khắc sâu và vận dụng thành thạo, linh hoạt khi gặp các dạng toán biến đổi biểu thức có dấu căn. Tôn Nữ Bích Vân[r]
(1)VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC √A2=|A| VÀO GIẢI TOÁN
Trong chương I, Đại số 9, đẳng thức √A2=|A| có nhiều vận
dụng tập từ đơn giản đến phức tạp
Tuy nhiên, gặp dạng toán này, nhiều em thường lúng túng, học sinh giỏi cũng gặp nhiều sai sót trình bày lời giải Qua viết tơi nêu số loại tốn thường gặp vận dụng hai dạng biến đổi thức sau đây:
Đưa dấu
√A2
=|A| = A A ≥
- A A < Đưa vào dấu căn:
A √B = √A2B A ≥ 0 - √A2B A <
Loại 1: Biển đổi đơn giản thức bậc hai
Ví dụ 1: Đưa thừa số ngồi dấu
√9x4y=2x2|y| = 3x2y y ≥
- 3x2y y < 0 Ví dụ 2: Đưa thừa số vào dấu
x√2y = √2x2y x ≥ 0 - √2x2y x < 0 Một số em thường nhầm trường hợp thứ hai
Loại 2: Tính giá trị biểu thức
Ví dụ 1: Tính √8−2√7
Giải √8−2√7 = √7−1¿
2 ¿
√7−2√7+1=√¿ = |√7−1|=√7−1 (vì √7−1>0¿
Có thể đặt √8−2√7=a+b√7 với số nguyên a, b bình phương hai vế để tính a, b? Tương tự, tính √2002+2√2000−2√1999
Ví dụ 2: Tính giá trị
A = 3x - - √4x2−12x
+9 với x = 1999 Giải
A = 3x - - 2x −3 ¿2 ¿ ¿
(2)Với x = 1999 2x - > nên A = 3x - - (2x - 3) = x + Lúc A có giá trị 1999 + = 2001
Loại 3: Rút gọn biểu thức
Ví dụ 1: Rút gọn B = √3x −4−2√3x −5
Giải: Điều kiện x ≥ 53 Biến đổi B =
√3x −5−1¿2 ¿ ¿
√3x −5−3√3x −5+1=√¿
Nếu √3x −5−1≥0 hay √3x −5≥1 hayx ≥2 B=√3x −5−1
Nếu √3x −5−1 < hay x < B = - √3x −5
Vậy B = √√3x −5−1 x ≥
- √3x −5 53 ≤ x ≥ Có thể đặt B = a + b √3x −5 với số nguyên a, b tính a, b?
Ví dụ 2: Rút gọn C = √x2+4x+4
|x|−2
Giải: C =
x+2¿2 ¿ ¿
√¿ ¿
(đk: x ≠ ± 2)
Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối
x -2 0
|x+2| -(x + 2) x + 2 x +
|x|−2 - x - - x - -2 x -
Từ tính
x < -2 C = -1 -2 < x <
x −x+21 x ≥ x ≠ Có thể đưa mẫu số |x|−2 vào dấu căn?
Loại 4: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1: Chứng minh √2+√3=√6+√2(∗) Giải: Biến đổi vế trái:
2√2+√3=√4(2+√3)=√√8+4√3
= √6+√2¿ ¿
(3)= |√6√2|=√6+√2 Vậy: 2√2+√3=√6+√2
Có thể biến đổi √2√4+2√3=√2(√3+1) bình phương hai vế (*)?
Ví dụ 2: Chứng minh √6+√11−❑
√6−√11=√2
Đặt vế trái A, ta có:
√2A=√12+2√11−√12−2√11
=
√11+1¿2 ¿
√11−1¿2 ¿ ¿
√¿
= |√11+1|−|√11−1|=2 Có thể tính A2?
Loại 5: Giải phương trình
Ví dụ: Giải phương trình: √x −2+2√x −3+√x+6+6√x −3=3 Giải: Điều kiện x ≥ Biến đổi vế trái thành
√x −3+2√x −3+1+√x −3+6√x −3+9 =
√x −3+1¿❑2 ¿
√x −3+3¿2 ¿ ¿
√¿
= |√x −3+1|+|√x −3+3| = √x −3+1+√x −3+3 = + √x −3≥4
Loại 6: Tìm giá trị biến thoả mãn điều kiện cho trước
Ví dụ: Cho M = 4x - - √9x2−12x+4 Tìm x để M =
Giải: M = 4x - - 3x −2¿ ¿ ¿
√¿ Xét dấu 3x - ta tính
M = x + x ≥ 32 7x - x < 32
(4)+ Với x < 32 M = 7x - = x = 67 : Loại không thoả
mãn
x < 32
Vậy: M = x = Có thể viết 4x - = √9x2−12x+4 bình
phương hai vế?
Loại 7: Tìm cực trị biểu thức
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ D = √1−4x+4x2+√4x2−12x+9 Giải: D = √1−4x+4x2+√4x2−12x+9
=
1−2x¿2 ¿
2x −3¿2 ¿ ¿
√¿
= |1−2x|+|2x −3|≥|1−2x+2x −3|=2
Đẳng thức xảy (1 - 2x) (2x - 3)
Lập bảng xét dấu
x 12 32
1 - 2x + - ¿
-2x - - ¿ - 0 +
(1 - 2x)(2x - 3) - +
-(1 - 2x) (2x - 3) 12≤ x ≤32
Vậy: GTNN D = 12≤ x ≤32
Các tập ví dụ nhiều cách giải khác, phạm vi viết này, xin trình bày cách giải vận dụng đẳng thức
√A2
=|A| gợi ý vài cách khác Mong em củng cố,
khắc sâu vận dụng thành thạo, linh hoạt gặp dạng toán biến đổi biểu thức có dấu
Tơn Nữ Bích Vân