Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá.. Các học sinh còn lại t[r]
(1)Phần BÀI TOÁN ĐẾM (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Có bao nhiêu tập X tập A thoả điều kiện X chứa và không chứa 2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A và không bắt đầu 123 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Một học sinh có 12 sách đôi khác nhau, đó có sách Toán, sách Văn và sách Anh Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất các sách lên kệ sách dài, các sách cùng môn xếp kề nhau? (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trường hợp sau: Bất học sinh nào ngồi cạnh đối diện thì khác trường với Bất học sinh nào ngồi đối diện thì khác trường với (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập bao nhiêu số n gồm chữ số khác đôi từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trường hợp sau: n là số chẵn Một ba chữ số đầu tiên phải (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy không có đủ màu? (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên lá phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn cạnh nhau? Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên các phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số thành? Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số thành? (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét số gồm chữ số, đó có năm chữ số và bốn chữ số còn là 2, 3, 4, Hỏi có bao nhiêu số thế, nếu: Năm chữ số xếp kề Các chữ số xếp tuỳ ý (ĐH Hàng hải 1999) Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho: Bạn C ngồi chính (2) Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế 10 (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau, cho các chữ số đó có mặt số và 11 (ĐHQG HN khối B 2000) Từ chữ số 0, 1, 3, 5, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác và không chia hết cho 12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 sách đôi khác đó có sách Văn, sách Nhạc và sách Hoạ Ông muốn lấy và tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em Giả sử thầy giáo muốn tặng cho các học sinh trên sách thuộc thể loại Văn và Nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng? Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách trên còn lại ít Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nếu: 1) phải có ít là nữ 2) chọn tuỳ ý 14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được: Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác đôi 15 (ĐH Y HN 2000) Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ và nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách? 16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập các số mà số có năm chữ số đó các chữ số khác đôi Hỏi Có bao nhiêu số đó phải có mặt chữ số 2 Có bao nhiêu số đó phải có mặt hai chữ số và 17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn người cho: Có đúng nam người đó Có ít nam và ít nữ người đó 18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ chữ số 2, 3, có thể tạo bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, đó có mặt đủ chữ số trên 19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có bao nhiêu số gồm chữ số cho tổng các chữ số số là số lẻ 20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) (3) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đôi khác Có bao nhiêu cách chọn viên bi, đó có đúng viên bi đỏ Có bao nhiêu cách chọn viên bi, đó số bi xanh số bi đỏ (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có thẻ trắng và thẻ đen, đánh dấu loại theo các số 1, 2, 3, 4, Có bao nhiêu cách xếp tất các thẻ này thành hàng cho hai thẻ cùng màu không nằm liền (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, đó các chữ số và có mặt lần, các chữ số khác có mặt lần (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có bao nhiêu số khác gồm chữ số cho tổng các chữ số số là số chẵn (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất các số tự nhiên có đúng chữ số cho số đó chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước (HV Kỹ thuật quân 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người địa điểm B, còn người thường trực đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công? (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, đó có cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử người dự hội nghị Hội sinh viên trường cho người đó có ít cán lớp (HV Quân y 2000) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác và viên bi xanh giống vào dãy ô trống Hỏi: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? Có bao nhiêu cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh và viên bi xanh xếp cạnh nhau? (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9? (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000? (CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và đó phải có mặt chữ số (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, đó có em nam, em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn nhóm em để tham dự trò chơi gồm em nam và em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn? (ĐH An ninh khối D 2001) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có bảy chữ số từ chữ số trên, đó chữ số có mặt đúng lần, còn các chữ số khác có mạt đúng lần (ĐH Cần Thơ 2001) (4) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Một nhóm gồm 10 học sinh, đó có nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành hàng dài cho học sinh nam phải đứng liền (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, đó có nữ và nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người và nhóm có số nữ Có bao nhiêu cách chọn người mà đó không có quá nam (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau, đó thiết phải có mặt chữ số (ĐH Huế khối ABV 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho không có chữ số nào lặp lại đúng lần? (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ nhóm học sinh gồm nam và nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với yêu cầu có nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn? (HV Kỹ thuật quân 2001) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi và tổ có ít học sinh khá (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số khác và đó phải có chữ số (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có thể tìm bao nhiêu số gồm chữ số khác đôi một? Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số chẵn có chữ số đôi khác nhau? (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể thiết lập bao nhiêu số có chữ số khác mà hai chữ số và không đứng cạnh nhau? (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có học sinh nam và học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh bất kì cho ta cách xếp mới) (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số có chữ số mà chữ số đứng vị trí chính giữa? (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, đó có mặt chữ số không có mặt chữ số Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất các số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) (5) 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 Cho A là hợp có 20 phần tử Có bao nhiêu tập hợp A? Có bao nhiêu tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử là số chẵn? (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Có bao nhiêu số có ba chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà các số đó nhỏ số 345 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh đó phải có ít nhất: Hai học sinh nữ và hai học sinh nam Một học sinh nữ và học sinh nam (ĐH Y HN 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác và không lớn 789? (ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, đó có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có ít em chọn (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số khác và chữ số đứng cạnh chữ số (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số số là khác và số đó tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ tổ gồm học sinh nữ và học sinh nam cần chọn em đó số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có bao nhiêu cách chọn vậy? (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? (CĐ Sư phạm khối A 2002) Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt Từ kết câu 1) hãy suy số giao điểm tối đa tập hợp các đường nói trên (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh (CĐ Xây dựng số – 2002) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác và nhỏ 245 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) (6) 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 Từ chữ số 0, 1, 2, 5, có thể lập bao nhiêu số lẻ, số gồm chữ số khác (ĐH khối B 2004) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác và thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít (ĐH khối B 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam và nữ (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm đó phải có ít nữ (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và thiết phải có chữ số 1, (ĐH khối D 2006) Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh này thuộc không quá lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn vậy? (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn 15 học sinh cho có ít học sinh khối A và đúng học sinh khối C Tính số cách chọn (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và hai chữ số còn lại phân biệt? (CĐ Xây dựng số khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất các số đó (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng d cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d cho điểm phân biệt Hỏi có thể lập bao nhiêu tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm đã cho BÀI GIẢI (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) (7) X A 1 X 2 X X 1 Y Y 3,4,5,6,7,8 Do đó số các tập X số các tập Y tập hợp {3,4,5,6,7,8} Mà số các tập Y {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64 Vậy có 64 tập X A chứa và không chứa 2 Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A * n là số các số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A và bắt đầu 123 * p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n a a a a a Tính m: Lập số chẵn gồm chữ số khác a 1, a2, a3, a4, a5 A, có nghĩa là: Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} có cách Lấy a2, a3, a4, a5 từ số còn lại A có A7 = 7.6.5.4 = 840 cách Do đó: m = 4.840 = 3360 123a2a1 Tính n: Lập số chẵn bắt đầu 123; a1,a2 A; a1 ≠ a2 Lấy a1 từ {4,6,8} có cách Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} có cách Do đó: n = 3.4 = 12 Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Bước 1: Đặt nhóm sách lên kệ dài: 3! cách Bước 2: Trong nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Toán: 2! cách Nhóm sách Văn: 4! cách Nhóm sách Anh: 6! cách Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có cách xếp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh trường A, có 6! cách xếp các em vào chỗ Tượng tự, có 6! cách xếp học sinh trường B vào chỗ Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách Học sinh thứ trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ trường A: có cách chọn học sinh trường B Học sinh thứ hai trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có cách chọn, v.v… (8) Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Xem các số chắn hình thức abcde (kể a = 0), có cách chọn e {0,2,4,6}, vì là số chẵn Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A7 = 840 Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức Ta loại số có dạng 0bcde Có cách chọn e, và A6 cách chọn b, c, d từ X \ {0,e} Vậy có A6 = 360 số chẵn có dạng 0bcde Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài n = abcde * Xem các số hình thức abcde (kể a = 0) Có cách chọn vị trí cho Sau đó chọn chữ số khác cho vị trí còn lại từ X \ {1}: có A7 cách Như thế: có A7 = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài * Xem các số hình thức 0bcde Có cách chọn vị trí cho Chọn chữ số khác cho vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là A6 Như thế: có A6 = 240 số hình thức dạng 0bcde Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Số cách chọn bi số 15 bi là: C15 = 1365 Các trường hợp chọn bi đủ màu là: 1 * đỏ + trắng + vàng: có C4C5C6 = 180 * đỏ + trắng + vàng: có C4C5C6 = 240 1 * đỏ + trắng + vàng: có C4C5C6 = 300 Do đó số cách chọn bi đủ màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để bi lấy không đủ màu là: 1365 – 720 = 645 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, có 4! = 24 cách * Sau đó xếp phiếu số vào cạnh phiếu số có cách Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài * Khi nhóm chẵn bên trái, nhóm lẻ bên phải Số cách xếp cho số chẵn là 2! cách Số cách xếp cho số lẻ là: 3! cách Vậy có 2.6 = 12 cách * Tương tự có 12 cách xếp mà nhóm chẵn bên phải, nhóm lẻ bên trái Vậy: có 12 + 12 = 24 cách (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Số có chữ số khác có dạng: abcdef với a ≠ (9) Vì số tạo thành là số lẻ nên f {1, 3, 5} Do đó: f có cách chọn a có cách chọn (trừ và f) b có cách chọn (trừ a và f) c có cách chọn (trừ a, b, f) d có cách chọn (trừ a, b, c, f) e có cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số Vì số tạo thành là số chẵn nên f {0, 2, 4} * Khi f = thì (a,b,c,d,e) là hoán vị (1,2,3,4,5) Do đó có 5! số * Khi f {2, 4} thì: f có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn e có cách chọn Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Gọi 11111 là số a Vậy ta cần các số a, 2, 3, 4, Do đó số có chữ số đó có chữ số đứng liền là: 5! = 120 số Lập số có chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4, vào vị trí tuỳ ý vị trí (5 vị trí còn lại đương nhiên dành cho chữ số lặp lần) 9! A94 5! Vậy: có tất = 6.7.8.9 = 3024 số (ĐH Hàng hải 1999) Xếp C ngồi chính giữa: có cách Xếp A, B, D, E vào chỗ còn lại: có 4! = 24 cách Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu Xếp A và E ngồi hai đầu ghế: có 2! = cách Xếp B, C, D vào chỗ còn lại: có 3! = cách Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu 10 (HV BCVT 1999) * Số các số có chữ số khác là: A10 A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Số các số có chữ số khác và khác là: A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số các số có chữ số khác và khác là: A69 A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số các số có chữ số khác đó có mặt và là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số 11 (ĐHQG HN khối B 2000) (10) * Trước hết ta tìm số các số gồm chữ số khác nhau: Có khả chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0) Có A4 khả chọn chữ số cuối Có A4 = 4.4! = 96 số * Tìm số các số gồm chữ số khác và chia hết cho 5: Nếu chữ số tận cùng là 0: có A4 = 24 số Nếu chữ số tận cùng là 5: có khả chọn chữ số hàng nghìn, có A3 = khả chọn chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm chữ số khác và chia hết cho Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm chữ số khác và không chia hết cho 12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Số cách tặng là số cách chọn sách từ có kể thứ tự Vậy số cách tặng là A9 = 60480 Nhận xét: không thể chọn cho cùng hết loại sách Số cách chọn sách từ 12 sách là: A12 = 665280 Số cách chọn cho không còn sách Văn là: A56 = 5040 Số cách chọn cho không còn sách Nhạc là: A64 A82 = 20160 A36 A39 = 60480 Số cách chọn cho không còn sách Hoạ là: Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Để có ít là nữ thì ta phải chọn: * nữ, nam có C15 C30 cách * nữ, nam 3 có C15 C30 cách * nữ, nam có C15 C30 cách * nữ, nam có C15 C30 cách * nữ có C15 cách 3 Vậy: có C15 C30 + C15 C30 + C15 C30 + C15 C30 + C15 cách Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là: C45 14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Số chẵn gồm bốn chữ số khác có dạng: abc0 abc2 abc4 * Với số abc0 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Có 5.4.3 = 60 số (11) * Với số abc2 abc4 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4 Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn Số chia hết cho và gồm ba chữ số có dạng ab0 ab5 * Với số ab0 ta có: cách chọn a, cách chọn b Có 5.4 = 20 số * Với số ab5 ta có: cách chọn a, cách chọn b Có 4.4 = 16 số Vậy có: 20 + 16 số cần tìm Gọi abc là số chia hết cho gồm ba chữ số khác Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4} * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540 có số * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị phần tử có 3! = số Vậy có: + + = 16 số cần tìm 15 (ĐH Y HN 2000) Số cách chọn nhà toán học nam, nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C15 C13 C14 = 5.3.4 = 60 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C3 C4 = 18 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C3 C4 = 12 Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn 16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000) aa a a a Xét số năm chữ số Xếp chữ số vào năm vị trí: có cách xếp Sau đó xếp chữ số còn lại vào vị trí còn lại: có A5 = 120 cách Vậy có 5.120 = 600 số 2 Xếp các chữ số và vào vị trí: có A5 cách Xếp chữ số còn lại vào vị trí còn lại: có A4 = 24 cách Vậy có A5 A4 = 480 số 17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Chọn nam và nữ: có C10 C10 = 5400 cách Có ít nam và nữ, có các kiểu chọn sau: * nam và nữ: có 5400 cách * nam và nữ: có C10 C10 = 5400 cách (12) * nam và nữ: có C10 C10 = 2100 cách Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách 18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Tất có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có chữ số Trong các số có chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, Loại này có: cách chọn chữ số hàng vạn cách chọn chữ số hàng nghìn cách chọn chữ số hàng trăm cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vị Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số Vậy tất có: 90000 – 14406 = 75594 số có chữ số, đó có mặt đủ các chữ số 2, 3, 19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) aa a a Xét số có chữ số tuỳ ý đã cho Có hai khả năng: Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5 {1, 3, 5, 7, 9} và lập aa a a a số có chữ số với tổng các chữ số là số lẻ Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a5 {0, 2, 4, 6, 8} và lập số aa a a a có chữ số với tổng các chữ số là số lẻ Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có chữ số, số có chữ số này lại sinh số có chữ số có tổng các chữ số là số lẻ, nên có tất 9000.5 = 45000 số có chữ số mà tổng các chữ số là số lẻ 20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có: C52 cách chọn viện bi đỏ C13 cách chọn viên bi còn lại Vậy có: C5 C13 = 7150 cách chọn Có các trường hợp xảy ra: 3 * xanh, đỏ, vàng có C9 C5 cách 2 * xanh, đỏ, vàng có C9 C5 C4 cách 1 * xanh, đỏ, vàng có C9 C5 C4 cách 3 2 1 Vậy có tất cả: C9 C5 + C9 C5 C4 + C9 C5 C4 = 3045 cách 21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có khả năng: Các thẻ trắng vị trí lẻ, các thẻ đen vị trí chẵn có 5!5! cách Các thẻ trắng vị trí chẵn, các thẻ đen vị trí lẻ có 5!5! cách Vậy tất có: 5!5! + 5!5! cách 22 (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) (13) Có ô trống, cần chọn ô điền chữ số 2, ô điền chữ số 3, ô điền chữ số 4, ô điền chữ số Sau đó ô còn lại, cần chọn ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại ô điền chữ số Vậy có tất có: 8.7.6.5 C4 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài 23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) aa a a a a Số các số có chữ số là 9.105 số aa a a a a Với số có chữ số ta lập số có chữ số a1a2a3 a4 a5 a6a7 mà tổng các chữ số là số chẵn Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số 24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Theo yêu cầu bài toán và số không đứng trước bất kì số nào nên các số có chữ số có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T Ứng với chữ số phân biệt bất kì T có cách xếp thoả mãn đứng sau lớn chữ số liền trước 9! C59 5!4! = 126 Vậy số các số cần tìm là: 25 (HV Kỹ thuật quân 2000) 2 Có tất cả: C9 C6 C9 C5 C9 C7 = 1260 cách 26 (ĐH GTVT 2000) Có khả năng: * cán lớp và học sinh thường: có C2 C18 * cán lớp và học sinh thường: có C2 C18 2 Vậy số chọn là: C2 C18 + C2 C18 = 324 cách 27 (HV Quân y 2000) Trước hết xếp viên bi đỏ vào ô trống Do các viên bi đỏ khác nên số cách xếp là A7 Sau đó xếp viên bi xanh vào ô còn lại Do các viên bi xanh giống nên số cách xếp là C4 3 Vậy số cách xếp khác là: A7 C4 = 840 cách Trước hết ta cần chú ý màu, để đỏ đứng cạnh và xanh đứng cạnh có cách xếp Sau đó, các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏ với Số các hoán vị là 3! Vậy số cách xếp khác để các viên bi đỏ đứng cạnh và các viên bi xanh đứng cạnh là: 6.3! = 36 cách 28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Các số có chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là: 100008, 100017, 100035, …, 999999 (14) Các số lẻ có chữ số, chia hết cho 9, lập thành cấp số cộng: u1 = 100017, 100035, …, un = 999999 với công sai d = 18 Do đó: un = u1 + (n – 1)d 999999 = 100017 + (n – 1).18 n = 50000 Vậy tất có 50000 số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Xét số lẻ có chữ số khác nhau, lớn 500000: aa a a a a x= Từ giả thiết a1 {5,6,7,8,9}, a6 {1,3,5,7,9} Có khả năng: a1 lẻ: * a1 có cách chọn * a6 có cách chọn a a a a * sau chọn a1, a6, cần chọn , cách chọn ứng với chỉnh hợp chập phần tử Vậy khả thứ có: 6.4 A8 = 40320 số a1 chẵn: * a1 có cách chọn * a6 có cách chọn a a a a * có A8 cách chọn Vậy khả thứ hai có: 2.5 A8 = 16800 số Kết luận: Tất có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Số các số tự nhiên gồm chữ số khác viết từ chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, là: A5 = 300 Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số là: A54 = 120 Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chọn em nam: có C9 cách Chọn em nữ: có C6 cách Vậy có: C9 C6 = 1260 cách 32 (ĐH An ninh khối D 2001) Giả sử số có chữ số lập viết ô hình sau: (15) Thế thì: * Có cách chọn vị trí cho chữ số (trừ ô số 1) * Sau đã chọn vị trí cho số chữ ta còn C6 = 20 cách chọn vị trí cho chữ số * Sau đã chọn vị trí cho chữ số và chữ số 4, ta còn 3! = cách chọn cho chữ số còn lại Vậy số các số lập là: 6.20.6 = 720 số 33 (ĐH Cần Thơ 2001) Coi học sinh nam đứng liền vị trí mà thôi thì số cách để bố trí học sinh đứng liền xen kẽ với học sinh nữ 4! Nhưng để xếp học sinh nam đứng liền thì lại có 7! cách Vậy tất có: 4!7! = 120960 cách 34 (HV Chính trị quốc gia 2001) Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người và nhóm có số nữ tức là chia nhóm có người mà đó có nữ và nam số cách chia là: C6 C4 = 120 * Số cách chọn người mà không có nam là: C6 = * Số cách chọn người mà có nam (và nữ) là: C64 C14 = 60 Vậy số cách chọn người mà có không quá nam là: + 60 = 66 35 (ĐH Giao thông vận tải 2001) aa a a a a Giả sử số cần tìm có dạng: A = + Nếu a1 = thì các chữ số còn lại A là chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, Vậy có A7 = 2520 số + Nếu a1 ≠ thì vì a1 ≠ nên có cách chọn a1 Vì số phải có đúng vị trí còn lại là a 2, a3, a4, a5, a6 Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4) 4 còn A6 số khác Vậy trường hợp này có 6.5 A6 = 10800 số Vậy tất có: 2520 + 10800 = 13320 số 36 (ĐH Huế khối ABV 2001) Số các số tự nhiên có chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số Ta tìm số các số tự nhiên có chữ số lặp lại đúng lần: + Số lặp lại đúng lần ứng với số tự nhiên a000 với a {1,2,3, ,9} số + Số lặp lại đúng lần ứng với các số: * a111 với a {2,3,4, …,9} có số * 1b11 với b {0,2,3,…, 9} có số * 11c1 với c {0,2,3,…, 9} có số * 111d với d {0,2,3,…, 9} có số có (16) có + + + = 35 số + Tương tự với số từ đến ta tìm 35 số tự nhiên cho chữ số trên lặp lại đúng lần Do đó số các số tự nhiên có chữ số lặp lại đúng lần là: + 9.35 = 324 số Vậy số các số tự nhiên gồm chữ số mà đó không có chữ số nào lặp lại đúng lần là: 9000 – 324 = 8676 số 37 (ĐH Huế khối DHT 2001) * Số cách chọn em từ 13 em là: C13 = 1287 * Số cách chọn em toàn nam là: C7 = 21 * Số cách chọn em toàn nữ là: C6 = Vậy số cách chọn em có nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260 38 (HV Kỹ thuật quân 2001) Mỗi tổ có học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự tổ nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành tổ có học sinh đó phải có học sinh giỏi và ít học sinh khá Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai Trường hợp 1: Có học sinh khá: * Có cách chọn học sinh giỏi * Có C5 = 10 cách chọn học sinh khá * Có C8 = 56 cách chọn học sinh trung bình Có: 3.10.56 = 1680 cách Trường hợp 2: Có học sinh khá: * Có cách chọn học sinh giỏi * Có C5 = 10 cách chọn học sinh khá * Có C8 = 70 cách chọn học sinh trung bình Có: 3.10.70 = 2100 cách Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách 39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Ta sử dụng ô sau để viết số có chữ số: (17) Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0: Có cách chọn vị trí cho chữ số Sau đó còn cách chọn vị trí cho chữ số Số cách chọn chữ số cọn lại là: A5 Số các số thu là: 4.4 A5 = 960 số Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có cách chọn vị trí cho chữ số Số cách chọn chữ số còn lại là: A5 Số các số thu là: A5 = 600 số Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số 40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có cách chọn chữ số hàng trăm, cách chọn chữ số hàng chục, cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có 9.9.8 = 648 số Trường hợp 1: Chữ số tận cùng Bốn chữ số đứng đầu chọn tuỳ ý chữ số còn lại nên số các số tạo thành là: A7 = 840 Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác * Chữ số tận cùng có cách chọn (từ 2, 4, 6) * Chữ số đứng đầu có cách chọn * chữ số còn lại chọn tuỳ ý chữ số còn lại 41 42 43 44 Số các số tạo thành: 3.6 A6 = 2160 Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Số các số gồm chữ số khác là: 6! = 720 Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120 số các số có chứa 61 là 5! = 120 Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Đánh số vị trí đứng từ đến Để có đúng học sinh nam đứng xen kẽ với học sinh nữ thì học sinh nữ đứng cách một, tức là học sinh nữ đứng các vị trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9) Có cặp vị trí học sinh nữ Cách xếp bạn nữ vào cặp vị trí là 3! Cách xếp bạn nam vào vị trí còn lại là 6! Vậy tất số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách (HV Quan hệ quốc tế 2001) Ta có cách chọn vị trí cho chữ số Khi đó số cách xếp chữ số còn lại là 8! Vậy tất có: 8! = 40320 số (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) (18) aa a a a a Số xét có dạng: Xếp chữ số vào các vị trí từ a đến a6: có cách xếp Còn lại vị trí, ta chọn chữ số để xếp vào vị trí này: có A8 cách Vậy tất có: A8 = 33600 cách aa a a a a a Số xét có dạng: Chọn vị trí để xếp hai chữ số 2: có C7 cách Chọn vị trí để xếp ba chữ số 3: có C5 cách Còn vị trí, chọn chữ số tuỳ ý để xếp vào vị trí này: có 2! C8 cách Như xét các số bắt đầu chữ số thì có: C72 C35 2! C82 = 11760 số Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0a2a3 a4a5a6a7 Đối với các số : * Chọn vị trí để xếp chữ số 2: có C6 cách * Chọn vị trí để xếp ba chữ số 3: có C4 cách * Chọn số để xếp vào vị trí còn lại: có cách Như loại này có: C6 C4 = 420 số Vậy tất có: 11760 – 420 = 11340 số 45 (ĐHSP HN II 2001) Kí hiệu X là tập hợp tất các số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, aa a a a Xét x = X aa a a Nếu chọn a5 = thì ứng với chỉnh hợp chập phần tử 3, 4, 5, 7, có A5 số có hàng đơn vị là Tương tự có A5 số có hàng đơn vị là 3; … Tổng tất chữ số hàng đơn vị các phần tử x X là: (1 + + + + + 8) A5 = 3360 Lập luận tương tự, tổng tất chữ số hàng chục các phần tử x X là: 3360.10; … Vậy tổng tất các phần tử X là: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960 46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) 20 Số tập A là: C20 C20 C20 C20 = 220 (19) Số tập khác rỗng A có số phần tử chẵn là: 20 T = C20 C20 C20 20 Ta có: = (1 – 1)20 = C20 C20 C20 C20 20 19 C20 C20 C20 C20 = C20 C20 C20 20 20 C020 C20 C20 C20 C20 C20 C20 C20 = 220 C020 20 C C C 20 20 = T = 20 = 219 – 47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Xét các số chẵn x = abc với chữ số khác nhau; a, b, c {1;2;3;4;5} = E Vì x chẵn nên c {2;4} có cách chọn c Với cách chọn c, có A4 cách chọn bc Vậy tất có: A4 = 24 số chẵn Xét x = abc với chữ số khác thuộc E = {1;2;3;4;5;6} * Nếu a ≥ thì x > 345 * Nếu a = thì với chỉnh hợp chập (b,c) E \ {a} ta có x = abc < 345 Loại này có: A5 = 40 số b 1hoặc 2; c E \ a,b b 4; c 1hoặc * Nếu a = thì x = 3bc < 345 Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số 48 (ĐH Văn Lang 2001) Nếu học sinh phải có ít học sinh nữ và học sinh nam thì có trường hợp: * nam và nữ: có C10 C10 cách * nam và nữ: có C10 C10 cách Vậy tất có: C10 C10 = 10800 cách Nếu học sinh phải có ít học sinh nữ và học sinh nam thì có trường hợp: * nam và nữ: có C10 C10 cách * nam và nữ: có C10 C10 cách * nam và nữ: có C10 C10 cách * nam và nữ: có C10 C10 cách (20) Vậy tất có: C10 C10 + C10 C10 = 15000 cách 49 (ĐH Y HN 2001) Ta xét các trường hợp sau: Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, có cách chọn chữ số hàng đơn vị a) Chữ số hàng trăm nhỏ 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn cách chọn chữ số hàng trăm Sau đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn cách chọn chữ số hàng chục Số các số thu là: 3.5.7 = 105 số b) Chữ số hàng trăm 7: Sau chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn cách chọn chữ số hàng chục Số các số thu là: 3.6 = 18 số Chữ số hàng đơn vị là 8: a) Chữ số hàng trăm nhỏ 7: có cách chọn chữ số hàng trăm Sau đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn cách chọn chữ số hàng chục Số các số thu là: 6.7 = 42 số b) Chữ số hàng trăm 7: có cách chọn chữ số hàng chục Số các số thu là: số Vậy tất có: 105 + 18 + 42 + = 171 số 50 (ĐH khối D dự bị 2002) Tổng số cách chọn học sinh từ 18 em đội tuyển là: C18 = 43758 Tổng số cách trên phân làm hai phận rời nhau: Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển em cho khối có em chọn (số cách phải tìm) Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển em gồm khối (lưu ý là số em thuộc khối ít nên không có cách chọn nào mà em thuộc cùng khối) Bộ phận II có thể chia thành ba loại: em chọn từ khối 12 11: có C13 cách em chọn từ khối 12 10: có C12 cách em chọn từ khối 11 10: có C11 cách 8 8 Vậy số cách phải tìm là: C18 – ( C13 + C12 + C11 ) = 41811 cách 51 (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Ta coi cặp (2;3) là phần tử “kép”, đó có phần tử là 0, 1, (2; 3), 4, Số hoán vị phần tử này là P5, phải loại trừ số trường hợp phần tử vị trí đầu gồm P4 trường hợp Chú ý phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp nhân đôi Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P5 – P4) = 192 số 52 (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Coi số tự nhiên gồm chữ số khác chọn từ tập số đã cho có aa a a a a dạng: (ai {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ≠ aj ) cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – (21) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 21 = + + + + + = 2(a4 + a5 + a6) – a4 + a5 + a6 = 11 a1 + a2 + a3 = 10 (1) Vì a1, a2 a3 {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) có thể thoả mãn khả sau: a1, a2, a3 {1; 3; 6} a1, a2, a3 {1; 4; 5} a1, a2, a3 {2; 3; 5} Mỗi số a1, a2, a3 nêu trên tạo 3! hoán vị, và hoán vị đó lại ghép với 3! hoán vị số a4, a5, a6 Vì tổng cộng số các số tự nhiên gồm chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là: 3.3!.3! = 108 số 53 (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Có khả năng: nam và nữ: có C5 C7 cách nam và nữ: có C5 C7 cách 3 nam và nữ: có C5 C7 cách 3 Vậy tất có: C5 C7 + C5 C7 + C5 C7 = + 5.21 + 10.35 = 462 cách 54 (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 2, 4, 6, Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 6 phần tử Do đó có A8 số thuộc loại này Trường hợp chữ số đứng cuối là các chữ số 2, 4, 6, 8: thì chữ số còn lại là chỉnh hợp chập phần tử (kể số có chữ số đứng đầu) A68 A57 A6 A57 = 90720 số Vậy tất có: A8 + Vậy số các số loại này là: 55 (CĐ Sư phạm khối A 2002) a) Hai đường thẳng phân biệt có tối đa giao điểm Số giao điểm tối đa 10 đường thẳng phân biệt là C10 = 45 điểm b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa giao điểm Số giao điểm tối đa đường tròn phân biệt là C6 = 30 điểm Vì đường thẳng và đường tròn có tối đa 12 giao điểm Do đó số giao điểm tối đa 10 đường thẳng và đường tròn là: 10.12 = 120 Vậy số giao điểm tối đa tập hợp các đường đã cho là: 45 + 30 + 120 = 195 điểm 56 (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Một đoạn thẳng nối đỉnh đa giác tương ứng tổ hợp chập n phần tử Số đoạn thẳng nối đỉnh đa giác là: Cn Một đoạn thẳng nối đỉnh đa giác là cạnh là đường chéo (22) n(n 1) = 3n n2 – n = 6n n 7 n 0 (loại) n2 – 7n = Cn = n + 2n Vậy n = 57 (CĐ Xây dựng số – 2002) aa a Gọi số cần tìm là: x = Vì x < 245 nên a1 = a1 = 1a a a1 = 1: x= a2, a3 là chỉnh hợp chập phần tử: 2, 3, 4, Có: A4 = 4.3 = 12 số 2a2 a3 a1 = 2: x= a2 có khả năng: * a2 < a2 {1, 3} a2 có cách chọn, a3 có cách chọn số còn lại Có 2.3 = số * a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, a3 có cách chọn Có số 2a2a3 Có + = số x = Vậy có tất cả: 12 + = 20 số thoả yêu cầu đề bài 58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) aa a a Số cần tìm có dạng: Chọn a4 từ {1, 5, 9} có cách chọn Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} có cách chọn Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} có cách chọn Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} có cách chọn Vậy tất có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài 59 (ĐH khối B 2004) Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 3, nên có các trường hợp sau: 2 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó có C15 C10 C5 đề 2 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó có C15 C10 C5 đề 1 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó có C15 C10 C5 đề Vậy tất có: 2 C15 C10 C15 + C15 C10 C52 + C15 C10 C15 = 23625 + 10500 + 22750 = 56875 đề 60 (ĐH khối B 2005) (23) Có C3C12 cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ nhất, thì có C2C8 cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ và tỉnh thứ hai, thì có C1C4 cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ ba 4 Vậy tất có: C3C12 C2C8 C1C4 = 207900 cách phân công 61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1) aa a a a a Gọi x = là số cần lập YCBT: a3 + a4 + a5 = a3, a4, a5 {1, 2, 5} a3, a4, a5 {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5 {1, 2, 5} Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 Có 3! cách chọn a3, a4, a5 Có cách chọn a6 Có: 6.5.6.4 = 720 số x b) Khi a3, a4, a5 {1, 3, 4}, tương tự ta có 720 số x Vậy tất có: 720 + 720 = 1440 số x 62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Ta có các trường hợp: nữ và nam: có C5C10 = 2520 cách 4 nữ và nam: có C5 C10 = 1050 cách nữ và nam: có C5C10 = 120 cách Vậy tất có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách 63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2) aa a a a Cách 1: Gọi x = là số cần lập Trước tiên ta có thể xếp và vào vị trí: có A5 = 20 cách Sau đó, ta có cách chọn chữ số cho vị trí còn lại đầu tiên cách chọn chữ số cho vị trí còn lại thứ hai cách chọn chữ số cho vị trí còn lại thứ ba Vậy tất có: 20.5.4.3 = 1200 số Cách 2: * Bước 1: Xếp 1, vào vị trí: có A5 = 20 cách * Bước 2: có A5 = 60 cách xếp số còn lại vào vị trí còn lại Vậy có 20.60 = 1200 số 64 (ĐH khối D 2006) Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh đã cho là: C12 = 495 Số cách chọn học sinh mà lớp có ít em tính sau: (24) Lớp A có học sinh, các lớp B, C lớp học sinh 1 Số cách chọn là: C5C4C3 = 120 Lớp B có học sinh, các lớp A, C lớp học sinh: Số cách chọn là: C5C4C3 = 90 Lớp C có học sinh, các lớp A, B lớp học sinh: 1 Số cách chọn là: C5C4C3 = 60 Số cách chọn học sinh mà lớp có ít học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách 65 (CĐ GTVT III khối A 2006) Số cách chọn học sinh khối C là: C5 = 10 Chọn 13 học sinh số 25 học sinh khối A và B Số cách chọn bất kì là: C13 25 = 5200300 Số cách chọn học sinh khối A và học sinh khối B là: C15C10 10 Số cách chọn học sinh khối A và 10 học sinh khối B là: C15C10 Số cách chọn cho có nhiều học sinh khối A là: 10 C15 C10 + C15C10 = 13650 + 455 = 14105 Số cách chọn cho có ít học sinh khối A là: 10 C13 25 C15 C10 C15 C10 = 5186195 Vậy số cách chọn cho có ít học sinh khối A là: 10 C52 C13 25 C15 C10 C15 C10 = 51861950 66 (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Chọn vị trí xếp chữ số 0: có C4 cách Chọn vị trí xếp chữ số 1: có cách Chọn chữ số xếp vào vị trí còn lại: có cách 2 Vậy tất có: C4 A8 = 1008 số thoả yêu cầu đề bài 67 (CĐ Xây dựng số khối A 2006) Gọi ab là số tự nhiên phải tìm a ≠ Do ab chẵn nên b {0, 2, 4, 6, 8} Có trường hợp: * Nếu b = thì a {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} có cách chọn a có số a0 * Nếu b ≠ thì b {2, 4, 6, 8} có cách chọn b Khi đó có cách chọn a có 4.8 = 32 số ab (25) Vậy tất có: + 32 = 41 số cần tìm Đặt S là tổng 41 số đó S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88) 10 98 = 45 – 10.22 = 45.54 – 220 = 2210 68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Hai đỉnh thuộc d1, đỉnh thuộc d2: có C10 tam giác Hai đỉnh thuộc d2, đỉnh thuộc d1: có C8 10 tam giác 2 Vậy tất có: C10 + C8 10 = 640 tam giác Phần II BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON (CĐSP TPHCM 1999) k k 2 k 1 C14 C14 2C14 Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999) 10 Tính tổng: C10 C10 C10 C10 C10 k đó Cn là số tổ hợp chập k n phần tử (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999) Tìm các số nguyên dương x thoả: (ĐH Bách khoa HN 1999) n n Tính tổng: S = Cn 2Cn 3Cn 4Cn ( 1) nCn đó n là số tự nhiên lớn (ĐHQG HN khối A 2000) 1 1001 Ck2001 Ck2001 C1000 2001 C2001 Chứng minh rằng: (trong đó k nguyên, ≤ k ≤ 2000) (ĐHQG HN khối B 2000) Tìm số hạng không chứa x khai triển biểu thức sau: x3 3 x C1x 6C2x 6C3x 9x2 14x 17 ,x≠0 (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) A2x Ax2 C3x 10 x Giải bất phương trình: (ĐHSP HN khối A 2000) (26) n 28 x x x 15 , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào Trong khai triển nhị thức n n n x, biết Cn Cn Cn 79 (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất các hệ số khai triển nhị thức (x + 1)n 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển đó 10 (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) 1 n Cn0 C1n Cn2 Cn n 1 Tính tổng: S = 11 (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000) n 1 n n 3 n 4 n n Chứng minh: Cn Cn Cn Cn nCn n.3 12 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 1 x x Tìm hệ số x31 khai triển f(x) = 13 (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh với số nguyên n ≥ 2, ta luôn có: 1 1 n n A A3 A4 An 40 14 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14 Hãy tính hệ số a9 15 (ĐH Y Dược TPHCM 2000) Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau: n Cn Cn Cn Cn = 2n 2n 2n C2n C2n C2n C2n = C2n C2n C2n C2n 16 (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000) 2000 Tính tổng: S = C2000 2C2000 3C2000 2001C2000 17 (HV Kỹ thuật quân 2000) Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng: a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 Tìm max(a1, a2, …, a12) 18 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính tích phân: I= Từ đó chứng minh rằng: x(1 x n ) dx (n N*) (27) 1 1 ( 1)n n Cn Cn Cn Cn Cn 2(n 1) 2(n 1) 19 (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 20 (ĐH An Ninh khối A 2001) Tìm các số âm dãy số x1, x2, …, xn, … với An44 143 Pn2 4Pn xn = (n = 1, 2, 3, …) 21 (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001) Chứng minh với n là số tự nhiên, n ≥ 2, ta có: 1 n 2 A2 A3 An = n 22 (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001) 2Ayx 5Cyx 90 y 5A 2Cyx 80 Giải hệ phương trình: x 23 (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001) (x 2) dx Tính tích phân: I = 26 25 24 23 22 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 Tính tổng: S = 24 (ĐH Đà Lạt khối D 2001) n k C (2x 1)k n n Chứng minh với số x ta có: xn = k 0 (n N) (*) 25 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001) Với n là số tự nhiên, hãy tính tổng: 1 1 n n Cn0 C1n Cn2 22 Cn3 23 Cn.2 n 1 S= 26 (ĐH Hàng hải 2001) 2 4 2n 2n 2n 2n (2 1) Chứng minh: C2n C2n.3 C2n.3 C2n.3 27 (ĐH Luật TPHCM khối A 2001) Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, ta có: C1n 3n 2.Cn2 3n 3.Cn3 3n n.Cnn = n.4n–1 28 (ĐHSP HN khối A 2001) 1 x Trong khai triển 3 10 thành đa thức: (28) a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak R) hãy tìm hệ số ak lớn (0 ≤ k ≤ 10) 29 (ĐH Vinh khối AB 2001) k Cho n là số nguyên dương cố định Chứng minh Cn lớn k là n1 số tự nhiên lớn không vượt quá 30 (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng: 2000 C02001 32 C22001 34 C2001 32000 C2001 22000 (22001 1) 31 (ĐH Y Dược TPHCM 2001) Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: Cn2nk Cn2n k Cn2n 32 (ĐH khối A 2002) Cho khai triển nhị thức: 2 x x n 23 x n x C 2 2 C 2 Cn0 Cnn x n 2 x x n n n n x n 3 (n là số nguyên dương) Biết khai triển đó Cn 5Cn và số hạng thứ tư 20 Tìm n và x 33 (ĐH khối B 2002) Cho đa giác A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A 1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1, A2, …, A2n Tìm n? 34 (ĐH khối D 2002) Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 2C1n 4Cn2 2n Cnn = 243 35 (ĐH dự bị 2002) n Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An 2Cn ≤ 9n 36 (ĐH dự bị 2002) Giả sử n là số nguyên dương và: (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn ak ak ak 1 24 Biết tồn số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) cho Hãy tính n 37 (ĐH dự bị 2002) Gọi a1, a2, …, a11 là các hệ số khai triển sau: (x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Hãy tính hệ số a5 (29) 38 (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton n 5 3 x n1 n x , biết rằng: Cn4 Cn3 7(n 3) (n nguyên dương, x > 0) 39 (ĐH khối B 2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng: 22 1 23 2n1 n Cn0 Cn Cn Cn n 1 40 (ĐH khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n–3 là hệ số x 3n–3 khai triển thành đa thức (x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a3n–3 = 26n 41 (ĐH khối D 2003 dự bị 2) Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn2Cnn 2Cn2Cn3 Cn3Cnn = 100 42 (CĐ Xây dựng số – 2002) Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 2n C12n C32n C52n C2n C02n C2n C2n C2n 2n 43 (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) Giải phương trình: Cx 6Cx 6Cx = 9x2 – 14x 17 19 Chứng minh rằng: C20 C20 C20 C20 C20 = 219 44 (CĐ khối AD 2003) Chứng minh rằng: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 45 (CĐ Giao thông II 2003) Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 2, ta có: Cn0C1n Cnn 2n n n 46 (CĐ Giao thông III 2003) n n Tính tổng:S = Cn 2Cn 3Cn 4Cn ( 1) nCn (n > 2) 1 n Cn0 C1n Cn2 Cn n 1 Tính tổng:T = biết n là số nguyên dương thoả điều kiện: Cnn Cnn Cnn 79 47 (CĐ Tài chính kế toán IV 2003) C02Ckn C12Ckn 12 C22Cnk 22 Ckn Chứng minh rằng: (với n, k Z+;n ≥ k + 2) 48 (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị) n n n Giải bất phương trình: (n!) Cn C2n C3n 720 49 (CĐ Công nghiệp HN 2003) (30) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003 Khai triển đa thức đó dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003 Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2003 50 (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003) An3 2Cn2 16n Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: 51 (CĐ Nông Lâm 2003) Tìm hệ số lớn đa thức khai triển nhị thức Newton của: 15 1 x 3 52 (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003) Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x) 2n, với n là số nguyên dương Từ đó chứng minh rằng: 2n 1C12n 3C32n (2n 1)C2n 2C22n 4C42n 2nC2n 2n 53 (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1 + x2(1 – x)]8 54 (ĐH khối D 2004) Tìm các số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton của: 3 x4 x với x > 55 (ĐH khối A 2005) Tìm số nguyên dương n cho: 2 3 2n 2n1 C12n1 2.2C2n 1 3.2 C2n1 4.2 C2n1 (2n 1).2 C2n1 = 2005 56 (ĐH khối D 2005) An41 3An3 Tính giá trị biểu thức: M = (n 1)! 2 2 biết Cn1 2Cn2 2Cn3 Cn4 = 149 57 (ĐH khối A 2005 dự bị 2) Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 – 3x)2n, đó n là số nguyên 2n1 dương thoả mãn: C2n1 C2n1 C2n1 C2n1 1024 58 (ĐH khối D 2005 dự bị 1) k Tìm k {0; 1; 2; …; 2005} cho C2005 đạt giá trị lớn 59 (ĐH khối D 2005 dự bị 2) 2 Tìm số nguyên n > thoả mãn đẳng thức: 2Pn + An Pn An = 12 60 (ĐH khối A 2006) Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Newton n 7 x n 20 x , biết rằng: C2n1 C2n1 C2n1 (31) 61 (ĐH khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k{1,2,…, n} cho số tập gồm k phần tử A là lớn 62 (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006) x x Cy : Cy2 Cx : Ax y y 24 Giải hệ phương trình: 63 (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) 1 n n n C4 C5 C6 Tìm số tự nhiên n cho: 64 (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) 1.Cn0 Tính tổng S = A11 2.C1n A12 3.Cn2 A13 (n 1).Cnn A1n1 Biết rằng: Cn Cn Cn 211 65 (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta đa thức có dạng: a0 + a1x + a2x2 + … + anxn Tìm hệ số x5, biết a0 + a1 + a2 = 71 66 (CĐ Điện lực TPHCM 2006) n 1 x x , biết rằng: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức C1n Cn3 13n (n là số tự nhiên lớn 2, x là số thực khác 0) 67 (CĐ Kinh tế TPHCM 2006) 2n Tìm n N cho: C4n2 C4n2 C4n2 C4n2 256 68 (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) 20 10 1 1 x x x x Cho A = Sau khai triển và rút gọn thì biểu thức A gồm bao nhiêu số hạng? 69 (CĐ KT Y tế I 2006) Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau: 2 2k 2n 2n C02n C2n C2k C2n C2n 215 (216 1) 2n 2n 2n 70 (CĐ Xây dựng số 2006) n n n n n Chứng minh: Cn Cn ( 1) Cn Cn Cn Cn 71 (CĐ KT Y tế 2005) 2 Giải bất phương trình: 2Cx 1 3Ax 20 (32) 72 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tìm hệ số x29y8 khai triển (x3 – xy)15 73 (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta đa thức có dạng: a0 + a1x + a2x2 + … + anxn Tìm hệ số x5, biết a0 + a1 + a2 = 71 BÀI GIẢI (CĐSP TPHCM 1999) k k 2 k 1 C14 C14 2C14 (0 ≤ k ≤ 12, k N) 14! 14! 14! 2 (k 1)!(13 k)! k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! 1 2 (k 1)(13 k) (14 k)(13 k) (k 1)(k 2) (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) k2 – 12k + 32 = k = k = Vậy: k = k = (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999) 10 = C10 C10 C10 C10 C10 1 10 10 10 C10 C10 C10 C10 C10 C10 2 = = = 386 (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999) S C1x 6C2x 6C3x 9x2 14x (x N, x ≥ 3) x + 3x2 – 3x + x3 – 3x2 + 2x = 9x2 – 14x x 0 (loại) x (loại) x 7 (nhaän) x(x2 – 9x + 14) = (ĐH Bách khoa HN 1999) Vậy: x = n n S = Cn 2Cn 3Cn 4Cn ( 1) nCn (n > 2) Xét đa thức p(x) = (1 – x)n Khai triển theo công thức Newton ta được: n p(x) = (1 – x)n = ( 1)k Cnk xk k 0 Suy ra: – p(x) = n(1 – x)n–1 = n ( 1)k 1.kCkn.xk k 1 (33) n Cho x = ta được: 0= ( 1)k 1.kCkn k 1 n n = Cn 2Cn 3Cn 4Cn ( 1) nCn = S Vậy: S = (ĐHQG HN khối A 2000) Ta chứng tỏ: 2000 1999 1000 1001 C02001 C2001 2001 C2001 C2001 C2001 C2001 C2001 C2001 k k 1 Thật vậy, cần chứng tỏ: C2001 C2001 (1) với k = 0, 1, 2, …, 999 2001! 2001! Ta có: (1) k!(2001 k)! (k 1)!(2000 k)! (k + 1) < 2001 – k 2k < 2000 k < 1000 đúng vì k = 0, 1, 2, …, 999 k 1000 k 1001 k 1000 Vì vậy: C2001 C2001 ,k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức ) k 999 k 1000 k 1 1001 và: C2001 C2001 , k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức ) k k 1 1000 1001 C2001 C2001 C2001 C2001 (đẳng thức k = 1000) (ĐHQG HN khối B 2000) Số hạng tổng quát khai triển là: 17 k 3 k x4 k C17 x k C17 17 34 12 k x4 17 34 k 0 Để số hạng không chứa x thì 12 k=8 (k N, ≤ k ≤ 17) Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ khai triển và C17 (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) x N 2 2x x N x x 3 3 x Điều kiện: A2x Ax2 C3x 10 x Ta có: x(x 1)(x 2) 10 1.2.3 2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ x x2 ≤ x2 – 3x + 12 x ≤ Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = (34) (ĐHSP HN khối A 2000) n n n * Xác định n: Cn Cn Cn 79 + n + n 12 n 13 (loại) 12 28 x x x 15 * Ta có: 12 k 0 k 4 k 3 C12 x n(n 1) = 79 12 k 28 x 15 48 112 k 0 15 Số hạng không phụ thuộc x k = 48 12 = k 15 x C12 k 0 Vậy số hạng cần tìm là: C12 = 792 (ĐHSP HN khối BD 2000) n Cknx2k Ta có: (x2 + 1)n = k 0 (1) Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn phương trình: x12 = x2k k = n Trong (1) cho x = thì Ckn k 0 = 2n n Từ giả thiết Ckn k 0 = 1024 2n = 1024 n = 10 Vậy hệ số cần tìm là: C10 = 210 10 (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) n (1 x) dx * Ta có: I = *I= 2n1 n 1 (Cn0 0 (1 x)n1 n1 C1nx Cnnxn )dx xn1 x Cnn Cn x Cn n 1 = 1 Cn0 C1n Cn2 Cnn n = =S 2n1 Vậy: S = n 11 (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000) 2 3 4 n n Ta có: (1 + x)n = Cn Cnx Cn x Cn x Cn x Cnx Lấy đạo hàm hai vế: n n n(1 + x)n–1 = Cn 2Cn x 3Cn x 4Cn x nCnx k 112 (35) Thay x = , ta được: 3n n n C1n 2Cn2 2 3Cn3 2 4Cn4 2 nCnn 2 n1 n 1 n n 3 n 4 n n Cn Cn 3.2 Cn 4.2 Cn nCn n.3 12 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 1 x x 40 40 = Hệ số x31 là 1 Ck40xk x2 40 k k 0 40 = Ck40x3k 80 k 0 Ck40 với k thoả mãn điều kiện: 3k – 80 = 31 k = 37 40.39.38 C37 40 C40 31 1.2.3 = 40.13.19 = 9880 Vậy: hệ số x là 13 (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh phương pháp qui nạp 1 A22 2 A * Với n = 2, đpcm đúng * Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có: 1 1 k k A A3 A Ak Ta cần chứng minh BĐT đúng với n = k + 1 1 1 k 1 k 1 k A A3 A Ak Ak 1 Ak 1 k (k 1)k Thật vậy, = (k 1) k k 1 = (k 1)k A22 A32 A42 Vậy: 14 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) An2 n n , n ≥ 9 9 a9 = + C10 C11 C12 C13 C14 = + C10 C11 C12 C13 C14 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10 24 120 = + 10 + = 3003 15 (ĐH Y Dược TPHCM 2000) 2 n n (1 + x)n = Cn Cn x Cn x Cnx n Cho x = Cn Cn Cn Cn = 2n (36) 2 3 2n 2n (1 – x)2n = C2n C2nx C2nx C2nx C2nx Cho x = đpcm 16 (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000) 2000 Có (x + 1)2000 = i0 Ci2000xi (1) 2000 Trong (1) cho x = ta i0 Ci2000 = 22000 Đạo hàm vế (1) theo x, ta có: 2000.(x + 1) 2000 i1 Cho x = ta được: 2000 2000 1999 = i1 i.Ci2000 xi i.Ci2000 Ci2000 2000 = 2000.21999 = 1000.22000 i.Ci2000 i1 Do đó: S = i0 = 1001.22000 17 (HV Kỹ thuật quân 2000) P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 23 k k C 12 ak = ; ak < ak+1 k < max(ai ) a8 C12 i1,12 = 126720 18 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính I cách: * Đổi biến: t = – x2 dt = –2xdx n t dt 1 n t dt 0 I= = * Khai triển nhị thức: x(1 – x2)n = x n C = 1 tn1 2(n 1) 2(n 1) C1nx2 Cn2 x4 Cn3 x6 ( 1)n Cnnx 2n I= 2n2 x2 x x x n n x Cn Cn Cn Cn ( 1) Cn 2n 1 1 ( 1)n n Cn Cn Cn Cn Cn 2(n 1) = Từ đó suy đẳng thức cần chứng minh (37) 19 (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Hệ số x5 khai triển biểu thức: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 6! 7! 5 C C C 5!1! 5!2! =1+ là: = 28 20 (ĐH An Ninh khối A 2001) Ta phải tìm các số tự nhiên n > thoả mãn: An44 143 Pn 4Pn 143 xn = <0 (n + 3).(n + 4) – < 19 n 2 4n + 28n – 95 < Vì n là số nguyên dương nên ta n = 1, các số hạng âm dãy là x1, x2 21 (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001) 1 1 n! An2 n(n 1) n n 1 (n 2)! = n(n – 1) An Ta có: Thay n 2, 3, … ta được: 1 1 n A2 A3 An 2 n n n n (đpcm) = 22 (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001) 2u 5v 90 u 20 y y 5u 2v 80 v 10 Đặt u = Ax ; v = Cx Mà u = y!v y! = y = x x! A2x x(x 1) 20 x (loại) (x 2)! x2 – x – 20 = x 5 y 2 Vậy 23 (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001) (x 2) dx I = Ta có: I = = C6 37 27 (x 2) dx = (x 2)7 = C16 25 x C62 24 x2 C36 23 x3 C64 22 x4 C56 2x5 C66 x6 dx (38) = 26 25 24 23 22 5 6 C6 x C6 x C6x C6 x C6 x C6 x C6 x 26 25 24 23 22 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 = =S 7 Vậy: S = 24 (ĐH Đà Lạt khối D 2001) Đặt u = 2x – 1, ta được: n n k k u 1 n Cnu k 0 (*) (u + 1)n = 25 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001) Có n Cknuk k 0 Đẳng thức đúng k k 1 Cn Ckn xk 1 Cknxk dx k 1 2(k 1) 20 1 1 n n Cn0 C1n.2 Cn2 22 Cn3 23 Cn.2 n 1 S= 2 n n k k k k n k k C C x dx Cnx dx n n 0 k 0 k 0 k k 0 = = 1 (x 1)n1 (x 1)ndx 20 n1 = 26 (ĐH Hàng hải 2001) 3n1 = 2(n 1) 1 2 2n n (1 + 3)2n = C2n C2n C2n C2n.3 Ta có: 1 2 2n n (1 – 3)2n = C2n C2n C2n.3 C2n.3 Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được: 2n +2 2n 2n C =2 2n C2n 32 C2n 2n.3 2 4 2n 2n 2n 2n (2 1) Từ đó ta được: C2n C2n.3 C2n.3 C2n.3 27 (ĐH Luật TPHCM khối A 2001) n n n n Xét hàm số: f(x) = (x + 3)n = Cn Cn x Cn.x n n n n Ta có: f(x) = n(x + 3)n–1 = Cn 2Cn x nCnx Cho x = 1, ta được: n n 3.Cn3 3n n.Cnn (đpcm) f(1) = n.4n–1 = Cn 2.Cn 28 (ĐHSP HN khối A 2001) (39) Ta có: ak–1 ≤ ak k k C10 k C10 2k 22 k ≤ 2(11 – k) k ≤ 10 Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7 = 29 (ĐH Vinh khối AB 2001) (k 1)!(11 k)! k!(10 k)! C10 27 n! n! k k C C k!(n k)! (k 1)!(n k 1)! Ta có: n = và n = n k 1 n1 1 k k C C n n k Do đó: > k< Bảng biến thiên: Ckn k Cn lớn k là số tự nhiên lớn không vượt quá 30 (ĐH Vinh khối DTM 2001) Ckn n k 1 k n1 2001 Ta có: 2001 (x + 1) = Ck2001.xk k 0 2001 (–x + 1)2001 = Cộng lại ta được: (x + 1)2001 + (–x + 1)2001 = = Ck2001.( x)k k 0 2 4 2000 2000 C2001 2001 x C2001 x C2001 x C Cho x = ta được: 42001 – 22001 = 2 4 2000 2000 C2001 2001 C2001 C2001 C 2 4 2000 2000 C2001 22000 (22001 1) C2001 C2001 C2001 31 (ĐH Y Dược TPHCM 2001) n n Đặt ak = C2nk C2n k với ≤ k ≤ n Ta chứng minh rằng: a0 > a1 > … > an (1) Thật vậy, ta có BĐT ak > ak+1 với ≤ k ≤ n – (2) (2n k)! (2n k)! (2n k 1)! (2n k 1)! n!(n k)! n!(n k)! n!(n k 1)! n!(n k 1)! (40) 2n k 2n k n k 1 n k (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1) 2nk + n > Ta BĐT đúng (2) đúng (1) đúng Cn2nk Cn2n k Cn2n Do đó: ak = Dấu “=” xảy k = 32 (ĐH khối A 2002) = a0 n! n! n(n 1)(n 2) 5 5n C 5C (n 1)! n ta có n ≥ và 3!(n 3)! Từ n n (loại) n 7 n2 – 3n – 28 = x C7 2 x 23 Với n = ta có: = 140 35.22x–2.2–x = 140 2x–2 = x = Vậy n = 7, x = 33 (ĐH khối B 2002) Số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1, A2, …, A2n là C2n Gọi đường chéo đa giác A 1A2…A2n qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1, A2, …, A2n có các đường chéo là hai đường chéo lớn Ngược lại, với cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút chúng là đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói trên số cặp đường chéo lớn đa giác A1, A2, …, A2n, tức Cn Theo giả thiết thì: (2n)! n! C32n 20Cn2 20 3!(2n 3)! 2!(n 2)! 2n(2n 1)(2n 2) n(n 1) 20 2n – = 15 n = 34 (ĐH khối D 2002) n Ta có: (x + 1)n = Cknxk k 0 Cho x = ta được: 3n = 35 (ĐH dự bị 2002) BPT n Ckn 2k k 0 3n = 243 n = n 3 n(n - 1)(n - 2) + n(n - 1) 9n n 3 n - 2n - 0 (41) ≤ n ≤ n = n = 36 (ĐH dự bị 2002) ak ak ak 1 24 (1) (1 ≤ k ≤ n – 1) Ta có: Ckn Ckn Ckn1 24 n! n! n! (k 1)!(n k 1)! k!(n k)! 24 (k 1)!(n k 1)! 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)! 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k 2n k 11 2(n k 1) 9k k 3n 9(n k) 24(k 1) 11 Để tồn k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện có và đủ là: 3n – = 2n + n = 10 37 (ĐH dự bị 2002) 9 Ta có: (x + 1)10 = x10 + C10 x C10 x C10 x C10 x 1 10 9 (x + 1)10(x + 2) = x11 + C10 x C10 x C10 x C10 x x + + = x11 + x10 C110x9 C10 x C10 x C10 x 1 C10 2 x9 C10 C10 2 x8 C110 2 x10 C10 2 x C10 C10 x C9 C10 + 10 + 10 +2 = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Vậy a5 = C10 2C10 = 672 38 (ĐH khối A 2003) n1 n Cnn13 Cnn3 Cnn3 7(n 3) Ta có: Cn4 Cn3 7(n 3) (n 2)(n 3) 2! = 7(n + 3) n + = 7.2! = 14 n = 12 Số hạng tổng quát khai triển là: k C12 (x )k 12 k x k C12 x 60 11k 60 11k =x = k = 12! C12 4!(12 4)! = 495 Do đó hệ số số hạng chứa x8 là Ta có: x 60 11k (42) 39 (ĐH khối B 2003) 2 n n Ta có: (1 + x)n = Cn Cn x Cn x Cnx n 2 (1 x) dx Cn Cnx Cn x 1 Cnnxn dx 2 x2 x3 xn1 (1 x)n1 Cn0 x C1n Cn2 Cnn n1 n 1 22 1 23 2n1 n 3n1 2n1 Cn0 Cn Cn Cn n 1 n1 = 40 (ĐH khối D 2003) Ta có: 2n 2n Cn2 x2n Cnn (x2 + 1)n = Cn x Cnx n n 2 n 23 Cn3 xn 2n Cnn (x + 2)n = Cn x 2Cnx Cn x Dễ dàng kiểm tra n = 1, n = không thoả mãn điều kiện bài toán Với n ≥ thì x3n–3 = x2nxn–3 = x2n–2xn–1 Do đó hệ số x3n–3 khai triển thành đa thức của: (x2 + 1)n(x + 2)n 3 1 là: a3n–3 = Cn Cn 2.Cn Cn n 5 2n(2n2 3n 4) n (loại) 26n a3n–3 = 26n Vậy: n = 41 (ĐH khối D 2003 dự bị 2) Ta có: Cn2Cnn 2Cn2Cn3 Cn3Cnn = 100 Cn2 2Cn2 Cn3 Cn3 Cn2 Cn3 100 100 Cn Cn 10 n(n 1) n(n 1)(n 2) 10 3n(n – 1) + (n2 – n)(n – 2) = 60 (n2 – n)(n + 1) = 60 (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5 n = 42 (CĐ Xây dựng số – 2002) Ta có khai triển: 2n 2n 1 2n C22nx2n C2n 2n x C2n (x + 1)2n = C2nx C2nx Cho x = –1 ta được: (43) 2n 2n = C2n C2n C2n C2n C2n C2n C2n 2n 2n C2n C2n C2n C2n C2n C2n 43 (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) x 1 x x 3 x N x 3 x N Điều kiện: x! x! 6 3!(x 3)! = 9x2 – 14x PT x + 2!(x 2)! x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x x (loại) x (loại) x 2 x(x – 9x + 14) – x=2 Cách 1: 2 19 19 20 20 * Ta có: (1 – x)20 = C20 C20 x C20 x C20 x C20 x 19 20 Cho x = ta có: C20 C20 C20 C20 C20 = 0 20 19 C20 C20 C20 C20 C20 C20 Đặt: A=B 20 A = C20 C20 C20 ; (1) 19 B = C20 C20 C20 2 19 19 20 20 * Ta có: (1 + x)20 = C20 C20 x C20 x C20x C20 x 19 20 Cho x = ta có: C20 C20 C20 C20 C20 = 220 A + B = 220 (2) 220 Từ (1) và (2) suy A = = 219 (đpcm) k k k Cách 2: Áp dụng công thức Cn1 Cn Cn và Cn 1 , ta được: 19 C120 C320 C520 C17 20 C20 = 16 17 18 19 = C19 C19 C19 C19 C19 C19 C19 C19 = (1 + 1)19 = 219 44 (CĐ khối AD 2003) Cách 1: Ta có: Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 + … + 2P2 + P1] = = (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! (44) = (n – 1)![n – (n – 1)] – … – 2.2! – 1! = (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – … – 2.2! – 1! = … = 2! – 1.1! = Vậy: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – Cách 2: Chứng minh qui nạp: * Với n = 1, ta có P1 = P2 – 1! = 2! – Mệnh đề đúng * Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k > 1), tức là ta có: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk = Pk+1 – * Ta cần ch minh: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – Thật vậy, P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – + (k +1)Pk+1 = (k + 2)Pk+1 – = Pk+2 – (đpcm) 45 (CĐ Giao thông II 2003) n n n Do Cn Cn 1 nên ta có: Cn Cn Cn CnCn Cn Áp dụng BĐT Côsi ta có: C1 Cn2 Cnn C1nCn2 Cnn n n n n n Áp dụng khai triển (a + b) = Cn0 C1n Cn2 Cnn Cknakbn k k 0 = 2n 2n n Suy ra: 46 (CĐ Giao thông III 2003) C1nCn2 Cnn C1n với a = b = 1, ta có: Cn2 n Cnn = 2n – (đpcm) 2 3 n n Ta có: (1 + x)n = Cn Cn x Cn x Cn x Cn x Đạo hàm vế, ta được: n n n(1 + x)n–1 = Cn 2Cn x 3Cn x nCnx Cho x = –1 n n = Cn 2Cn 3Cn 4Cn ( 1) nCn Vậy S = 0 2 3 n n Ta có: (1 + x)n = Cn Cn x Cn x Cn x Cn x 1 0 n 2 3 n n (1 x) dx Cn Cnx Cn x Cn x Cnx dx (1 x)n1 n 1 1 1 n n1 Cn0 x C1nx2 Cn2 x3 Cn x n 1 0 (45) 2n1 1 1 n Cn0 C1n Cn2 Cn n n 1 2n1 Do đó: T = n n N, n n(n 1) 1 n 79 79 n = 12 n n n Ta có: Cn Cn Cn 213 Vậy: T = 13 47 (CĐ Tài chính kế toán IV 2003) k k k k k k k Vế trái = Cn Cn Cn Cn = Cn Cn = Cn 48 (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị) Điều kiện: n Z, n ≥ (2n)! (3n)! (n!)3 720 n!n! (2n)!n! BPT (3n)! ≤ 720 Ta thấy (3n)! tăng theo n và mặt khác 6! = 720 ≥ (3n)! 0 n n Z Do đó: BPT có nghiệm 49 (CĐ Công nghiệp HN 2003) 2003 P(x) 2003 = (16x – 15) 2003 = k 0 = k 0 Ck2003 (16x)2003 k ( 15)k Ck2003 (16)2003 k ( 15)k x2003 k k 2003 k ( 15)k Các hệ số khai triển đa thức là: ak = C2003 (16) 2003 ak 2003 Ck2003 (16)2003 k ( 15)k k 0 Vậy: S = k 0 = (16 – 15)2003 = 50 (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003) Điều kiện: n N, n ≥ n! n! 2 16n (n 3)! 2!(n 2)! PT n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n n 5 n (loại) n2 – 2n – 15 = vậy: n = 51 (CĐ Nông Lâm 2003) (46) 15 k k 15 15 k 15 k k k 1 1 C x C x 15 15 x 3 3 315 k 0 Ta có: 3 = k 0 Gọi ak là hệ số xk khai triển: k k C 15 15 ak = ; k = 0, 1, 2, …, 15 Xét tăng giảm dãy ak: k k k k k k ak–1 < ak C15 C15 C15 2C15 32 k < , k = 0, 1, , 15 Từ đó: a0 < a1 < a2 < … < a10 Đảo dấu BĐT trên ta được: 32 ak–1 > ak k > a10 > a11 > … > a15 210 210 10 C 3003 15 15 315 Vậy hệ số lớn phải tìm là: a10 = 52 (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003) Ta có: 2 3 4 2n 2n 2n C2n 2nx (1 – x)2n = C2n C2nx C2n x C2nx C2nx C2n x Đạo hàm vế theo x, ta có: –2n(1 – x)2n–1 = 2n 2n 2n 2nC2n 2nx = C2n 2C2nx 3C2nx 4C2nx (2n 1)C2n x Thế x = vào đẳng thức trên, ta có: 2n 2n = C2n 2C2n 3C2n 4C2n (2n 1)C2n 2nC2n 2n 2n Vậy: 1C2n 3C2n (2n 1)C2n 2C2n 4C2n 2nC2n 53 (ĐH khối A 2004) 2 Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 = C8 C8 x (1 x) C8 x (1 x) C8 x (1 x) + 10 12 14 16 + C8 x (1 x) C8x (1 x) C8x (1 x) C8x (1 x) C8x (1 x) Bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Vậy x8 có các số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là: C38 C32 ; C84 C04 Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238 54 (ĐH khối D 2004) 3 x4 x = Ta có: Ck7 x k 0 7 k k 4 x = Ck7 x k 0 28 7k 12 (47) Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Z, ≤ k ≤ 7) thoả mãn: 28 7k 0 12 k=4 Vậy số hạng không chứa x cần tìm là: C7 = 35 55 (ĐH khối A 2005) 2 3 2n1 2n1 Ta có: (1 + x)2n+1 = C2n1 C2n1x C2n1x C2n1x C2n1x Đạo hàm vế ta có: 2n1 2n (2n + 1)(1 + x)2n = C2n1 2C2n1x 3C2n1x (2n 1)C2n1x Thay x = –2, ta có: 2 2n 2n1 C12n1 2.2C2n 1 3.2 C2n1 (2n 1)2 C2n1 = 2n + Theo giả thiết ta có: 2n + = 2005 n = 1002 56 (ĐH khối D 2005) Điều kiện: n ≥ 2 2 Ta có: Cn1 2Cn2 2Cn3 Cn4 = 149 (n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)! 2 2 149 2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)! n 5 n (loại) n2 + 4n – 45 = Vậy: n = 57 (ĐH khối A 2005 dự bị 2) 2 3 2n1 2n1 Ta có: (1 + x)2n+1 = C2n1 C2n1x C2n1x C2n1x C2n1x 2n1 Cho x = ta có: 22n+1 = C2n1 C2n1 C2n1 C2n1 C2n1 Cho x = –1 ta có: = C02n1 Lấy (1) – (2) 22n+1 = C12n1 C2n 1 C32n1 2n1 C12n1 C32n1 C2n 1 2n1 22n = C2n1 C2n1 C2n1 = 1024 2n = 10 10 Ta có: (2 – 3x)10 = k 10 k (3x)k ( 1)k C10 k 0 7 Suy hệ số x7 là C10 58 (ĐH khối D 2005 dự bị 1) 1 Ck2005 Ck2005 (k N) k k Ck2005 lớn C2005 C2005 2n1 C2n 1 (2) (1) (48) 2005! 2005! k!(2005 k)! (k 1)!(2004 k)! 2005! 2005! k!(2005 k)! (k 1)!(2006 k)! k 1002 k 1003 1002 ≤ k ≤ 1003, k N k = 1002 k = 1003 59 (ĐH khối D 2005 dự bị 2) k 2005 k 2006 k k 2 Ta có: 2Pn + An PnAn = 12 (n N, n > 1) 6.n! n! n! n! 12 (6 n!) 2(6 n!) 0 (n 2)! (n 2)! (n 2)! 2n! + n! 0 n! n! 6 0 n(n 1) 0 (n 2)! n 3 n (vì n 2) Vậy: n = n = 60 (ĐH khối A 2006) n 3 n n 0 n 20 Từ giả thiết suy ra: C2n1 C2n1 C2n1 C2n1 Vì Ck2n1 (1) 2n1 k C2n 1 , k, ≤ k ≤ 2n + nên: 2n1 C02n1 C12n1 C22n1 Cn2n1 C02n1 C12n1 C2n 1 C2n1 Từ khai triển nhị thức Newton (1 + 1)2n+1 suy ra: 2n1 2n1 C02n1 C12n1 C2n 22n1 1 C2n1 (1 1) từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 n = 10 10 7 x Ta có: x 10 k 10 k k 11k 40 C10 (x )10 k x7 C10 x k 0 k 0 k Hệ số x26 là C10 với k thoả mãn: 11k–40 = 26 k = 6 Vậy hệ số x26 là C10 = 210 61 (ĐH khối B 2006) k Số tập k phần tử tập hợp A Cn Từ giả thiết suy ra: Cn4 20Cn2 n2 – 5n – 234 = n = 18 (vì n ≥ 4) (2) (3) (49) k 1 C18 Do k C18 18 k 1 k 1 k < 9, nên: C18 C18 C18 10 18 C18 C18 C18 Vậy số tập gồm k phần tử A là lớn và k = 62 (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006) ĐK: x N, y N*, x ≤ y Từ phương trình thứ hai suy x = Thay vào phương trình thứ ta được: y 1(loại) y 8 y2 – 9y + = Vậy: x = 4; y = 63 (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) ĐK: n N, n ≤ 1 n!(4 n)! n!(5 n)! n!(6 n)! n n n C4 C5 C6 4! 5! 6! n 15 (loại) n 2 n2 – 17n + 30 = Vậy: n = 64 (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) n N,n n(n 1) 1 n 211 C C C 211 n n n n N,n n n 420 0 n = 20 (k 1).Ckn A1k1 (k 1)Ckn Ckn (k 1)! k! (k = 1, 2, …, n) 20 Do đó: với n = 20 ta có: S = C20 C20 C20 = 220 65 (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) k k k Số hạng thứ k + khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = Cn ( 2) x Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Cn 2Cn 4Cn 71 n N, n n N, n n(n 1) 1 2n 71 n 2n 35 n=7 Với n = 7, ta có hệ số x khai triển (1 – 2x)n là: 5 a5 = C7 ( 2) = – 672 (50) 66 (CĐ Điện lực TPHCM 2006) n(n 1)(n 2) n 13n C C 13n n Ta có: n n 10 n (loại) n2 – 3n – 70 Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là: k 10 k k k 20 5k (x ) C10 x Tk+1 = C10 (x ) Tk+1 không chứa x 20 – 5k = k = 4 Vậy số hạng không chứa x là: T5 = C10 = 210 67 (CĐ Kinh tế TPHCM 2006) Cách 1: Ta có: 4n2 4n2 C04n2 C14n2 C4n 2 C4n2 2 4n2 4n1 C04n2 C4n 2 C4n2 C4n2 2n 4n C04n2 C24n2 C4n 2 C4n2 Vậy có: = 256 n = 4n 2n Cách 2: Đặt Sn = C4n2 C4n2 C4n2 C4n2 2n Thì Sn+1 = C4n6 C4n6 C4n6 C4n6 2k 2k Vì C4n6 C4n2 (0 ≤ k ≤ n) nên Sn+1 > Sn dãy (Sn) tăng Khi n = thì S2 = C10 C10 C10 = 256 Vậy Sn = 256 n = 68 (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) 1 x x A= 20 = 20 1 x3 x ( 1)k Ck20x20 k x k k 0 20 1 k 10 10 10 n 3 ( 1)n C10 x 10 k x n n0 n n 30 4n Ck20 x20 3k 1 C10 x n0 = k 0 Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n 10 – n = 3(n – k) Vì ≤ n ≤ 10 và 10 – n phải là bội số nên n = hay n= hay n= 10 có số hạng hai khai triển trên có luỹ thừa x giống Vậy sau khai triển và rút gọn thì biểu thức A gồm: 21 + 11 – = 29 số hạng 69 (CĐ KT Y tế I 2006) 1 2 2n 2n 2n C2n 2n Ta có: 42n = (1 + 3)2n = C2n C2n C2n C2n 1 2 2n 2n 2n C2n 2n 22n = (1 – 3)2n = C2n C2n C2n C2n (51) 2n C02n C22n 32 C2n 2n 42n + 22n = 42n + 22n = 2.215(216 + 1) (22n – 216)(22n + 216 + 1) = 22n = 216 n = 70 (CĐ Xây dựng số 2006) Theo khai triển nhị thức Newton ta có: n n n n (a + b)n = Cn a Cna b Cnb n n n n Với a = 3, b = – 2n = (3 – 1)n = Cn Cn ( 1) Cn Với a = 1, b = 1 n 2n = (1 + 1)n = Cn Cn Cn n n n n n Vậy: Cn Cn ( 1) Cn Cn Cn Cn 71 (CĐ KT Y tế 2005) ĐK: x N, x ≥ (x 1)! x! 3 20 (x 2)! BPT 2!(x 1)! x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 2x – x – 10 < – < x < Kết hợp điều kiện x = 72 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) k k 45 2k k y Số hạng tổng quát: C15 ( 1) x 45 2k 29 k 8 k=8 Vậy hệ số x29y8 là: C15 = 6435 73 (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Số hạng thứ k + khai triển (1 – 2x)n là: k k k Tk+1 = Cn ( 2) x Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Cn 2Cn 4Cn = 71 n N, n n N, n n(n 1) 2n 71 n 2n 35 n = (52) (53)