;1        

B [−1;1] C 1;1        

D 1;1   −     

Lời giải Ta có ( )

( ) 2

2 2

1

1

3

1 1

x y xy xy x y xy

x y xy xy x y xy



 + + = ⇔ − = − ≥ ⇒ ≤

 

 + + = ⇔ + = + ≥ ⇒ ≥ −



Chọn D

Câu 30 Cho hai số thực x y, thỏa mãn (x+y)3+4xy≥2 Giá trị nhỏ biểu thức S= +x y là:

A 32 B 1 C 8 D −32 Lời giải Với x y, ta có (x+y)2≥4xy

Suy (x+y)3+(x+y)2 ≥(x+y)3+4xy≥2 hay (x+y)3+(x+y)2≥ ⇔ + ≥2 x y Chọn B

Câu 31 Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2

x +y = + +x y xy Tập giá trị biểu thức S= +x y là:

A [0;+∞) B [−∞;0] C [4;+∞) D [0; 4] Lời giải Ta có 2

x +y = + +x y xy

( )2 ( )2 ( )2 ( )2

2 3 .

4

x y x y xy x y xy x y x y x y

⇔ + = + − = + − ≥ + − + = +

Suy 1( )2

0

4

x+ ≥y x+y ⇔ ≤ + ≤x y Chọn D

Câu 32 Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2 3( ) 4 0

x +y − x+y + = Tập giá trị biểu thức S= +x y là:

A {2; 4} B [0; 4] C [0;2] D [2; 4] Lời giải Từ giả thiết, ta có ( ) ( )

2 2

3

2 x y x+y − =x +y ≥ + ( )2 ( )

6

x y x y x y

⇔ + − + + ≤ ⇔ ≤ + ≤ Chọn D

Câu 33 Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn x+ =y Giá trị nhỏ S x y = + là:

A 4 B 5 C 9 D 2

Lời giải Ta có 1 1 (x y) 4x y 4x y

x y x y x y y x y x

   

   

+ =  + = +  + = + + ≥ + =

   

Dấu ''='' xảy 1;

3

x= y= Chọn C

Câu 34 Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn điều kiện 2 3

x y+xy = + +x y xy Giá trị nhỏ biểu thức S= +x y là:

Lời giải Từ giả thiết, ta có xy x( +y)= + +x y 3xy ( )*

Vì x>0, y>0 nên x+ >y Do ( )* x y 1

x y x y

⇔ + = + + ≥ +

+

( )2 ( )

3 4

4 x y

x y x y x y

x y  + ≤ − 

⇔ + − + − ≥ ⇔ ⇔ + ≥

 + ≥ 

(do x y, >0) Chọn D Câu 35 Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 4 2

x y xy

xy

+ + = + Giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P=xy là:

A 1

2 B 0 C

4 D 1 Lời giải Ta có 4 2 2

x +y ≥ x y , kết hợp với giả thiết ta 2

2

xy x y

xy

+ ≥ +

Đặt xy= >t 0, ta 2 22 2 (2 1) 0

t t t t t

t

+ ≥ + ⇔ − − − ≤

( 1)( 2)( 1) ( 2)( 1) 1

t t t t t t

⇔ + − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ Chọn A

Câu 36 Cho hai số thực a b, thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn ( 3)( ) ( 1)( 1) 0.

a +b a+b −ab a− b− = Giá trị lớn biểu thức P=ab bằng: A 1

9 B

1

4 C

1

3 D 1

Lời giải Giả thiết ( )( ) ( )( ) 3

1

a b a b

a b

ab

+ +

⇔ = − − ( )*

●( )( ) ( )

3 2 2

2

a b a b a b

a b ab ab ab

ab b a

+ +  



= +  + ≥ =

  ( )1

●(1−a)(1−b)= −1 (a+b)+ab≤ −1 ab+ab ( )2 Từ ( )1 , ( )2 kết hợp với ( )* , ta

4ab≤ −1 ab+ab 0

ab ab ab

⇔ + − ≤ ⇒ < ≤ Chọn A

Câu 37 Cho hai số thực x y, thuộc đoạn [0;1] thỏa mãn x+ =y 4xy Tập giá trị biểu thức P=xy là:

A [0;1 ] B 0;1      

  C

1 0;

3      

  D

1 ;        

Lời giải Ta có 4

4 xy= + ≥x y xy⇒xy≥

Do x y, ∈[0;1], suy (1−x)(1−y)≥ ⇔ −0 (x+y)+xy≥0 ( )* Kết hợp ( )* giả thiết, ta

3

xy xy xy

− + ≥ ⇒ ≤ Chọn D

Câu 38 Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn x+2y−xy=0 Giá trị nhỏ

S= +x y

A 2 B 4 C 8 D 1

Lời giải Từ giả thiết, ta có ( ) 2

1

2

2

x y

x+ y=xy= x y≤ + (x 2y) ( x 2y) 8 x 2y

⇔ +  + − ≥ ⇔ + ≥ (do x y, >0) Chọn C

Câu 39 Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn x+ +y xy≥7 Giá trị nhỏ

S= +x y là:

A 8 B 5 C 7 D −11

Lời giải Từ giả thiết x+ +y xy≥ ⇔7 2(x+1)(y+1)≥16 Ta có ( )( ) ( )( )

2

1 2

16 1 2

2

x y

x y x y  + + + 

≤ + + = + + ≤ 

( 3)2 64 5

2 11

x y

x y x y

x y

 + ≥



⇔ + + ≥ ⇔ ⇔ + ≥

 + ≤ − 

(do x y, >0) Chọn B

Câu 40 Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2x+3y≤7 Giá trị lớn biểu thức P= + +x y xy là:

A 3 B 5 C 6 D 2

Lời giải Ta có ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2 3

6 1 2 3 36

4

x y

x+ y+ = x+ y+ ≤ + + + ≤ + ≤

Suy x+ +y xy≤5 Chọn B

Câu 41 Cho hai số thực x y, không âm thỏa mãn x2+2y=12 Giá trị lớn P=xy là:

A 13

4 B 4 C 8 D 13

Lời giải Từ giả thiết, ta có 16 ( 4) 2 4 2 2 2

x y x y x y

= + + ≥ + ≥

Suy xy≤8 Dấu ''='' xảy x=2; y=4 Chọn C

Câu 42 Cho x y, hai số thực thỏa mãn x>y xy=1000 Biết biểu thức 2

x y

F

x y + =

− đạt giá trị nhỏ x a y b  =    = 

Tính 2 1000

a b

P= +

A P=2. B P=3. C P=4. D P=5.

Lời giải Ta có ( )

2

2 2 2 2 2.1000 2.1000

x y

x y x xy y xy

F x y

x y x y x y x y

− +

+ − + +

= = = = − +

− − − −

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có F x y 2.1000 (x y).2.1000 40

x y x y

= − + ≥ − =

− −

Dấu "=" xảy

1000

1000 2.1000

0 20

xy

xy

x y x y

x y

 =

  =

 

⇔ ⇔

− = > − =

 − 



Vậy Fmin=4 ( )

2 2

2 1000

2 4000

1000 20

ab a b

a b a b ab

a b

 =

 +

 ⇔ + = − + = ⇒ =

  − =  Chọn C

Câu 43 Cho x y, số thực dương thỏa mãn x+ ≥y Tìm giá trị nhỏ

F biểu thức 2

F x y

x y

A

2

F = B Fmin=3 2. C

3

F = D

2

3

F =

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số thực dương, ta có

1 1

2

2 2

x x

x x

+ ≥ = = 2 2

2

y y

y y

+ ≥ =

Khi 2

2 2 2 2

x y x y

F x y

x y x y

 

 

+    



= + + + = + +    + + ≥ + + =

Dấu "=" xảy

3

1

1

;

2 2

x y x x y y x y  + =   =   ⇔ ⇔ = =  =   

Vậy min

F = Chọn A

Câu 44 Cho x>8y>0 Giá trị nhỏ biểu thức

( )

1

F x

y x y = +

−

A 3 B 6. C 8. D 9.

Lời giải Ta có

( ) ( ) ( )

1

8

8

F x x y y

y x y y x y

= + = − + +

− −

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có ( )

( )

3

1

3 8

8

F x y y

y x y

≥ − = =

−

Dấu "=" xảy

( )

8

8

8

2 x

x y y

y x y y

 =   ⇔ − = = ⇔  − =  Chọn B

Câu 45 Cho hai số thực x y, thỏa mãn x+ + =y 2( x− +2 y+3) Tập giá trị biểu thức S= +x y là:

A [−1;7] B [3;7] C [3;7] { }∪ −1 D [−7;7] Lời giải Điều kiện:

3 x y    −  ≥

≥ , suy x+ + ≥y

● Ta có ( )

≤

1 2

4

2 2

2 2

x y x y

x y x y

x y

+ + = − + +

+ − + + + +

= − + + + =

Suy

2 x y

x+ +y ≤ + + ⇔x+y≤ ● Lại có x+ + =y 2( x− +2 y+3)

(x+ +y 1)2 =4(x+ + +y x−2 y+3) 4(x+ +y 1)

⇔ ≥ (do x−2 y+ ≥3 0)

Suy ( )2 ( ) 1

1

1

x y x y x y

x y x y

x y x y x y

 + + ≤  + + =  + = −    + + + + ⇔ ⇒ ⇔ + + + + +    ≥

≥ ≥ ≥

Chọn C

Câu 46 Cho a b c, , số thực thỏa mãn a>0,b>0 ( ) 0 f x =ax +bx+ ≥c với x∈ℝ Tìm giá trị nhỏ

min

F biểu thức F 4a c b

+ =

Lời giải Do hàm số ( ) 0, 4 2.

a

f x =ax +bx+ ≤c ∀ ∈x ⇔ > → ac≥b ∆ ≤

 ℝ

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có F 4a c 4ac b2 2b

b b b b

+

= ≥ = = =

Dấu "=" xảy 2 4

c a

b c a

b ac

 =

 ⇔ = =



 =



Chọn B

Câu 47 Cho ba số thực a b c, , không âm thỏa mãn 2 4

a +b +c +abc= Giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức 2

S=a +b +c là: A 1 B 2 C 2 D 3 Lời giải Từ giả thiết suy 2 4.

a +b +c ≤ Ta có 4 2 2 2 2 2.

a b c abc a b c a b c

= + + + = + + +

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có ( ) 2

2 2 27

a b c

a b c

+ +

≥

Từ suy ( )

3

2 2

2 2

4

27

a b c

a b c + +

≤ + + + hay

3

4

27 S

S S

≥ − ⇔ ≤ ≤ Chọn D Câu 48 Cho ba số thực dương x y z, , Biểu thức 1( 2 2)

2

x y z

P x y z

yz zx xy

= + + + + + có

giá trị nhỏ bằng: A 11

2 B

5

2 C

9

2 D 9

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có

2 2

3

3 3; 3;

y z y z x z x y

x x y z

zx xy zx xy yz xy yz zx

+ + ≥ = + + ≥ + + ≥

Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta 2 2 x y z 9

x y z

yz zx xy

 

 

+ + +  + + ≥

 

Suy

P≥ Khi x=y= =z

P= Chọn C

Câu 49 Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x+ + =y z Giá trị lớn biểu thức P=x3+y3+z3+3(3 x+3 y+3 z) bằng:

A 12 B 3 C 5 D 11

2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

3 3 4

x + x+ x+ x≥ x hay 33 4 x + x≥ x Tương tự: y3+33 y≥4y 33 4

z + z≥ z

Suy P=x3+y3+z3+3(3 x+3 y+3 z)≥4(x+ +y z)=12. Khi x=y= =z P=12 Chọn A

Câu 50 Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x+ + =y z Giá trị lớn biểu thức P= x+ +y y+ +z z+x bằng:

A B

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có

( )

4

4 3

3

x y x y

+ +

+ ≤ ; ( )

4

4 3

3

y z y z

+ +

+ ≤ ( )

4

4 3

3

z x z x

+ +

+ ≤

Suy ( ).4 ( ).4 ( ).4

3 3

x+y + y+z + z+x ≤ + + + =x y z Do P= x+ +y y+ +z z+ ≥x

Khi

3

Bài 02

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1 Bất phương trình ẩn

Bất phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng

( ) ( ) ( ( ) ( )) 1( )

f x <g x f x ≤g x f x( ) g x( ) biểu thức x

Ta gọi f x( ) g x( ) vế trái bất phương trình ( )1 Số thực x0 cho

( )0 ( )0 ( ( )0 ( )0 )

f x <g x f x ≤g x mệnh đề gọi nghiệm bất phương trình ( )1

Giải bất phương trình tìm tập nghiệm nó, tập nghiệm rỗng ta nói bất phương trình vơ nghiệm

Chú ý

Bất phương trình ( )1 viết lại dạng sau g x( )>f x( ) (g x( )≥f x( )) 2 Điều kiện bất phương trình

Tương tự phương trình, ta gọi điều kiện ẩn số x để f x( ) g x( ) có

nghĩa điều kiện xác định (hay gọi tắt điều kiện) bất phương trình ( )1 3 Bất phương trình chứa tham số

Trong bất phương trình, ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số Giải biện luận bất phương trình chứa tham số xét xem với giá trị tham số bất phương trình vơ nghiệm, bất phương trình có nghiệm tìm nghiệm

II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn x gồm số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung chúng

Mỗi giá trị x đồng thời nghiệm tất bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình cho

Giải hệ bất phương trình tìm tập nghiệm

Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm

III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Bất phương trình tương đương

Ta biết hai bất phương trình có tập nghiệm (có thể rỗng) hai bất phương trình tương đương dùng kí hiệu "⇔" để tương đương hai bất phương trình

Tương tự, hai hệ bất phương trình có tập nghiệm ta nói chúng tương đương với dùng kí hiệu "⇔" để tương đương

Để giải bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi thành bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản mà ta viết tập nghiệm Các phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương

3 Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình ta bất phương trình tương đương

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x <Q x ⇔P x +f x <Q x +f x 4 Nhân (chia)

Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức ln nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình) ta bất phương trình tương đương Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình) đổi chiều bất phương trình ta bất phương trình tương đương

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, 0,

, 0,

P x Q x P x f x Q x f x f x x

P x Q x P x f x Q x f x f x x

< ⇔ < > ∀

< ⇔ > < ∀

5 Bình phương

Bình phương hai vế bất phương trình có hai vế khơng âm mà khơng làm thay đổi điều kiện ta bất phương trình tương đương

( ) ( ) 2( ) 2( ) ( ) ( )

, 0, 0,

P x <Q x ⇔P x <Q x P x ≥ Q x ≥ ∀x 6 Chú ý

Trong trình biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần ý điều sau

1) Khi biến đổi biểu thức hai vế bất phương trình điều kiện bất phương trình bị thay đổi Vì vậy, để tìm nghiệm bất phương trình ta phải tìm giá trị x thỏa mãn điều kiện bất phương trình nghiệm bất phương trình

2) Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình P x( )<Q x( ) với biểu thức f x( )

ta cần lưu ý đến điều kiện dấu f x( ) Nếu f x( ) nhận giá trị dương

lẫn giá trị âm ta phải xét trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình

3) Khi giải bất phương trình P x( )<Q x( ) mà phải bình phương hai vế ta xét hai trường hợp

a) P x( ),Q x( ) có giá trị khơng âm, ta bình phương hai vế bất phương trình

b) P x( ),Q x( ) có giá trị âm ta viết

( ) ( ) ( ) ( )

P x <Q x ⇔ −Q x < −P x

rồi bình phương hai vế bất phương trình

Vấn đề ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1. Tìm điều kiện xác định bất phương trình 2− + < +x x 2 − x

A x∈ℝ B x∈ −∞( ;2 ] C ;1 x∈ −∞ 



  D

1 ;2 x∈ 

 

 

Lời giải. Bất phương trình xác định

1

x x  − ≥  

 − ≥ 

2

1

2

x

x x

 ≤  

⇔ ⇔ ≤

 ≤ 

Chọn C. Câu 2. Tìm điều kiện xác định bất phương trình

5

x

x x

x −

+ > − −

+

A x∈ −[ 5; ] B x∈ −( 5; ] C x∈[4;+∞) D x∈ −∞ −( ; )

Lời giải. Bất phương trình xác định 5

4

x x

x

x x

 + >  > −

 

 ⇔ ⇔ − < ≤

 

 − ≥  ≤

 

 

Chọn B Câu 3. Tìm điều kiện xác định bất phương trình

( )2

1

1

x

x x

+

< + −

A x∈ − +∞[ 1; ) B x∈ − +∞( 1; ) C x∈ − +∞[ 1; ) { }\ D x∈ − +∞( 1; ) { }\

Lời giải. Bất phương trình xác định ( )2

0 1 0 1

2

2

2

x

x x

x

x x

x

 +

 ≥  + ≥  ≥ −

  

 − ⇔ ⇔

  

  − ≠  ≠

  

 − ≠  Chọn C.

Câu 4. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y= x−m− 6−2x có tập xác định đoạn trục số

A. m=3 B. m<3 C. m>3 D.

m< Lời giải Hàm số xác định

6

x m x m

x x

 − ≥  ≥

 

 ⇔

 

 − ≥  ≤

 

 

• Nếu m=3 tập xác định hàm số D={ }3 • Nếu m>3 tập xác định hàm số D= ∅

• Nếu m<3 tập xác định hàm số D=[m;3 ] Chọn B.

Câu 5. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y= m−2x− x+1 có tập xác định đoạn trục số

A. m< −2 B. m>2 C.

m> − D. m> −2

Lời giải Hàm số xác định 2

1

m

m x x

x

x  

 − ≥ ≤

 

 ⇔

 

 + ≥ 

  ≥ −

• Nếu

2

m

m

= − ⇔ = − tập xác định hàm số D= −{ }1

• Nếu

2

m

m

• Nếu 2

m

m

> − ⇔ > − tập xác định hàm số D 1;

m

 

 

= −

 

  Chọn D. Vấn đề CẶP BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Câu 6. Bất phương trình 3

2 4

x

x x

+ < +

− − tương đương với A. 2x<3 B.

2

x< x≠2 C.

x< D. Tất Lời giải Điều kiện:x≠2 Bất phương trình tương đương với: 3

2

x< ⇔x< (thỏa điều kiện) Chọn D.

Câu 7. Bất phương trình

2 4

x

x x

+ < +

− − tương đương với: A. 2x<5 B.

2

x< x≠2 C.

x< D. Tất Lời giải Điều kiện:x≠2 Bất phương trình tương đương với: 5

2

x< ⇔x< kết hợp với điều kiện ta có

2

x< x≠2 Chọn B.

Câu 8. Bất phương trình 2x− ≥1 tương đương với bất phương trình sau đây?

A 2 1

3

x

x x

− + ≥

− − B

1

2

3

x

x x

− − ≥ −

+ +

C (2x−1) x−2018≥ x−2018 D 1

2018 2018

x

x x

− ≥

− −

Lời giải Nếu ta cộng

x− vào hai vế bất phương trình 2x− ≥1 điều kiện bất phương trình thay đổi suy đáp án A sai Tương tự ta nhân chia hai vế bất phương trình cho với x−2018 điều kiện bất phương trình ban đầu thay đổi suy đáp án C D sai Chọn B.

Câu 9. Cặp bất phương trình sau tương đương? A. x− ≤2 2( )

2

x x− ≤ B. x− <2 2( )

2

x x− > C x− <2 2( )

2

x x− < D. x− ≥2 2( )

2

x x− ≥ Lời giải Ta xét bất phương trình đáp án A:

2

x− ≤ ⇔x≤

( )

2

2

x x− ≤ ⇔x≤

Cả hai bất phương trình có tập nghiệm nên chúng tương đương Chọn A. Câu 10. Bất phương trình sau tương đương với bất phương trình x+ >5 0?

A. (x– 1) (2 x+5)>0 B. 2( )

5

x x+ > C. x+5(x+5)>0 D. x+5(x−5)>0

Lời giải Bất phương trình x+ > ⇔5 x> −5 Bất phương trình( – 1) (2 5)

5

x

x x

x  ≠  + > ⇔ 

 > − 

Bất phương trình 2( )

5

5

x x x

x  ≠  + > ⇔ 

 > − 

Đáp án B sai

Bất phương trình x+5(x+5)> ⇔ > −0 x Đáp án C Chọn C.

Câu 11. Bất phương trình (x+1) x≤0 tương đương với

A x x( +1)2 ≤0 B (x+1) x<0

C ( )2

1

x+ x≤ D ( )2

1

x+ x<

Lời giải Bất phương trình (x+1) x ≤0 có điều kiện x≥ →0 (x+1) x≤ ⇔ =0 x

Ta có: ( )2 ( )2

1

0

x

x x x x

x  = − 

+ ≤ ⇔ + = ⇔

 = 

Đáp án A sai

Ta có: (x+1) x<0vơ nghiệm từ điều kiện x≥ ⇒0 (x+1) x≥0 Đáp án B sai Ta có: ( )2

1 0

x+ x≤ ⇔x= Đáp án C Chọn C. Câu 12. Bất phương trình x− ≥1 x tương đương với

A (1−2x) x− ≥1 x(1 2− x) B (2x+1) x− ≥1 x(2x+1 )

C ( 2) ( 2)

1−x x− ≥1 x 1−x D

1

x x− ≤x

Lời giải Bất phương trình 1 2 2

1

x x

x x x

x x x x

 ≥  ≥

 

 

− ≥ → ⇔ ⇔ ∈ ∅

− ≥ − + ≤

 

 

Ta có: (1 ) (1 ) 2 1

1

x x

x x x x x

x x

x x

 ≥  ≥

 

 

− − ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ≥

− + ≥ − ≤

 



Đáp án A sai

Ta có: ( ) ( )

1

2 1

1

x x

x x x x x

x x

x x

 ≥  ≥

 

 

+ − ≥ + ⇔ ⇔ ⇔ ∈ ∅

− + ≤ − ≥

 



Đáp án B

đúng Chọn B.

Câu 13. Với giá trị a hai bất phương trình (a+1)x− + >a

(a– 1)x− + >a tương đương:

A. a=1 B a=5 C a= −1 D. a=2

Lời giải. Phương pháp trắc nghiệm: Thay đáp án vào hai phương trình

● Thay a=1, ta ( )

( )

1

1 2

2

– 0

a x a x x

a x a x x



 + − + > → + > ↔ > − 



 − + > → + > ↔ ∈

 ℝ

Không thỏa

● Thay a=5, ta

( )

( )

1

1

2

–

2

a x a x x

a x a x x



 + − + > → − > ↔ > 



 − + > → − > ↔ > 



Chọn B.

Câu 14. Với giá trị m hai bất phương trình (m+2)x≤m+1

( )

3m x− ≤ − −1 x tương đương:

A. m= −3 B m= −2 C m= −1 D. m=3

Lời giải. Viết lại (m+2)x≤m+1 1( ) (3m+1)x≤3m−1 ( )

● Thay m= −3, ta

( )

( )

2 2

5

3 10

4

m x m x x

m x m x x

 + ≤ + →− ≤ − ↔ ≥ 



 + ≤ − →− ≤ − ↔ ≥



● Thay m= −2 hệ số x ( )1 0, hệ số x ( )2 khác Không thỏa

● Thay m= −1 hệ số x ( )1 dương, hệ số x ( )2 âm Suy nghiệm hai bất phương trình ngược chiều Khơng thỏa

Đến dùng phương pháp loại trừ đáp án D

● Thay m=3, ta

( )

( )

4

2

5

3 10

5

m x m x x

m x m x x



 + ≤ + → ≤ ↔ ≤

 

 + ≤ − → ≤ ↔ ≤

 

Chọn D.

Câu 15. Với giá trị m hai bất phương trình (m+3)x≥3m−6

(2m−1)x≤m+2 tương đương:

A. m=1 B m=0 C m=4 D m=0hoặcm=4

Lời giải.

● Thay m=1, hệ số x ( )1 dương, hệ số x ( )2 dương Suy nghiệm hai bất phương trình ngược chiều Không thỏa

● Thay m=0, ta ( )

( )

3 6

2 2

m x m x x

m x m x x

 + ≥ − → ≥ − ↔ ≥ − 



 − ≤ + →− ≤ ↔ ≥ −



Ta thấy thỏa mãn

nhưng chưa đủ kết luận đáp án B đáp án D có m=0 Ta thử tiếp

m=

● Thay m=4, hệ số x ( )1 dương, hệ số x ( )2 dương Suy nghiệm hai bất phương trình ngược chiều Khơng thỏa

Vậy với m=0 thỏa mãn Chọn B.

Vấn đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Câu 16 Bất phương trình ax+ >b vơ nghiệm khi:

A. 0

a b  ≠    = 

B. 0

a b  >    > 

C.

0

a b  =    ≠ 

D.

0

a b  =    ≤ 

Lời giải

• Nếu a>0 ax+ >b x b a

⇔ > − nên S b;

a

 



= − +∞ ≠ ∅ • Nếu a<0 ax+ >b x b

a

⇔ < − nên S ; b

a

 



= −∞ − ≠ ∅ • Nếu a=0 ax+ >b 0có dạng 0x+ >b

• Với b>0 S=ℝ

• Với b≤0 S= ∅.Chọn D

Câu 17 Bất phương trình ax+ >b có tập nghiệm ℝ khi:

A. 0

a b  =    > 

B. 0

a b  >    > 

C.

0

a b  =    ≠ 

D.

0

a b  =    ≤ 

Lời giải

• Nếu a>0 ax+ >b x b a

⇔ > − nên S b;

a

 



• Nếu a<0 ax+ >b x b a

⇔ < − nên S ; b

a

 



= −∞ − ≠ ∅ • Nếu a=0 ax+ >b 0có dạng 0x+ >b

• Với b≤0 S= ∅

• Với b>0 S=ℝ.Chọn A

Câu 18 Bất phương trình ax+ ≤b vô nghiệm khi:

A. 0

a b  =    > 

B. 0

a b  >    > 

C.

0

a b  =    ≠ 

D.

0

a b  =    ≤ 

Lời giải

• Nếu a>0 ax+ ≤b x b a

⇔ ≤ − nên S ; b

a

 

 

= −∞ − ≠ ∅ 

 

• Nếu a<0 ax+ ≤b x b a

⇔ ≥ − nên S b;

a

 



= − +∞ ≠ ∅

 



• Nếu a=0 ax+ ≤b 0có dạng 0x+ ≤b

• Với b≤0 S=ℝ

• Với b>0 S= ∅.Chọn A

Câu 19. Tập nghiệm S bất phương trình 5

x

x− ≥ + là: A. S=ℝ B. S= −∞( ;2 ) C 5;

2

S= − +∞ D. 20; 23

S= +∞

 

 Lời giải Bất phương trình

5

x

x− ≥ + 25 15 23 20 20

23

x x x x

⇔ − ≥ + ⇔ ≥ ⇔ ≥

Chọn D

Câu 20. Bất phương trình

2

x x

x

+ +

− ≤ + có nghiệm nguyên lớn 10 ?

−

A 4 B 5 C 9 D 10

Lời giải Bất phương trình

2

x x

x

+ +

− ≤ + ⇔9x+15− ≤6 2x+ +4 6x⇔x≤ −5 Vì x∈ℤ, 10− < ≤ −x nên có nghiệm nguyên Chọn B

Câu 21. Tập nghiệm S bất phương trình (1− 2)x< −3 2 là:

A. S= −∞ −( ;1 ) B. S=(1− 2;+∞)

C.S=ℝ D. S= ∅

Lời giải Bất phương trình (1− 2)x< −3 2 ( )

1

3 2

1

1 2

x − −

⇔ > = = −

− −

Chọn B

Câu 22. Tổng nghiệm nguyên bất phương trình x(2−x)≥x(7−x)−6(x−1)

trên đoạn [−10;10] bằng:

A 5 B 6 C 21 D 40

Lời giải Bất phương trình x(2−x)≥x(7−x)−6(x−1)

[ ]

{ }

10;10

2

2x x 7x x 6x x x∈ −x∈ x 6;7;8;9;10

Câu 23. Bất phương trình ( )( ) ( )( )

2x−1 x+3 −3x+ ≤1 x−1 x+3 +x −5 có tập nghiệm

A. ;

S= −∞ −   B. 2;

S= − +∞

 



C S=ℝ D. S= ∅

Lời giải Bất phương trình ( )( ) ( )( )

2x−1 x+3 −3x+ ≤1 x−1 x+3 +x −5 tương đương

với 2

2x +5x− −3 3x+ ≤1 x +2x+x − ⇔5 0.x≤ − ⇔3 x∈ ∅ → = ∅S Chọn D.

Câu 24. Tập nghiệm S bất phương trình 5(x+ −1) x(7 −x)> −2x là: A S=ℝ. B. 5;

2

S= − +∞ C. ;5

S= −∞  D. S= ∅

Lời giải Bất phương trình 5(x+ −1) x(7 − x)> −2x tương đương với:

2

5x+ −5 7x+x > −2x⇔x + > ⇔5 x∈ℝ→ =S ℝ.Chọn A.

Câu 25. Tập nghiệm S bất phương trình (x+ 3) (2≥ x− 3)2+2 là: A. 3;

6 S= +∞

 

B. 3; S= +∞



  C

3

;

6 S= −∞ 

  D.

3

;

6 S= −∞ 



 

Lời giải Bất phương trình (x+ 3) (2≥ x− 3)2+2 tương đương với:

2 3

2 3 3 ;

6

x + x+ ≥x − x+ + ⇔ x≥ ⇔x≥ → =S  +∞

 

Chọn A. Câu 26. Tập nghiệm S bất phương trình ( )2 ( )2 ( )2

1 15

x− + x− + <x + x− là:

A. S= −∞( ;0 ) B. S=(0;+∞) C S=ℝ D. S= ∅ Lời giải. BPT tương đương 2 2

2 15 16

x − x+ +x − x+ + <x +x − x+ 0.x

⇔ < − : vô nghiệm → = ∅S Chọn D.

Câu 27. Tập nghiệm S bất phương trình x+ x<(2 x+3)( x−1) là: A. S= −∞( ;3 ) B. S=(3;+∞) C S=[3;+∞) D. S= −∞( ;3 ]

Lời giải. Điều kiện: x≥0

BPT tương đương x+ x<2x−2 x+3 x− ⇔ − < − ⇔ > 3 x x → =S (3;+∞)

Chọn B.

Câu 28. Tập nghiệm S bất phương trình x+ x− ≤ +2 x−2 là:

A S= ∅ B.S= −∞( ;2 ] C. S={ }2 D.S=[2;+∞) Lời giải. Điều kiện: x≥2

BPT tương đương x≤ 2 → =x Chọn C.

Câu 29. Tổng nghiệm nguyên bất phương trình

4

x

x x

− ≤

− − bằng:

A. 15 B. 11 C. 26 D.

Lời giải. Điều kiện: x>4 BPT tương đương :

2 6, 5; 6 11

x− ≤ ⇔x≤ ⇒ < ≤x x∈ℤ⇒ =x x= → = + =S Chọn B. Câu 30. Tập nghiệm S bất phương trình (x−3) x− ≥2 là:

A S=[3;+∞) B S=(3;+∞) C S={ } [2 ∪3;+∞) D S={ } (2 ∪ 3;+∞)

BPT tương đương với 2 3

x x

x x

 − =  =

 ⇔

 − ≥  ≥

 



Chọn C. Câu 31. Bất phương trình (m−1)x>3 vơ nghiệm

A m≠1 B m<1 C m=1 D m>1

Lời giải. Rõ ràng m≠1 bất phương trình ln có nghiệm Xét m=1 bất phương trình trở thành 0x>3 : vô nghiệm Chọn C

Câu 32. Bất phương trình ( )

3 2

m − m x+m< − x vô nghiệm

A m≠1 B m≠2 C m=1,m=2 D m∈ℝ Lời giải. Bất phương trình tương đương với ( )

3 2

m − m+ x< −m

Rõ ràng

0

2

3

m m m

m

 ≠

 ≠ ⇔ 

− +

 ≠ 

bất phương trình ln có nghiệm Với m=1 bất phương trình trở thành 0x<1: vơ nghiệm

Với m=2 bất phương trình trở thành 0x<0: vơ nghiệm

Chọn C.

Câu 33 Có giá trị thực tham số m để bất phương trình ( ) m −m x<m vô nghiệm

A. B. C. D. Vô số

Lời giải. Rõ ràng

0 m m

m −m≠ ⇔  ≠

 ≠ 

bất phương trình ln có nghiệm Với m=1 bất phương trình trở thành 0x<1: nghiệm với x∈ℝ Với m=0 bất phương trình trở thành 0x<0: vô nghiệm

Chọn B.

Câu 34. Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để bất phương trình ( )

6

m −m x+m< x− vô nghiệm Tổng phần tử S bằng:

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải. Bất phương trình tương đương với ( )

6

m −m− x< − −m

Rõ ràng

6

3 m

m

m − −m ≠ ⇔  ≠ −

 ≠



bất phương trình ln có nghiệm Với m= −2 bất phương trình trở thành 0x<0: vơ nghiệm

Với m=3 bất phương trình trở thành 0x< −5: vô nghiệm Suy S= −{ 2;3}→− + =2 Chọn B.

Câu 35 Có giá trị thực tham số m để bất phương trình mx− ≤ −2 x m vô nghiệm

A 0 B 1 C 2 D Vô số

Lời giải. Bất phương trình tương đương với (m−1)x≤ −2 m Rõ ràng m≠1 bất phương trình ln có nghiệm

Xét m=1 bât phương trình trở thành 0x≤1: nghiệm với x Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A. Câu 36. Bất phương trình ( ) ( )

9

Lời giải. Bất phương trình tương đương với (m+3)2x≥m−3

Với m= −3 bất phương trình trở thành 0x≥ −6: nghiệm với x∈ℝ

Chọn D.

Câu 37. Bất phương trình 2( ) ( )

4m 2x−1 ≥ 4m +5m+9 x−12m nghiệm với

x

A. m= −1 B.

m= C. m=1 D.

4 m= −

Lời giải Bất phương trình tương đương với ( ) 4m −5m−9 x≥4m −12m

Dễ dàng thấy

1

4 9

4 m

m m

m

 ≠ −  

− − ≠ ⇔ 

≠ 

bất phương trình khơng thể có

nghiệm với x∈ℝ

Với m= −1 bất phương trình trở thành 0x≥16: vô nghiệm Với

4

m= bất phương trình trở thành 27

x≥ − : nghiệm với x∈ℝ Vậy giá trị cần tìm

4

m= Chọn B.

Câu 38. Bất phương trình 2( )

1

m x− ≥ x+ m nghiệm với x A. m=1 B. m= −3 C. m= ∅ D. m= −1

Lời giải. Bất phương trình tương đương với ( )

9

m − x≥m + m Dễ dàng thấy

9

m − ≠ ⇔m≠ ± bất phương trình khơng thể có nghiệm ∀ ∈x ℝ

Với m=3 bất phương trình trở thành 0x>18: vơ nghiệm

Với m= −3 bât phương trình trở thành 0x≥0: nghiệm với x∈ℝ Vậy giá trị cần tìm m= −3 Chọn B.

Câu 39. Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

(x+m m) + >x 3x+4 có tập nghiệm (− − +∞m 2; )

A m=2 B m≠2 C m>2 D m<2

Lời giải. Để ý rằng, bất phương trình ax+ >b (hoặc <0, ≥0, ≤0)

● Vô nghiệm (S= ∅) có tập nghiệm S=ℝ xét riêng a=0

● Có tập nghiệm tập ℝ xét a>0 a<0 Bất phương trình viết lại ( )

2

m− x> −m

Xét m− > ↔2 m>2, bất phương trình ( )

2

2

2 ;

4

2 m

x m S

m m

−

⇔ > = − − → = − −

− +∞

Chọn C.

Câu 40. Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

( )

m x−m ≥ −x có tập nghiệm (−∞;m+1]

A m=1 B m>1 C m<1 D m≥1

Lời giải. Bất phương trình viết lại ( )

1

m− x≥m −

Xét m− > ↔1 m>1, bất phương trình [ )

2

1;

1

m

x m S m

m

−

⇔ ≥ = + → = +

Xét m− < ↔1 m<1, bất phương trình ( ]

2

;

1

1

m

x m S

m m

−

⇔ ≤ = +  → = −∞ +

−

Chọn C.

Câu 41. Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình m x( − <1) 2x−3 có nghiệm

A m≠2 B m>2 C m=2 D m<2

Lời giải. Bất phương trình viết lại (m−2)x<m−3

● Rõ ràng m− ≠ ↔2 m≠2 bất phương trình có nghiệm

● Xét m− = ↔2 m=2, bất phương trình trở thành 0x< −1 (vơ lí) Vậy bất phương trình có nghiệm m≠2 Chọn A.

Câu 42. Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình m x( − < −1) x có nghiệm

A m≠1 B m=1 C m∈ℝ D m≠3

Lời giải. Bất phương trình viết lại (m+1)x<m+3 ● Rõ ràng m+ ≠1 bất phương trình có nghiệm

● Xét m+ = ↔1 m= −1, bất phương trình trở thành 0x<2 (ln với x) Vậy bất phương trình có nghiệm với m Chọn C.

Câu 43. Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình

( )

6

m +m− x≥m+ có nghiệm

A m≠2 B m≠2 m≠3 C m∈ℝ D m≠3

Lời giải. ● Rõ ràng

6

m +m− ≠ bất phương trình có nghiệm ● Xét

6

3

m S

m

m S

m x

x

 = → ≥ → = ∅



= ↔  = − → ≥ − 

+ −

→ =

 ℝ

Hợp hai trường hợp, ta bất phương trình có nghiệm m≠2 Chọn A.

Câu 44. Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình

m x− <mx+m có nghiệm

A m=1 B m=0 C m=0; m=1 D m∈ℝ

Lời giải. Bất phương trình viết lại ( )

1 m −m x<m+

● Rõ ràng

0

m −m≠ bất phương trình có nghiệm

● Xét 0

0

1

m x S

m

m m

x S

 = → < → =



= ↔  = → <  =

−

→ 

ℝ ℝ

Hợp hai trường hợp, ta bất phương trình có nghiệm với m∈ℝ Chọn D

Câu 45 Gọi S tập nghiệm bất phương trình mx+ <6 2x+3m với m<2 Hỏi tập hợp sau phần bù tập S?

A. (3;+∞) B [3;+∞) C. (−∞;3) D. (−∞;3]

Lời giải. Bất phương trình tương đương với (m−2)x<3m−6

Với m<2, bất phương trình tương đương với (3; )

2 m

x S

m

−

> = → = +∞

−

Câu 46 Tìm giá trị thực tham số m để bất phương trình m(2x−1)≥2x+1 có tập nghiệm [1;+∞)

A. m=3 B. m=1 C. m= −1 D. m= −2

Lời giải. Bất phương trình tương đương với (2m−2)x≥m+1

• Với m=1, bất phương trình trở thành 0x≥2: vơ nghiệm Do m=1 khơng thỏa mãn u cầu tốn

• Với m>1, bất phương trình tương đương với 1 ;

2 2

m m

x S

m m

 

+ + 



≥ → = +∞

 

−  −

Do u cầu tốn 1

2

m

m m

+

⇔ = ⇔ =

− : thỏa mãn m>1

• Với m<1, bất phương trình tương đương với ;

2 2

m m

x S

m m

 

+  +



≤ → = −∞

 

− − :

không thỏa mãn yêu cầu toán Vậy m=3 giá trị cần tìm Chọn A.

Câu 47 Tìm giá trị thực tham số m để bất phương trình 2x−m<3(x−1) có tập

nghiệm (4;+∞)

A m≠1 B m=1 C m= −1 D m>1

Lời giải. Bất phương trình tương đương với 2x−m<3x− ⇔ > −3 x m Suy tập nghiệm bất phương trình S=(3−m;+∞)

Để bất phương trình có tập nghiệm (4;+∞) 3−m= ⇔4 m= −1 Chọn C.

Câu 48 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình mx+ >4 nghiệm với x <8

A. 1; 2 m∈ − 

 

  B.

1 ;

2 m∈ −∞ 



 

C. 1; m∈ − +∞

 

 D.

1

;0 0;

2

m∈ −     ∪ 

   

 

Lời giải Ta có x < ⇔ − < < ⇔8 x x∈ −( 8;8 )

• TH1: m>0, bất phương trình mx x S 4;

m m

 



⇔ > − ⇔ > − → = − +∞

Yêu cầu toán ( 8;8)

S m

m

⇔ − ⊂ ⇔ − ≤ − ⇔ ≤

Suy m

< ≤ thỏa mãn yêu cầu toán

• TH2: m=0,bất phương trình trở thành 0.x+ >4 0: với x Do m=0 thỏa mãn u cầu tốn

• TH3: m<0, bất phương trình mx x S ;

m m

 



⇔ > − ⇔ < − → = −∞ − 

Yêu cầu toán ( 8;8)

S m

m

⇔ − ⊂ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ −

Suy

2 m

Keetsp hợp trường hợp ta 1

2 m

− ≤ ≤ giá trị cần tìm Chọn A.

Cách 2. Yêu cầu toán tương đương với f x( )=mx+ >4 0,∀ ∈ −x ( 8;8)⇔đồ thị

hàm số y= f x( ) khoảng (−8;8) nằm phía trục hồnh ⇔ hai đầu mút

đoạn thẳng nằm phía trục hoành

( )

( )

1

8 1

8 2

8 m f m m m f m   ≤    − ≥ − + ≥     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤  ≥  + ≥       ≥ − 

Câu 49 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

( )

2

2

m x− −mx+ + <x nghiệm với x∈ −[ 2018;2]

A.

m< B.

2

m= C.

2

m> D. m∈ℝ

Lời giải. Bất phương trình ( ) 2

2

1

1 m

m m x m x

m m

−

⇔ − + < − → <

− + 2 ; m S m m  −    → = −∞  − +

  (vì

2

2

1 0,

2

m −m+ =m−  + > ∀ ∈m ℝ) Yêu cầu toán [ 2018;2] ; 22 22

2

1

m m

m

m m m m

 −  −

 

⇔ − ⊂ −∞ ↔ < ↔ >

 − + − +

  Chọn C.

Cách 2. Ta có ( ) ( )

1 5

m −m+ x< m − ⇔ m −m+ x− m + <

Hàm số bậc ( )

1

y= m −m+ x− m + có hệ số

1

m −m+ > nên đồng biến Do yêu cầu toán ( ) ( )

2 2

2

y m m m m

⇔ < ⇔ − + − + < ⇔ >

Câu 50 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

( )

2

2

m x− +m+ ≥x có nghiệm x∈ −[ 1;2]

A. m≥ −2 B. m= −2 C. m≥ −1 D. m≤ −2

Lời giải. Bất phương trình ( ) 2 2

1

1

m m

m x m m x

m − ⇔ + ≥ − → ≥ + 2 ; m m S m  −    → = +∞  +  

Yêu cầu toán [ 1;2] 22 ; 22 2

1

m m m m

m m m  −  −   ⇔ − ∩ +∞ ≠ ∅← → ≤ ↔ ≥ −  +  +  Chọn A.

Vấn đề HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Câu 51. Tập nghiệm S hệ bất phương trình

2

x

x x

 − >  

 + < −



là:

A. S= −∞ −( ; ) B. S= −∞( ;2 ) C S= −( 3;2 ) D. S= − +∞( 3; )

Lời giải. Ta có 2

2 3

x x x

x

x x x x

 − >  >  <

  

 ⇔ ⇔ ⇔ < −

  

 + < −  < −  < −

  

  

Câu 52. Tập nghiệm S hệ bất phương trình 1 3 x x x x  −

 < − +

   −

 < −

 

là:

A. 2;4

S= −  B. 4;

5

S= +∞ C S= −∞ −( ; ) D. S= − +∞( 2; )

Lời giải. Ta có

2

4

2 3 4

3

5

4 2

4

2

2 x

x

x x x x

x

x x x

x

x x

 −

 > − + 

  − > − +  >  >

 

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >

   

 −  − < − − < 

 < −    > −

 



Chọn B

Câu 53. Tập nghiệm S hệ bất phương trình 1 x x x x  −

 < − +

 

 −

 + >  

là:

A. ;

S= −∞ −   B. S=(1;+∞) C 1;1

S= −  D. S= ∅

Lời giải. Ta có

1

1 2 3

2

5

3 4

2 x

x x

x x x

x x x x x

x

 −

 < − +  <

  − < − +  < 

 

 ⇔ ⇔ ⇔

   

 −  + > −  > −  > −

 + >   

 



Chọn C.

Câu 54. Tập nghiệm S hệ bất phương trình

2 2017

2018 x x x x

 − > − +

 

 −

 + < 

là:

A. S= ∅ B. 2012 2018;

8

S=  C. ;2012

8

S= −∞  D 2018;

3

S= +∞

Lời giải. Ta có

2 2017

3 2018 2018

2018

6 2018 2012

3 x x x x x x

x x x

x

 − > − +

  >  >

 ⇔ ⇔ ⇔ ∈ ∅

 −  

 + <  + < −  <

  



Chọn A.

Câu 55 Tập 1;3 S= − 

 

 tập nghiệm hệ bất phương trình sau đây?

A 2( 1) 1 x x

 − <

   ≥ − 

B 2( 1) 1 x x

 − >

   ≥ − 

C 2( 1) 1 x x

 − <

   ≤ − 

D. 2( 1) 1 x x

 − <

   ≤ − 

Lời giải. Ta có 2( 1) 3 1;3

1 2

1 x x x S x x  

 − <  <  

 ⇔ ⇔ − ≤ < → = − 

  

 ≥ −  ≥ −  

 



Chọn A. Ta có ( )

3

2 1 3

;

2

1 2

1 1

x x x

x S

x

x x



  

 − >  >  >  

 ⇔ ⇔ ⇔ > → = +∞

    

 ≥ −  ≥ −   

  

  ≥ −

B sai

Ta có ( ) ( ]

3

2 1

1 ;

2

1

1

x x x

x S x x x    

 − <  <  <

 ⇔ ⇔ ⇔ ≤ − → = −∞ −     ≤ −  ≤ −       ≤ − C sai

Ta có ( )

3

2 1

1

1

x x x

x S x x x    

 − >  >  >

Câu 56. Tập nghiệm S bất phương trình ( )

( )

2

2

x x

x x

 − < +

 

 ≤ +



là:

A S= −( 3;5 ) B S= −( 3;5 ] C S= −[ 3;5 ) D S= −[ 3;5 ]

Lời giải. Ta có ( )

( )

2 2

2 3

2

x x x x

x x

x x

 − < +  − < +

 ⇔    ≤ +  ≤ +    [ )

3 3;5

3 x x S x  < 

⇔ ⇔ − ≤ < → = −

 ≥ − 

Chọn C.

Câu 57. Biết bất phương trình

1

5 3 x x x x x x

 − < −

  −  ≤ −    ≤ + 

có tập nghiệm đoạn [a b; ]

Hỏi a+b bằng: A. 11

2 B. C.

9 D. 47 10

Lời giải. Bất phương trình

2

1

11 11

5 11

5

3 5

5 x

x x x

x x x x x

x x x

x

  > 

 − < −  < 

         − ≤ − ⇔ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤           ≤ +  ≤       ≤  

Suy 11 47

5 10

a+ =b + = Chọn D.

Câu 58. Số nghiệm nguyên hệ bất phương trình

6

7 25 x x x x 

 + > +

 

 +

 < +

 

là:

A. Vô số B. C. D.

Lời giải Bất phương trình 42 28 49 14 44

8 50 47

x x x

x x x

 + > +  >

 

 

⇔ ⇔

 + < +  <

    { } 44 44 47 14 4;5;6;7;8;9;10;11

47 14

4 x x x x x ∈   > 

⇔ ⇔ < < → ∈

 <  

ℤ Chọn C.

Câu 59. Tổng tất nghiệm nguyên bất phương trình

( )2

2

5

2

x x

x x

 − < +

 

 < +



bằng:

A 21 B 27 C 28 D 29

Lời giải Bất phương trình

2

5 7

4

4

x x x x

x x

x x x

 − < +  <  <

  

  

⇔ ⇔ ⇔

 < + + − < − <

  



{ }

7

1 0;1;2;3;4;5;6

1 x x x x x ∈  < 

⇔ ⇔ − < < → ∈

 > − 

ℤ Suy tổng

Câu 60. Cho bất phương trình ( )

( )

2

3 3 2

1

2 13

x x x

x x x x

 − ≤ − +

 

 + < + + +



Tổng nghiệm nguyên lớn

nhất nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình bằng:

A 2 B 3 C 6 D 7 Lời giải. Bất phương trình

2

3

1

6 12 13

x x x x

x x x x x x

 − + ≤ − +

 ⇔ 

+ + + < + + +



{ }

7

1 7

1 0;1;2;3

2

12 13

1

x

x x x x

x x

x x x

x

∈ 



 − ≤ −  ≤ ≤

  

 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ → ∈

+ < + − <

 

   > −

ℤ

Suy tổng cần tính 0+ =3 3. Chọn B

Câu 61. Hệ bất phương trình 2 x x m

 − >

   − < 

có nghiệm khi:

A.

m< − B.

2

m≤ − C.

2

m> − D.

2 m≥ −

Lời giải Bất phương trình 2x− >1 có tập nghiệm 1

;

2

S = +∞

Bất phương trình x−m<2 có tập nghiệm S2= −∞( ;m+2 )

Hệ có nghiệm 1 2

2

S m

S ∩ ≠∅⇔m+ > ⇔ > − Chọn C

Câu 62. Hệ bất phương trình ( )

3

5

7 x x m

 − < −



 +

 >



có nghiệm khi:

A m> −11 B. m≥ −11 C m< −11 D. m≤ −11

Lời giải Bất phương trình 3(x−6)< −3 có tập nghiệm S1= −∞( ;5 )

Bất phương trình x+m

> có tập nghiệm ; 14

5

S = −m +∞

Hệ có nghiệm 1 2 14 11

m

S m

S ∩ ≠∅⇔ − < ⇔ > − Chọn A

Câu 63. Hệ bất phương trình 0 x

x m

 − ≤ 

 − > 

có nghiệm khi:

A. m>1 B. m=1 C m<1 D. m≠1

Lời giải Bất phương trình

x − ≤ có tập nghiệm S1= −[ 1;1]

Bất phương trình x−m>0 có tập nghiệm S2=(m;+∞)

Hệ có nghiệm ⇔S1∩S2≠ ∅ ⇔m<1 Chọn C. Câu 64. Hệ bất phương trình

( )

1

x

m x

 − ≥  

 + <



có nghiệm khi:

A. m>1 B. m<1 C m< −1 D. − <1 m<1

Lời giải Bất phương trình x− ≥⇔2 x≥2 có tập nghiệm S1=[2;+∞)

Bất phương trình ( )

2

1

1

m x x

m

+ < ⇔ <

+ (do

2

Suy 2 ;

1 S

m

 



= −∞ 

+

Để hệ bất phương trình có nghiệm 1 2 24 S S

m

∩ ≠ ∅←→ >

+

Giải bất phương trình ( ) 2

4

2 2 1

1 m m m m

m + > ⇔ > + ⇔ > ⇔ < ⇔ − < <

Chọn D

Câu 65. Hệ bất phương trình ( )

( )

1

2

m mx

m mx m

 − <



 − ≥ +



có nghiệm khi:

A.

m< B. m

≠ < C m≠0 D. m<0

Lời giải Hệ bất phương trình tương đương với 22

4

m x m m x m

 < +



 ≥ +



• Với m=0, ta có hệ bất phương trình trở thành

0

x x

 <  

 ≥



: hệ bất phương trình vơ nghiệm

• Với m≠0, ta có hệ bất phương trình tương đương với

2

2

4

m x

m m x

m

 +

 <  

 +

 ≥  

Suy hệ bất phương trình có nghiệm 22 2 1

m m

m

m m

+ +

> ⇔ <

Vậy m

≠ < giá trị cần tìm Chọn B.

Câu 66. Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình x x m

 − ≥

   − ≤ 

có nghiệm

A. m>2 B. m=2 C. m≤2 D. m≥2

Lời giải. Bất phương trình 2x− ≥ ↔ ≥ 1 x →S1=[2;+∞) Bất phương trình x−m≤ ↔ ≤0 x m→S2= −∞( ;m]

Để hệ bất phương trình có nghiệm ⇔S1∩S2 tập hợp có phần tử m

⇔ = Chọn B.

Câu 67. Tìm tất giá trị tham số m để hệ bất phương trình

2

3

m x x

x x

 ≥ −



 − ≤ +



có nghiệm

A. m=1 B. m= −1 C. m= ±1 D. m≥1

Lời giải. Bất phương trình ( )

2

6

1

m x x m x x

m

≥ − ↔ + ≥ ↔ ≥

+

1

6

;

1 S

m

 



→ = +∞

 + 



Để hệ bất phương trình có nghiệm ⇔S1∩S2 tập hợp có phần tử

2

3 1

1 m m

m

⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

+ Chọn C.

Câu 68. Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình

( )2

3

2

x x x

m x  − ≥ + +    ≤ + 

có nghiệm

A. 72 13

m= B. 72

13

m> C. 72

13

m< D. 72

13 m≥

Lời giải. Bất phương trình ( )2 2

3

13

x− ≥x + x+ ↔x − x+ ≥x + x+ ↔ ≤x

1

8 ;

13 S  

→ = −∞



 

Bất phương trình 8 2 8;

5

m m

m≤ + x⇔x≥ − →S = − +∞

 



Để hệ bất phương trình có nghiệm ⇔S1∩S2 tập hợp có phần tử

8 72

13 13

m

m

−

⇔ = ⇔ = Chọn A.

Câu 69. Tìm giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình

( )

3

3

mx m

m x m

 ≤ −    + ≥ −  có nghiệm

A. m=1 B. m= −2 C. m=2 D. m= −1

Lời giải. Giả sử hệ có nghiệm m m m m m − − = ⇔ = +

Thử lại với m=1, hệ bất phương trình trở thành 2 x x x  ≤ −  ⇔ = −   ≥ −  Vậy m=1 thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A

Câu 70. Tìm giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình ( 1)

4

m x x

mx x  + ≥ +   + ≥  có nghiệm

A.

m= B.

4

m= C. 3;

4

m= m= D. m= −1

Lời giải. Hệ bất phương trình tương đương với ( )

( )

2

4

m x m

m x  − ≥ −    − ≥ − 

Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm 3

2 4

m m m − − = − −

8 26 15

4

m m m

⇔ − + = ⇔ =

2 m=

Thử lại

• Với

4

m= , hệ trở thành

3

1 3

3 2 3 x x x x x      −  ≥ −  ≥    ⇔ ⇔ =     ≤    − ≥ − 

: thỏa mãn

• Với

2

m= , hệ trở thành

6

x x x  ≥ −  ⇔ ≥ −   ≥ − 

Vậy

m= giá trị cần tìm Chọn B.

Câu 71. Hệ bất phương trình

1

x x

x m x

 + > +

 

 − ≤ − +



vô nghiệm khi:

A.

m> B.

m≥ C.

2

m< D. m≤

Lời giải. Bất phương trình 5 1 5;

2

x+ > + ↔x x> ↔ >x →S = +∞

Bất phương trình 2− x≤m−3x+ ↔ ≤1 x m→S2= −∞( ;m]

Để hệ bất phương trình vơ nghiệm 1 2

S S m

⇔ ∩ = ∅ ⇔ ≤ Chọn D.

Câu 72. Hệ bất phương trình

x x

m x

 + ≥ +

   + < 

vô nghiệm khi: A m> −3 B m≥ −3 C m< −3 D m≤ −3

Lời giải. Bất phương trình 2x+ ≥7 8x+ ↔ −1 6x≥ − ↔ ≤ 6 x →S1= −∞( ;1 ]

Bất phương trình

5

5 ;

2

m m

m+ < x↔ >x + →S = + +∞

Để hệ bất phương trình vơ nghiệm 1 2

m

S S + m

⇔ ∩ = ∅ ⇔ ≤ ⇔ ≥ − Chọn B.

Câu 73. Hệ bất phương trình ( )

2

3

2

x x x

m x

 − ≥ + +

 

 ≤ +



vô nghiệm khi:

A 72 13

m> B 72 13

m≥ C 72 13

m< D 72 13 m≤

Lời giải. Bất phương trình ( )2 2

3

x− ≥x + x+ ↔x − x+ ≥x + x+

1

8

6 13 ;

13 13

x x x x S  

↔ − + ≥ + + ↔ ≥ ↔ ≤ → = −∞



 

Bất phương trình 8 2 8;

5

m m

m≤ + x↔ m− ≤ x↔ ≥x − →S = − +∞

 



Để hệ bất phương trình vơ nghiệm 1 2 8 72

13 13

m

S S − m

⇔ ∩ = ∅ ⇔ < ⇔ > Chọn A.

Câu 74. Hệ bất phương trình ( ) ( )

( )

2

3

2

1

x x

x x

mx m x m

 + ≥ −



 + ≤ − +

 

 + > − +



vô nghiệm khi:

A m>3 B m≥3 C m<3 D m≤3

Lời giải. Bất phương trình 3x+ ≥ − ↔5 x 2x≥ − ↔ ≥ − 6 x →S1= − +∞[ 3; )

Bất phương trình ( )2 ( )2 2

2 4

x+ ≤ x− + ↔x + x+ ≤x − x+ +

( ]

2

4x 2x 6x x S ;1

↔ + ≤ − + + ↔ ≤ ↔ ≤ → = −∞

Suy S1∩S2= −[ 3;1]

Bất phương trình mx+ >1 (m−2)x+m↔mx+ >1 mx−2x+m

3

1

1 2 ;

2

m m

x m x m x − S  − 

Để hệ bất phương trình vơ nghiệm ( 2)

1

1

2 m

S S S − m

⇔ ∩ ∩ = ∅ ⇔ ≥ ⇔ ≥ Chọn B.

Câu 75. Hệ bất phương trình 2( 3) 5( 4)

1

x x

mx x

 − < −



 + ≤ −



vô nghiệm khi:

A m>1 B m≥1 C m<1 D m≤1

Lời giải. Bất phương trình ( ) ( )

14 14

2 ;

3

x− < x− ↔ >x →S = +∞

Bất phương trình mx+ ≤ − ↔1 x (m−1)x≤ −2 ( )*

• Với m=1, ( )* trở thành 0x≤ −2: vô nghiệm → hệ vô nghiệm → trường hợp ta chọn m=1

• Với m>1, ta có ( )

2

* ;

1

x S

m m

 

−  −



↔ ≤ → = −∞

 

− − 

→hệ bất phương trình vơ nghiệm

2 14

1

S S

m

−

⇔ ∩ = ∅ ⇔⇔ ≤

−

( )

( )

( ) ( )

14

6

6 14

3

m

m m

m m

− −

⇔ ≤ ⇔ − ≤ − ⇔ ≥

− − (do với m> →1 m− >1 0) → trường hợp ta chọn m>1

• Với m<1, ta có ( )

2

* ;

1

x S

m m

 

− − 



↔ ≥ → = +∞

 

−  −

Baøi 03

DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1 Nhị thức bậc

Nhị thức bậc x biểu thức dạng f x( )=ax+b a b, hai số cho, a≠0

2 Dấu nhị thức bậc Định lí

Nhị thức f x( )=ax+b có giá trị dấu với hệ số a x lấy giá trị khoảng b; ,

a

 

− +∞

 

  trái dấu với hệ số a x lấy giá trị khoảng ;

b a

 

−∞ − 

 

 

Minh họa đồ thị

II – XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT

Giả sử f x( ) tích nhị thức bậc Áp dụng định lí dấu nhị

thức bậc xét dấu nhân tử Lập bảng xét dấu chung cho tất nhị thức bậc có mặt f x( ) ta suy dấu f x( ) Trường hợp f x( )

một thương xét tương tự

III – ÁP DỤNG V/O GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Giải bất phương trình f x( )>0 thực chất xét xem biểu thức f x( ) nhận giá trị

dương với giá trị x (do biết f x( ) nhận giá trị âm với

giá trị x), làm ta nói xét dấu biểu thức f x( )

1 Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu thức Ví dụ. Giải bất phương trình 1

1−x≥

Giải. Ta biến đổi tương đương bất phương trình cho

1

1 0

1 1

x

x≥ ⇔ x− ≥ ⇔ x≥

− − −

x −∞ b

a

− +∞

( )

Xét dấu biểu thức ( )

x f x

x

=

− ta suy nghiệm bất phương trình cho 0≤ <x

2 Bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ. Giải bất phương trình −2x+ + − <1 x

Giải. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có

( )

2 neu

2

2 neu

x x

x

x x

− + − + ≥

 − + = 

− − + − + <



Do đó, ta xét phương trình hai khoảng a) Với

2

x≤ ta có hệ bất phương trình

( )

1

2

x

x x

  ≤  

 − + + − < 

hay

7 x

x

  ≤   − <  Hệ có nghiệm

2 x

− < ≤ b) Với

2

x> ta có hệ bất phương trình

( )

1

2

x

x x

  >  

 − + − < 

hay

x

x

  >    <  Hệ có nghiệm

2< <x

Tổng hợp lại tập nghiệm bất phương trình cho hợp hai khoảng 7;1

 

−   

 

và 1;3  

 

 

 

Kết luận Bất phương trình cho có nghiệm − < <7 x

Bằng cách áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối ta dễ dàng giải bất phương trình dạng f x( )≤a f x( )≥a với a>0 cho

Ta có

( ) ( )

f x ≤ ⇔ − ≤a a f x ≤a

( ) ( )

f x ≥ ⇔a f x ≤ −a f x( )≥a (a>0)

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề XÉT DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT

Câu 1. Cho biểu thức f x( )=2x−4 Tập hợp tất giá trị x để f x( )≥0 A x∈[2;+∞). B. 1;

2 x∈ +∞

 

 C ( ]

;2

x∈ −∞ D. x∈(2;+∞) Lời giải. Ta có f x( )≥ ⇔0 2x− ≥ ⇔4 x≥ ⇔2 x∈[2;+∞) Chọn A

Câu 2. Cho biểu thức f x( ) (= x+5 3)( −x) Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )≤0

C x∈ −( 5;3 ) D x∈ −∞ − ∪( ; 5] [3;+∞) Lời giải. Ta có f x( )= ⇔0 (x+5 3)( −x)=0

Phương trình x+ = ⇔5 x= −5 3− = ⇔x x=3 Bảng xét dấu

x −∞ −5 +∞

5

x+ − + +

3−x + + −

( )

f x − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )≤ ⇔ ∈ −∞ − ∪0 x ( ; 5] [3;+∞) Chọn D Câu 3. Cho biểu thức f x( )=x x( −2 3)( −x) Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )<0

A x∈(0;2) (∪ 3;+∞) B x∈ −∞( ;0) (∪ 3;+∞) C x∈ −∞( ;0] (∪ 2;+∞) D x∈ −∞( ;0) (∪ 2;3 )

Lời giải. Ta có x=0;x− = ⇔2 x=2 3− = ⇔x x=3 Bảng xét dấu

x −∞ +∞

x − + + +

2

x− − − + +

3−x + + + −

( )

f x + − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )< ⇔ ∈0 x (0;2) (∪ 3;+∞) Chọn A Câu 4. Cho biểu thức ( ) 9 1.

f x = x − Tập hợp tất giá trị x để f x( )<0 A 1;

3 x∈ − 

 

 

B ; 1;

3

x∈ −∞ −   ∪ +∞

C ; 1;

3

x∈ −∞ − ∪ +∞

  D

1 ; 3 x∈ − 

Lời giải Ta có ( ) ( )( )

0 3

f x = ⇔ x − = ⇔ x− x+ =

Phương trình 1

3

x− = ⇔x= 1

3

x+ = ⇔x= −

Bảng xét dấu

x −∞

3

−

3 +∞

3x−1 − − +

3x+1 − + +

( )

f x + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) 1; 3

f x < ⇔ ∈ −x   Chọn D

Câu 5. Cho biểu thức ( ) (2 1)( 1 )

A 1;1 x∈ 

 

  B ( )

1

; 1;

2

x∈ −∞ − ∪ +∞

C ;1 [1; )

x∈ −∞ ∪ +∞ 

  D

1 ;1 x∈ 

Lời giải. Ta có (2 1)( 1) 0 (2 1)( 1)( 1) 0.

x− x − = ⇔ x− x− x + +x =

Phương trình 1; 1

2

x− = ⇔x= x− = ⇔x=

2

2 1 0.

2

x + + =x x+  + > Bảng xét dấu

x −∞

2 +∞

2x−1 − + +

1

x− − − +

2 1

x + +x + − +

( )

f x + − +

Dựa vào bảng xét dấu, suy ( ) ;1 [1; )

f x ≥ ⇔x∈ −∞ ∪ +∞ 

  Chọn C.

Câu 6. Cho biểu thức ( )

3

f x x

=

− Tập hợp tất giá trị x để f x( )≤0 A x∈ −∞( ;2 ] B x∈ −∞( ;2 )

C x∈(2;+∞). D x∈[2;+∞)

Lời giải. Ta có ( ) ( ;2 )

3

f x x x x

x

≤ ⇔ ≤ ⇔ − < ⇔ < ⇔ ∈ −∞

− Chọn A

Câu 7. Cho biểu thức ( ) ( 2)( )

x x

f x

x

+ −

=

− Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )>0

A x∈ −∞ −( ; 3) (∪ 1;+∞) B x∈ −( 3;1) (∪ 2;+∞) C x∈ −( 3;1) (∪1;2 ) D x∈ −∞ −( ; 3) (∪ 1;2 )

Lời giải. Phương trình x+ = ⇔3 x= −3; 2− = ⇔x x=2 x− = ⇔1 x=1 Bảng xét dấu

x −∞ −3 1 2 +∞

3

x+ − + + +

2−x + + + −

1

x− − − + +

( )

f x + − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )> ⇔0 x∈ −∞ −( ; 3) (∪ 1;2 ) Chọn D Câu 8. Cho biểu thức ( ) (4 2)( )

4

x x

f x

x

− +

=

− Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )≥0

A x∈ −∞ − ∪( ; 2] [2; ) B x∈(3;+∞)

Lời giải. Phương trình 4x− = ⇔8 x=2; 2+ = ⇔x x= −2 4− = ⇔x x=4 Bảng xét dấu

x −∞ −2 +∞

4x−8 − − + +

2

x+ − + + +

4−x + + + −

( )

f x + − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )≥ ⇔0 x∈ ∈ −∞ − ∪x ( ; 2] [2; ) Chọn A

Câu 9. Cho biểu thức ( ) ( )

( )( )

3 x x f x

x x

− =

− − Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )≥0

A x∈ −∞( ;0] (∪ 3;+∞) B x∈ −∞( ;0] (∪ 1;5 )

C x∈[0;1) [∪3;5 ) D x∈ −∞( ;0) (∪ 1;5 )

Lời giải. Phương trình x=0;x− = ⇔3 x=3;x− = ⇔5 x=5 1− = ⇔x x=1 Bảng xét dấu

x −∞ +∞

x − + + + +

3

x− − − − + +

5

x− − − − − +

1−x + + − − −

( )

f x − + − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )≥ ⇔0 x∈[0;1) [∪3;5 ) Chọn C

Câu 10. Cho biểu thức ( ) 42 12 x f x

x x

− =

− Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )≤0

A x∈(0;3] (∪ 4;+∞) B x∈ −∞( ;0] [∪3; )

C x∈ −∞( ;0) [∪ 3; ) D x∈ −∞( ;0) (∪ 3; )

Lời giải. Ta có ( )

( )

2

4 12 12

4

x x

f x

x x

x x

− −

= =

− −

Phương trình 4x−12= ⇔0 x=3;x=0 x− = ⇔4 x=4 Bảng xét dấu

x −∞ +∞

4x−12 − − + +

x − + + +

4

x− − − − +

( )

f x − + − +

Câu 11. Cho biểu thức ( ) 2 x f x

x

−

= +

+ Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )<0

A x∈ −∞ −( ; ) B x∈ − +∞( 1; )

C x∈ − −( 4; ) D x∈ −∞ −( ; 4) (∪ − +∞1; ) Lời giải. Ta có ( ) 2 2( 1)

1 1

x x

x x

f x

x x x

− + +

− +

= + = =

+ + +

Phương trình x+ = ⇔4 x= −4 x+ = ⇔1 x= −1 Bảng xét dấu

x −∞ −4 −1 +∞

4

x+ − + +

1

x+ − − +

( )

f x + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )< ⇔0 x∈ − −( 4; ) Chọn C

Câu 12. Cho biểu thức ( )

3

x f x

x

− = −

− Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )≤0

A 2;1

x∈  B ;2 (1; )

3

x∈ −∞ ∪ +∞ C 2;1

3 x∈   

  D ( )

2

;1 ;

3 x∈ −∞ ∪ +∞

Lời giải. Ta có ( ) 2 4

3 3

x x x x

f x

x x x

− − − + −

= − = =

− − −

Phương trình 4x− = ⇔4 x=1 2 x− = ⇔x= Bảng xét dấu

x −∞

3 +∞

4x−4 − − +

3x−2 − + +

( )

f x + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) 2;1 f x ≤ ⇔x∈   

  Chọn C Câu 13. Cho biểu thức ( )

3

f x

x x

−

= −

+ − Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )>0

A 11; [2; )

5

x∈ − − ∪ +∞ B 11; (2; )

5

x∈ − − ∪ +∞

C ; 11 1;2

5

x∈ −∞ −  ∪ − 

 D

11

; ;2

5

Lời giải. Ta có ( )

( )( )

4 3 11

3 2 3

x f x

x x x x x x

+

= − − = − =

+ − − + − +

Phương trình 11 11; 2

5

x+ = ⇔x= − x− = ⇔x= 1 x+ = ⇔x= − Bảng xét dấu

x −∞ 11

5

−

3

− +∞

5x+11 − + + +

2

x− − − − +

3x+1 − − + +

( )

f x − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) 11; (2; )

5

f x > ⇔x∈ − − ∪ +∞ Chọn B Câu 14. Cho biểu thức ( )

4

f x

x x x

= + −

+ + Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình f x( )<0

A x∈ −( 12; 4− ) (∪ −3;0 ) B 11; (2; )

5

x∈ − − ∪ +∞ 

C ; 11 1;2

5

x∈ −∞ −  ∪ − 

 D

11

; ;2

5

x∈ −∞ −   ∪ −  Lời giải. Ta có ( )

( )( )

1 12

0

4 3

x f x

x x x x x x

+

= + − < ⇔ <

+ + + +

Phương trình x+12= ⇔0 x= −12;x+ = ⇔3 x= −3 x+ = ⇔4 x= −4 Bảng xét dấu

x −∞ −12 −4 −3 +∞

12

x+ − + + + +

x − − − − +

3

x+ − − − + +

4

x+ − − + + +

( )

f x + − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )< ⇔0 x∈ −( 12;−4) (∪ −3;0 ) Chọn A

Câu 15. Cho biểu thức ( ) ( 2)( )

3

x x

f x

x

− +

=

− Hỏi có tất giá trị nguyên âm x thỏa mãn bất phương trình f x( )<1 ?

A 1 B. C 3 D.

Lời giải. Ta có ( ) ( )( )

( )( )

2

2

3

1 1

1

1

x x x x x

f x

x x

x x

− + − − +

− = − = − =

− +

− −

Phương trình x+ = ⇔5 x= −5;x− = ⇔1 x=1 x+ = ⇔1 x= −1 Bảng xét dấu

x −∞ −5 −1 +∞

5

1

x− − − − +

1

x+ − − + +

( )

1−f x − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 1−f x( )> ⇔0 x∈ − − ∪( 5; 1) (1;+∞) Vậy có tất giá trị nguyên âm m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C

Vấn đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Câu 16. Tập nghiệm bất phương trình (2x+8 1)( −x)>0 có dạng (a b; ) Khi b−a

A. B. C. D. không giới hạn

Lời giải. Đặt f x( ) (= 2x+8 1)( −x)

Phương trình 2x+ = ⇔8 x= −4 1− = ⇔x x=1 Ta có bảng xét dấu

y x −∞ −4

+∞

2x+8 − + + 1−x + + −

( )

f x − + − Từ bảng xét dấu ta có f x( )> ⇔ − < < ⇔0 x x∈ −( 4;1 )

Khi b=1,a= − ⇒ − =4 b a Chọn B

Câu 17. Tập nghiệm S= −( 4;5) tập nghiệm bất phương trình sau ? A. (x+4)(x+5)<0 B. (x+4 5)( x−25)<0

C. (x+4 5)( x−25)≥0 D.(x−4)(x−5)<0 Lời giải Phương trình x+ = ⇔4 x= −4 x+ = ⇔5 x= −5 Phương trình x− = ⇔4 x=4 5x−25= ⇔ − = ⇔0 x x=5 Ta có bảng xét dấu

x −∞ −5 −4 +∞

x+ − + + + +

x+ − − + + +

x− − − − + +

x− − − − − +

(x+4)(x+5) + − + + +

(x+4)(x−5) + + − − +

(x−4)(x−5) + + + − + Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S= −( 4;5) nghiệm bất phương trình

(x+4 5)( x−25)<0 Chọn B.

Câu 18. Tổng nghiệm nguyên bất phương trình (x+3)(x− ≤1)

Lời giải Đặt f x( ) (= x+3)(x−1)

Phương trình x+ = ⇔3 x= −3 x− = ⇔1 x=1 Ta có bảng xét dấu

x −∞ −3 1 +∞ 3

x+ − 0 + + 1

x− − − 0 + ( )

f x + 0 − 0 +

Từ bảng xét dấu ta có (x+3)(x− ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔1) x x∈ −[ 3;1 ]

Suy nghiệm nguyên bất phương trình − − −3, 2, 1, 0,1

Suy tổng nghiệm nguyên bất phương trình −5 Chọn C

Câu 19. Tập nghiệm S=[0;5] tập nghiệm bất phương trình sau ?

A. x x( −5)<0 B. x x( −5)≤0 C. x x( −5)≥0 D. x x( −5)>0 Lời giải. Đặt f x( )=x x( −5 ) Phương trình x=0 x− = ⇔5 x=5 Ta có bảng xét dấu

x −∞ +∞

x − + +

x− − − +

( )

f x + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x∈[0;5]⇔ f x( )≤ ⇔0 x x( −5)≤0 Chọn B Câu 20. Nghiệm nguyên nhỏ thỏa mãn bất phương trình x x( −2)(x+1)>0

A. B. C. D.

Lời giải. Đặt f x( )=x x( −2)(x+1 )

Phương trình x=0;x− = ⇔2 x=2 x+ = ⇔1 x= −1 Ta có bảng xét dấu

x −∞ −1 +∞

x − − + +

x− − − − +

x+ − + + +

( )

f x − + − + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )> ⇔0 x∈ −( 1;0) (∪ 2;+∞)

Vậy nghiệm nguyên nhỏ thỏa mãn bất phương trình Chọn B.

Câu 21. Tập nghiệm S= −∞( ;3) (∪ 5;7) tập nghiệm bất phương trình sau

đây ?

A. (x+3)(x−5 14)( −2x)≤0 B. (x−3)(x−5 14)( −2x)>0 C. (x−3)(x−5 14)( −2x)<0 D.(x+3)(x−5 14)( −2x)<0 Lời giải Phương trình x+ = ⇔3 x= −3; x− = ⇔3 x=3

Và x− = ⇔5 x=5; 14−2x= ⇔0 x=7 Ta có bảng xét dấu

3

x+ − + + + +

x− − − + + +

x− − − − + + 14−2x + + + + −

(x+3)(x−5 14)( −2x) + − + + −

(x−3)(x−5 14)( −2x) + + − + − Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S= −∞( ;3) (∪ 5;7) tập nghiệm bất phương

trình (x−3)(x−5 14)( −2x)>0 Chọn B

Câu 22. Hỏi bất phương trình (2−x)(x+1 3)( −x)≤0 có tất nghiệm nguyên dương ?

A. B. C. D.

Lời giải. Đặt f x( ) (= 2−x)(x+1 3)( −x)

Phương trình 2− = ⇔x x=2; x+ = ⇔1 x= −1 3− = ⇔x x=3 Ta có bảng xét dấu

x −∞ −1 +∞ 2−x + + − −

1

x+ − + + + 3−x + + + −

( )

f x − + − + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )≤ ⇔0 x∈ −∞ − ∪( ; 1] [2;3 ]

Vậy bất phương trình cho có nghiệm ngun dương Chọn D

Câu 23 Tích nghiệm nguyên âm lớn nghiệm nguyên dương nhỏ bất phương trình (3x−6)(x−2)(x+2)(x− >1)

A. −9 B. −6 C. −4 D.

Lời giải. Bất phương trình ( )( )( )( ) ( ) (2 )( )

3x−6 x−2 x+2 x− > ⇔1 x−2 x+2 x− >1 Vì ( )2

2 0,

x− > ∀ ≠x nên bất phương trình trở thành

( )( )

2

2

x

x x

 ≠  

 + − > 

Đặt f x( ) (= x+2)(x−1 ) Phương trình x+ = ⇔2 x= −2 x− = ⇔1 x=1 Ta có bảng xét dấu

x −∞ −2 +∞

x+ − + +

x− − − +

( )

f x + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )>0⇔x∈ −∞ −( ; 2) (∪ 1;+∞) Kết hợp với điều kiện x≠2, ta ⇔x∈ −∞ −( ; 2) (∪ 1;2) (∪ 2;+∞)

Do đó, nghiệm nguyên âm lớn bất phương trình −3 nghiệm nguyên dương nhỏ bất phương trình Vậy tích cần tính (−3 3) = −9.Chọn A Câu 24. Tập nghiệm bất phương trình 2x(4−x)(3−x)(3+x)>0

C. Hợp ba khoảng D. Toàn trục số Lời giải Đặt f x( )=2x(4−x)(3−x)(3+x)

Phương trình 2x= ⇔0 x=0; 4− = ⇔x x=4; Và 3− = ⇔x x=3; 3+ = ⇔x x= −3 Ta có bảng xét dấu

x −∞ −3 +∞

x+ − + + + + 2x − − + + + 3−x − − − + + 4−x − − − − +

( )

f x + − + − +

Từ bảng xét dấu ta có ( ) ( ) ( ) ( )

4

0 ; 0;3 4;

3

x

f x x x

x

 >  

> ⇔ < < ⇔ ∈ −∞ − ∪ ∪ + ∞

 < − 

Suy tập nghiệm bất phương trình hợp ba khoảng Chọn C

Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ thỏa mãn bất phương trình (x−1) x x( +2)≥0

A x= −2 B x=0 C x=1 D x=2 Lời giải Bất phương trình ( ) ( )

( ) ( )

1

1

2

x x

x x x

x x x x

 − ≥  ≥

 

 

− + ≥ ⇔ ⇔

+ ≥ + ≥

 

 

Đặt f x( )=x x( +2 ) Phương trình x=0 x+ = ⇔2 x= −2

Bảng xét dấu

x −∞ −2 +∞

x − − +

2

x+ − + +

( )

f x + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) 0

x f x

x

 ≥  ≥ ⇔

 ≤ − 

Kết hợp với điều kiện x≥1, ta tập nghiệm S=[1;+∞)

Vậy nghiệm nguyên nhỏ thỏa mãn bất phương trình x=1 Chọn C

Vấn đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Câu 26. Bất phương trình

2

x x

− ≥

+ có tập nghiệm

A 1;2

S= −  B 1;2

S= − 

 

 

C 1;2

2

S= −  

  D

1 ;2

S= 

Lời giải. Đặt ( )

2

x f x

x

− =

+ Ta có 2− = ⇔x x=2

1

2

2

x+ = ⇔x= −

Bảng xét dấu

x −∞

2

2−x + + −

2x+1 − + +

( )

f x − + −

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ( ) 2

f x ≥ ⇔ − < ≤x

Vậy tập nghiệm bất phương trình 1;2

S= −  

  Chọn C

Câu 27. Tập nghiệm bất phương trình (3 )( 2)

x x x

− −

≤

+

A S= −( 1;2] [∪3;+∞) B S= −∞( ;1) [∪2;3 ]

C S= −[ 1;2] [∪3;+∞) D S= −( 1;2) (∪ 3;+∞)

Lời giải. Đặt ( ) (3 )( 2)

x x f x

x

− −

=

+ Ta có

3

;

2

x x

x x

 − = ⇔ = 



 − = ⇔ = 

1

x+ = ⇔x= − Bảng xét dấu

x −∞ −1 +∞

3−x + + + −

2

x− − − + +

1

x+ − + + +

( )

f x + − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( )

x f x

x

− < ≤ 

≤ ⇔  ≥ 

Vậy tập nghiệm bất phương trình S= −( 1;2] [∪3;+∞). Chọn A

Câu 28. Bất phương trình

2−x< có tập nghiệm A S= −( 1;2 ) B S= −[ 1;2 )

C S= −∞ − ∪( ; 1) (2;+∞) D S= −∞ − ∪( ; 1] [2;+∞)

Lời giải. Bất phương trình 3 1

2 2

x

x x x

+

< ⇔ − < ⇔ <

− − −

Đặt ( )

x f x

x

+ =

− Ta có x+ = ⇔1 x= −1 2− = ⇔x x=2

Bảng xét dấu

x −∞ −1 2 +∞

2−x + + −

1

x+ − + +

( )

f x − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( )

x f x

x

 < −  < ⇔

 > 

Vậy tập nghiệm bất phương trình S= −∞ − ∪( ; 1) (2;+∞) Chọn C.

Câu 29.Tập nghiệm bất phương trình 2

x x x

+ − ≥

A. S= −∞ − ∪ −( ; 2) ( 1;2 ) B. S= −( 2;1] (∪ 2;+∞)

C. S= −[ 2;1) (∪ 2;+∞) D. S= −( 2;1] [∪2;+∞)

Lời giải Bất phương trình

( )( )

2

2

3

1 0

2

4

x x x x x

x x

x x

+ − + − +

≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥

− +

− −

Đặt ( )

( )( )

1

2

x f x

x x

+ =

− + Ta có x+ = ⇔1 x= −1 ( )( )

2

2

2

x

x x

x

 = − 

− + = ⇔

 = 

Bảng xét dấu

x −∞ −2 −1 2 +∞

1

x+ − − + +

2

x− − − − +

2

x+ − + + +

( )

f x − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) 2

x f x

x

− < ≤ − 

≥ ⇔  > 

Vậy tập nghiệm bất phương trình S= − − ∪( 2; 1] (2;+∞) Chọn B

Câu 30. Bất phương trình

1

x− −x+ < có tập nghiệm

A S= −∞ −( ; 3) (∪ 1;+∞) B S= −∞ −( ; 3) (∪ −1;1 )

C. S= − − ∪( 3; 1) (1;+∞) D. S= −( 3;1) (∪ − +∞1; )

Lời giải Bất phương trình

( )( )

4 2

0

1 1

x

x x x x

+

− < ⇔ <

− + − +

Đặt ( )

( )( )

2

1

x f x

x x

+ =

− + Ta có 2x+ = ⇔6 x= −3 ( )( )

1

1

1

x

x x

x

 = 

− + = ⇔

 = − 

Bảng xét dấu

x −∞ −3 −1 1 +∞

2x+6 − + + +

1

x− − − − +

1

x+ − − + +

( )

f x − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( )

1

x f x

x

 < −  < ⇔

− < < 

Vậy tập nghiệm bất phương trình S= −∞ −( ; 3) (∪ −1;1 ) Chọn B

Câu 31. Bất phương trình

1−x≥2x+1 có tập nghiệm

A. ; 2;1

2 11

S= −∞ −  ∪ 

 B. ( )

1

; 1;

2 11

S= − ∪ +∞

C. ; 2;1

2 11

S= −∞ − ∪ 

  D.

1

; ;1

2 11

S= −∞ −   ∪ 

Lời giải Bất phương trình

( )( )

3 11

0

1 1

x

x x x x

−

≥ ⇔ ≥

Đặt ( )

( )( )

11

1

x f x

x x

− =

− + Ta có

2

11 ;

11

x− = ⇔x=

1

2

2

x x

x x

 − = ⇔ = 

 

 + = ⇔ = −



Bảng xét dấu

x −∞

2

−

11 +∞

11x−2 − − + +

1−x + + + −

2x+1 − + + +

( )

f x + − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( )

1

0

2

1 11

x f x

x

  < −  ≥ ⇔  

≤ < 



Vậy tập nghiệm bất phương trình ; 2;1 11 S= −∞ −  ∪ 

 Chọn A

Câu 32. Bất phương trình 2

1

x

x+ −x− ≤ có tập nghiệm A 1;1 (1; )

3

S= − ∪ +∞ 

  B S= −∞ − ∪( ; 1] (1;+∞) C. 1;1 (1; )

3

S= − ∪ +∞ D. ( ; 1] 1;1 S= −∞ − ∪  Lời giải Bất phương trình

( )( )

2 1

2

1 1

x x

x x x x

−

− ≤ ⇔ ≤

+ − − +

Đặt ( )

( )( )

1

1

x f x

x x

− =

− + Ta có

1

1

1 ;

1

3

x x

x x

x x

 − = ⇔ = 

− = ⇔ = 

 + = ⇔ = − 

Bảng xét dấu

x −∞ −1

3 +∞

1−3x + + − −

1

x− − − − +

1

x+ − + + +

( )

f x + − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( )

1

0

1 x f x

x



− < ≤ 

≤ ⇔   > 

Vậy tập nghiệm bất phương trình 1;1 (1; )

S= − ∪ +∞ 

  Chọn A

Câu 33. Bất phương trình

4

x+x+ <x+ có tập nghiệm

A. S= −∞ −( ; 12) (∪ −4;3) (∪ 0;+∞) B. S= −[ 12;−4) (∪ −3;0 )

Lời giải Bất phương trình

( )( )

1 12

0

4 3

x

x x x x x x

+

+ < ⇔ <

+ + + +

Đặt ( )

( )( )

12

3

x f x

x x x

+ =

+ + Ta có

3

12 12;

4

x x

x x

x x

 + = ⇔ = − 

+ = ⇔ = − 

 + = ⇔ = − 

Bảng xét dấu

x −∞ −12 −4 −3 +∞

12

x+ − + + + +

x − − − − +

3

x+ − − − + +

4

x+ − − + + +

( )

f x + − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) 12

3

x f x

x

− < < − 

< ⇔

− < < 

Vậy tập nghiệm bất phương trình S= −( 12;−4) (∪ −3;0 ) Chọn D

Câu 34. Bất phương trình

( )2

1

1

x+ < x− có tập nghiệm S

A. T= −∞ − ∪( ; 1) (0;1) [∪1;3 ] B.T= −[ 1;0) (∪ − +∞3; ) C.T= −∞ − ∪( ; 1) (0;1) (∪ 1;3 ) D.T= −( 1;0] (∪ − +∞3; ) Lời giải Bất phương trình

( )2 ( )2

1 1

0

1 1

x+ < x− ⇔x+ − x− <

( ) ( )

( )( )

( )

( )( ) ( )

2

2

1

1

0

0

1 1

1 x

x x x x

x x

x x x x

x

 ≠ 

− − + − 

⇔ < ⇔ < ⇔  −

<

+ − + − 

+ 

(vì ( )2 0,

x− > ∀ ∈x ℝ)

Đặt ( ) ( 3) x x f x

x

− =

+ Ta có x− = ⇔3 x=3 x+ = ⇔1 x= −1 Bảng xét dấu

x −∞ −1 +∞

x − − + −

3

x− − − − +

1

x+ − + + +

( )

f x − + − −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( )

0

x f x

x

 < −  < ⇔

 < < 

Kết hợp với điều kiện x≠1, ta tập nghiệm S= −∞ − ∪( ; 1) (0;1) (∪ 1;3 ) Chọn C

Câu 35. Bất phương trình 2 4 2

9

x x

x

x x x

+

− < +

− − có nghiệm nguyên lớn

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( ) ( )( )

4 3 22

0

3 3 3 3

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

+ − + +

− < − ⇔ <

− + − + − + − +

Đặt ( )

( )( )

3 22

3

x f x

x x

+ =

− + Ta có

3

22

3 22 ;

3

3

x x

x x

x x

 − = ⇔ = 

+ = ⇔ = − 

 + = ⇔ = − 

Bảng xét dấu

x −∞ 22

3

− −3 +∞

3x+22 − + + +

3

x− − − − +

3

x+ − − + +

( )

f x − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) ; 22 ( 3;3 )

3

f x < ⇔x∈ −∞ − ∪ − Vậy nghiệm nguyên lớn thỏa mãn bất phương trình x=2 Chọn A

Vấn đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI Câu 36. Tất giá trị x thoả mãn x− <1

A. − < <2 x B. 0< <x C. x<2 D. 0< <x Lời giải. Ta có x− < ⇔ − < − < ⇔ < <1 1 x 1 x Chọn D

Câu 37. Nghiệm bất phương trình 2x− ≤3

A. 1≤ ≤x B. − ≤ ≤1 x C. 1≤ ≤x D. − ≤ ≤1 x Lời giải. Ta có 2x− ≤ ⇔ − ≤3 1 2x− ≤ ⇔ ≤3 2x≤ ⇔ ≤ ≤4 x Chọn C Câu 38. Bất phương trình 3x−4≤2 có nghiệm

A. ;2 [2; )

 

−∞ ∪ +∞

 

  B.

2 ;2         C. ;2

3

 

−∞ 

 

  D.[2;+∞)

Lời giải. Ta có 2 2 2

3

x− ≤ ⇔ − ≤ x− ≥ ⇔ ≤ x≤ ⇔ ≤ ≤x Chọn B Câu 39. Bất phương trình 1−3x >2 có nghiệm

A ; (1; )

 

−∞ − ∪ +∞

 

  B.(1;+∞)

C ;

 

−∞ − 

 

  D

1 ;

3

 

−∞ 

 

 

Lời giải. Ta có

1

1 3

1 3

1 3

1

x x x

x

x x

x

  − > − >  < −

  

− > ⇔ ⇔ ⇔

 − < − >

   >



Vậy tập nghiệm bất phương trình cho ; (1; )

S= −∞ − ∪ +∞ Chọn A Câu 40. Tập nghiệm bất phương trình x− > −3

A. (3;+∞) B. (−∞;3 ) C. (−3;3 ) D. ℝ Lời giải. Vì x− ≥3 0,∀ ∈x ℝ nên suy x− > −3 1,∀ ∈x ℝ

Vậy tập nghiệm bất phương trình S=ℝ Chọn D

Câu 41. Tập nghiệm bất phương trình 5x−4≥6 có dạng S= −∞( ;a] [∪b;+∞) Tính tổng P=5a+b

A. B. C. D.

Lời giải Cách 1. Bất phương trình

2

5 10

5

5

5 x

x x

x

x x x

 ≥

 − ≥  ≥ 

  

− ≥ ⇔ ⇔ ⇔

 − ≤ −  ≤ −  ≤ −

  

Cách TH1. Với 5x− ≥4 0, bất phương trình 5x−4≥ ⇔6 5x− ≥ ⇔4 x≥2 TH2. Với 5x− <4 0, bất phương trình 6 2

5 x− ≥ ⇔ − x+ ≥ ⇔ x≤ − ⇔x≤ − Do đó, tập nghiệm bất phương trình ; [2; )

5

S= −∞ − ∪ +∞ 

 

Mặt khác S= −∞( ;a] [∪b;+∞) suy

2

2

5

5

5

a

a b b



 = −  

 ⇒ + = − + =

  

  

 = 

Chọn C Câu 42. Hỏi có giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình 2

1 x x

− ≥

+ ?

A. B. C. D.

Lời giải. Điều kiện: x+ ≠ ⇔1 x≠ −1 Bất phương trình

( ) ( )

2

2 0

2 1

2

2

1

2 0

1 1

x x x

x x x x

x x x

x

x x x

 −  − 

 ≥  − ≥ − ≥

  

− ≥ ⇔ + ⇔ + ⇔ +

 −  −  +

+

 ≤ −  + ≤  ≤

 +  +  +

  

Giải ( )1 , ta có bất phương trình ( )1 1

x

x x

⇔ ≤ ⇔ − < ≤ +

Giải ( )2 , ta có bất phương trình ( )2 ⇔ − ≤ < −4 x

Do đó, tập nghiệm bất phương trình S= − − ∪ −[ 4; 1) ( 1;0 ]

Vậy có tất giá trị nguyên x cần tìm x= − − −{ 4; 3; 2;0 } Chọn B

Câu 43. Số nghiệm nguyên bất phương trình 1≤x− ≤2

A. B. C. D.

Lời giải. Bất phương trình

4

2

1

2

2 1

x x

x

x x x

x

x x

− ≤ − ≤ − ≤ ≤ 

 

 − ≤ 

  

≤ − ≤ ⇔ ⇔ − ≥ ⇔ ≥

− ≥

  

  − ≤ −  ≤

 

Do đó, tập nghiệm bất phương trình S= −[ 2;1] [∪3;6 ]

A [4;+∞) B ;2

 

−∞ 

 

  C

2 ;      

  D ( ]

; −∞

Lời giải. Ta có 2 ( )2 ( )2

3x− ≤3 2x+ ⇔1 3x−3 ≤2x+1 ⇔ 3x−3 − 2x+1 ≤0

(3 3)( 1) ( 5)( 2)

x x x x x x x

⇔ − − − − + + ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤

Vậy tập nghiệm bất phương trình 2; S= 

 

  Chọn C Câu 45. Bất phương trình x− >3 2x+4 có nghiệm

A 7;1   − 

 

  B

1 7;

3    − 

 

  C. 7;

3

 

− − 

 

  D ( )

1

; ;

3

 



−∞ − ∪ − +∞

Lời giải. Ta có 2 ( )2 ( )2

3 4

x− > x+ ⇔ x− > x+ ⇔ x− − x+ >

( 4)( 4) ( 3)( 1)

x x x x x x x

⇔ − − − − + + > ⇔ − − + > ⇔ − < < − Vậy tập nghiệm bất phương trình 7;

3

S= − −   Chọn C

Câu 46. Hỏi có giá trị nguyên x [−2017;2017] thỏa mãn bất phương

trình 2x+ <1 3x ?

A. 2016 B. 2017 C. 4032 D. 4034 Lời giải.TH1. Với 1,

2

x+ ≥ ⇔x≥ − 2x+ <1 3x⇔2x+ <1 3x⇔ >x Kết hợp với điều kiện

2

x≥ − suy S1=(1;+∞)

TH2. Với 1,

2

x+ < ⇔x< − 3 x+ < x⇔ − x− < x⇔ > −x Kết hợp với điều kiện

2

x< − suy S2= ∅

Vậy tập nghiệm bất phương trình S=S1∪S2 =(1;+∞) Chọn A

Câu 47. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x+12≥2x−4

A. B. C. 11 D. 16

Lời giải TH1. Với 2x− ≥ ⇔4 x≥2, ta có

12 12 16

x+ ≥ x− ⇔ +x ≥ x− ⇔x≤

Kết hợp với điều kiện x≥2, ta tập nghiệm S1=[2;16 ]

TH2. Với 2x− < ⇔4 x<2, ta có 12 8 x+ ≥ − x+ ⇔ x≥ − ⇔x≥ − Kết hợp với điều kiện x<2, ta tập nghiệm

8 ;2 S = − 

 



Do đó, tập nghiệm bất phương trình 1 2 8;16 S=S ∪S = − 

 

 

A. ;7

 

−∞ 

 

  B.

1 ;      

  C.

1

;

2

 

 +∞

 

 D.

ℝ

Lời giải. Ta có

( )

1

3 2

3

3 4 7

4 x

x x x

x x

x x x

x

  ≥

 − ≥ −  ≥ 

 

− ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ 

− ≤ − −  ≤ 

  ≤

 Vậy tập nghiệm bất phương trình 7;

2 S= 

 

  Chọn B Câu 49. Tập nghiệm bất phương trình 1

2 x x

− <

+

A. 1;

2

S= − +∞ B. ( ; 2) 1;

2

S= −∞ − ∪ − +∞

C. ; (2; )

2

S= −∞ − ∪ +∞ D. 2; S= − −   Lời giải Điều kiện: x+ ≠ ⇔2 x≠ −2

TH1. Với x− ≥ ⇔1 x≥1, ta có 1 1

2 2

x x

x

x x x

− −

< ⇔ < ⇔ > ⇔ > −

+ + +

Kết hợp với điều kiện x≥1, ta tập nghiệm S1=(1;+∞)

TH2. Với x− < ⇔1 x<1, ta có

1

1

1

2 2

2

x x x x

x x x

x



− − +  > −

 < ⇔ < ⇔ > ⇔



+ + + < −

 Kết hợp với điều kiện x<1, ta tập nghiệm ( )

1

; ;

2 S = −∞ − ∪ − +∞ Vậy tập nghiệm bất phương trình ( )

1

; ;

2

S=S ∪S = −∞ − ∪ − +∞ Chọn B Câu 50. Nghiệm bất phương trình x x

x

+ −

≤

A. (0;1 ] B. (−∞ −; 2) (∪ 1;+∞) C. (−∞;0) [∪1;+∞) D.[0;1 ]

Lời giải. Điều kiện: x≠0

TH1. Với x+ ≥ ⇔2 x≥ −2, ta có 2 2 1

0

x x x x x x

x

x x x



+ − + − −  ≥

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔

 <  Kết hợp với điều kiện x≥ −2, ta tập nghiệm S1= −( 2;0) [∪1;+∞)

TH2. Với x+ < ⇔2 x< −2, ta có x x x x 2x 2

x x x

+ − − − − +

≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤

0

1

1 0

2 x

x x x

x x x x

 > 

+ + +



⇔ − ≤ ⇔⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔

 ≤ −  Kết hợp với điều kiện x< −2, ta tập nghiệm

1

;

2 S = −∞ − 



 

Vậy tập nghiệm bất phương trình S=S1∪S2 = −∞( ;0) [∪1;+∞) Chọn C

A. B. C. D. Lời giải. Xét bất phương trình x+ + −2 2x+ ≤ +1 x ( )∗ Bảng xét dấu

x

−∞ −2

1

2 +∞

2

x+ − + | +

2x

− + + | + −

TH1. Với x< −2, ( ) ( 2) ( 1)

x x x x x

∗ ⇔ − − + − + ≤ + ⇔ − ≤ ⇔ ≥ −

Kết hợp với điều kiện x< −2, ta tập nghiệm S1= ∅ TH2. Với 1,

2 x

− ≤ < − ( )∗ ⇔ + −x 2x+ ≤ + ⇔1 x 2x≥ ⇔2 x≥1 Kết hợp với điều kiện 1,

2 x

− ≤ < ta tập nghiệm S2= ∅ TH3. Với 1,

2

x≥ ( )∗ ⇔ + − −x ( 2x+1)≤ + ⇔x 2x≤ ⇔0 x≤0 Kết hợp với điều kiện 1,

2

x≥ ta tập nghiệm S3= ∅

Vậy tập nghiệm bất phương trình S=S1∪S2∪S3= ∅ Chọn D Câu 52. Bất phương trình

2

x+ − − < −x x có tập nghiệm A. (− +∞2; ) B. 1;

2

 

− +∞

 

  C.

3

;

2

 

− +∞

 

  D.

9

;

2

 

 +∞

 

 

Lời giải. Xét bất phương trình ( )

x+ − − ≤ −x x ∗

Lập bảng xét dấu

x −∞ −2 1 +∞

x+ − 0 + +

x− − − 0 + TH1. Với x< −2, ( ) 3

2

x x x x

∗ ⇔ − − + − < − ⇔ > − Kết hợp với điều kiện x< −2, ta tập nghiệm S1= ∅ TH2. Với − ≤ <2 x 1, ( )

2

x x x x

∗ ⇔ + + − < − ⇔ < − Kết hợp với điều kiện − ≤ <2 x 1, ta tập nghiệm S2= ∅ TH3. Với x≥1, ( )

2

x x x x

∗ ⇔ + − + < − ⇔ > Kết hợp với điều kiện x≥1, ta tập nghiệm

9

;

2

S = +∞ Vậy tập nghiệm bất phương trình 1 2 3 9;

2

S=S ∪S ∪S = +∞ Chọn D Câu 53. Tập nghiệm bất phương trình x+ − − ≥1 x

Lời giải. Xét bất phương trình x+ − − ≥1 x ( )∗ Bảng xét dấu

x −∞ −1 +∞

x+ − + | +

x− − | − +

TH1. Với x< −1, ( )∗ ⇔ − − + − ≥ ⇔ − ≥x x 3 (vô lý) suy S1= ∅ TH2. Với − ≤ <1 x 2, ( )∗ ⇔ + + − ≥ ⇔x x 2x≥ ⇔4 x≥2

Kết hợp với điều kiện − ≤ <1 x 2, ta tập nghiệm S2= ∅ TH3. Với x≥2, ( )∗ ⇔ + − + ≥ ⇔ ≥x x 3 (luôn đúng) Kết hợp với điều kiện x≥2, ta tập nghiệm S3=[2;+∞)

Vậy tập nghiệm bất phương trình S=S1∪S2∪S3=[2;+∞) Chọn B

Câu 54. Tập nghiệm bất phương trình 10

2

x x

− <

+ −

A. khoảng B. hai khoảng C. ba khoảng D. toàn trục số Lời giải. Điều kiện:

1 x x

 ≠ −    ≠ 

Bất phương trình 10 2 ( )

2 x x

x x x x

−

< ⇔ < ⇔ − − + < ∗

+ − + −

Bảng xét dấu:

x −∞ −2 +∞

1

x− − | − +

2

x+ − + | +

TH1. Với x< −2, ( )∗ ⇔ − + +x 2(x+2)< ⇔0 x< −5 Kết hợp với điều kiện x< −2, ta tập nghiệm S1= −∞ −( ; )

TH2. Với − < <2 x 1, ( )∗ ⇔ − + −x 2(x+2)< ⇔0 3x> − ⇔ > −3 x Kết hợp với điều kiện − < <2 x 1, ta tập nghiệm S2= −( 1;1 )

TH3. Với x>1 ( )∗ ⇔ − −x 2(x+2)< ⇔ > −0 x Kết hợp với điều kiện x>1, ta tập nghiệm S3 =(1;+∞)

Vậy tập nghiệm bất phương trình S=S1∪S2∪S3= −∞ −( ; 5) (∪ −1;1) (∪ − +∞1; ) Chọn C

Câu 55. Số nghiệm nguyên bất phương trình 1

x x

− ≤

+

A. B. C. D.

Lời giải. Điều kiện: x+ ≠ ⇔1 x≠ −1

TH1. Với x≥0, ta có 3 1 1

1 1

x x x

x

x x x

− − −

≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

+ + +

Kết hợp với điều kiện x≥0, ta tập nghiệm 1

; S = 

   

TH2. Với x<0, ta có 3 1 3

1 1

x x x

x

x x x

− + +

≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ −

+ + +

Kết hợp với điều kiện x<0, ta tập nghiệm

3

;

4

S = − − 

 

 

Do đó, tập nghiệm bất phương trình

1 3

; ;

4

S=S ∪S = ∪ − − 

   

   

Bài 04

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc hai ẩn x y, có dạng tổng quát

( )1 ax+by≤c

(ax+by<c ax; +by≥c ax; +by>c)

trong a b c, , số thực cho, a b không đồng thời 0,x y ẩn số

II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC

NHẤT HAI ẨN

Cũng bất phương trình bậc ẩn, bất phương trình bậc hai ẩn thường có vơ số nghiệm để mô tả tập nghiệm chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm có tọa độ nghiệm bất phương

trình ( )1 gọi miền nghiệm

Từ ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) bất phương trình ax+by≤c sau (tương tự cho bất phương trình

ax+by≥c)

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax+by=c

Bước 2. Lấy điểm M0(x y0; 0) không thuộc ∆ (ta thường lấy gốc tọa độ

O)

Bước 3. Tính ax0+by0 so sánh ax0+by0 với c

Bước 4. Kết luận

Nếu ax0+by0<c nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa M0 miền nghiệm

của ax0+by0 ≤c

Nếu ax0+by0>c nửa mặt phẳng bờ ∆ không chứa M0 miền

nghiệm ax0+by0≤c

Chú ý

Miền nghiệm bất phương trình ax0+by0≤c bỏ đường thẳng ax+by=c

miền nghiệm bất phương trình ax0+by0<c

Giải

Vẽ đường thẳng ∆: 2x+ =y

Lấy gốc tọa độ O(0;0 ,) ta thấy O∉ ∆

có 2.0+ <0 nên nửa mặt phẳng bờ ∆

chứa gốc tọa độ O miền nghiệm bất phương trình cho (miền khơng bị tơ đậm hình bên)

III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Tương tự hệ bất phương trình ẩn

Hệ bất phương trình bậc hai ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn

,

x y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung gọi nghiệm hệ bất phương trình cho

Cũng bất phương trình bậc hai ẩn, ta biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn

Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình

3

4 0

x y

x y

x y

 + ≤

  + ≤    ≥   ≥ 

Giải. Vẽ đường thẳng

( ) ( )

1 2

:

:

: :

d x y

d x y

d x Oy

d y Ox

+ = + = = =

Vì điểm M0( )1;1 có tọa độ thỏa mãn tất bất

phương trình hệ nên ta tơ đậm nửa mặt phẳng bờ ( )d1 , ( )d2 , ( )d3 , ( )d4 không chứa

điểm M0 Miền khơng bị tơ đậm (hình tứ giác OCIA kể bốn cạnh AI IC CO OA, , , ) hình

vẽ miền nghiệm hệ cho

IV – ÁP DỤNG V)O B)I TỐN KINH TẾ

Giải số tốn kinh tế thường dẫn đến việc xét hệ bất phương trình bậc hai ẩn giải chúng Loại toán nghiên cứu ngành toán học có tên gọi Quy hoạch tuyến tính

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

A 2+ >

2x 3y B 2+ 2<

2

x y C + ≥

0

x y D x+ ≥y

Lời giải Theo định nghĩa x+ ≥y 0là bất phương trình bậc hai ẩn Các bất

phương trình cịn lại bất phương trình bậc hai Chọn D

Câu 2. Cho bất phương trình 2x+3y− ≤6 (1) Chọn khẳng định

khẳng định sau:

A Bất phương trình ( )1 có nghiệm B Bất phương trình ( )1 vơ nghiệm

C Bất phương trình ( )1 ln có vơ số nghiệm D Bất phương trình ( )1 có tập nghiệm ℝ

Lời giải Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng ( )d : 2x+3y− =6 chia mặt phẳng

thành hai nửa mặt phẳng

Chọn điểm O(0; 0) khơng thuộc đường thẳng Ta thấy (x y; ) (= 0; 0) nghiệm

bất phương trình cho Vậy miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng bờ ( )d chứa điểm O(0; 0) kể ( )d

Vậy bất phương trình ( )1 ln có vơ số nghiệm Chọn C

Câu 3. Miền nghiệm bất phương trình: 3x+2(y+3)>4(x+ − +1) y nửa mặt

phẳng chứa điểm:

A (3;0 ) B (3;1 ) C (2;1 ) D (0;0 )

Lời giải Ta có 3x+2(y+3)>4(x+ − +1) y 3⇔− +x 3y− >1

Vì − +2 3.1 1− >0 mệnh đề nên miền nghiệm bất phương trình chứa

điểm có tọa độ (2;1) Chọn C.

Câu 4. Miền nghiệm bất phương trình: 3(x− +1) (y−2)<5x−3 nửa mặt

phẳng chứa điểm:

A (0;0 ) B (−4;2 ) C (−2;2 ) D (−5;3 )

Lời giải Ta có 3(x− +1) (y−2)<5x−3⇔−2x+4y− <8

Vì −2.0+4.0− <8 mệnh đề nên miền nghiệm bất phương trình

chứa điểm có tọa độ (0; 0) Chọn A.

Câu 5. Miền nghiệm bất phương trình − + +x 2(y−2)<2 1( −x) nửa mặt

phẳng không chứa điểm điểm sau?

A (0;0 ) B ( )1;1 C (4;2 ) D (1; − )

Lời giải Ta có − + +x 2(y−2)<2(1−x)⇔ +x 2y<4

Vì − +4 2.2<4 mệnh đề sai nên nên (−4;2) không thuộc miền nghiệm bất

phương trình Chọn C.

Câu 6. Trong cặp số sau đây, cặp không thuộc nghiệm bất phương trình :

4 5  x− y+ >

A (−5;0 ) B (−2;1 ) C (0;0 ) D (1; − )

Lời giải Vì − −5 4.0+ >5 mệnh đề sai nên (−5; 0) không thuộc miền nghiệm

Câu 7. Điểm A(−1; 3) điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình:

A −3x+2y− >4 B x+3y<0

C 3x− >y D 2x− + >y 0.

Lời giải. Vì −3.( )− +1 2.3− >4 mệnh đề nên A(−1; 3) điểm thuộc miền

nghiệm bất phương trình −3x+2y− >4 Chọn A

Câu 8. Cặp số (2;3) nghiệm bất phương trình sau ?

A 2 – – 1x y >0 B x–y<0 C 4x>3y D. x– 3y+ <7 Lời giải. Vì 2− <3 mệnh đề nên cặp số (2;3) nghiệm bất phương

trình x–y<0 Chọn B

Câu 9. Miền nghiệm bất phương trình x+ ≤y phần tơ đậm hình vẽ

x y

2

O

x y

2

x y

2

2

O

x y

2

C D

Lời giải Đường thẳng ∆:x+ − =y qua hai điểm A(2;0 ,) (B 0;2) cặp số (0; 0)

thỏa mãn bất phương trình x− ≤y nên Hình biểu diễn miền nghiệm bất

phương trình x+ ≤y Chọn A

Câu 10. Phần tơ đậm hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bất phương trình sau?

3

-3

O y

x

A 2x− <y B 2x− >y C x−2y<3 D x−2y>3 Lời giải Đường thẳng qua hai điểm 3;0

2 A 

 B(0; 3− ) nên có phương trình

2x− =y

Mặt khác, cặp số (0; 0) khơng thỏa mãn bất phương trình 2x− >y nên phần tơ đậm

ở hình biểu diễn miền nghiệm bất phương trình 2x− >y Chọn B.

Vấn đề HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Câu 11. Cho hệ bất phương trình

2

x y

x y

 + − ≥

 

 + + ≤



Trong điểm sau, điểm thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình?

A. M(0;1) B. N(–1;1) C. P(1;3) D. Q(–1;0) Lời giải. Ta thay tọa độ điểm vào hệ bất phương trình

Với M( )0;1 ⇒ 3.1

2.0 1

 + − ≥

 

 + + ≤



Bất phương trình thứ hai sai nên A sai Với N(–1;1)⇒

( )

1 3.1 2 1

− + − ≥

 

 − + + ≤



: Đúng Chọn B.

Câu 12. Cho hệ bất phương trình

2

2

1

x y

x y x y  − − > 

 + + > 



 + + < 

Trong điểm sau, điểm thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình?

A. O(0;0 ) B. M(1;0 ) C. N(0; − ) D. P(0;2 )

Với O(0; 0)⇒

2.0 5.0 2.0 0

 − − > 

 + + > 



 + + < 

Bất phương trình thứ thứ ba sai nê A sai

Với M( )1; ⇒

2.1 5.0 2.1 1

 − − > 

 + + > 



 + + < 

Bất phương trình thứ ba sai nên B sai

Với N(0;−3)⇒

( )

( )

( )

2.0 2.0

0

 − − − > 

 + − + > 



 + − + < 

: Đúng Chọn C.

Câu 13. Miền nghiệm hệ bất phương trình

1 3 2 x y x y x   + − ≥   ≥    + − ≤ 

chứa điểm

các điểm sau đây?

A. O(0;0) B. M(2;1) C. N( )1;1 D. P(5;1) Lời giải. Ta thay tọa độ điểm vào hệ bất phương trình Với O(0; 0)⇒

0 0 3.0 2   + − ≥   ≥    + − ≤ 

Bất phương trình thứ sai nên A sai

Với M(2;1)⇒

2 1 3.1 2 2   + − ≥   ≥    + − ≤ 

: Đúng Chọn B.

Câu 14. Miền nghiệm hệ bất phương trình

3 x y x y y x y  + ≥   ≥ −    ≥ −   ≤ 

chứa điểm

điểm sau đây?

A. O(0;0 ) B. M(1;2 ) C. N(2;1 ) D. P(8;4 )

Lời giải. Thay tọa độ điểm vào hệ bất phương trình Chọn D.

Câu 15. Điểm M(0; 3− ) thuộc miền nghiệm hệ bất phương trìnhnào sau đây?

A.

2 12 x y

x y x

 − ≤

 

 + ≤ +



B.

2 12 x y

x y x

 − > 



 + ≤ +



C.

2 12

 − > − 



 + ≤ +



x y

x y x D.

2

12

 − ≤ −    + ≥ +  x y

x y x

Câu 16. Cho hệ bất phương trình

2 x y

x y

 + − ≤ 



 − + > 

Trong điểm sau, điểm không thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình?

A. O(0;0 ) B. M( )1;1 C. N(−1;1 ) D. P(− −1; )

Lời giải. Thay tọa độ điểm vào hệ bất phương trình Chọn C. Câu 17. Miền nghiệm hệ bất phương trình

2

3

x y

x y

y x  − < 

 + >− 

  − < 

C D

Lời giải Chọn điểm M(0;1) thử vào bất phương trình hệ thấy thỏa mãn.

Chọn A

Câu 18. Miền nghiệm hệ bất phương trình

1

2 x y y

x y

 + − > 

 ≥  

− + > 

O y

x

1

1

-3 O

y

x

1

1

O y

x

1

1

-3 O

y

x

1

1

C D

Lời giải Chọn điểm M(0; 4) thử vào bất phương trình hệ thấy thỏa mãn.

Câu 19. Phần khơng tơ đậm hình vẽ bên (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình hệ bất phương trình sau?

A.

2

x y x y  − ≥  

 − ≥



B.

0

2

x y x y  − >  

 − > 

C

2

x y x y  − <  

 − > 

D.

0

2

x y x y  − <  

 − < 

y

x O

1 -1

Lời giải Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A Chọn điểm M(1;0) thử vào hệ bất phương trình

Xét đáp án B, ta có 0

2.1

 − >  

 − > 

Câu 20. Phần khơng tơ đậm hình vẽ bên (khơng chứa biên), biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình hệ bất phương trình sau?

A

3

x y

x y

 − ≤

 

 + ≥ − 

B

2

3

x y

x y

 − > 



 + < − 

C

3

x y

x y

 − ≤

 

 + ≤ − 

D

2

3

x y

x y

 − < 



 + > − 

x y

-2

2

Lời giải Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A C Chọn điểm M( )0;1 thử vào hệ bất phương trình

Xét đáp án B, ta có 2.1

0 3.1

 − > 



 + < − 

: Sai Vậy ta Chọn D. Vấn đề B)I TOÁN TỐI ƯU

Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức T x y( , )=ax+by với (x y; )

nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn cho trước

Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình cho Kết thường miền nghiệm S đa giác

Bước 2: Tính giá trị F tương ứng với (x y; ) tọa độ đỉnh đa giác

Bước 3: Kết luận:

• Giá trị lớn F số lớn giá trị tìm • Giá trị nhỏ F số nhỏ giá trị tìm

Câu 21. Giá trị nhỏ Fmin biểu thức F x y( ; )=y–x miền xác định hệ 2

2

5

y x

y x x y

 − ≤



 − ≥ 



 + ≤ 

A. Fmin=1 B. Fmin=2 C. Fmin=3 D. Fmin=4

Lời giải. Ta có

2 2

2 4

5

y x y x

y x y x

x y x y

 − ≤  − − ≤

 

 

 

 − ≥ ⇔ − − ≥

 

 

 

 + ≤  + − ≤

 

 

( )*

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,vẽ đường thẳng

1: 2 0, 2: 0, 3:

d y− x− = d y− − =x d x+ − =y

x y

C

B

A

4

2

O

d3 d2 d1

1

Xét đỉnh miền khép kín tạo hệ ( )* A(0;2 , ) B(2;3 , ) C(1;4 )

Ta có

( )

( )

( )

min

0;2 2;3 1;4

F

F F

F

 =



 = →

  

= =



Chọn A

Câu 22. Biểu thức F x y( ; )=y–x đạt giá trị nhỏ với điều kiện

2

2 x y

x y

x y x

 − ≥



 − ≤ 



 + ≤ 

 ≥



điểm M có toạ độ là:

A (4;1 ) B 8; 3

   − 

 

  C

2 ; 3

   − 

 

  D (5;0 ) Lời giải. Ta giải hệ phương trình

2

2 3 2 3 2

; ;

2 2

3

x x

x y x y x y x

x y x y x y y

y y

 

 

 =  =

 

 − =  − =  − =  =

     

 ⇔  ⇔  ⇔

     

 − =   + =   + =  =

   

  = −   =  

 

 

 

Suy có đáp án A C đỉnh đa giác miền nghiệm

So sánh F x y( ; )=y–x ứng với tọa độ đáp án A C, ta đáp án (4;1 ) Chọn A.

Câu 23. Cho x y, thoả mãn hệ

2 100 80

0

x y

x y

x y

 + − ≤



 + − ≤ 

  ≥   ≥ 

Tìm giá trị lớn Pmax biểu

thức P=(x y; )=40000x+30000 y

A Pmax=2000000 B Pmax =2400000

C Pmax =1800000 D Pmax =1600000

Lời giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,vẽ đường thẳng

1: 100 0, 2: 80

d x+ y− = d x+ −y =

Khi miền nghiệm hệ bất phương trình phần mặt phẳng (tứ giác OABC kể

x y

d2

d1 40

20 C B A

O

100 50

80

40

Xét đỉnh miền khép kín tạo hệ O(0;0), A(0;50),B(20;40 ,) C(4 ;0 0)

Ta có

( )

( )

( )

( )

max

0;0 0;50

40;0

1500000

2000000 20;40 2000000

1600000

P

P P

P P

 =



 =

 → =



 =



 =



Chọn A

Câu 24. Giá trị lớn Fmax biểu thức F x y( ; )= +x 2y miền xác định

hệ

0

0 10

y x

x y

x y

 ≤ ≤   ≥  

 − − ≤ 

 + − ≤



A. Fmax =6 B. Fmax=8 C. Fmax =10 D. Fmax=12

Lời giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,vẽ đường thẳng

1: 0, 2: 10 0, :

d x− − =y d x+ y− = ∆ y=

Khi miền nghiệm hệ bất phương trình phần mặt phẳng (ngũ giác OABCD

kể biên) tô màu hình vẽ

x y

d2 d1

D C

B

A

1

O

3

4 -1

5

10

Ta có

( )

( )

( )

( )

( )

max

0;0 1;0

4;3 10 10 2;4 10

0;4

F F

F F

F F

 =



 =



 = → =

 

 =



 =



Chọn C

Câu 25. Giá trị nhỏ Fmin biểu thức F x y( ; )=4x+3y miền xác định

hệ

0 10

0

2 14

2 30

x y

x y

x y

 ≤ ≤



 ≤ ≤ 



 + ≥



 + ≥



A. Fmin =23 B. Fmin =26 C. Fmin=32 D. Fmin =67

Lời giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,vẽ đường thẳng

1: 14 0, 2: 30 0, : 9, ' : 10

d x+ −y = d x+ y− = ∆ y= ∆ x=

Khi miền nghiệm hệ bất phương trình phần mặt phẳng (tứ giác ABCD kể

cả biên) tô màu hình vẽ

x y

'

d2 d1

5

4

5

D C B

A

O

2

10

7 14

Xét đỉnh miền khép kín tạo hệ (5; , ) 5;9 , (10;9 , ) (10;2 )

A B  C D

Ta có

( )

( )

( )

min

5;4 32

;9 37

2 32

10;9 67 10;2 46

F

F

F F

F

 =



  

 

  =

  

   → =



 =



 =



Chọn C

Câu 26. Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, lít nước 210g đường để pha chế nước cam nước táo

Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để đạt số điểm thưởng cao nhất?

A. lít nước cam lít nước táo B. lít nước cam lít nước táo C. lít nước cam lít nước táo D. lít nước cam lít nước táo Lời giải Giả sử x y, số lít nước cam số lít nước táo mà đội cần pha

chế

Suy 30x+10y số gam đường cần dùng; x+y số lít nước cần dùng;

4

x+ y số gam hương liệu cần dùng

Theo giả thiết ta có

0

0

30 10 210 21

9

4 24 24

x x

y y

x y x y

x y x y

x y x y

 ≥  ≥

 

 

 

 ≥  ≥

 

 

 + ≤ ⇔ + ≤

 

 

 

 + ≤  + ≤

 

 

 + ≤  + ≤

 

 

( )*

Số điểm thưởng nhận P=60x+80 y

Ta tìm giá trị nhỏ biểu thức P với x y, thỏa mãn ( )* Chọn C. Câu 27. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm

● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn; ● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu 15giờ, đem lại mức lời 30 nghìn

Xưởng có 200kg nguyên liệu 1200 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất?

A. 30kg loại I 40 kg loại II B 20kg loại I 40 kg loại II C. 30kg loại I 20 kg loại II D. 25kg loại I 45 kg loại II

Lời giải. Gọi x≥0, y≥0 kg( ) số sản phẩm loại I loại II cần sản xuất

Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng: 2x+4y≤200

Tổng số làm việc: 30x+15y≤1200

Lợi nhuận tạo thành: L=40x+30y (nghìn)

Thực chất tốn phải tìm x≥0, y≥0 thoả mãn hệ 200 30 15 1200

x y

x y

 + ≤

 

 + ≤



cho L=40x+30yđạt giá trị lớn Chọn B.

Câu 28. Một nhà khoa học nghiên cứu tác động phối hợp hai loại Vitamin A B thu kết sau: Trong ngày, người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin A lẫn B tiếp nhận khơng q 600 đơn vị vitamin Avà không 500 đơn vị vitamin B Do tác động phối hợp hai loại vitamin nên ngày người sử dụng số đơn vị vitamin B khơng nửa số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin A Tính số đơn vị vitamin loại để người dùng ngày cho chi phí rẻ nhất, biết đơn vị vitamin A có giá đồng đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng

D.100 đơn vị Vitamin A, 300 đơn vị Vitamin B

Lời giải. Gọi x≥0, y≥0 số đơn vị vitamin A B để người cần dùng ngày

Trong ngày, người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin A lẫn B nên ta có: 400≤ + ≤x y 1000

Hàng ngày, tiếp nhận không 600 đơn vị vitamin Avà không 500 đơn vị vitamin Bnên ta có: x≤600, y≤500

Mỗi ngày người sử dụng số đơn vị vitamin B khơng nửa số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin Anên ta có: 0,5x≤ ≤y x Số tiền cần dùng ngày là: T x y( , )=9x+7,5 y

Bài toán trở thành: Tìm x≥0, y≥0 thỏa mãn hệ

0 600,0 500 400 1000 0,5

x y

x y

x y x

 ≤ ≤ ≤ ≤



 ≤ + ≤

 

 ≤ ≤



để

( , ) 7,5

T x y = x+ y đạt giá trị nhỏ Chọn D.

Câu 29. Cơng ty Bao bì Dược cần sản xuất loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao

Sao vàng đựng "Quy sâm đại bổ hoàn" Để sản xuất loại hộp này, công ty dùng bìa có kích thước giống Mỗi bìa có hai cách cắt khác

• Cách thứ cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm

• Cách thứ hai cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Theo kế

hoạch, số hộp Quy sâm phải có 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu 900 hộp, số hộp cao

sao vàng tối thiểu 1000 hộp Cần phương án cho tổng số bìa phải dùng nhất?

A. Cắt theo cách 100 tấm, cắt theo cách hai 300 B. Cắt theo cách 150 tấm, cắt theo cách hai 100 C. Cắt theo cách 50 tấm, cắt theo cách hai 300 D. Cắt theo cách 100 tấm, cắt theo cách hai 200

Lời giải. Gọi x≥0, y≥0 số bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai

Bài toán đưa đến tìm x≥0, y≥0 thoả mãn hệ

3 900 1000

6 900

x y

x y

x y

 + ≥



 + ≥ 



 + =



cho L= +x y

nhỏ Chọn A.

Câu 30. Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A sản phẩm B chu trình sản xuất Để sản xuất sản phẩm A lãi triệu đồng người ta sử dụng máy I giờ, máy II

máy III Để sản xuất sản phẩm B lãi triệu đồng

người ta sử dụng máy I giờ, máy II máy III

Biết máy I hoạt động không 36 giờ, máy hai hoạt động không 23

giờ máy III hoạt động không 27 Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy

để tiền lãi nhiều

C. Sản xuất 10

3 sản phẩm A 49

9 sản phẩm B D. Sản xuất sản phẩm B không sản xuất sản phẩm A

Lời giải. Gọi x≥0, y≥0 (tấn) sản lượng cần sản xuất sản phẩm A sản phẩm B Ta có:

6

x+ y thời gian hoạt động máy I 2x+3y thời gian hoạt động máy II 3x+2y thời gian hoạt động máy III

Số tiền lãi nhà máy: T=4x+3y (triệu đồng) Bài tốn trở thành: Tìm x≥0, y≥0 thỏa mãn

6 36 23 27

x y

x y

x y

 + ≤



 + ≤ 



 + ≤



Baøi 05

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1 Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai x biểu thức có dạng

( )

,

f x =ax +bx+c

trong a b c, , hệ số, a≠0

2 Dấu tam thức bậc hai

Người ta chứng minh định lí dấu tam thức bậc hai sau Định lý

Cho ( ) ( )

0 ,

f x =ax +bx+c a≠ ∆ =b − ac

Nếu ∆ <0 f x( ) dấu với hệ số a, với x∈ℝ

Nếu ∆ =0 f x( ) dấu với hệ số a, trừ

b x

a

= −

Nếu ∆ >0 f x( ) ln dấu với hệ số a x<x1 x>x2, trái dấu với hệ số a x1< <x x2 x1,x2 (x1<x2) hai nghiệm f x( )

Chú ý

Trong định lí trên, thay biệt thức

4

b ac

∆ = − biệt thức thu gọn

( )b ac

′ ′

∆ = −

Minh họa hình học

Định lí dấu tam thức bậc hai có minh họa hình học sau

II – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình dạng

0

ax +bx+ <c (hoặc

2

0,

ax +bx+ ≤c

0,

ax +bx+ >c

0

ax +bx+ ≥c ), a b c, , số thực cho, a≠0

2 Giải bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình bậc hai

0

ax +bx+ <c thực chất tìm khoảng mà

đó ( )

f x =ax +bx+c dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hay trái dấu với hệ số

a (trường hợp a>0)

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Câu 1. Cho ( ) ( )

0

f x =ax +bx+c a≠ Điều kiện để f x( )>0, ∀ ∈x ℝ

A

0 a  >   ∆ ≤ 

B

0 a  >   ∆ ≥ 

C

0 a  >   ∆ < 

D

0 a  <   ∆ > 

Lời giải. f x( )>0, ∀ ∈x ℝ a>0 ∆ <0 Chọn C.

Câu 2. Cho ( ) ( )

0

f x =ax +bx+c a≠ Điều kiện để f x( )≥0,∀ ∈x ℝ

A. 0 a  >   ∆ ≤ 

B.

0 a  >   ∆ ≥  C. 0 a  >   ∆ <  D. 0 a  <   ∆ >  Lời giải. f x( )≥0, ∀ ∈x ℝ a>0 ∆ ≤0 Chọn A.

Câu 3. Cho ( ) ( )

0

f x =ax +bx+c a≠ Điều kiện để f x( )<0,∀ ∈x ℝ

A. < ∆ ≤ 

0

a

B.

0 a  <   ∆ =  C. 0 a  >   ∆ < 

D. < ∆ <  0 a Lời giải. f x( )<0, ∀ ∈x ℝ a<0 ∆ <0 Chọn D.

Câu 4. Cho ( ) ( )

0

f x =ax +bx+c a≠ Điều kiện để f x( )≤0,∀ ∈x ℝ

A. 0 a  <   ∆ ≤ 

B.

0 a  <   ∆ ≥  C. 0 a  >   ∆ <  D. 0 a  <   ∆ >  Lời giải. f x( )≥0, ∀ ∈x ℝ a>0 ∆ ≤0 Chọn A.

Câu 5. Cho ( ) ( )

0

f x =ax +bx+c a≠ có

4

b ac

∆ = − < Khi mệnh đề đúng?

A. f x( )>0, ∀ ∈x ℝ B. f x( )<0, ∀ ∈x ℝ

C. f x( ) không đổi dấu D. Tồn x để f x( )=0

Lời giải Vì ∆ <0 a≠0 nên f x( ) không đổi dấu ℝ Chọn C

Câu 6. Tam thức bậc hai ( )

2 2 5

f x = x + x+ nhận giá trị dương A x∈(0;+∞). B. x∈ − +∞( 2; ).

C x∈ℝ. D. x∈ −∞( ; )

Lời giải Ta có 2 0 ( ) 0, .

' 1 2.5 9 0

a

f x x

= >



⇒ > ∀ ∈ 

∆ = − = − <

Câu 7. Tam thức bậc hai ( )

5 6

f x = − + −x x nhận giá trị dương A x∈ −∞( ; ) B. (3;+∞).

C x∈(2;+∞). D. x∈( )2;3

Lời giải Ta có ( ) 0 2

3 x f x

x =



= ⇔ = 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )> ⇔ ∈0 x ( )2;3 Chọn D.

Câu 8. Tam thức bậc hai ( ) ( )

5 1 5

f x =x + − x− nhận giá trị dương

A x∈ −( 5;1 ) B. x∈ −( 5;+∞).

C x∈ −∞ −( ; 5)∪ +∞(1; ). D. x∈ −∞( ;1 )

Lời giải Ta có ( ) 0 1

5 x f x

x =



= ⇔

= −



Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu f x( )> ⇔ ∈ −∞ −0 x ( ; 5)∪ +∞(1; ). Chọn C.

Câu 9. Tam thức bậc hai ( )

3 2

f x = − +x x− nhận giá trị không âm A.x∈ −∞ ∪( ;1) (2;+∞) B. x∈[ ]1; 2

C. x∈ −∞ ∪ +∞( ;1] [2; ) D. x∈( )1; 2 Lời giải Ta có ( )

2

x f x

x  =  = ⇔

 = 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f( )x ≥ ⇔ ≤ ≤0 x Chọn B

Câu 10. Số giá trị nguyên x để tam thức ( )

2 7 9

f x = x − x− nhận giá trị âm

Lời giải Ta có ( )

1

0

2

x f x

x  = −   = ⇔

 = 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ( )

f x < ⇔− < <x

Mà x nguyên nên x∈{0;1; 2} Chọn A.

Câu 11. Tam thức bậc hai ( ) ( )

1 3 8 3

f x =x + − x− − :

A. Dương với x∈ℝ

B. Âm với x∈ℝ

C. Âm với x∈ − −( 2 3;1 3+ ) D. Âm với x∈ −∞( ;1)

Lời giải Ta có ( )

2

0

1

x x f x

= +  = − − 

= ⇔  

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )< ⇔− −0 3< < +x Chọn C.

Câu 12. Tam thức bậc hai ( ) ( ) (2 )

1 2 5 2 3 2 6

f x = − x + − x− +

A Dương với x∈ℝ B. Dương với x∈ −( 3; 2)

C Dương với x∈ −( 4; 2) D. Âm với x∈ℝ

Lời giải. Ta có ( )

2

x x f x

=  = −  = ⇔  

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )> ⇔− < <0 x Chọn B.

Câu 13. Cho f( )x =x2 −4x+3 Trong mệnh đề sau, mệnh đề là: A f( )x <0,∀x∈(−∞;1] [∪ 3;+∞) B f x( )≤ ∀ ∈0, x [ ]1;3

Lời giải. Ta có ( )

x x f x

=  =  = ⇔ 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )≤ ⇔ ≤ ≤0 x Chọn B.

Câu 14. Dấu tam thức bậc 2: ( )

– 5 – 6

f x = x + x xác định sau: A f x( )<0với 2< <x 3 f x( )>0với x<2hoặcx>3

B f x( )<0với –3< <x –2và f x( )>0với x<–3hoặcx>–2 C f x( )>0với 2< <x 3và f x( )<0với x<2hoặcx>3

D f x( )>0với –3< <x –2và f x( )<0với x<–3hoặcx>–2 Lời giải. Ta có ( )

2

x x f x

=  =  = ⇔ 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta f x( )>0với 2< <x 3 f x( )<0với

2

x< hoặcx>3 Chọn C.

Câu 15. Cho tam thức ( ) ( ) ( )

2 3 4; 3 4; 4 3

f x = x − +x g x = − + −x x h x = − x Số tam thức đổi dấu ℝ là:

A B C D

Lời giải. Vì f x( )=0 vô nghiệm, g x( )=0 vô nghiệm, h x( )=0 có hai nghiệm phân

biệt nên có h x( ) đổi dấu ℝ Chọn B

Câu 16. Tập nghiệm bất phương trình:

2x – – 15 x ≥ là:

A. – ; –3 [5; ) 2

 

∪

 

 ∞  +∞ B.

3 – ;5

2

 

 

 

C.( ; 5] 3; 2

 

−∞ − ∪ +∞

 D.

3 5;

2

 

−

 

 

Lời giải. Ta có

2 – – 15

x

x x x

 =   = ⇔

  = −

Dựa vào bảng xét dấu

5

2 – – 15 3.

2 x

x x

x ≥

 

≥ ⇔  ≤ −



Chọn A. Câu 17. Tập nghiệm bất phương trình:

–x +6x+ ≥7 là:

A (−∞ − ∪ +∞; 1] [7; ) B [−1;7] C (−∞ − ∪ +∞; 7] [1; ) D [−7;1] Lời giải. Ta có

–

1

x x x x+ = ⇔ =

= − 

+ 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu

–x +6x+ ≥ ⇔ − ≤ ≤7 0 1 x 7. Chọn B.

Câu 18. Giải bất phương trình

2x 3x 7 0. − + − ≥

A. S=0 B. S={ }0 C. S= ∅ D. S=ℝ Lời giải. Ta có

–2x +3x− =7 0vô nghiệm

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu

2x 3x 7 0 x

− + − ≥ ⇔ ∈∅ Chọn C. Câu 19. Tập nghiệm bất phương trình

3 2 0

x − + <x là: A (−∞ ∪;1) (2;+∞). B (2;+∞).

C ( )1; D (−∞;1 )

Lời giải. Ta có ( ) 2

2

1

x f x x

x x −

=  = 

= + = ⇔



Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )< ⇔ < <0 x Chọn C.

Câu 20. Tập nghiệm bất phương trình

5 4 0

x x

− + − <

A [ ]1; 4 B.( )1; 4

C (−∞ ∪;1) (4;+∞) D (−∞ ∪ +∞;1] [4; )

Lời giải. Ta có ( )

4

1

x x x

f

x x = − =  =

= ⇔ −

+

 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ( )

x f x

x  <  < ⇔

 > 

Chọn C.

Câu 21. Tập nghiệm bất phương trình ( )

2x − 2 1+ x+ <1 0 là: A 2;1

2

 

 

 

  B ∅.

C 2;1 2

 

 

  D ( )

2

; 1; .

2

 

−∞ ∪ +∞

 

 

 

Lời giải Ta có ( ) 2 ( 2 1) 1 0

2

2

x

f x x x

x   = 

= − + + = ⇔

  = 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ( )

2

f x < ⇔ < <x Chọn A.

Câu 22. Tập nghiệm bất phương trình

6x + − ≤x 1 0 A 1 1;

2 3

 

−

 

  B

1 1 ; 2 3

 

−

 

 

C ; 1 1;

2 3

   

−∞ − ∪ +∞

   

    D

1 1

; ;

2 3

   

−∞ − ∪ +∞

   

   

Lời giải Ta có ( )

1

6

1

x

f x x x

x   = 

= + −

= =

 −

⇔    

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ( ) 1

2

f x ≤ ⇔− ≤ ≤x Chọn A.

Câu 23. Số thực dương lớn thỏa mãn

12

x

x − − ≤ là?

Lời giải Ta có ( )

12

3

x

x x f x =x − = ⇔ =

= − 

− 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )≤0⇔− ≤ ≤3 x Suy số thực dương lớn thỏa

2

12

x

x − − ≤ Chọn D.

Câu 24. Bất phương trình sau có tập nghiệm ℝ?

A

3x x− ≥1

− + B

3x x

− + − > C

3x x

− + − < D

0 3x + − ≤x

Lời giải Xét ( )

3

f x =− x + −x có ( ) ( )

1 1

,

3

a= − < ∆ = − − − = − < nên

( ) 0,

f x < ∀x tức tập nghiệm bất phương trình ℝ Chọn C.

Câu 25. Cho bất phương trình

8x

x − + ≥ Trong tập hợp sau đây, tập có

chứa phần tử khơng phải nghiệm bất phương trình

A (−∞;0 ] B [8;+∞). C (−∞;1 ] D. [6;+∞)

Lời giải Ta có ( )

0

7 x

f x x

x x − +

=  = 

= = ⇔



Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ( ) x f x

x ≤ ⇔ ≥

≥    

Tập nghiệm bất phương trình ( ;1] [7; )

S= −∞ ∪ +∞

Vì 13 [6; ) ∈ +∞

13

2 ∉S nên [6;+∞) thỏa yêu cầu toán Chọn D.

Vấn đề ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Câu 26 Giải bất phương trình ( ) ( )

5 2

x x+ ≤ x +

A. x≤1 B.1≤ ≤x C. x∈ −∞( ;1] [∪ 4;+∞) D. x≥4

Lời giải. Bất phương trình ( ) ( ) 2

5 2 5

x x+ ≤ x + ⇔x + x≤ x + ⇔x − x+ ≥

Xét phương trình ( )( )

5 4

4

x

x x x x

x

 = 

− + = ⇔ − − = ⇔

 = 

Lập bảng xét dấu

x −∞ +∞

2

5

x − x+ + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ] [ )

5 ;1 4;

Câu 27 Biểu thức ( )( )

3x −10x+3 4x−5 âm

A. ;5

4

x∈ −∞  B. ;1 5;3

3

x∈ −∞   ∪ 

C. 5; (3; )

x∈ ∪ +∞ D. 1;3

x∈ 

Lời giải Đặt ( ) ( )( )

3 10

f x = x − x+ x−

Phương trình

3

3 10

3

x

x x

x

 =  

− + = ⇔

 = 

5

4

x− = ⇔x=

Lập bảng xét dấu

x −∞

3

5

4

+∞

2

3x −10x+3 + − − +

4x−5 − − + +

( )

f x − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) ;1 5;3

3

f x < ⇔ ∈ −∞x    ∪  Chọn B

Câu 28 Cặp bất phương trình sau tương đương? A x− ≤2 2( )

2

x x− ≤ B x− <2 2( )

2

x x− >

C x− <2 2( )

2

x x− < D x− ≥2 2( )

2

x x− ≥

Lời giải Đặt ( ) 2( )

2

f x =x x−

Phương trình

0

x = ⇔x= x− = ⇔2 x=2

Lập bảng xét dấu

x −∞ +∞

2

x + + +

2

x− − − +

( )

f x − − +

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy bất phương trình 2( )

2

x− ≥ ⇔x x− ≥ Chọn

D

Câu 29 Biểu thức ( 2)( )( )

4−x x +2x−3 x +5x+9 âm A x∈(1;2) B x∈ − − ∪( 3; 2) (1;2)

C x∈ℝ D x∈ −∞ − ∪ −( ; 3) ( 2;1) (∪ 2;+∞)

Lời giải Đặt ( ) ( 2)( )( )

4

f x = −x x + x− x + x+

Phương trình 2

4

2

x x

x

 = 

− = ⇔

 = − 

Phương trình

2

3

x x x

x

 = 

+ − = ⇔

 = − 

Ta có

2

2 11

5 9

2

x + x+ =x+  + > ⇒x + x+ = ⇔ ∈ ∅x

Lập bảng xét dấu

x −∞ −3 −2 +∞

2

4−x − − + + −

2

2

x + x− + − − + +

2

5

x + x+ + + + + +

( )

f x − + − + −

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ( 2)( )( )

3

4

2

x

x x x x x x

x

 < −  

− + − + + < ⇔ − < <

 > 

( ; 3) ( 2;1) (2; )

x

⇔ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞ Chọn D

Câu 30 Tập nghiệm bất phương trình

3

x + x − x− ≥

A. x∈ − − ∪[ 4; 1] [2;+∞) B. x∈ − − ∪( 4; 1) (2;+∞)

C. x∈ − +∞[ 1; ) D. x∈ −∞ − ∪ −( ; 4] [ 1;2 ]

Lời giải. Bất phương trình ( )( )

3

x + x − x− ≥ ⇔ x− x + x+ ≥

Phương trình

5

1

x

x x

x

 = − 

+ + = ⇔

 = − 

x− = ⇔2 x=2

Lập bảng xét dấu

x −∞ −4 −1 +∞

2

5

x + x+ + − + +

2

x− − − − +

( )( )

2

x− x + x+ − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( )( ) [ ] [ )

2 4; 2;

x− x + x+ ≥ ⇔x∈ − − ∪ +∞

Chọn A

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Câu 31. Biểu thức ( ) 112

5

x f x

x x

+ =

− + − nhận giá trị dương

A. 3;

11

x∈ − +∞ B. 3;5 11

x∈ − 

C. ;

11

x∈ −∞ −  D. 5; 11

x∈ − − 

Lời giải. Ta có ( )

2

2

5 7 0,

2

x x x x x  x

− + − = − − + = − −  − < ∀ ∈ℝ

Do đó, bất phương trình ( ) 11 3 ;

11 11

f x > ⇔ x+ < ⇔x< − ⇔x∈ −∞ −  Chọn C

Câu 32. Tập nghiệm S bất phương trình 2

4 19 12

x

x x

−

>

− +

A. ;3 (4;7 )

4

S= −∞ ∪ B. 3;4 (7; )

S= ∪ +∞

C. 3; (4; )

S= ∪ +∞ D. 3;7 (7; )

S= ∪ +∞

Lời giải. Điều kiện: ( )( )

4

4 19 12 4 3

4

x

x x x x

x

 ≠  

− + ≠ ⇔ − − ≠ ⇔ 

 ≠ 

Phương trình x− = ⇔7 x=7

4

4 19 12 3

4

x

x x

x

 =  

− + = ⇔

 = 

Bảng xét dấu

x −∞

4

+∞

7

x− − − − +

2

4x −19x+12 + − + +

( )

f x − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình 2

3

4

0

4 19 12

7

x x

x x

x



 < < −

 > ⇔



− +

> 

Vậy tập nghiệm bất phương trình 3;4 (7; )

S= ∪ +∞ Chọn B

Câu 33. Có giá trị nguyên dương x thỏa mãn 2 2

2

4

x x

x

x x x

+

− <

+

− −

?

Lời giải. Điều kiện:

2

4

0

2

2

2

x

x x

x x x

 − ≠

  ≠

 

 + ≠ ⇔

 

  ≠ ±

 

 − ≠



Bất phương trình 2 2 2 22 22

2

4 4

x x x x x

x x

x x x x x x x

+ + +

− < ⇔ − + < ⇔ <

+ +

− − − − −

Bảng xét dấu

x −∞

2

− −2 2 +∞

2x+9 − + + +

2

4

x − + + − +

( )

f x − + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( )

2 9

0 ; 2;2

2

x

x x

 

+  

< ⇔ ∈ −∞ − ∪ −

−

Vậy có có giá trị nguyên dương x (x=1) thỏa mãn yêu cầu

Chọn C

Câu 34. Tập nghiệm S bất phương trình

2

2

2 7

1

3 10

x x x x

− + +

≤ −

− −

A. Hai khoảng B. Một khoảng đoạn

C. Hai khoảng đoạn D Ba khoảng

Lời giải. Điều kiện: ( )( )

3 10

5

x

x x x x

x

 ≠ − 

− − ≠ ⇔ + − ≠ ⇔ 

 ≠ 

Bất phương trình

( )

2 2

2 2

2 7 7

1 0

3 10 10 10

x x x x x x

x x x x x x

− + + − + + − + −

≤ − ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ∗

− − − − − −

Bảng xét dấu

x −∞ −2 +∞

2

4

x x

− + − − − + − −

2

3 10

x − x− + − − − +

( )

f x − + − + −

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình ( )∗ ⇔x∈ −∞ −( ; 2) [∪1;3] (∪ 5;+∞) Chọn C Câu 35. Hỏi có giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình

4

2

5

x x x x

− ≤

+ + ?

A. B. C.1 D.

Lời giải. Bất phương trình ( ) ( )

2

4

2

1

0

5 6

x x x x

x x x x

− −

≤ ⇔ ≤ ∗

Vì

0,

x ≥ ∀ ∈x ℝ nên bất phương trình

( )

( )

2

2

0

1

0

5

5

x x

x x

f x

x x x x

 =  =

 

 

∗ ⇔ − ⇔ −

 = ≤

≤

 + +  + +



Phương trình

1

1

x x

x

 =  − = ⇔

 = − 

2

5

3

x x x

x

 = − 

+ + = ⇔

 = − 

Bảng xét dấu

x −∞ −3 −2 −1 1 +∞

2

1

x − + + + − +

2

5

x + x+ + − + + +

( )

f x + − + 0 − 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x( )≤ ⇔0 x∈ − −( 3; 2) [∪ −1;1]

Kết hợp với x∈ℤ, ta x= −{ 1;0;1 } Vậy có tất giá trị nguyên cần tìm Chọn D

Vấn đề ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HNM SỐ

Câu 36. Tìm tập xác định D hàm số

2

y= x − x+

A. D ;1

2

 

 

= −∞



  B. D=[2;+∞)

C. D ;1 [2; )

2

 

 

= −∞ ∪ +∞



  D.

1

D ;2

2

 

 

=

 

 

Lời giải. Hàm số cho xác định

2x −5x+ ≥2

Phương trình ( )( )

2

2 2 1

2

x

x x x x

x

 =  

− + = ⇔ − − = ⇔

 = 

Bảng xét dấu

x −∞

2 +∞

2

2x −5x+2 + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy [ )

2 ; 2;

2

x − x+ ≥ ⇔x∈ −∞ ∪ +∞



 

Vậy tập xác định hàm số ;1 [2; )

D= −∞ ∪ +∞ 

  Chọn C

Câu 37 Giá trị nguyên dương lớn để hàm số

5

y= − x−x xác định

A. B. C. D.

Lời giải. Hàm số cho xác định

5−4x−x ≥0

Phương trình ( )( )

5

5

x

x x x x

x

 = 

− − = ⇔ − + = ⇔

 = − 

x −∞ −5 1 +∞

2

5−4x−x − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy [ ]

5−4x−x ≥ ⇔0 x∈ −5;1

Vậy nghiệm dương lớn để hàm số xác định x=1 Chọn A

Câu 38. Tìm tập xác định D hàm số ( ) ( )

2 15 25 10

y= − x + − x+ −

A. D=ℝ B. D= −∞( ;1 ) C. D= −[ 5;1 ] D. D= − 5; 

 

Lời giải Hàm số xác định ( ) ( )

2− x +15−7 x+25 10 5− ≥0

Phương trình ( ) ( ) ( )( )

2 15 25 10 5

5

x

x x x x

x

 = − 

− + − + − = ⇔ + − = ⇔ 

= 

Bảng xét dấu

x −∞ −5 +∞

( ) ( )

2− x + 15−7 x+25 10 5− − + −

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ( ) ( )

2− x + 15−7 x+25 10 5− ≥ ⇔0 x∈ − 5; 

 

Vậy tâp xác định hàm số D= − 5;  Chọn D Câu 39. Tìm tập xác định D hàm số

2

3

4

x y

x x

− =

− −

A. D=ℝ\ 1; { − } B. D= −[ 4;1 ]

C. D= −( 4;1 ) D. D= −∞( ;4) (∪ 1;+∞) Lời giải Hàm số xác định

4−3x−x >0

Phương trình ( )( )

4

4

x

x x x x

x

 = 

− − = ⇔ − + = ⇔

 = − 

Bảng xét dấu

x −∞ −4 1 +∞

2

4−3x−x − + −

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( )

4−3x−x > ⇔0 x∈ −4;1 Vậy tập xác định hàm số D= −( 4;1 ) Chọn C Câu 40. Tìm tập xác định D hàm số

2

2

1

3

x y

x x

− =

− +

A. D \ 1;1

 

 

 

=  

 

 

ℝ B. D 1;1

3

 

 = 

C. D ;1 (1; )

3

 



= −∞ ∪ +∞ D. D ;1 [1; )

3

 

 

= −∞ ∪ +∞



 

Lời giải. Hàm số xác định

3x −4x+ >1

Phương trình ( )( )

1

3 1 1

3

x

x x x x

x

 =  

− + = ⇔ − − = ⇔

 = 

Bảng xét dấu

x −∞

2

3x −4x+1 + − +

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ( )

3 ; 1;

3

x − x+ > ⇔x∈ −∞ ∪ +∞

Vậy tập xác định hàm số ;1 (1; )

D= −∞ ∪ +∞ Chọn C

Câu 41. Tìm tập xác đinh D hàm số

6

4

y x x

x

= + − +

+

A. D= − − ∪[ 4; 3] [2;+∞) B. D= − +∞( 4; )

C. D= −∞ − ∪( ; 3] [2;+∞) D. D= −( 4;−3] [∪ 2;+ ∞)

Lời giải Hàm số xác định

4

x x x

 + − ≥

  + > 

Phương trình 2

6

3

x x x

x

 =  + − = ⇔

 = − 

x+ = ⇔4 x= −4

Bảng xét dấu

x −∞ −4 −3 2 +∞

2

6

x + −x + + − +

4

x+ − + + +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ] [ )

2

6

4; 2;

4

x x

x x

 + − ≥

 ⇔ ∈ − − ∪ + ∞

  + > 

Vậy tập xác định hàm số D= − − ∪( 4; 3] [2;+ ∞) Chọn A

Câu 42. Tìm tập xác định D hàm số

2

5

y x x

x

= + + +

−

A. D 5;

2

 



= +∞

 

 B.

5

D ;

2

 

 

= −∞



  C.

5

D ;

2

 



= +∞ D. D ;5

2

 

 = −∞ 

Lời giải Hàm số xác định 2

5

x x x

 + + ≥



 − >



Phương trình

2

x + x+ = ⇔x∈ ∅ 5

2

x x

− = ⇔ =

Bảng xét dấu

x −∞

2 +∞

2

2

x + x+ + +

5−2x − +

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 2 5;

2

5

x x

x x

  

 + + ≥

 ⇔ ∈ + ∞

  

 − >  



Vậy tập xác định hàm số 5;

D= + ∞ Chọn A

Câu 43. Tìm tập xác định D hàm số ( )

3

1

2 15

x f x

x x

−

= −

− − +

A. D=[4;+∞) B. D= − − ∪( 5; 3] (3; ]

Lời giải Hàm số xác định ( )

2

3 12

1 0

2 15 15

x x x

f x

x x x x

− − +

⇔ − ≥ ⇔ = ≥

− − + − − +

Phương trình

12 x x x x  =  − − = ⇔  = − 

2 15

3 x x x x  = −  − − + = ⇔  = 

Bảng xét dấu

x −∞ −5 −3 +∞

2

12

x − −x + + − − +

2

2 15

x x

− − + − + + − −

( )

f x − + − + −

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ( ] ( ]

3

1 5; 3;4

2 15 x x x x − − ≥ ⇔ ∈ − − ∪ − − +

Vậy tập xác định hàm số D= − − ∪( 5; 3] (3;4 ] Chọn B Câu 44. Tìm tập xác định D hàm số

2

2

5

2

x x y x x + + = + +

A D [ 4; 1) 1;

2

 



= − − ∪ − +∞

 B ( ]

1

D ; 1;

2

 



= −∞ − ∪ − −  



C D ( ; 4] 1;

2

 



= −∞ − ∪ − +∞ D D 4;

2

 



= − −   

Lời giải Hàm số xác định ( ) 22

2

x x f x x x + + = ≥ + +

Phương trình

5

4 x x x x  = −  + + = ⇔  = − 

1

2 1

2 x x x x  = −   + + = ⇔  = − 

Bảng xét dấu

x −∞ −4 −1

2

− +∞

2

5

x + x+ + − + +

2

2x +3x+1 + + − +

( )

f x + −

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ( ]

2

2

5

0 ; ;

2

2

x x x x x   + +   ≥ ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞  + +

Vậy tập xác định hàm số ( ; 4] 1;

D= −∞ − ∪ − +∞ Chọn C

Câu 45. Tìm tập xác định D hàm số ( )

12 2

f x = x + −x −

A. D= −( 5; ] B. D= −∞ −( ; 5) (∪ 4;+∞)

C. D= −∞ − ∪( ; 4] [3;+∞) D. D= −∞ − ∪( ; 5] [4;+∞)

Lời giải Hàm số xác định 2

12 2

12 x x x x  + − − ≥    + − ≥  2 2 12

12 20

12

x x

x x x x

Phương trình ( )( )

20

4

x

x x x x

x

 = − 

+ − = ⇔ + − = ⇔

 = 

Bảng xét dấu

x −∞ −5 +∞

2

20

x + −x + − +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ] [ )

20 ; 4;

x + −x ≥ ⇔x∈ −∞ − ∪ +∞

Vậy tập xác định hàm số D= −∞ − ∪( ; 5] [4;+∞) Chọn B

Vấn đề TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VƠ NGHIỆM – CĨ NGHIỆM – CÓ HAI NGHIỆM PHÂN BIỆT

Câu 46. Phương trình ( )

1

x − m+ x+ = vô nghiệm

A m>1 B.− <3 m<1

C m≤ −3 m≥1 D − ≤3 m≤1

Lời giải. Phương trình vơ nghiệm ( )2

0

x m

∆ < ⇔ + − <

( )( )

2

2 3

m m m m m

⇔ + − < ⇔ − + < ⇔ − < < Chọn B.

Câu 47. Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình sau vơ

nghiệm

( )

2m +1 x −4mx+ =2

A m∈ℝ B. m>3 C 3

5 m

− < < D.

5

m> −

Lời giải Yêu cầu toán ⇔

( )

2

2

2

,

4 2

x

a m

m

m m

 = + ≠

 ∀ ∈



 ′∆ = − + = − <



ℝ

Vậy phương trình cho vô nghiệm với m∈ℝ Chọn A

Câu 48. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình

( ) ( )

2 2

m− x + m− x+ m− =

vô nghiệm ?

A m<0 B. m>2 C

1

m m

 >   < 

D.

1

m m

 ≠    < < 

Lời giải Xét phương trình ( ) ( ) ( )

2 2

m− x + m− x+ m− = ∗

TH1. Với m− = ⇔2 m=2, ( )∗ ⇔2x+ = ⇔4 x= −2

Suy với m=2 phương trình ( )∗ có nghiệm x= −2

Do m=2 khơng thỏa mãn u cầu tốn

TH2. Với m− ≠ ⇔2 m≠2, để phương trình ( )∗ vơ nghiệm ⇔ ∆ <x′

( )2 ( )( ) ( )

2m m 5m 4m 12m 5m 16m 12

⇔ − − − − < ⇔ − + − − + <

2

4

1

m

m m m m

m

 > 

⇔ − + − < ⇔ − + > ⇔

 < 

Do đó, với

1

m m

 >   < 

Kết hợp hai TH, ta

1

m m

 >   < 

giá trị cần tìm Chọn C. Câu 49. Phương trình

2

mx − mx+ = vô nghiệm

A 0<m<4 B.

m m

 <   > 

C 0≤m≤4 D. 0≤m<4

Lời giải Xét phương trình ( )

2

mx − mx+ = ∗

TH1. Với m=0, phương trình ( )∗ ⇔ =4 (vô lý)

Suy với m=0 phương trình ( )∗ vơ nghiệm

TH2. Với m≠0, để phương trình ( )∗ vô nghiệm ⇔∆ <x′

( )

2

4 0

m m m m m

⇔ − < ⇔ − < ⇔ < <

Kết hợp hai TH, ta 0≤m<4 giá trị cần tìm Chọn D Câu 50. Phương trình ( ) ( )

4 2

m − x + m− x+ = vô nghiệm

A m≥0 B. m= ±2 C

4

m m

 ≥   < − 

D.

4

m m

 ≥   ≤ − 

Lời giải Xét phương trình ( ) ( ) ( )

4 2

m − x + m− x+ = ∗

TH1. Với 2

4

2

m m

m

 =

 − = ⇔

 = − 

• Khi m= ⇒ ∗ ⇔ =2 ( ) (vơ lý)

• Khi ( ) 3

8

m= − ⇒ ∗ ⇔ − x+ = ⇔x=

Suy với m=2 thỏa mãn yêu cầu toán

TH2. Với 2

4 ,

2

m m

m

 ≠  − ≠ ⇔ 

 ≠ − 

để phương trình ( )∗ vơ nghiệm ⇔ ∆ <x′

( )2 ( ) 2

2 4 12 16

m m m m m m m

⇔ − − − < ⇔ − + − + < ⇔ − − + <

( )( )

2

2

4

m

m m m m

m

 > 

⇔ + − > ⇔ − + > ⇔

 < − 

Suy với

4

m m

 >   < − 

thỏa mãn yêu cầu toán Kết hợp hai TH, ta

4

m m

 ≥   < − 

giá trị cần tìm Chọn C Câu 51. Cho tam thức bậc hai ( )

3

f x =x −bx+ Với giá trị b tam thức

( )

f x có nghiệm ?

A b∈ − 3;2  B b∈ −( 3;2 )

C b∈ −∞ −( ; 3∪2 3;+∞)

  D b∈ −∞ −( ; 3) (∪ 3;+∞)

Lời giải Để phương trình f x( )=0 có nghiệm ( )2

0 4.3

x b

′

⇔ ∆ ≥ ⇔ − − ≥

( )2 ( )( )

2 2

12 3

2

b

b b b b

b

 ≥ 

⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ 

≤ − 

Câu 52. Phương trình

2( 2)

x + m+ x− m− = (mlà tham số) có nghiệm

A m m  = −   = − 

B − ≤5 m≤ −1. C

m m

 < −   > − 

D

1 m m  ≤ −   ≥ − 

Lời giải. Xét phương trình ( )

2 2 0,

x + m+ x− m− = có ( )2

2

x m m

′

∆ = + + +

Yêu cầu toán 2

0 4

x m m m m m

′

⇔ ∆ ≥ ⇔ + + + + ≥ ⇔ + + ≥

( 1)( 5)

5 m m m m  ≥ −  ⇔ + + ≥ ⇔  ≤ − 

giá trị cần tìm Chọn D

Câu 53. Hỏi có tất giá trị nguyên m để phương trình

( )

2

2x +2 m+2 x+ +3 4m+m =0

có nghiệm ?

A 3 B. C 2 D.

Lời giải. Xét ( )

2x +2 m+2 x+ +3 4m+m =0, có ( )2 ( )

2

x m m m

′

∆ = + − + +

Yêu cầu toán 2

0 4

x m m m m m m

′

⇔ ∆ ≥ ⇔ + + − − − ≥ ⇔ − − − ≥

( )2

2

4 2 2 2

m m m m

⇔ + + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − − ≤ ≤ − +

Kết hợp với m∈ℤ, ta m= − − −{ 3; 2; 1} giá trị cần tìm Chọn A

Câu 54. Tìm giá trị m để phương trình ( )

5

m− x − mx+m− = có

nghiệm

A m≠5 B 10

3 m

− ≤ ≤ C

10 m m   ≤ −    ≥  D 10 m m   ≤ −    ≤ ≠ 

Lời giải. Xét phương trình ( ) ( )

5

m− x − mx+m− = ∗

TH1. Với m− = ⇔5 m=5, ( ) 20 3 20

x x

∗ ⇔ − + = ⇔ =

Suy với m=1 phương trình ( )∗ có nghiệm 20

x=

TH2. Với m− ≠ ⇔5 m≠5, để phương trình ( )∗ có nghiệm ⇔ ∆ ≥x′

( )2 ( )( ) 2 ( 2 )

2m m m 4m m 7m 10

⇔ − − − − ≥ ⇔ − − + ≥

( )( )

2

1

3 10 10 10

3

m

m m m m

m  ≥   ⇔ + − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔  ≤ − 

Do đó, với

5 10 m m  ≠ ≥    ≤ − 

phương trình ( )∗ có nghiệm

Kết hợp hai TH, ta

1 10 m m  ≥    ≤ − 

giá trị cần tìm Chọn C.

Câu 55. Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình

( ) ( )

1

m− x − m+ x−m+ = có nghiệm

A m∈ ∅ B. m∈ℝ C − <1 m<3 D. − <2 m<2

Lời giải. Xét phương trình ( ) ( ) ( )

1

TH1. Với m− = ⇔1 m=1, ( ) 2.4

x x

∗ ⇔ − − + = ⇔ =

Suy với m=1 phương trình ( )∗ có nghiệm

x=

TH2. Với m− ≠ ⇔1 m≠1, để phương trình ( )∗ có nghiệm ⇔ ∆ ≥x′

( )2 ( )( ) ( )

3

m m m m m m m

⇔ + − − − ≥ ⇔ + + − − + − ≥

2

2 79

2 11 0,

4

m m m  m

⇔ + + ≥ ⇔  +  + ≥ ∀ ∈ℝ suy ∆ ≥x′ 0,∀ ∈m ℝ Do đó, với m≠1 phương trình ( )∗ ln có hai nghiệm phân biệt

Kết hợp hai TH, ta m∈ℝ giá trị cần tìm Chọn B.

Câu 56. Các giá trị m để tam thức ( ) ( )

2

f x =x − m+ x+ m+ đổi dấu lần

A. m≤0 m≥28 B. m<0 m>28

C. 0<m<28 D. m>0

Lời giải. Tam thức f x( ) đổi dấu hai lần ⇔ f x( )=0 có hai nghiệm phân biệt

Phương trình f x( )=0 có hai nghiệm phân biệt

( )2 ( )

1

2

x

a

m m

 = ≠  ⇔ 

∆ = + − + >



( )

2 28

4 32 28 28

0

m

m m m m m m m

m

 > 

⇔ + + − − > ⇔ − > ⇔ − > ⇔

 < 

Vậy m<0 m>28 giá trị cần tìm Chọn B

Câu 57. Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình

( )

2

1

3

x + m+ x+m− = có nghiệm ?

A m∈ℝ B. m>1 C

4 m

− < < D.

4

m> −

Lời giải Xét ( )

1 0,

3

x + m+ x+m− = có ( )2

1

3

x m m m m

 



∆ = + −  − = − +

Ta có

1

7

1

3

m

a

 = >   

 ′∆ = − = − < 

suy

2 0,

3

m − m+ > ∀ ∈m ℝ⇒ ∆ >x 0, ∀ ∈m ℝ

Vậy phương trình cho ln có nghiệm với m∈ℝ Chọn A

Câu 58. Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình

( ) ( )

1 3

m− x + m− x+ − m=

có hai nghiệm phân biệt ?

A m∈ℝ B. 2<m<6 C − <1 m<6 D. − <1 m<2

Lời giải Yêu cầu toán

( )2 ( )( )

1

3

x

a m

m m m

 = − ≠

 ⇔ 

∆ = − − − − >



( ) ( )

2 2

1

9 12 4 17 32 16

m m

m m m m m m

 ≠ 

  ≠

 

⇔ ⇔ ∗

− + − − + − > − + >

 



Ta có 17 20

16 17.16 16

m

a

 = > 



 ′∆ = − = − <



suy

Do đó, hệ bất phương trình ( )∗ ⇔m≠1 Chọn B

Câu 59. Phương trình ( )

1

m− x − x+m+ = có hai nghiệm phân biệt

A m∈ℝ\ { } B m∈ −( 2; )

C m∈ −( 2; \ ) { } D m∈ − 2; \  { }

Lời giải Yêu cầu toán

( )2 ( )( )

1

1 1

x a m m m  = − ≠  ⇔ 

 ′∆ = − − − + >

 ( ) { } 2 1 2;

1 2 \

m

m m

m

m m m



 ≠  ≠  ≤

 

  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ −

− + > < − < <

  

  

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔m∈ −( 2; \) { }1 Chọn C

Câu 60. Giá trị m phương trình ( ) ( ) ( )

– 3 –  

m x + m+ x m+ = có hai

nghiệm phân biệt ?

A ; (1; ) { }\

m∈ −∞ − ∪ +∞

 B

3 ;1

m∈ −  

C 3;

5

m∈ − +∞ D m∈ℝ\ { }

Lời giải Yêu cầu toán

( )2 ( )( )

3

3

x

a m

m m m

 = − ≠

 ⇔ 

∆ = + + − + >



( )

2 2

3

6

m m

m m m m m m

 ≠ 

  ≠

 

⇔ ⇔

+ + + − − > − − >

 



( )( ) ( ) { }

3

; 1; \

5

3 1

1 3

5 m m m m m m m  ≠    ≠ 

  >



⇔ ⇔ ⇔



− + >

 

  < −

     ∈ −∞ − ∪ +∞   

giá trị cần tìm

Chọn A

Vấn đề TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

CĨ NGHIỆM THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Câu 61. Tìm m để phương trình

3

x −mx+m+ = có hai nghiệm dương phân biệt

A. m>6 B m<6 C. 6>m>0 D. m>0 Lời giải. Phương trình cho có hai nghiệm dương phân biệt

( )

2

2

1

1

4

0

4 12

0

0

0

m m

m m

S x x m m

m

P x x m

 − + >

∆ >

 

   − − >

 

 > ⇔ + = > ⇔ ⇔ >

  

   >

  

 >  = + >

 

Chọn A

Câu 62. Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình

( )

2

m− x − mx+m+ = có hai nghiệm dương phân biệt

C. m<0 − <3 m<6 D.− <3 m<6

Lời giải. Yêu cầu toán ⇔

( )( )

2

2

0 2 3 0

2 2 3 2 m

a m m m

m m m S m P m m  − ≠    ≠ 

  − − + >

 

 

∆ >′   < <

 ⇔ ⇔

  > 

 >  < −

  − 

 

 > 

  +

  >

 − 

Chọn B

Câu 63 Tìm tất giá trị thực tham số m để ( )

2

x + m+ x+ m− = có

hai nghiệm âm phân biệt

A m<6 B 5

9<m< m>6.

C m>1 D 1<m<6

Lời giải. Phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt

( ) ( )

( )

2

2

1

0 7 6 0 6

0 5

1

0 9

m m m m m

S m

m m

P m

 + − − >

 ′∆ > 

   − + >  >

   

  

 < ⇔ − + < ⇔ ⇔

  

   >  < <

   

 >  − >  

 

Chọn B

Câu 64. Phương trình ( )

3 2

x − m− x+ m − m− = có hai nghiệm không âm

A 2;

3

m∈ +∞

 

 B

5 41

;

4

m∈ + +∞  

C 5; 41

3

m∈  + 

 

 

D ;5 41

4

m∈ −∞ − 

 

Lời giải. Phương trình cho có hai nghiệm khơng âm

( )2 ( )

2

2

3

0

5 41

0 12

4

0 2

m m m m

S m m m m

P m m m m

 − − − − >  − ≥

∆ >  

      +  ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ ≥           ≥  − − ≥  − − ≥    Chọn B

Câu 65. Phương trình ( )

2x − m −m+1 x+2m −3m− =5 0 có hai nghiệm phân biệt

trái dấu

A m< −1

2

m> B

2

m

− < <

C m≤ −1

m≥ D

2

m

− ≤ ≤

Lời giải. Phương trình cho có hai nghiệm trái dấu

( )

0 2

2

ac< ⇔ m − m− < ⇔ − <m< Chọn B.

Câu 66. Phương trình ( ) 2

3 2

m − m+ x − m x− = có hai nghiệm trái dấu

A m∈(1;2 ) B m∈ −∞( ;1) (∪ 2;+∞)

C

2 m m  ≠    ≠ 

D m∈ ∅

( )( ) 2

0

1

m

ac m m m m

m

 > 

< ⇔ − + − < ⇔ − + > ⇔

< 

Chọn B Câu 67. Giá trị thực tham số m để phương trình ( )

2

x − m− x+m − m= có

hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn A 0<m<2 B 0<m<1 C 1<m<2 D

0 m m  >   < 

Lời giải. Phương trình ( ) 2

2 2 2

x − m− x+m − m= ⇔x − mx+m + x− m=

( )2 ( ) ( )( )

2

2

2

x m

x m x m x m x m

x m  =  ⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔  = − 

Để phương trình cho có hai nghiệm trái dấu ( )

1

0

0 x x m x x  ≠ 

⇔ ⇔ < < Ι

< 

Với m∈(0;2) suy

2 , x x  >    < 

theo ra, ta có 2 2 2

2 2

x > x ⇔ x > x ⇔x −x >

(x2 x1)(x2 x1) (m m m)( m) 2m m

⇔ − + > ⇔ − − − + > ⇔ − < ⇔ <

Kết hợp với ( )Ι , ta 0<m<1 giá trị cần tìm Chọn B

Câu 68. Với giá trị m phương trình ( ) ( )

1 2

m− x − m− x+m− = có

hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1+x2+x x1 2 <1?

A 1<m<2 B 1<m<3 C m>2 D m>3

Lời giải. Xét phương trình ( ) ( ) ( )

1 2 ,

m− x − m− x+m− = ∗ có a+ + =b c

Suy phương trình ( )∗ ( ) ( )

( )

1

1

1

x

x m x m

m x m

 =    ⇔ −  − − + = ⇔ − = − 

Để phương trình ( )∗ có hai nghiệm phân biệt ( )

1 1 m m m m  − ≠   ⇔ − ⇔ ≠ Ι ≠  − 

Khi đó, gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình ( )∗ suy

1 2 m x x m m x x m  −  + =  −   −  =  − 

Theo ra, ta có 1 2 1 2

1

m m

x x x x m

m m

− −

+ + = < ⇔ < ⇔ < <

− −

Kết hợp với ( )Ι , ta 1<m<3 giá trị cần tìm Chọn B Câu 69. Tìm giá trị thực tham số m để phương trình ( )

1 2

m+ x − mx+m− =

có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác thỏa mãn

1

1

3 ?

x +x <

A. m<2 ∨ m>6 B. − <2 m≠ − <1 ∨ m>6

C. 2<m<6 D.− <2 m<6

Lời giải. Xét phương trình ( ) ( )

1 2 ,

{ }

( )

0

1;2

0

2

0

a m m m m P m  ≠  + ≠      ≠ −  

∆ > ⇔′  + > ⇔ Ι

  

   > −

  

 ≠  − ≠



Khi đó, gọi x1,x2 nghiệm phương trình ( )∗ suy

1 2 m x x m m x x m   + =  +   −  =  + 

Theo ra, ta có

1 2

6

1

3

2

2

m

x x m m

m

x x x x m m

 >

+ − 

+ = = < ⇔ > ⇔

<

− − 

Kết hợp với ( )Ι , ta

( ) ( )

6

2; 1;2

m m  >   ∈ − − ∪ − 

giá trị cần tìm Chọn B

Câu 70. Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình

( )

2

1

x − m− x+m+ = có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác thỏa mãn 2

1

1

1

x +x >

A. m∈ −∞ −( ; 2) (∪ − − ∪2; 1) (7;+∞) B. ( ; 2) 2; 11 10

m∈ −∞ − ∪ − − 

C. m∈ −∞ − ∪ − −( ; 2) ( 2; ) D. m∈(7;+∞) Lời giải. Đặt ( ) ( )

1

f x =x − m− x+m+

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác

( ) 0 f ∆ >    ≠ 

6

2 m m m m m m   >   

 − − > 

 

⇔ ⇔ < −

+ ≠

 

  ≠ −



( )*

Gọi x1,x2 nghiệm phương trình cho Theo Viet, ta có

1

1

x x m x x m

 + = −    = + 

Yêu cầu toán ( )

( )

2

2

1 2

1

2 2 2

1 2

2

1

1 1

x x x x x x

x x x x x x

+ −

+

+ > ⇔ > ⇔ >

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 2

1 2

1

2

8

m

m m m

m m m m  ≠ −  − − + + 

⇔ > ⇔ < ⇔ →− ≠ < −

 < −

+ +  Chọn C.

Vấn đề TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ NGHIỆM – CĨ NGHIỆM – NGHIỆM ĐÚNG

Câu 71 Tam thức ( ) ( )

3 2

f x = x + m− x+m+ dương với x khi:

A. 11 m

− < < B. 11

4 m

− < < C. 11 m

− ≤ ≤ D.

1 11 m m

 < −    > 

Lời giải Tam thức f x( ) có a= >3 Do f x( )>0,∀x

( )2 ( ) 11

' 4 11

4

m m m m x

∆ = − − + = − − < ⇔ − < < Chọn A.

Câu 72 Tam thức ( ) ( )

2

f x = − x + m− x−m+ không dương với x khi:

C. m=6 D. m∈ℝ

Lời giải Tam thức f x( ) có a= − <2 Do f x( )≤0,∀x (khơng dương)

( )2 ( )

8 12 36

2

m m m m m

∆ = − + − + = − + ≤ ⇔ = Chọn C

Câu 73 Tam thức ( ) ( )

–2 –

f x = x + m+ x+m âm với x khi:

A. m< −14 m>2 B. −14≤m≤2

C. − <2 m<14 D.−14<m<2

Lời giải. Tam thức f x( ) có a= − <2 Do f x( )<0,∀x

( )2 ( )

8 12 28 14

2 m

m m m m

∆ = + + − = + − ≤ ⇔− < < Chọn D

Câu 74 Tam thức ( ) ( )

2

x m m

f x = − + x+ + không âm với x khi:

A m>28 B. 0≤m≤28 C m<1 D. 0<m<28 Lời giải Tam thức f x( ) có a= >1 0nên f x( )≥0,∀x (không âm)

( )2 ( )

2 28m 0 m 28

m m m

∆ = + − + = − ≤ ⇔ ≤ ≤ Chọn B

Câu 75 Bất phương trình

0

x −mx−m≥ có nghiệm với x khi:

A. m≤ −4 m≥0 B. − <4 m<0

C. m< −4 m>0 D.− ≤4 m≤0

Lời giải Tam thức

( )

f x =x −mx−m có hệ số a= >1 0nên bất phương trình

( )

f x ≥ nghiệm với ∀x 4 0 4 0

m m m

∆ = + ≤ ⇔ − ≤ ≤

Chọn D.

Câu 76 Tìm giá trị tham số m để bất phương trình ( )

2

x m x m

− + − + <

có tập nghiệm ℝ

A

2

m= B

2

m= − C m∈ℝ D Không tồn m

Lời giải Tam thức ( ) ( )

2

f x = −x + m− x+m có hệ số a= − <1 0nên bất phương trình f x( )<0 có tập nghiệm ℝ ∆ =( − )2+ = 2+ < ⇔ ∈ ∅

2m 4m 4m m

Chọn D.

Câu 77 Bất phương trình ( )

2

x − m+ x+m+ ≤ vô nghiệm khi:

A. m∈ −∞ − ∪( ; 2] [2;+∞) B. m∈ −∞ − ∪( ; 2) (2;+∞).

C. m∈ −[ 2;2] D. m∈ −( 2;2)

Lời giải Bất phương trình ( )= 2−( + ) + + ≤

2

f x x m x m f x( )>0

nghiệm với x

Tam thức ( )= 2−( + ) + +

2

f x x m x m có hệ số a= >1 0nên f x( )>0 nghiệm

với x ( )2 ( )

2 4 2

m+ m+ =m − < ⇔ − m

∆= − < < Chọn D.

Câu 78 Tam thức ( ) ( ) ( )

2 1

f x = m + x − m+ x+ dương với x khi:

A

m< B

m≤ C

2

m> D

m≥

Lời giải Tam thức f x( ) có hệ số 2 0,

x

a=m + > ∀ nên f x( ) dương với x

( )2 ( )

1 2

2

m m m m

′

Câu 79 Tam thức ( ) ( ) ( )

4

f x = m− x + m− x+m− không dương với x khi:

Lời giải

• Với m=4, ta có f x( )= − <1 0: với x

• Với m≠4, u cầu tốn ( ) ( )

4 0,

m x m x m x

⇔ − + − + − ≤ ∀ ∈ℝ

( )2 ( )( )

4

0

4

0 4

m

a m

m m

m m m

 − <



 <  <

  

 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ <

∆ ≤ − − − − ≤ − ≤

 

  

Kết hợp hai trường hợp ta m≤4 giá trị cần tìm Câu 80 Tam thức ( )

3

f x =mx −mx+m+ âm với x khi:

A. m∈ −∞ −( ; 4] B. m∈ −∞ −( ; 4).

C. m∈ −∞ − ∪( ; 4] [0;+∞) D. m∈ −∞ − ∪( ; 4] (0;+∞)

Lời giải

• Với m=0 thay vào ta f x( )= <3 ( vô lý ) suy m=0 khơng thỏa mãn

• Với m≠0, u cầu toán

( )

 <  

 <  <  <

  

   

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < − ⇔ < −

− + <

∆ < − − <

 

    >

 

2

0

0

4

4

0 12

0

m m

m m

m m

m m m m m

m

Chọn B

Câu 81 Tam thức ( ) ( ) ( )

2 2

m x m x

f x = + + + +m+ không âm với x khi:

A. m≥ −2 B. m≤ −2 C. m> −2 D. m< −2

Lời giải • Với m= −2, tam thức bậc hai trở thành 1>0: với x

• Với m≠ −2, u cầu tốn ( ) ( )

2 2 0,

m x m x m x

⇔ + + + + + ≥ ∀ ∈ℝ

( )2 ( )( )

2

0

2

' 2

m

a m

m m

m m m

 + > 

 >  + >

  

 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > −

∆ ≤ + − + + ≤ − − ≤

 

  

Kết hợp hai trường hợp ta m≥ −2 giá trị cần tìm Chọn A. Câu 82 Bất phương trình ( ) ( )

3m+1 x − 3m+1 x+m+ ≥4 có nghiệm với

x khi:

A

3

m> − B.

3

m≥ − C m>0 D. m>15 Lời giải Xét bất phương trình ( ) ( )

3m+1 x − 3m+1 x+m+ ≥4 ( )∗

TH1 Với 1,

3

m+ = ⇔m= − bất phương trình ( )∗ trở thành

− ≥ (luôn đúng)

TH2. Với 1,

3

m+ ≠ ⇔m≠ − bất phương trình ( )∗ nghiệm với x

( )2 ( )( )

3

0

0 4 46 15

m m

a

m

m m

m m m

 + > 

 >   + >

 

 

⇔ ′ ⇔ ⇔ ⇔ > −

∆ ≤ + − + + ≤ + + ≥

  

  

Kết hợp hai trường hợp, ta

m≥ − giá trị cần tìm Chọn B

Câu 83 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

( ) ( )

A

3 m

− ≤ < B.

3 m

− ≤ ≤ C

3

m≥ − D. m≤2

Lời giải Xét

2

2

m − m− = ⇔m= − m=2

• Khi

2

m= − bất phương trình trở thành 1

x x

− − ≤ ⇔ ≥ − : khơng nghiệm

đúng với x

• Khi m=2 bất phương trình trở thành − ≤1 0: nghiệm vơi x

• Khi

1 2

m m

  ≠ −    ≠ 

yêu cầu toán ( ) ( )

2m 3m x m x 0, x

⇔ − − + − − ≤ ∀ ∈ℝ

2

2

1

2

' 2

0 2

2

m

m m

m

a m m m



− ≤ ≤ 



∆ ≤  − − ≤

 

  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <

 <  − − < 

  − < <



Kết hợp hai trường hợp ta

3 m

− ≤ ≤ giá trị cần tìm Chọn B.

Câu 84 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

( ) ( )

4

m − x + m− x+ < vô nghiệm

A. ; 10 [2; )

3

m∈ −∞ − ∪ +∞ 

  B. ( )

10

; 2;

3

m∈ −∞ − ∪ +∞ 

 

C. ; 10 (2; )

3

m∈ −∞ − ∪ +∞ D. m∈[2;+∞)

Lời giải.• Xét

4

m − = ⇔m= ±

Với m= −2, bất phương trình trở thành 1

x x

− + < ⇔ > : khơng thỏa mãn

Với m=2, bất phương trình trở thành 1<0: vơ nghiệm Do m=2 thỏa mãn

• Xét

4

m − ≠ ⇔m≠ ± Yêu cầu toán ( ) ( )

4 0,

m x m x x

⇔ − + − + ≥ ∀ ∈ℝ

( ) ( )

2 2

2 2

10

4 4 0

2 4 20 2

m m m

m m m m m



 − >  − >  ≤ −

  

⇔ ⇔ ⇔

∆ = − − − ≤ − − + ≤

   >

 

Kết hợp hai trường hợp, ta 10

m≤ − m≥2 Chọn A.

Câu 85 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

( ) ( ) ( )

4

f x = m+ x − m− x− m+ xác định với x∈ℝ

A m≤0 B 20

9 m

− ≤ ≤ C 20

9

m≥ − D m>0 Lời giải. f x( ) xác định với x∈ℝ ⇔ f x( )≥0,∀ ∈x ℝ

TH1: m= −4 ( ) 9

8

f x = x+ ≥ ⇔x≥ − →m= − không thỏa

TH2: m≠ −4, yêu cầu toán 2 20

0 20

m a

m

m m

  >  > −

 

⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤

∆ ≤ + ≤

 

Chọn B.

Câu 86 Hàm số ( ) ( )

1

A. − ≤1 m≤3 B. − <1 m<3 C. − <1 m≤3 D. m> −1 Lời giải. Yêu cầu toán ( ) ( ) ( )

1 0,

f x m x m x x

⇔ = + − + + ≥ ∀ ∈ℝ ( )1

• m= −1 f x( )= >4 0, ∀ ∈x ℝ: thỏa mãn

• m≠ −1, ( )

1

1

1

' 3

m

m m

m m

m m



 + >  > −  > −

 

  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤

∆ ≤ − − ≤ − ≤ ≤

 

  

Kết hợp hai trường hợp ta − ≤1 m≤3 Chọn A.

Câu 87 Tìm tất giá trị thực tham số m để biểu thức

( ) ( )

2

2

4 1

4

x m x m

f x

x x

− + + + −

=

− + − dương

A.

8

m≥ − B.

m< − C.

8

m< D.

m≥

Lời giải Ta có

2

2

4 2

4 16

x x  x 

− + − = − −  − < với x∈ℝ

Do ( ) ( )

2

2

4 1

0,

4

x m x m

f x x

x x

− + + + −

= > ∀ ∈

− + − ℝ

( )

2

4 1 0,

x m x m x

⇔ − + + + − < ∀ ∈ℝ

( )2 ( 2)

1 5

8

' 1

a

m m

m m

 = − < 

⇔ ⇔ + < ⇔ < −

∆ = + + − <



Chọn B.

Câu 88 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

( )

2

2x m x m

− + − + − < có nghiệm

A m∈ℝ B m∈ −∞( ;0) (∪ 2;+∞)

C m∈ −∞( ;0] [∪2;+∞) D m∈[0;2 ]

Lời giải. Đặt ( ) ( )

2 2

f x = − x + m− x+m− ( )2 ( )

' m 2 m m m

∆ = − + − = −

• ( )

' a=− < f x 0, x

∆ < → < ∀ ∈ℝ→bất phương trình có nghiệm • ∆ = ' →f x( )=0

2

m

x= − , cịn ngồi f x( )<0 nên bất phương trình có nghiệm

• ∆ > ' →f x( )=0 có hai nghiệm phân biệt x1<x2 Khi bất phương trình cho có nghiệm x∈ −∞( ;x1) (∪ x2;+∞)

Vậy ba trường hợp ta thấy bất phương trình có nghiệm Chọn A.

Câu 89 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

( )

2

2x m x m

− + − + − ≥ có nghiệm

A m∈ℝ B m∈ −∞( ;0) (∪ 2;+∞)

C m∈ −∞( ;0] [∪2;+∞) D m∈[0;2 ]

Lời giải. Đặt ( ) ( )

2 2

f x = − x + m− x+m− ( )2 ( )

' m 2 m m m

∆ = − + − = −

• ( )

' a 0,

f x x

=− <

∆ < → < ∀ ∈ℝ→bất phương trình vơ nghiệm

•

( ) ( )

0

2

'

2

2

b

m f x x

a b

m f x x

a



 = → = = − = −

 ∆ = ⇔  

= → = = − =

 

, cịn ngồi f x( )<0 nên bất phương trình vơ nghiệm

Do trường hợp có m=0 m=2 thỏa mãn

• ' 0 ( )

2

m

f x m

 < 

∆ > ⇔ → =

 > 

có hai nghiệm phân biệt x1<x2 Khi bất phương

trình cho có nghiệm x∈[x x1; 2]

Do trường hợp có m<0 m>2 thỏa mãn

Hợp trường hợp ta m∈ −∞( ;0] [∪2;+∞) thỏa mãn. Chọn C.

Câu 90 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

( )

2

2

mx + m+ x+m− > có nghiệm

A m∈ℝ B ;

4

m∈ −∞ −   C 1;

4

m∈ − +∞ D m∈ℝ\ { }

Lời giải. Đặt ( ) ( )

2

f x =mx + m+ x+m− ∆ =' (m+1)2−m m( −2)=4m+1

• m= 0 → bất phương trình trở thành 2x− > ⇔ >2 x Do m=0 thỏa mãn

• m>0, ta biện luận trường hợp câu 88 Do m>0 thỏa mãn

• m<0, ycbt ' ( )

4

m f x

⇔ ∆ > ⇔ > − → = có hai nghiệm phân biệt x1<x2 Khi bất phương trình cho có nghiệm x∈(x x1; 2) Do

4 m

− < < thỏa mãn

Hợp trường hợp ta

m> − Chọn C.

Vấn đề HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 91. Tập nghiệm S hệ bất phương trình 22

4

x x x

 − ≥  

 − + < 

là:

A S=[1;2 ) B S=[1;3 ) C S=(1;2 ] D S=[2;3 )

Lời giải. Tập nghiệm 2− ≥x S1= −∞( ;2 ] Tập nghiệm

4

x − x+ < S1=(1;3 )

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2=(1;2 ] Chọn C.

Câu 92. Tìm x thỏa mãn hệ bất phương trình

2

2

2

11 28

x x

x x

 − − > 

 − + ≥



A x>3 B. 3< ≤x C 4≤ ≤x D. 3< ≤x

Lời giải. Tập nghiệm

2

x − x− > S1= −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞) Tập nghiệm

11 28

x − x+ ≥ S2= −∞( ; 4] [∪ 7;+∞)

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2= −∞ − ∪( ; 1) (3; 4] [∪ 7;+∞) Chọn D.

Câu 93. Tập nghiệm S hệ bất phương trình

2

2

4

6

x x x x

 − + > 

 − + > 

A. S= −∞( ;1) (∪ 3;+∞) B S= −∞( ;1) (∪ 4;+∞) C S= −∞( ;2) (∪ 3;+∞) D S=(1; )

Lời giải Tập nghiệm

4

x − x+ > S1= −∞( ;1) (∪ 3;+∞) Tập nghiệm

6

x − x+ > S2= −∞( ;2) (∪ 4;+∞)

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2 = −∞( ;1) (∪ 4;+∞) Chọn B

Câu 94. Tập nghiệm S hệ bất phương trình

2

2

3

1

x x x

 − + ≤



 − ≤



là:

A. S=1 B S={ }1 C S=[1;2 ] D S= −[ 1;1 ]

Lời giải. Tập nghiệm

3

x − x+ ≤ S1=[1;2] Tập nghiệm

1

x − ≤ S2= −[ 1;1]

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2 ={ }1 Chọn B

Câu 95. Giải hệ bất phương trình

2

3

3

x x x x

 − + > 

 − + ≤



A x≥1 B.

3

x≤ C x∈ ∅ D.

3

x≤

Lời giải Tập nghiệm

3x −4x+ >1 ( )

1

; 1;

3

S = −∞ ∪ +∞

Tập nghiệm

3x −5x+ ≤2 2 2;1

S =     

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2= ∅ Chọn C

Câu 96. Có giá trị nguyên x thỏa mãn

2

2

2

3 10

x x

x x

− − + < 

− − + >



?

A. B. C. D.

Lời giải Tập nghiệm

2x 5x

− − + <

5 57 57

; ;

4

S = −∞ − −  ∪− + +∞

 

 

   

Tập nghiệm

3 10

x x

− − + > S2= −( 5;2 )

Vậy tập nghiệm hệ 1 2 5; 57 57;2

4

S=S ∩S = − − −  ∪− + 

 

 

 

   

Do giá trị nguyên x thuộc tập S {−4;1 } Chọn C

Câu 97. Hệ bất phương trình

2

9

( 1)(3 4)

x

x x x

 − < 

 − + + ≥



có nghiệm là:

A. − ≤ <1 x B.

3

x

− < ≤ − hoặc − ≤ ≤1 x

C.

3 x

− ≤ ≤ − hay 1≤ ≤x D.

3 x

− ≤ ≤ − hoặc 1≤ <x Lời giải Tập nghiệm

9

x − < S1= −( 3;3 )

Tập nghiệm

(x−1)(3x +7x+4)≥0là [ )

4

; 1;

3

S =− −  +∞

 

 

Vậy tập nghiệm hệ [ )

; 1;3

S=S S =− − 

 

 

∩ ∪ Chọn D.

Câu 98. Tập nghiệm hệ bất phương trình

7

2

x x

x

 − + < 



 − < 

là: A. (1;2 ) B. [1;2 ] C.(–∞;1)∪(2;+∞) D. ∅

Lời giải. Tập nghiệm

7

x − x+ < S1=(1;6 ) Tập nghiệm 2x− <1 3là S2= −( 1;2 )

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2 =(1;2 ) Chọn A.

Câu 99. Hệ bất phương trình sau vô nghiệm? A

2

2

2

x x

x x

 − − > 

− + − <



B 2

2

2

x x

x x

 − − < 

− + − >



C

2

2

2

2

x x

x x

 − − > 

 + + > 

D

2

2

2

2

x x

x x

 − − < 

 − + > 

Lời giải Đáp án A Tập nghiệm

2

x − x− > S1= −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞) Tập nghiệm

2x x

− + − < S2 =ℝ

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2= −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞)

Đáp án B Tập nghiệm

2

x − x− < S1= −( 1;3 ) Tập nghiệm

2x x

− + − > S2 = ∅

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2= ∅

Đáp án C Tập nghiệm

2

x − x− > S1= −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞) Tập nghiệm

2x + + >x S2=ℝ

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2= −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞) Đáp án D Tập nghiệm

2

x − x− < S1= −( 1;3 ) Tập nghiệm

2x − + >x S2=ℝ

Vậy tập nghiệm hệ S=S1∩S2= −( 1;3 ) Chọn B

Câu 100. Số nghiệm nguyên hệ bất phương trình

2

2

4

2 10

2

x x x x x x

 + + ≥



 − − ≤

 

 − + >



là:

A. B. C. D.

Lời giải Tập nghiệm

4

x + x+ ≥ S1= −∞ −( ; 3] [∪− +∞1; ) Tập nghiệm

2x − −x 10≤0

5 2;

2

S = − 

 

 

Tập nghiệm

2x −5x+ >3 0là ( )

3

;1 ;

2

S = −∞ ∪ +∞

Vậy tập nghiệm hệ [ )

3

1;1 ;

2

S=S S S = −   

 

∩ ∩ ∪

Câu 101. Hệ bất phương trình ( ) ( )

2

2

3

x m x x

 + <

 

 − − ≤



vô nghiệm khi:

A

3

m> − B m<2 C m≥2 D

3

m≥ −

Lời giải. Bất phương trình ( )1 1 4. 3

x

⇔ − ≤ ≤ Suy

4 1;

3

S = − 

 

Bất phương trình ( )2

m x

⇔ < − Suy 2 ; . 2

m S = −∞ − 

 

Để hệ bất phương trình vô nghiệm S1∩S2= ∅ 1 2. 2

m

m

⇔ − ≤ − ⇔ ≥ Chọn C

Câu 102. Hệ bất phương trình ( ) ( )

2 1 0 1

0

x x m  − ≤    − > 

có nghiệm khi:

A m>1 B m=1 C m<1 D m≠1 Lời giải. Bất phương trình ( )1 ⇔ − ≤ ≤1 x 1. Suy S1= −[ ]1;1 .

Bất phương trình ( )2 ⇔ >x m. Suy S2 =(m;+∞).

Để hệ bất phương trình có nghiệm S1∩S2≠ ∅ ⇔ <m 1.

Chọn C

Câu 103. Hệ bất phương trình ( )( ) ( ) ( )

3

1

x x

x m

 + − >

   < − 

có nghiệm khi:

A m<5 B m> −2 C m=5 D m>5

Lời giải. Bất phương trình ( )1 ⇔ − < <3 x 4. Suy S1= −( 3; 4). Bất phương trình có S2= −∞ −( ;m 1 )

Để hệ bất phương trình có nghiệm S1∩S2≠ ∅ ⇔ − > − ⇔ > −m 1 3 m 2.

Chọn B

Câu 104. Tìm m để

2

2

3

9

1

x mx x x

+ −

− < <

− + nghiệm với ∀ ∈x ℝ

A − <3 m<6 B − ≤3 m≤6 C m< −3 D m>6

Lời giải. Bất phương trình cho tương tương với

( ) ( )

9 x x 3x mx 6 x x

− − + < + − < − + (do

1

x − + > ∀ ∈x x ℝ)

( ) ( )

( ) ( )

2

2

12

3 12

x m x

x m x

 + − + >

 ⇔ 

− + + >



Yêu cầu ⇔ (1) (2) nghiệm ∀ ∈x ℝ

( )

( )

( )

( )

2

2

0 144

3

0 6 144 0

m

m m



∆ < 

  − − <

 

⇔ ⇔ ⇔ − < <

∆ < + − <

 

 

Câu 105. Xác định m để với mọi x ta có

2

2

5

1

2

x x m x x

+ +

− ≤ <

− +

A.

3 m

− ≤ < B 1

3

m

< ≤ C

3

Lời giải Bất phương trình tương đương

2 2

2

3 2

0 13 26 14

0

 + + +  ≥  − +    − + −  >  − + 

x x m x x

x x m

x x

( ) ( )

2

2

3 2

13 26 14

 + + + ≥

 ⇔ 

− + − >



x x m

x x m

Yêu cầu ⇔ (1) (2) nghiệm ∀ ∈x ℝ

( ) ( ) ( ) ( ) 2

0 4.3

0 26 4.13 14

m m ∆ ≤    − + ≤     ⇔ ⇔ ⇔

∆ < − − <

   m m  −  ≥    < 

Chọn A. Câu 106. Hệ bất phương trình

2

1

2

x x mx

 − >  

 − + ≤



có nghiệm khi: A m>1 B m=1 C m<1 D m≠1 Lời giải Bất phương trình x− > ⇔ >1 x Suy S1=(1;+∞)

Bất phương trình 2 2 2 2 ( )2 2

2 1

x − mx+ ≤ ⇔x − mx+m ≤m − ⇔ x−m ≤m −

2

1

m x m m

⇔ − − ≤ − ≤ − (điều kiện:

1 m m m  ≥  − ≥ ⇔  ≤ −  ) 2 1

m m x m m

⇔ − − ≤ ≤ + − Suy 2

2 1;

S =m− m − m+ m − 

 

Để hệ có nghiệm

1

m m

⇔ + − >

1

m m

⇔ − > − ⇔

( )

2

2

1 1

1 1

1

1

1 1

m m

m m m

m

m m

m

m m

 − <  >

 

− ≥ ≤ − ∨ ≥



 

⇔ ⇔ >

 − ≥ 

≤

 

 

 − > −  > 

Đối chiếu điều kiện, ta m>1 thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C

Câu 107. Tìm m để hệ ( )

( ) ( )

2

2

2 1

2

x x m

x m x m m

 − + − ≤    − + + + ≤  có nghiệm

A 0

2

+

<m< B 0

2

+

≤m≤

C 0

2

+

≤m< D 0

2

+ <m≤

Lời giải Điều kiện để (1) có nghiệm ∆ =' m≥0 Khi ( )1 có tập nghiệm

1 ;1

S = − m + m

 

Ta thấy (2) có tập nghiệm S2 =[m m; +1]

Hệ có nghiệm

1

0

2

1

m m

S S m

m m  ≤ + +  ⇔ ∩ ≠ ∅ ⇔ ⇔ ≤ ≤  − ≤ + 

Chọn B. Câu 108. Tìm m cho hệ bất phương trình ( )

( ) ( )

2

3

1 2

A

m

− ≤ ≤ B.

2

m≥ C m∈ ∅ D. m≥ −1

Lời giải. Bất phương trình ( )1 ⇔ − ≤ ≤1 x 4. Suy S1= −[ 1; 4]. Giải bất phương trình (2)

Với m− = ⇔ =1 m bất phương trình (2) trở thành 0x≥2 : vô nghiệm

Với m− > ⇔ >1 m bất phương trình (2) tương đương với 2 1

x m

≥

−

Suy

2 ; 1

S m

 

= − +∞ Hệ bất phương trình có nghiệm

2 3

4 .

1 m 2

m− ≤ ⇔ ≥

Với m− < ⇔ <1 m bất phương trình (2) tương đương với 2 1

x m

≤

−

Suy

2 ;

1

S

m

 

= −∞ −  Hệ bất phương trình có nghiệm 2

1 1

1 m

m− ≥ − ⇔ ≤ − (không thỏa)

Để hệ bất phương trình có nghiệm

m≥ Chọn B.

Câu 109. Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình

( ) ( )

2

10 16

3

x x

mx m

 + + ≤

 

 ≥ +



vô nghiệm

A

5

m> − B.

4

m> C

11

m> − D.

32

m>

Lời giải. Bất phương trình ( )1 ⇔ − ≤ ≤ −8 x 2. Suy S1= − −[ 8; 2]. Giải bất phương trình (2)

Với m=0 bất phương trình (2) trở thành 0x≥1 : vơ nghiệm

Với m>0 bất phương trình (2) tương đương với x 3m 1 m

+ ≥ Suy

2

3 1

;

m S

m

+

 

= +∞ 

Hệbất phương trình vơ nghiệm 3 1 2 1.

5 m

m

m+ > − ⇔ > −

Với m<0 bất phương trình (2) tương đương với x 3m 1 m

+ ≤ Suy

2

3 1

; m

S

m

+

 

= −∞  Hệ bất phương trình vơ nghiệm

3 1 1

8

11 m

m m

+ < − ⇔ >−

Để hệ bất phương trình vơ nghiệm 11

m> − Chọn C.

Câu 110. Cho hệ bất phương trình ( )

( )

2

2

2( 1)

6

x a x a

x x

 − + + + ≤

 

 − + ≤



.Để hệ bất phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp tham số a là:

Ta thấy (2) có tập nghiệm S2=a+ −1 ;a a+ +1 2a

Hệ có nghiệm

1

0

1

a a

S S a

a a

 + + ≥



⇔ ∩ ≠ ∅ ⇔ ⇔ ≤ ≤

 + − ≤

