Giải và biện luận phương trình và bất phương trình dựa vào hàm số

Vậy có 3 giá trị nguyên của m th ỏa mãn yêu cầu bài toán... Tính tổng tất cả các phần tử của A.[r]

Contents

 DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) xác định số nghiệm phương trình

( )

( )

f t x =k  DẠNG 2: Cho bảng biến thiên f x( ) tìm tham số m để bất phương trình g x m( , )0 có nghiệm thuộc D  DẠNG 3: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị f x( ) xác định tham số m để g x m( , )0 13  DẠNG 4: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị f x( ) xác định tham số m để g x m( , )0 36  DẠNG 5: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) xác định tham số để phương trình có nghiệm 41 Theo bất đẳng thức Bunyakovsky 48  DẠNG 6: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) xác định số nghiệm hàm số

( ) ( ) ( )

 DẠNG 1:Cho đồ thị hàm số y= f x( ) xác định số nghiệm phương trình f t x( )( ) =k Ví dụ 1.

Cho hàm số f x( ) liên tục có đồ thị

( )

y= f x hình bên Đặt

( ) ( )

g x = f f x  xác định số nghiệm phương trình g x( )=0

A 8 B 7

C 6 D 5

 Lời giải

 Chọn đáp án A Ta có

( ) ( ( )) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0

0

1

2

g x f f x f x f f x

x

f x x

g x

f x f f x

f x 

   

 =  =   

 = − 

  =  =



 =   

=

 

 =

  

 

 =



Phương trình ( )1 có nghiệm đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số f x( ) điểm phân biệt

Suy g x( )=0 có nghiệm Ví dụ 2.

Cho hàm số f x( ) liên tục có đồ thị y= f x( )như hình bên Số nghiệm thực phương trình f (2+ f e( )x )=1

là

A 1 B 2

C 3 D 4

 Lời giải

 Chọn đáp án B Ta có

Theo đồ thị ( )

( ) ( )( ) 1( )

2

2 ,

 + = −



+ = 

 + =  



x x

x f e

f f e

f e a a

( ) ( ) (loại)

2

1

x

x x

x

e

f e f e x

e b

 =

+ = −  = −   =

=  − 

( ) ( ) ( ) (( ))

loại loại

2 2, ln

2

x

x x x

x

e c

f e a f e a a e d x t

e t

 =  − 

+ =  = −  −   =   =

 =   Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt

Cho hàm số f x( ) liên tục có đồ thị

( )

y= f x hình bên Phương trình

( )

(2 )

f − f x = có bao tất nghiệm phân biệt

A 4 B 5

C 6 D 7

Thi Thử THPT Quốc Gia Trường Yên Lạc Vĩnh Phúc Lần 4

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Theo đồ thị

( 1)

( ) (0 1)

(1 2)

x a a

f x x b b

x c c

 = −   − 

=  =  

 =  



2 ( ) ( ) (1)

(2 ( )) ( ) ( ) (2)

2 ( ) ( ) (3)

f x a f x a

f f x f x b f x b

f x c f x c

 − =  = −

 

 − =  − =  = −

 − =  = −

 

Nghiệm phương trình( ) ( ) ( )1 ; ; giao điểm đường thẳng

2 ; ;

y= −a y= −b y= −c với đồ thị hàm số f x( )

• a − −  − ( 2; 1) a (3; 4) suy phương trình ( )1 có nghiệm phân biệt • b(0;1) − 2 b (1; 2)suy phương trình ( )2 có nghiệm phân biệt • c(1; 2) − 2 b (0;1) suy nên phương trình ( )3 có nghiệm phân biệt Kết luận: Có tất nghiệm phân biêt

 DẠNG 2: Cho bảng biến thiên f x( ) tìm tham số m để bất phương trình g x m( , )0 có nghiệm thuộc D

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm Bảng biến thiên hàm số y= f x( ) hình

x −1

3

( )

f x

1

Tìm m để bất phương trình ( )

3

m x+  f x + x nghiệm với x( )0; A m f(0) B m f(0) C m f(3) D (1)

3 m f −

 Lời giải

 Chọn đáp án A

Ta có ( ) ( )

3

m x+  f x + x  m f x + x −x Đặt ( ) ( )

3

g x = f x + x −x

Ta có g x( )= f x( )+x2−2x= f x( )− − +( x2 2x)

( ) 0 ( ) 2

g x =  f x = − +x x

Theo bảng biến thiên f x( )1 x ( )0; − +x2 2x= −1 (x−1)2  1, x ( )0; 3 nên

( ) 0, ( )0; g x   x

Từ ta có bảng biến thiên g x( ):

x

( )

g x +

( )3 g

( )

g x

( )0 g

Bất phương trình ( )

3

m f x + x −x nghiệm với x( )0;  m g ( )0  m f(0)

Ví dụ 2.

Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

x − −1 +

( ) 

f x + − + −

( )

f x

− −

Bất phương trình (x2+1)f x( )m có nghiệm khoảng (−1; 2) A m10 B m15 C m27 D m15

Đề thi Duyên Hải Bắc Bộnăm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Yêu cầu toán ( )

 1; 2

max

−

m g x

Với g x( )=(x2+1) f x( )

Ta có: g x( )=2x f x( )+(x2+1) f( )x Với x −( 1; 0) ( )( )

2 0 2 4 0 1 0            +   x f x f x x

( ) 0, ( 1; 0) 

g x    −x

Tại x=0, g( )0 =0 Với x( )0; ( )( )

2 0 2 3 0 1 0            +   x f x f x x

( ) 0, ( )0;



g x   x

Ta có bảng biến thiên hàm số ( ) ( ) ( )

1

= +

g x x f x khoảng (−1; 2) sau

x −1

( )

g x − 0 +

8 15

( )

g x

2 Suy ( )

 1; 2

max 15

−

=

g x

Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

x +

4

( )

f x

− −

Tìm m để bất phương trình m+2sinx f x( ) nghiệm với x(0;+)

A m f( )0 B m f( )1 −2sin1. C. m f( )0 D. m f( )1 −2sin1

 Lời giải

 Chọn đáp án C

BPT m+2sinx f x( ) m f x( )−2sinx

Yêu cầu toán  m ming x( ) ( ) ( ); g x = f x −2sinx Ta có g x( )= f x( )−2cosx

( ) ( ) 2cos g x =  f x = x

Mà f x( )  2, x (0;+) 2cosx 2,  x (0;+)nên g x( )  0, x (0;+)

( ) '( )

0

2 cos f x

g x x

x

 =

 =   =

=

 Với g( ) ( )0 = f −2sin 0= f( )0 Từ ta có bảng biến thiên g x( ):

x +

( )

g x +

+

( )

g x

( )0 f

Bất phương trình m f( )0 nghiệm với x(0;+)

Cho hàm số y= f x( ) có f( )− = +2 m 1, f( )1 = −m Hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên

x 0 +

0 +

( )

f x

− −2

Tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình ( )

2

x

f x m

x +

− 

+ có

nghiệm x − 2;1

A 5;

 

− −

 

  B (−;0) C. (−2;7) D. ;   − +     

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Yêu cầu toán ( ) ( ) ( )

2;

1

, 2;

2

x

g x f x m x g x m

x − 

+  

= −    −  

+

Ta có ( ) ( )

( )2

1

2 3

g x f x

x

 =  −

+

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y= f x( ) ta có f x( )   −0, x ( 2;1)

( )2 ( )

5 0, 2;1 x x −    −

+ Do g x( )   −0, x ( 2;1) Bảng biến thiên hàm số y h x= ( ) khoảng −2;1

x −2

( )

g x +

( )2

g −

( )

g x

g( )1

( ) ( )

2;

ming x g − 

 

 =

Suy g( )1 m ( )1

2 f m

 − 

2

m

m −

 − 

4 m

m −

 

2 m

Ví dụ 4.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ Tập giá trị thực tham số m để phương trình

( 4 2)

f −x =m có nghiệm thuộc khoảng− ; 3)

A −1; 3 B −1; ( 2)f 

C (−1 ; f( )2  D (−1; 3

Đề thi thử THPT Quốc Gia Phan Bội Châu Nghệ An Lần năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Đặt t= 4−x2 , ( )

2

4

2 4

x x

t

x x



− −

 = =

− − , t=  =0 x Bảng biến thiên

x −

( )

t x

2

t

2

Suy t t(1; 2

Phương trình tương đương với f t( )=m( )1 có nghiệm t(1; 2

Nghiệm phương trình ( )1 giao đường thẳng y m= đồ thị hàm số y= f x( )với

Ví dụ 5.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ Số giá trị ngun dương m để phương trình

( 4 5) 1

f x − x+ + =m có nghiệm

A 0 B 3

C 4 D Vô số

8 Trường chuyên đồng Sông Hồng Lần năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án B

( ) ( ) ( )

4 5 1

f x − x+ + = m f x − x+ = − m f t = −m

Với t=x2−4x+ =5 (x−2)2+   1 1 t 1;+  ⎯⎯⎯) đồthị→f t( )2;+ )

 

 DẠNG 3: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị f x( ) xác định tham sốm để g x m( , )0 Ví dụ 1.

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm , có đồ thị f x( ) hình vẽ

Bất phương trình ( ) sin 2



 x+

f x m nghiệm với x − 1;3

A m f(0) B m f(1) 1− C m f( 1) 1− + D m f(2)

 Lời giải

 Chọn đáp án B

( )

( ) sin sin

2

 

 x+   − x

f x m m f x

Để bất phương trình nghiệm với x − 1;3

 1; 3 ( )

min sin

2



−

 

  − 

 

x

m f x

Xét hàm số ( ) ( ) sin 2



= − x

g x f x , ( ) ( ) cos

2 2

 

 =  − x

g x f x

Nhận thấy f( )x đổi dấu qua x=1gợi ý cho ta xét dấu hàm g x( )trên khoảng (−1;1)và ( )1;3

• Vớix −( 1;1)

( 1;1) ( )

  −x  f x  ( đồ thị hàm số f( )x nằm trục hoành )

( 1;1) ; cos 0, ( 1;1)

2 2 2

 −     

 −    −     −

   

x x

x x

Vậy ( ) ( ) cos 0, ( 1;1)

2

  

 =  −     −

 

x

g x f x x

• Với x=1

( ) ( )

1 cos

2

  

 =  −  =

 

( )1;3 ( ) 0

 x  f x  (đồ thị hàm số f( )x nằm trục hoành )

( ) ( )

1;3 ; cos 0, 1;3

2 2 2

      

    −    

   

x x

x x

Vậy ( ) ( ) cos 0, ( )1;3

2

  

 =  −    

 

x

g x f x x

Ta có bảng biến thiên

x −1

( )

g x − 0 +

( )1

f − + f( )3 +1

( )

g x

( )1 f − Suy

−1;3 ( )= ( )1 −1

Min g x f

Vậy m f ( )1 −1 Ví dụ 2.

Cho hàm số f x( ) liên tục có đồ thị f x( ) hình vẽ Bất phương trình

( ) ( )

5

log f x + +m 2+ f x  −4 m với x −( 1; 4)

A m − −4 f( 1) B m −3 f(1) C m4 - (-1)f D m −3 f(4)

Thi Thử THPT Quốc Gia Chuyên Hạ Long năm tháng năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 5

log f x + +m 2+ f x  −4 m log f x + +m 2  + f x + +m 2log +5 Xét hàm số đặc trưng cho vế BPT( )2

( ) log5

t

g t = +t với t0

( )

1 5ln

g t

t

 = +  suy rag t( ) đồng biến với t0 ( )2 f x( ) m m f x( )

  + +    −

Yêu cầu toán  mmax 3( − f x( ))=maxh x( ) ( )2   −x ( 1; 4) với h x( )= −3 f x( )

( )max

h x  ( )

min

Từ đồ thị suy bảng biến thiên

x −1

( )

f x + −

( )1 f

( )1

f − f( )4

( )min ( )( )1

4 f f x

f  − = 

 So sánh f( )−1 f( )4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

1 1

S S f x dx f x dx f f f f f f

−

 

 

    −  − −  − −  − 

Suy ( ) ( )

min

f x = f và( )2   −m f( )4 Ví dụ 3.

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục có đồ thị

A. m f( )1 −1

B. m f( )1 +1

C. m f( )1 −1

D. m f( )1 −1

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Đặt g x( )= f x( )−3x+2 x Khi đó g x( )= f x( )−3 ln 2.x +

( )

( ) ln 2.x g x =  f x = −

Đặt h x( ) ln 2.= x − Khi đó h x( ) ln 0,= x x ( ; 

   −  Bảng biến thiên

x −

( )

h x + + − 3ln 2−

( )

h x −

(

( ) 2, ;

h x x 

  −   −  (1) Theo đồi thị y=f x( ), ta thấy f x( ) −   − 3, x ( ; 

(2) Từ (1) (2), ta f x( )h x( ),  − x ( ; 

Nên g x( )= f x( )−h x( ) 0,   − x ( ; 1,=suy ( ( )

;

min ( )g x g(1) f 1

−  = = −

Do f x( )3x−2x m+ có nghiệm (− ; 1 ( ( )

;

min ( ) 1

m g x m f

− 

   −

Ví dụ 4.

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục đồ thị hình vẽ Tổng tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình

( ) ( 2( )) ( ) ( ) ( )

9.6f x + 4− f x 9f x  −m +5m 4f x với  x

A. 10 B. C. D.

9

 Lời giải

 Chọn đáp án A

( ) ( 2( )) ( ) ( ) ( )

9.6f x + 4− f x 9f x  −m +5m 4f x ( )1 Đặt t= f x( ) ( − − ; 2( theo đồ thị)

( )1 :

 ( 2) ( )

9.6t+ 4−t 9t  −m +5m 4t

( 2) 2

3

9

2

t t

t m m

   

   + −    − +

Đặt: ( ) ( ) ( )

2

2

3 3

9

2 2

t t t t

g t =    + −t    =    + −t    

 

         , t − − ( ; 2 Xét hàm số: ( ) (4 2)

2

t

h t = + −t   

  với t − − ( ; 2

( ) 2 (4 2). .ln3

2 2

t t

h t = − t   + −t   

    ( )

2

3

ln

2 t t t     =  − + −     

( ) h t =

2

3 1 ln

2 ln t   − + +    

 =  − (loại)

2

3 1 ln

2 ln t   − − +    

=  − (tm)

Ta có BBT:

x −

2

3 1 ln

2 ln   − − +  

  −2

( )

h t 0 − 0 + 0

9

( )

h t

Từ BBT  h t( ) 9   − − t ( ; 2 (3) Vì t − − ( ; 2

2

t

     

  (4)

Từ (3) (4) suy ( ) 9 (4 2). 4

2

t t

g t =    + −t    

 

        − − t ( ; 2

(max− − ; g t( )

 = (Dấu "=" xảy t= −2)

Bất phương trình (1) với  x Bất phương trình (2) với   − − t ( ; 2

( ( )

2

;

5 max

m m g t

− − 

 − +   −m2+5m4 m2−5m+ 4 0   1 m 4

Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn −1; 9 có đồ thị đường cong hình vẽ

Có tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình

( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

16.3f x −f x +2f x −8 4 f x  m −3m 6f x nghiệm với giá trị x thuộc đoạn −1; 9?

A.32 B. 31. C. D.

6.

Đề thi thử THPT Quốc Gia Yên Khánh Ninh Bình Lần năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Từ đồ thị ta suy − 4 f x( )2   −x  1;9 Đặt t= f x( ), t − 4; 2

ycbt tìm m cho bất phương trình 16.3t−t2+2t−8 4 t (m2−3m).6 1t ( )

  với

4;

t  

  − 

( )1 16 2 8 2 3

3

t

t t t m m

 

 

 − + −    −

   với   −t  4; 2 (*) Ta có 16 4, 4;

2t    −t   Dấu xảy t=2 Mặt khác t2+2t− 8 với   −t  4; 2

Do ( 2 8 ) 0, 4; 2

3

t

t + t−       −t  

  Dấu xảy t=  = −2 t Như 16 2 4;

3

t

t t t t

 

   

− + −      − 

   Mà 16 2 2

3

t

t t t m m

 

 

− + −    −

   với

4;

t  

  − 

Suy m2−3m  −  4 1 m 4 Như có 6 giá trị nguyên

Ví dụ 6.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục

−1; 3 có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f x( )+ x+ +1 7− x m

có nghiệm thuộc −1; 3 A m7

B m7 C m2 2−2 D m2 2+2

Đề thi thử THPT Quốc Gia Yên Khánh A Ninh Bình Lần năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án A

Xét hàm số g x( )= x+ +1 7−x liên tục −1;3 ta có:

( ) 1 ( 

' , 1;3

2

= −  −

+ −

g x x

x x

( )

' = 0 + =1 7−  + = −  =1 7 3

g x x x x x x (nhận)

( ) ( )   ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

1;3

1 2, max max , 3

−

− = =  = − = =

g g g x g g g

Từ đồ thị hàm số y= f x( ) ta có:

1;3 ( ) ( ) ( )

max 3

− f x = f =

Đặt h x( )= f x( )+g x( ) −1;3, kết hợp với ( )1 ( )2 ta suy ra:

( )   ( )   ( ) ( ) ( )

1;3 1;3

max max 3

− −

 + = + =

h x f x g x f g , đẳng thức xảy x=3.

Vậy bất phương trình mh x( ) có nghiệm thuộc −1;3

1;3 ( )

max

−

 =

m h x

Ví dụ 7.

Cho hàm số

( ) 4

f x =x − x − +x có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn 0; 2

( )

2019f 15x −30x+16 −m 15x −30x+16− =m A 4541

THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần – tháng – 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Theo đề f x( ) (= x+1)(x−1)(x−4)

( )2 ( ) ( )

2

0; : 15 30 16 15 1 1; 1;

x   t x x x t t t  

   = − + = − +  = =   

Với t1 phương trình có nghiệm x thoả mãn Với t=1 có nghiệm x thoả mãn

BPT  2019f t( )=m t( )+ 1 2019( )( )(t+1 t−1 t−4)=m t( )+1 Xét t(1; 4

( ) 2019( )(1 4) 2019( 5 4) 2019 2019 4542,75

2 4

m g t t t t t t    

 = = − − = − + =  −  −  − = −

    

 

x

2

( )

g t − +

( )

g t 0

y m= 4542,75

−

Yêu cầu toán  −4542,75    −m m  45042; 45042; ; 1− −  có45042 m nguyên thoả mãn

Ví dụ 8.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ

Tập hợp tất giá trị m để bất phương

trình 22

2

x

f f m

x

  + −    + 

 

  có nghiệm

A m2 B 1 m C m1 D m −5

 Lời giải

 Chọn đáp án A

Đánh giá:

2

2 2

1 1

1

x x

x x

x x

+     −  

Từ đồ thị thấy

1;1 ( )

x −  −  f x 

2; 2 ( )

x −  −  f x  Xét bất phương trình

2

1

1

2

x

f f m

x   

+    + 

 

  Đặt

2 x t x =

+ ;

2 x u f x   =  +   

Vì 1;1 2; 2 ( ) ( )

2

t −   −u   −  f u    f u +  Vậy để bất phương trình ban đầu có nghiệm m2

Ví dụ 9.

Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+cx d+ với

, , ,

a b c d có đồ thị hình vẽ S tập hợp chứa tất m thuộc −10; 10để

( 2) 2 10

1 ( ) 0

3 3

− + − + − 

f x x x f m có nghiệm

số phần tử S A 9

B 10 C.11 D.12

 Lời giải

 Chọn đáp án A

( 2) ( ) ( 2) ( )

1 ( )

3 3

f −x + x −x + −f m   f m  f −x + x −x + =g x

Yêu cầu toán min ( ) min ( 1 2) min 1; 1

3

m g x = f −x +  x −x +    −x  

 

(vì điều kiện 1−x2  −  0 x 1)

•

0 =t 1−x 1 suy f( 1−x2)= f t( )  t0; 1 quan sát đồ thị ta thấy

( ) ( )

0; 1; 1

minf t minf x  

  − 

= − = t=  =0 x

• ( )

3

h x = x −x +   −x  1; 1 ;h x( )=2x2−2x=2x x( −1 ;) ( )h x =  =0 x 0;x=1

( ) ( ) ( )

min ; 0

3

h x = h = h = =

 

( )

1;

ming x − 

 

= ( ) ( 2) ( )

1; 1; 1 1;

ming x minf x minh x 3

−  − 

  −   

Suy f m( )3 quan sát đồ thị  m m − 10; 10 suy m0; 1; 2; ;10 có 10 11− + = giá trị

Ví dụ 10.

Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+cx d+ với , , ,

a b c d có đồ thị hình vẽ Có

giá trị nguyên của tham số m để bất phương

trình 3sin cos ( )

4

2cos sin

x x

f f m m

x x

 − −  + +

 − + 

 

luôn ?

A B

C D.vô số

 Lời giải

 Chọn đáp án D Đặt 3sin cos

2 cos sin

x x

t

x x

− −

=

− + (2t+1 cos) x− +(t sin) x= − −1 4t ( )*

Phương trình ( )* có nghiệm (2t+1) (2+ +t 3) (2 4t+1)2 11 t  −   Suy 0 t

Từ đồ thị y= f x( ) ta có

( )

y= f x đồng biến  x  +0; ) Do m2+4m+ =4 (m+2)20;+)

 ; t0;+)

Nên 3sin cos ( 4)

2cos sin

x x

f f m m

x x

 − −  + + 

 − + 

  ( ) ( )

2 4 4

f t  f m + m+  t m2+4m+4 Bất

phương trình ln đúngm2+4m+ 4 1

1 m m   −   −

Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ.Có giá trị ngun dương tham số m để bất phương trình

( ) ( ) ( )

2

1 m

f x mf x

f x

+ − − 

trên đoạn −1; 4 ?

A B

C D.vô số

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Dựa vào đồ thị ta có   −x  1; 4 1 f x( )  4 m Bất phương trình ban đầu tương đương với :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2

1

4

5 5

f x f x

m m

f x

f x f x

f x m

f x

f x

f x m

f x

f x f x

g x f x f x m

    + − + +           +  +      + −     = + −    

Đặt f x( ) (=t 1 t 2) Bất phương trình trở thành

2 t

t t m

 

+ − 

 

 

 

Yêu cầu toán  mh t( ) với ( )

2 t h t = t + − t

  ( ) 4 30 3

4 0, 1; 2

2

2

4 t

h t t t

t +

 = −      

+

( ) ( )2 , 1;

h t h t  

    

( ) ( ) ( )2

2 2 21

mh  m h = −

Suy có vơ số giá trị m thoả mãn Ví dụ 12.

Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ.Có số nguyên âm để bất phương trình 1

3

x

f +  −m x

  có

nghiệm thuộc đoạn −2; 2 ?

A B C D 10

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Ta có bất phương trình 6

2

x x

f    m

  + +  +  +

    (*)

Yêu cầu toán 3m+ 6 ming t( ) với g t( ) ( )= f t +6t với x

t= + t0; 2 Xét hàm số g= f t( )+6t vớit0; 2

Quan sát đồ thị 0; 2 hàm số f t( ) đồng biến suy f t( )0

Ta có g'= f t'( )+    6 0, t 0; 2 suy hàm số g đồng biến   t 0; 2 nên

( ) ( )0

g g = f = − ( ) 10

3

g t m m

 = −  +  −   −

Vì m nguyên âm nên m − − − 3; 2; 1 Ví dụ 13.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên âm lớn −50 tham số m để bất phương trình

( ) ( )

( )3 ( )

3 3 4 0

f x − f x +m − f x + m đoạn −1; 4 ?

A B

C D

 Lời giải

 Chọn đáp án D

BPT (f3( )x −3f x( )+m)3−4f x( )+ m 0

( ) ( )

( 3 )3 ( 3( ) ( ) ) ( ) ( )

3

f x f x m f x f x m f x  f x

 − + + − +   +

Đặt f3( )x −3f x( )+ =m t

Bất phương trình trở thành t3+ t f3( ) ( )x + f x

Xét hàm số đặc trưng cho hai vế BPT g u( )=u3+u có g u( )=3u2+   1 0, u

Vậy hàm số g u( )luôn đồng biến ta có

( ) ( ( ))

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

3 g t g f x

t f x

f x f x m f x

m f x f x

  

 − + 

  − +

Yêu cầu toán  m ming x( ) với g x( )= −f x( )3+4f x( ) Đặt f x( )=v

Có   −x  1; 4 1 f x( )   4 v

Để BPT đoạn −1; 4 ta phải có

( )

1;4 48

m Min v v m

   

 − +   − m −   −50 m  49;−48 Ví dụ 14.

Cho hàm số y= f x( ) y=g x( ) liên tục đồ thị hàm số

( ) ( )

=

y f x g x sau Có giá trị nguyên thuộc −2020; 2020 tham số m để bất phương trình

( ) ( )

2

1 1

1 0

1 1

+ − − 

+ +

m

f x g x

đúng đoạn −1; 4 ?

A 2019 B 2020 C 2021 D 2022

 Lời giải

 Chọn đáp án D

( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 +  + = + +

m h x

f x g x

Yều cầu toán ( )

1;

1

m h x

− 

 

 + 

Xét bất đẳng thức sau : Nếu  ab 1, Có

( )

2

1 1 2

1 1+a +1+b 1+ab

Chứng minh: ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ( )( )( )) ( )( ) ( )( )( ) 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

1

1 1

2

1

1

1 2

1 1 1

1

0

1 1

+  + + + + +   + + + + + + + + +   + + + + + + − −   + + +

a b ab

a b

ab

a b

ab a b a b a b

a b ab ab a b

ab a b

ab a b

Áp dụng ( )1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1 2

1 1 1

= + 

+ + +

h x

f x g x f x g x

Dựa vào đồ thị ta có

( ) ( ) 2 ( ) ( )2

1 4 1

5 1

    

+

f x g x

f x g x suy 4; 1( )

5 h x −    = Vậy để thỏa mãn điều kiện đề ta phải có

2 3

1

5 5

− +   

m m m − 2020; 2020 ; m   −m  2020; 2019; ; 1− −  Vậy có 2020 giá trị nguyên m

Ví dụ 15.

Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ Có số nguyên m để bất phương trình

( 2 )

5 ( )

mx m+ −x + m+ f x  có nghiệm với x − 2; 2

A B

Đề thi thử THPT Quốc Gia Đại học Vinh Lần năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Đặt g x( )=mx m+ 5−x2 +2m+1 hàm số xác định với   −x  2; 2

  Vì f x( ) đối dấu lần từ dương qua âm qua x=1   −x  2; 2

Bất phương trìnhg x f x( ) ( ) 0   −x  2; 2

( )

( ) 00 1; 22; g x

g x

   −   

   

  



Hàm số g x( ) liên tục −2; 2 nên

1

(1) 2 1

2 m

g m m m

m  = − 

=  + + + = 

 = − 

Do m nên lấy m= −1

Thử lại m= − 1 g x( )= − +x 5−x2 −   −1 0  2; 1

 và g x( ) 0  x [1; 2] Nên m= −1 thoả mãn Chọn B

 Lời giải

 Chọn đáp án B Ví dụ 16.

Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 2 ( )f x +x2 4x m+ có

nghiệm với x −( 1; 3) A m −3 B m −10 C m −2 D m5

Đề thi thử THPT Quốc Gia Sở Giáo Dục Ninh Bình Năm 2019 Lần

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Bất phương trình  m 2f x( )+x2−4x g x= ( )

Yêu cầu toán ( )

( 1; 3)

min

m g x

−

 

Từ đồ thị ( )

( 1; 3)

minf x −

= − x=2 ( )1

( ) ( )

( )

2

2 4 2 4 4 min 4 4

Từ ( )1 ( )2 suy ( )

( 3; 1)

ming x 2.3 10 −

= − − = −   −m 10 Ví dụ 17.

Cho hàm số y= f x( )liên tục có đồ thị hình vẽ

Có giá trị nguyên m để phương trình: f(3 6− x−9x2)+ = −2 m2 có nghiệm

A B

C D

Đề thi thử THPT Quốc Gia Sở Giáo Dục Ninh Bình Năm 2019 Lần

 Lời giải

 Chọn đáp án B Đặt t= −3 6x−9x2

Điều kiện t 6 9 0 0

3 x− x    x

2

6 18 12(3 1)

4

2 9

x x

t

x x x x

− −

 = −  =

− − ;

1

3 t=  =x

2

(0) 3, [ 1; 3]

3

t =t  = t  = −   −t

   

Suy f t( )+ = −2 m2 f t( )= −m2−2

Theo đồ thị

)

2 2 6; 1 6 2 1 4 1 {0;1; 2; 1; 2}

m  m m m

− −  − −  −  − −  −  −  −  −   − −

Ví dụ 18.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình f x( −2)+ − =1 m có nghiệm phân biệt khoảng (−5; 5)

A B

C D

Đề thi thử THPT Quốc Gia Sở Giáo Dục Vĩnh Phúc Lần 1Năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án A

( 2) ( 2)

f x− + − = m f x− + = +m Nghiệm phương trình giao điểm đường thẳng y= +m đồ thị hàm số y= f x( −2)+1 ( )C3

Đồ thị hàm số y= f x( −2)+1 gồm bước

Bước Vẽ đồ thị hàm số y= f x( )

Từ đồ thị y= f x( )có đồ thị ( )C suy đồ thị hàm số y= f x( ) có đồ thị ( )C1 gồm phần:

• Phần 1: Giữ phần bên phải, bỏ phần bên trái đồ thị( )C

Bước Hàm số y= f x( −2)+1 có đồ thị ( )C2 Tịch tiến sang phải đơn vị lên đơn vị đồ thị ( )C1 thu đồ thị ( )C2

Bước Đồ thị hàm số y= f x( −2)+1 ( )C3 gồm phần

• Phần 1: Giữ nguyên phần bên trục hoànhOx đồ thị ( )C2

• Phần 2: Đối xứng phần bên đồ thị ( )C2 qua trục Ox

Yêu cầu toán   +   −   −0 m 8 m m  = −m có giá trị

 Nhận xét: Để đơn giản ta đặt t= −   − −x t ( 7; 3) ta thực vẽ đồ thị hàm số

( )

Bước Vẽ đồ thị hàm y= f x( )( )C1 gồm phần

• Phần 1: Giữ phần bên phải, bỏ phần bên trái đồ thị( )C

• Phần 2: Đối xứng phần qua Oy.

Bước Tịnh tiến lên đơn vị đồ thị ( )C1 đồ thị ( )C2

Bước 3. Đồ thị hàm số y= f x( )+1 gồm phần

• Phần 1: Giữ ngun phần bên trục hồnhOx đồ thị ( )C2

Yêu cầu toán   +   −   −0 m 8 m m  = −m có giá trị Ví dụ 19.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f x m( + )=m có

A B

C D.Vô số

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Nghiệm phương trìnhf x m( + )=m hoành độ giao điểm đồ thị hàm số

( )

y= f x m+ đường thẳng y m=

Số giao điểm đồ thị hàm số y= f x m( + ) đường thẳng y m= số giao điểm đồ thị hàm số y= f x( )và đường thẳng y m=

Từ đồ thị suy để phương trình có nghiệm m m  =  

= − 

Vậy có giá trị nguyên m= −1 Ví dụ 20.

Cho hàm số f x( )=ax4+bx3+cx2+dx e+

( , , , ,a b c d e ) Hàm số có đồ thị f x( ) hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình

( )

f x =e có số phần tử

A B

C D

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Xét hàm số g x( )= f x( ) -e, ( ) ( )

( )0 ; ( ) ( )

g x f x

f x e g x

g

  = 

 =  =

 =



Đồ thị hàm số ( ) ( ) ( 1)

2

g x = f x =a x+ x− x− 

x − −1

3

2 +

( )

g x − 0 + − +

+

2 g  

  +

( )

g x Ox y: =0

( )1

g −

2 g  

 

Ta có

3

2

0

3 3

(0) ( ) ( 1)

2 2 64

g  =g  −g = g x dx =a x+ x− x− dx= − a

        

Suy phương trình có nghiệm Ví dụ 21.

Cho hàm số liên tục −1; 9 đồ thị hình vẽ Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình

( )

( ) ( ) ( )

16.3f x −f x( ) +2 ( ) 4f x −  f x  m −3m 6f x

 

Có nghiệm với x − 1; 9

A 22 B 31

C D

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Theo đồ thị − 4 f x( ) 2   −x [ 2; 9] Đặt t= f x t( ),  − 4; 2

Bài toán trở thành tìm m để 16.3t−t2+2t−8 4 t (m2−3m)6t

  có nghiệm với

4; t − 

( )

2

16.3t−t +2t−8 4 t m −3m 6 ,t   −t [ 4; 2]

 

( ) 16 2 ( )

2 , [ 4; 2]

3

t t

g t t t    m m t

 = − + −    −   −

  

Yêu cầu toán ( )

4

3

m m g x

− 

 

 − 

Với 16 4, [ 4; 2]

2t    −t , dấu xảy t=2

2 2

2 0, [ 4; 2] 0, [ 4; 2]

3

t

t + t−    −t t + t−         −t dấu xảy t=2

Suy ( ) ( )

4;

16

2 4, [ 4; 2]

3

t t

g t t t t g t

−        = − + −      −  =   

3 4

m m m

 −   −   m   −m  1; 0; 1; 2; 3; 4 Kết luận: có giá trị m

Ví dụ 22.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên

1; 2025

m  cho phương trình

( )

2

2

1

1 x

f f m m

x

 + − + =

 + 

  có nghiệm

A 2019 B 2022 C 2025 D 2026

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Theo đồ thị hàm số đối xứng với qua Ox suy hàm số f x( ) hàm số lẻ

( )

2

2

1

1 x

f f m m

x

 

  + − + =

+

 

( ) ( )

2

2

1

1

x x

f m m f f m m f

x x

   − 

 − + = −   − + =  

+ +

   

Ta có 2 2 22 [ 1;1] 22

2 1

x x x x x

f

x x x x x

 

− − − − −

=   = −   −   

− + +  +  đồng biến

Mặt khác ( 1) 1; 0 ( 1)

2

m− m +  −  f m− m +

  đồng biến

2 2 2 2

1 1

1

1

1 1

1

x

m m m m

x

m m

m m m m

m m −  − + =  −  − +  +  +  +   − + +   + +    −  + 

 DẠNG 4: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị f x( ) xác định tham sốm để g x m( , )0 Ví dụ 1.

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm Đồ thị hàm số y= f x'( )như hình vẽ Tìm

m để bất phương trình

( )

2

2

m x−  f x+ + x+ nghiệm với x − +( 3; )

A m2 (0) 1f + B m2 (0) 1f − C m2 ( 1)f − D m2 ( 1)f −

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Ta có m x− 22f x( +2)+4x+  3 m 2f x( +2)+x2+4x+3

Yêu cầu toán mming x( ) với g x( )=2f x( +2)+x2+4x+3

Ta có g x( )=2f(x+ +2) 2x+ =4 2f t( ) ( )− −t  (t= +x 2)

( ) 0 ( 2) ( 2)

 =   + = − +

g x f x x

Nghiệm phương trình (1) hồnh độ giao điểm đường thẳng y= −t đồ thị hàm số f t( )

Ta cóg x( )0 đồ thị f t( ) nằm đường thẳng y= −t ; g x( )0 đồ thị f t( ) nằm đường thẳng y= −t Chỉ cần xét khoảng g x( )0 khoảng lại làm cho

( ) g x 

( ) ( )

0

0 2

t x x

g x f t t

t x x

  −  +  −   −

     −   

 +   −

  

Từ ta có bảng biến thiên nghiệm bội chẵn tức điểm tiếp xúc khơng tham gia vào q trình xét dấu

x − −3 −2 +

( ) 

g x + − +

( )

g x

− −

( ) ( ) ( ) ( )

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm Đồ thị hàm số y= f x( ) hình vẽ Tìm m để bất phương trình

( )

( )

2 4 2 1 2

m x+ +  f x+ − x nghiệm với x − 4; 2

A m2 (0) 1f − B m2 ( 3) 4f − − C m2 (3) 16f − D m2 (1) 4f −

 Lời giải

 Chọn đáp án D

( )

( ) ( ) ( )2

2 4 2 1 2 2 1 2

m x+ +  f x+ − x  m f x+ − x+

Yêu cầu toán  mmaxg x( ) vớig x( )=2f x( + −1) (x+2)2 Đặt t= +x

Ta có g x( )=2f x( + −1) (2 x+2)=2(f x( + −1) (x+2))=2f t( ) ( )− +t 

( ) ( )

g x =  f t = +t nghiệm phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng

y= +t đồ thị f t( )

Từ đồ thịg x( )=2f t( ) ( )− +t 10 đồ thịf t( ) nằm đường thẳng y= +t

( ) ( ) ( )1

g x = f t − +t  đồ thịf t( ) nằm đường thẳng y= +t 1, ta cần xét

trường hợp ( ) 3

3

t x x

g x

t x x

−   −  +  −  

    

 +  

  

x −4 −2

( )

( )1 g

( )

g x

Suy maxg x( )=2f( )1 −4   −x  4; 2 nên m 2f( )1 −4 Ví dụ 3.

Cho hàm số y= f x( ) hàm đa thức có hệ số thực Hình vẽ bên phần đồ thị hai hàm số: y= f x( )

( )  =

y f x Tập giá trị tham số m để phương trình ( ) x

f x me ln 0; 2 ?

A m0 B m f( )0 .

C m f( )22 e

 D m f ( )0 + f ( )2

e

 Lời giải

 Chọn đáp án

Đồ thị hàm số f x( ) cắt trục hồnh x0 x0 cực trị hàm số y= f x( ) Dựa vào đồ thị ta kí hiệu ( )C1 đồ thị hàm số y= f x( ), ( )C2 đồ thị hàm số y= f x( )

( ) x

f x me  m f x( )x

e

Ta có g x( )= f( )x −x f x( ) e

( ) ( ) ( )

( )

1

0

1;

 = 

 =   =  =

 =  − 

x

g x f x f x x

x a

( )

g x   f x'( ) ( ) f x đồ thị hàm số f x( ) nằm đồ thị f x( )

( )

g x   f x'( ) ( ) f x đồ thị hàm số f x( ) nằm đồ thị f x( ) Theo đồ thị ta có bảng biến thiên

x a

( )

g x + + −

g( )1

( )

g x

Khi ( ) ( )

0;

maxg x g  

 

= =

0 m  

Ví dụ 4.

Cho hàm số f x( ) liên tục Hàm số

( )

y= f x có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f(2sinx)−2sin2x m đúng với

( )0;

x 

A ( )1

m f − B ( )1 m f −

C ( )0

m f − D ( )0 m f −

Đề thi thử THPT Quốc Gia Chuyên Quang Trung Lần năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án

( ) ( )

2sin 2sin

Ta có: x( )0; sinx(0;1 Đặt 2sinx t t= ( (0; 2) ta bất phương trình:

( ) ( )2

2

f t − t m

( )1 với x( )0; ( )2 với t(0; 2 Xét ( ) ( )

2

g t = f t − t với t(0; 2

( ) ( )

g t = f t −t

Từ đồ thị hàm số y= f x( ) y x= Ta có bảng biến thiên

x

( )

g t + −

( )1 g

( )

g t

Yêu cầu toán ( ( ) ( )

0 ;

1

max 1

2

m g g f



  = = −

Cho hàm số y= f x( ) liên tục Và có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình

( )

2 cos

f f x  = m có nghiệm ; x 

  ?

A 2 B 3.

C 4 D 5

 Lời giải

 Chọn đáp án C

Đặt t=cosx với ; x 

  t −( 1; 0

Quan sát đồ thị (−1; 0) hàm số nghịch biến nên 0= f(0) f t( ) − =f( 1) Đặt u= (cos )f x   u 0; 2)

u cầu tốn tương đương với tìm m để phương trình f u( )=m có nghiệm 0; 2)

( )

) )( )

0; 0;

minf u m max f u

 

 

  

Quan sát đồ thị ( )

) )( )

0; 0;

minf u 2; maxf u m

 

 

= − =  −   m

Nên m − −{ 2; 1;0;1}, có giá trị m Ví dụ 6.

Số giá trị tham số m không vượt để phương trình

( ) 1

0

x m

f  − − = có nghiệm phân biệt

A 4 B 5.

C 6 D 7

 Lời giải

 Chọn đáp án B

2 1 1

( ) ( ) ,( 0)

8

m m

f t − − =  f t = − t

Nghiệm phương trình phụ thuộc vào số giao điểm đường thẳng

2 1

8 m

y= − đồ thị hàm số y= f t( )

Quan sát đồ thị hàm số y= f x( ) ta có phương trình có nghiệm phân biệt dương

2

2

1

1 3

8 m

m m

−

 −    −    −   vàm   − −m { 2; 1;0;1;2} Vậy có giá trị m

Ví dụ 7.

Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị

như hình vẽ Có giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn

0;  

  cho bất phương trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2f x+f x−m−16.2f x−f x−m−4f x +16 0

có nghiệm x −( 1; 1)?

A 6 B 8.

C 5 D 7

 Chọn đáp án A

Ta có: 2f2( ) ( )x+f x−m−16.2f2( ) ( )x−f x−m−4f x( )+16 0

( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( )

4f x.2f x−f x−m 16.2f x−f x−m 4f x 16

 − − + 

( )( 2( ) ( ) ) ( 2( ) ( ) )

4f x 2f x−f x−m 16 2f x−f x−m

 − − − 

( )

( )( 2( ) ( ) )

4f x 16 2f x−f x−m

 − − 

Theo đồ thị x −( 1; 1)  − 2 f x( )2 ( )

4− 4f x

   4f x( )−16 0   −x ( 1;1) Do 2f2( ) ( )x f x m 1 0 2( ) ( ) 0

f x f x m

− − −   − − 

có nghiệm x −( 1; 1)  f2( ) ( )x − f x mcó

nghiệm x −( 1; 1)

Xét g f x ( ) = f2( ) ( )x − f x

Đặt t= f x( ) với t −( 2; 2),g t( )= −t2 t có đồ thị hình vẽ

Theo đồ thị ( ) ( )

( 2; 2)

max

g t m m g t

−

   = vàm0; 9   0 m Ví dụ 8.

Hình vẽ bên đồ thị hàm số

( )

f x =ax +bx +cx +dx e+ Hỏi có m nguyên để phương trình

( )

f x =m có ba nghiệm phân biệt?

A 1 B 2.

C 3 D 4

Đề thi thử THPT Quốc Gia Sở Bắc Ninh 07-05-2019

 Chọn đáp án C

Từ đồ thị hàm số ( )C :y= f x( ) ta suy đồ thị hàm số ( )C' :y= f x( )gồm phần

• Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị ( )C miền x0, (kí hiệu phần đồ thị ( )C1 ),Bỏ phần đồ thị ( )C bên trái trục Oy

• Phần 2: Đối xứng phần qua Oy

Theo đồ thị ( )C' ta có:

Phương trình f x( )=m có ba nghiệm phân biệt  −  3 m

Vì m nên m − − 2; 1;0 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 9.

Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+ +cx d có đồ thị hình vẽ, gọi S tập hợp giá trị

(  )

m m cho

( ) ( ) ( ) ( )

1  2 1 1 0,

−  − − + −   

x m f x mf x f x x

Số phần tử tập S là?

A 2 B 0.

C 3 D 1

Đề thi thử THPT Quốc Gia Chuyên Quang Trung Lần 5

 Chọn đáp án A Hướng giải

Từ đồ thị hàm số ta suy ( ) ( )

( ) ( )

( )

1

1

2

1

0 1

0 0 2 2

1 1 2  =  =    − =  =    = +   =  =    =  =     f a f b

f x x

f c

f d

Theo đề ( )

0

1 1

1 =   =  − =  =  = −  m

f m m m

m Với m=0, ta có:

( ) ( )( ) ( )

1 1

2

 

− − = −  + − 

 

x f x x x

1( 1)( 1) 1( 1)2( 1)

2

= x− x − = x− x − +   x x (thoả mãn) Với m=1, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )3

1 1

1

1 1

2

−  − − + − 

 

= −  − + − 

 

x f x f x f x

x x

( )( ) ( )( )

1

1 12 1

2

= x− x − x + x− − = x− x − x + x−

( )2( )

1

= x− x − x+   x (thoả mãn)

Với m= −1, ta có: ( 1) (2 1) ( ) ( ) ( 1) 1(2 1)3

2

 

− − − + + − = − − − − + 

 

x f x f x f x x x x

( )( )

1

0   − − + −      x

x x x x

x (Loại) Vậy m=0 m=1

Hướng giải

Để (x−1)m f3 (2x− −1) mf x( )+ f x( )−   1 0, x

( ) ( ) ( )

3

2 1 1

 − − + − 

m f x mf x f x  nhận x=1 nghiệm bội lẻ qua x=1 (

( ) ( ) ( )

3

2 1 1

 − − + − 

m f x mf x f x  đổi dấu từ − sang +) Khi đó: 0 =  − =   =   m m m m

+ Với m=1, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 2 1 1

 − − + − = − −

m f x mf x f x  f x hàm số bậc ba có hệ số bậc cao dương

Ta có: lim (2 1) , lim (2 1)

→+ − − = + →− − − = −

x f x x f x nên qua x=1 hàm số đổi dấu

từ − sang + thỏa mãn

+ Với m= −1, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 2 1 2 1

 − − + − = − − + −

m f x mf x f x  f x f x hàm số

bậc ba có hệ số bậc cao âm

Ta có: lim (2 1) , lim (2 1)

→+ − − = − →− − − = +

x f x x f x nên qua x=1 hàm số đổi dấu

từ + sang − không thỏa mãn

Ví dụ 10.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục , có đồ thị hàm số hình vẽ Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình

2

(2025−m) f x( )+ f x( ) 1−  3x+ 10 2− x nghiệm với x[0; 5]

A 2019 B 2020 C 2021 D 2022

Để bất phương trình có nghiệm với x 0; 5 ta cần có

2 0;

3 10

2025 max

( ) ( 2)

x x

m

f x f x

     + −    −   + − −   

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky

3x+ 10 2− x= x+ 5− x (3 2)(+ x+ −5 x)=5 dấu “=” xảy

x= Nhìn đồ thị ta thấy f x( )1 dấu “= ” xảy x=3; x=1;x=5 Suy

2

3 10

5 2020

( ) ( ) ( ) ( )

x x

m

f x f x f x f x

+ −    

+ − + −

Ví dụ 11.

Cho hàm số y= f x( )có đồ thị f x( ) hình vẽ Xét hàm số g x( )=2f x( )+2x3−4x−3m−6 5

với m số thực Để g x( )0   −x [ 5; 5] điều kiện m

A ( 5)

m f B ( 5)

m f

C (0)

m f − D ( 5)

m f − −

 Lời giải

 Chọn đáp án A

Để g x( ) 0 g x( ) ( ) 2= f x + x3−4x−3m−6 0 3m2 ( ) 2f x + x3−4x−6 5

Với

( ) ( ) h x = f x + x − x− Yêu cầu toán ( )

5 ;

2m maxh x

− 

 

 

Xét hàm số h x( ) ( ) 2= f x + x3−4x−6 5;

( ) ( ) h x = f x + x − ( 5) ( 5) 6.5

( 5) ( 5) 6.5 (0) (0) (1) (1) 6.1 ( 1) ( 1) 6.1

h f h f h f h f h f   − = − + − =     = + − =     =  + − =   =  + −     − = − + −  

suy h x( ) đồng biến − 5; 5

x − 5

( ) 

( )

h x

Suy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 ;

5 max

h x h f f x f

− 

 

 =  =

Ví dụ 12.

Cho 0 a− 1 b− 1 a hàm số

( 2)

( ) ( )

( 1) f x y g x

f x

= =

+ có đạo hàm  + 0; ) Biết đồ thị hàm số y= f x( ) hình vẽ Khẳng định sau với x[ a−1; b−1]

A g x( ) f( b 1) m

−

 B g x( ) f( a 1) n

−



C g x( ) f( b 1) m

−

 D −10g x( ) 0

 Lời giải

 Chọn đáp án A

Ta có x[ a−1; b−  +1] (x 1)2[ ; ]a b theo đồ thị có

( 2) ( )

2

1 1

( 1)

( 1)

m f x n

n f x m

 +    

+

Với 0 a− 1 b− 1 a theo đồ thị hàm số f x( ) đồng biến [ a−1; b−1]

( 2)

( ) ( 1)

( 1) ( ) ( 1) ( )

( 1)

f x f b

f a f x f b g x

m f x

−

−   −  = 

+

Gọi A tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình (2 sin )

2 m f x =  f 

  có 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ;  Tính tổng tất phần tử A

A B C D

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Đặt t=2sinx với x −  ;  2cos

t = x

( )

0 2cos

2

t =  x=  = +x  k k ; ; ;3 2 x −    −x    

 

Bảng biến thiên

x −

2  −

2



2 

2

t − + − +

0

t

2

− −2

Từ đó, ta suy bảng biến thiên u= 2sinx x −

2 

−

2

 

2 

2 u + − + − + −

2

u

0 0

Với u=2 ta có nghiệm phân biệt x −  ;  Với u=0 ta có nghiệm phân biệt x −  ;  Với 0 u ta có nghiệm phân biệt x −  ; 

Yêu cầu toán  ( ) m f u =  f 

0 0 4

27 2

0

3

16

2

m

m m

f

m m



 

   

  

 −      

    



Vậy A= 1; Tổng tất phần tử A

 DẠNG 6:Cho đồ thị hàm số y= f x( ) xác định số nghiệm hàm số g x( ) ( ) ( )= f x +g x Ví dụ 1.

Cho hàm số đa thức y= f x( ) có f( )1 =2018 có đồ thị y= f x( ) hình vẽ Xét hàm số

( ) ( ) 3 2019

g x = f x −x + x− Phương trình

( )

g x + = có tất nghiệm dương A B

C D

 Lời giải

 Chọn đáp án

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

g x = f x − x + = f x − x − ; g x( )= 0 f x( )=3x2−3 có nghiệm hồnh

độ giao điểm hàm số y= f x( ) ( )P y: =3x2−3

Theo đồ thị ta có đồ thị hàm số g x( )0 đồ thịf x( ) nằm đồ thị ( )P ngược lại

( )

g x  đồ thị f x( ) nằm đồ thị ( )P  Từ đồ thị ta có :

( )1

g =

( ) ( )0 2018

f  f =  g( ) ( )0 = f −2019 f( )1 −2019 2018 2019= − = −1

Phương trình g x( )+ = 2 g x( )= −2 giao điểm đồ thị hàm số g x( ) đường thẳng

y= −

Bảng biến thiên :

x − −1 +

( )

g x − + −

( )

g x y= −2

( )3 g −

Kết luận : phương trình g x( )+ =2 0có nghiệm dương Ví dụ 2.

Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Biết f x( )0 với x − − ( ; 3) (2;+) Số nghiệm nguyên thuộc khoảng (−10;10) bất phương trình f x( )+ −x 1(x2− −x 6)0

 

là

A B 10 C D

Đề thi thử THPT Quốc Gia Mơn Tốn Trường Lương Thế Vinh lần năm 2019

 Lời giải

Đặt ( ) ( ) ( )

1

g x =f x + −x  x − −x hàm số liên tục

( ) ( )2 2( ) ( )2; ( )

0

1

1

x x

x x x x

g x

f x x

f x x f x x

 − − =  − − =  = − =

=  + − =  = − +  = − +



  

 

Phương trình ( )1 phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y= f x( ) đường thẳng y= − +x Dựa vào đồ thị hàm số vẽ hình

( )

f x + − = x x= −3, x= −1, x=0 x=2 Ta có bảng xét dấu

x − −3 −2 −1 +

2

6

x − −x + | + − | − | − | − +

( )

f x + −x − 0 + | + − − + | +

( )

g x − + − + + − +

( ) 1 ( 6) 0 ( ) 0 ( 3; 2) ( 1;0) ( ) (0; 2 3; )

f x x x x g x x

 

 + −  − −      − −  −   +

Kết hợp điều kiện x nguyên x −( 10;10) ta có x1; 4; 5;6;7 ;8;9

 DẠNG : Biện luận tham số m bất phương trình phương trình cách đưa hàm sốđặc trưng

Ví dụ 1.

Cho hàm số f x( )=x5+3x3−4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f(3 f x( )+m)=x3−m có nghiệm thuộc đoạn 1; 2?

A. 15. B. 16. C. 17. D. 18.

Đề thi thử THPT Quốc Gia Mơn Tốn Trường Lương Thế Vinh lần năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Đặt t=3 f x( )+mt3= f x( )+ m f x( )= −t3 m ( )1

Ta có f(3 f x( )+m)=x3−m, suy f t( )=x3−m ( )2

Từ ( )1 ( )2 ta có f x( ) ( )− f t = −t3 x3 f x( )+x3= f t( )+ t3 x5+4x3= +t5 4t3 ( )3 Xét hàm số g u( )=u5+4u3g u( )=5u4+12u2   0 u g u( ) đồng biến Do ( )3 g x( ) ( )=g t  =x t Thay vào ( )1 ta f x( )=x3− m x5+2x3=3m ( )4 Xét hàm số h x( )=x5+2x3 đoạn 1; 2

Phương trình cho có nghiệm thuộc 1; 2  Phương trình ( )4 có nghiệm 1; 2

( ) ( )

1; 1;

minh x 3m maxh x 3m 48 m 16

   

   