Và un* là một dãy bất kì thỏa mãn 2.2 và ñược gọi là nghiệm riêng của 2.2 Sau ñây là một số trường hợp thường gặp ñối với hàm f n .ðể xác ñịnh các tham số trong các dạng nghiệm riêng un*[r]
(1)CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Chuyên ñề ñại số sơ cấp : MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Người thực hiện: Mai Xuân Huy Nguyễn Tất Phong Lớp 4C K54 Khoa Toán Trong chuyên ñề này chúng ta cùng xem xét vài loại dãy truy hồi Khi nghiên cứu dãy nào ñó ta thường quan tâm ñến các vấn ñề: xác ñịnh số hạng tổng quát, tính tổng riêng hữu hạn và khảo sát dãy số ñó (xét tính ñơn ñiệu hội tụ) Sau ñây là vài loại dãy truy hồi thường gặp: I Dãy afine: ðịnh nghĩa: Dãy afine là dãy {un }n≥0 trường K ñược xác ñịnh bởi: un+1 = aun + b với a, b ∈ K Số hạng tổng quát: Xét dãy afine: un+1 = aun + b (1) với a, b ∈ K ( n ≥ ) Nếu a = thì dãy (1) là dãy cộng và ñó ta có : un +1 = u0 + nb ( ∀n ≥ ) b với ∀n ≥ a −1 b b b b Khi ñó: vn+1 = un +1 + = aun + b + = a − = avn với ∀n ≥ +b+ a −1 a −1 a −1 a −1 Nếu a ≠ lúc này ta ñặt = un + ⇒ vn+1 = avn ( ∀n ≥ ) ⇒ dãy {vn } là dãy nhân với công bội a Do vậy: = a n v0 với ∀n ≥ Nhưng = un + b b b b b nên ta có un = − = a n v0 − = a n u0 + − a −1 a −1 a −1 a −1 a −1 với ∀n ≥ Vậy số hạng tổng quát (1) là: u n = u + nb a = b b a ≠ )− a −1 a −1 * ðặc biệt:nếu b = thì ta có: un = a n u0 và dãy: {un }n≥0 là dãy nhân với công bội a u n = a n (u0 + 3.Tổng riêng hữu hạn: Nếu a ≠ MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG (2) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI n ðặt S ( n ) = ∑ ui , ta có: i =0 n −1 n un +1 + S ( n ) = un +1 + ∑ ui = a.un + b + ∑ ( aui + b ) + u0 ( ui +1 = aui + b ) i=0 i =0 n n i=0 i =1 = ∑ ( aui + b ) + u0 = u0 + a ∑ ui + nb = u0 + aS ( u ) + nb Do ñó: ( a − 1) S ( n ) = un+1 − nb − u0 ⇒ S ( n ) = un+1 − nb − u0 với a ≠ a −1 Nếu a = Khi ñó un = u0 + nb và ñó: n S( n ) = ∑ ( u0 + nb ) = ( n + 1) u0 + (1 + + + n ) b = ( n + 1) u0 + i =0 n ( n + 1) b n(n + 1) b a = u − nb − u0 a ≠ S (n) = n +1 a −1 Vậy : S (n) = (n + 1)u0 + II Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số Dãy {un }n≥0 có dạng: un+ = ann +1 + bun (*) ñó a, b ∈ ℝ ñược gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số Ký hiệu: Da ,b = {{un } un + = a.un +1 + bun , ∀a, b ∈ ℝ} Khi ñó ta có mệnh ñề sau: Mệnh ñề: Da ,b là ℝ - không gian véc tơ hai chiều Chứng minh: Ta có : Da ,b ≠ φ {O}n≥ thỏa mãn (*) +) Da ,b là ℝ - không gian véc tơ Thật :Với ∀ {un }n≥ ; {vn }n≥0 ∈ Da ,b và ∀x, y ∈ ℝ ta có: x.un + + y.vn+ = x ( a.un+1 + b.un ) + y ( a.vn +1 + b.vn ) = a ( x.un+1 + yvn+1 ) + b ( x.un + yvn ) ∈ Da ,b với ∀n ≥ ⇒ Da ,b là ℝ - không gian véc tơ +) Da ,b là không gian véc tơ hai chiều Thật :Xét {un }n≥0 , {vn }n≥0 , ∈ Da ,b :ñược xác ñịnh bởi: u0 = 1, u1 = v0 = o, v1 = Khi ñó x {un }n≥0 + y {vn }n≥0 ( x, y ∈ ℝ ) MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG (3) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI xu0 + yv0 = ⇒x= y=0 xu1 + yv1 = ⇒ {un }n≥0 , {vn }n≥0 ñộc lập tuyến tính Da ,b Xét dãy { Pn }n≥ thuộc Da ,b thì { Pn }n≥0 = P0 {un }n≥0 + P1 {vn }n≥0 ( **) Hay Pn = P0 un + P1.vn ∀n ≥ Thật theo quy nạp ta có : n = 0, n = ⇒ (**) ñúng Giả sử: (**) ñúng với n và n + tức là pn = p0un + p1vn pn +1 = p0un+1 + p1vn+1 Khi ñó Pn + = aPn +1bPn = a ( P0un +1 + Pv n +1 ) + b ( P0 un + Pv n) = P0 ( aun+1 + bun ) + P1 ( avn+1 + bvn ) = P0un+ + Pv n+ ⇒ (**) ñúng với n + ⇒ (**) ñúng với ∀n ≥ ⇒ {{un }n ≥0 , {vn }n ≥0 } là sở Da ,b Suy Da ,b là không gian véctơ hai chiều ⇒ ñpcm Vậy hai mệnh ñề ñược chứng minh * Vấn ñề ñặt là muốn tìm số hạng tổng quát các dãy dạng: un + = a un +1 + b un thì ta phải làm nào? đáp án vấn ựề nằm mệnh ựề vừa nêu trên Muốn giải quết vấn ựề thì ta phải tìm ñược sở Da ,b ðể làm ñiều này trước hết ta xét phương trình ẩn t sau: t − at − b = (1) với ∆ = a + 4b Phương trình (1) ñược gọi là phương trình ñặc trưng dãy ( α ) a Trường hợp 1: ∆ = a + 4b >0 Khi ñó (1) có nghiệm thực phân biệt là t1 , t2 Không khó khăn ta có thể kiểm tra ñược {{t } ,{t } } là sở D n n ≥0 n n ≥0 a ,b Do ñó dãy (*) có số hạng tổng quát là: un = xt1n + yt2n ∀n ≥ , ∀x, y tùy ý thuộc ℝ * ðặc biệt :Nếu biết u0 , u1 thì x,y hoàn toàn xác ñịnh Tiếp theo ta xét số ví dụ: Ví dụ 1: Hãy tìm công thức cho số hạng tổng quát { f n }n≥0 dãy Fibonacci xác ñịnh sau: f = f1 = 1, f n + = f n +1 + f n ( ∀n ≥ ) Giải: Dãy ñã cho có phương trình ñặc trưng là: Nghiệm phương trình ñặc trưng là: t − t −1 = MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG (4) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI t1 = 1+ 1− , t2 = 2 Từ ñó suy số hạng tổng quát dãy có dạng: n n 1+ 1− f n = x + y với ∀n ≥ x = Mà theo giả thiết ta lại có: f = 0, f1 = ⇒ y = − n n + − Vậy số hạng tổng quát dãy Fibonacci là: f n = − với ∀n ≥ Ví dụ 2: Cho dãy {un } xác ñịnh sau: u0 = un +1 = 3un + 8un + 1∀n ≥ Hãy tìm công thức cho số hạng tổng quát : un Giải: Theo giả thiết ta có: un+1 − 3un = 8un2 + ⇒ un2+1 − 6un2+1un + 9un2 = 8un2 + ⇒ un2+1 − 6un +1un + un2 = 1( 2.1) Trong (2.1) thay n + n ta có: un2 − 6unun −1 + un2− = 1( 2.2 ) Lấy (2.1) – (2.2) ta ñược : ( un+1 − un−1 )( un +1 + un −1 − 6un ) = ( 2.3) Mặt khác: un+1 = 3un + 8n + ⇒ un +1 > 3un Thay n + n ta ñược un > 3un −1 Từ ñó suy : un+1 > 3un > 9un −1 > un −1 Vì từ (2.3) ta có: un+1 + un−1 − 6un = hay un+1 = 6un − un−1 Do dãy {un } xác ñịnh sau : u0 = 2; u1 = + 33 un+1 = 6un − un −1 t − 6t + = t1 = + 8, t2 = − Phương trình ñặc trưng : Nghiệm phương trình là: Do ñó số hạng tổng quát dãy ñã cho có dạng : MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG (5) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI ( un = x + ) n ( + y 3− ) n với ∀n ≥ Do u0 = 2, u1 = + 33 nên ta có: x= + 66 − 66 và y = 8 Vậy số hạng tổng quát {un } dãy ñã cho là: un (8 + = )( 66 + ) + (8 − n )( 66 − ) n b Trường hợp 2: ∆ = a + 4b = Khi ñó (1) có nghiệm kép thực t Dễ dàng kiểm tra ñược rằng: {t n }n≥0 , {t n−1}n≥0 là sở Da ,b Do ñó dãy (*) có số hạng tổng { } quát là: un = xt n + ynt n −1 với ∀n ≥ (quy ước 0−1 = ) ∀x, y ∈ ℝ và x,y hoàn toàn xác ñịnh biết u0 và u1 Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3:Tìm số hạng tổng quát dãy số {un }n≥0 xác ñịnh sau: u0 = u1 = 0, un + = 6un +1 − 9un ( ∀n ≥ ) Giải: Phương trình ñặc trưng dãy ñã cho là: t − 6t + = Nghiệm phương trình ñặc trưng là: t1 = t2 = ∈ ℝ Từ ñó suy số hạng tổng quát dãy ñã cho là: un = x3n + yn3n −1 ( ∀n ≥ ) x =1 y = −2 Theo giả thiết : u0 = u1 = ⇒ Vậy số hạng tổng quát dãy ñã cho là: un = 3n − 2n3n −1 ( ∀n ≥ 1) c Trường hợp 3: ∆ = a + 4b < Khi ñó (1) có hai nghiệm phức t1 , t2 liên hợp với Xét dãy số (*) trên trường số phức ℂ Lập luận tương tự giống chứng minh mệnh ñề ta nhân ñược tất các dãy số phức thỏa mãn (*) lập thành không gian vectơ hai chiều A trên ℂ Từ ñó suy ñược số hạng tổng quát un (*) là: un = xt1n + yt2n với ∀n ≥ và y ∈ ℚ { } ðặt t = t1 ⇒ xt n + xt n x ∈ ℂ là tập các dãy thực A { } ⇒ xt n + xt n x ∈ ℂ ⊂ Da ,b Ngược lại giả sử: {un }n≥ ⊂ Da ,b ⇒ {un }n≥0 ∈ A Khi ñó tồn các số phức c và d cho: un = ct1n + dt2n với ∀n ≥ Nhớ lại t = t1 và t2 = t và u0 , u1 ∈ ℝ nên c + d , ct + dt ∈ D Do ñó : c + d = c + d =c + d và ct + dt = ct + dt = ct + dt Từ ñó suy d − c = d − c = d − c MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG (6) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI và (d − c)t = (d − c)t = (d − c)t suy d − c ∈ ℝ và (d − c)t ∈ ℝ nên d − c = Do ñó: un = ct n + ct n với ∀n ≥ { } { } Da ,b = xt n + xt n x ∈ ℂ = Re( xt n ) x ∈ ℂ Suy Giả sử: x = ( p + qi ) và r = p , α = argt n Vậy un = r ( p cos nα − q sin nα ) với p, q ∈ ℝ và n ≥ Khi ñó: Re( xt n ) = Re ( p + qi )r n (cosnα +isinnα )=r n ( p cos nα − q sin nα ) * Từ lập luận trên ta rút ta thuật toán tìm số hạng tổng quát dãy (*) trường hợp này sau: Bước 1: Giải phương trình: t − at − b = tìm ñược nghiệm nó là : t= a + i −∆ Bước 2: ðặt r = t , α = argt ta nhận ñược số hạng tổng quát là: un = r n ( p cos nα − q sin nα ) với p, q ∈ ℝ và ∀n ≥ Bước 3: Xác ñịnh ( p, q ) ∈ ℝ theo các giá trị cho trước u0 , u1 Áp dụng thuật toán trên ñể (làm ví dụ sau) Ví dụ 4:Tìm số hạng tổng quát dãy {un }n≥0 xác ñịnh sau: u0 = 0, u1 = ∀n ≥ un + = un+1 − un Giải: Phương trình ñặc trưng dãy ñã cho là: t − t + = có nghiệm là: t1 = t2 = 1− i Ta có: t1 = t2 = , argt1 = argt = 1+ i , π Do ñó số hạng tổng quát dãy ñã cho là: un = 1n ( p cos nπ nπ + q sin ) với ∀ ∀n ≥ 3 3 nπ Vậy dãy ñã cho có số hạng tổng quát là: un = sin với ∀n ≥ 3 Theo giả thiết ta có: u0 = 0, u1 = nên p = 0, q = Một số bài tập có liên quan: MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG (7) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Bài 1: Cho dãy {un } xác ñịnh sau: u0 = , u1 = , un+1 = 2un + (a − 1)un −1 với ∀n ≥ ñó a là số nguyên dương cho trước, p0 > là số nguyên tố cố ñịnh Tìm giá trị bé a cho ta có hai ñiều sau: 1)Nếu p nguyên tố và p ≤ p0 thì u p chia hết cho p 2)Nếu p nguyên tố và p > p0 thì u p không chia hết cho p Giải: Phương trình ñặc trưng dãy: t − 2t − (a − 1) = có nghiệm là: t1 = − a và t2 = + a ( t1 ≠ t2 a > ) Số hạng tổng quát dãy ñã cho có dạng: un = x(1 + a ) n + y (1 − a ) n với ∀n ≥ u = Theo giả thiết ta có: suy u1 = 1 x = a y = − a Vậy dãy ñã cho có số hạng tổng quát là: un = (1 + a )n − (1 − a )n (1) a Với số nguyên tố p bất kì khác suy p lẻ theo công thức nhị thức Newton ta có: p −1 p p i i up = C ( a ) − C ip (− a )i = ∑ C p2i +1a i (2) ∑ ∑ p a i=0 i =0 i =0 Mà a ∈ ℕ và C pk ≡ 0(mod p) với p nguyên tố ≤ k < p suy C p2i +1 ≡ 0(mod p) với ∀i = 0,1, , p −1 −1 Từ (2) ta ñược: u p ≡ a Với p = ⇒ u p = p −1 (mod p ) với ∀ p nguyên tố khác (1 + a ) − (1 − a ) = ≡ 0(mod p ) a Do ñó: u p ≡ 0(mod p) p = và u p ≡ a p −1 (mod p ) p nguyên tố lớn MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG (8) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Từ ñó suy a thỏa mãn ñề bài và khi: +) a chia hết cho p với p nguyên tố và ≤ p ≤ p0 +) a không chia hết cho p với p nguyên tố và p > p0 Suy số a nhỏ thỏa mãn là a tích tất các số nguyên tố p thỏa mãn ≤ p ≤ p0 Bài 2: Xác ñịnh số hạng tổng quát dãy: {un } biết u0 = a > 0, u1 = b > và un+ = un2un+1 với ∀n ≥ Hướng dẫn: Xét dãy: = ln(un ) Bài 3: Xác ñịnh số hạng tổng quát dãy: {un } biết u0 = a > 0, u1 = b > và un+ = 2unun+1 với ∀n ≥ un + un +1 Hướng dẫn: Xét dãy: = un * Mở rộng kết ñược nêu lý thuyết (mở rộng vấn ñề) Vấn ñề 1: Nếu ta thay dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số dãy truy hồi tuyến tính cấp ba thì kết ñược chứng minh hoàn toàn tương tự: Xét dãy: un+3 = aun + + bun +1 + cun Phương trình ñặc trưng: (n ≥ 0) t − at − bt − c = Xét các trường hợp nghiệm phương trình ñặc trưng: +) Nếu phương trình ñặc trưng có ba nghiệm thực phân biệt t1 , t2 , t3 thì dãy ñã cho có số hạng tổng quát là: un = xt1n + yt2n + zt3n ∀n ≥ với x, y , z ∈ ℝ và phụ thuộc vào các số hạng ban ñầu dãy +) Nếu phương trình ñặc trưng có nghiệm kép t1 và nghiệm thực t thì số hạng tổng quát cúa dãy là: un = xt1n + ynt1n + zt2n ∀n ≥ với x, y , z ∈ ℝ và phụ thuộc vào các số hạng ban ñầu dãy +) Nếu phương trình ñặc trưng có nghiệm t bội thì số hạng tổng quát cúa dãy là: un = xt n + ynt n + zn 2t n ∀n ≥ 0, x, y, z ∈ ℝ MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG (9) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI +) Nếu phương trình ñặc trưng có nghiệm có nghiệm thực t và hai nghiệm phức t1 , t2 liên hợp với thì số hạng tổng quát cúa dãy là: un = xt n + r n (y cos nϕ + z sin nϕ ) ∀n ≥ 0, x, y, z ∈ ℝ ñó: r = t1 và ϕ = arg t1 * Tương tự ta xét dãy truy hồi tuyến tính trên cho trường hợp k ≥ với hệ số thì các kết thu ñược còn ñúng hay không? Xét dãy: un+ k = a1un+ k −1 + a2un+ k − + + ak un ( a1 , a2 , ak ∈ ℝ(k > 3) k Ta kí hiệu Da ,a ,a = {un + k = ∑ un + k −i , a1 , a2 , ak ∈ ℝ} k i =1 Khi ñó phương pháp chứng minh tương tự mệnh ñề ta thấy: Da ,a ,a (k > 3) là ℝ không gian vectơ k chiều k Phương trình t k − a1t k −1 − a2t k −2 − − ak = ñược gọi là phương trình ñặc trưng dãy ñã cho ðể xác ñịnh số hạng tổng quát ta ñi giải phương trình ñặc trương ñược k nghiệm t1 , t2 , , tk (k ≥ 3) * Trường hợp 1:Nếu t1 , t2 , tk là k nghiệm thực phân biệt thì số hạng tổng quát dãy là: k un = ∑ bi tin ñó b1 , b2 , bk ∈ ℝ i =1 Các số: t1 , t2 , tk hoàn toàn xác ñịnh biết u1 , u2 , uk * Trường hợp 2: Nếu t1 , t2 , tl là các nghiêm thực bội s1 , s2 , sl ( s1 + s2 + + sl = k kể nghiệm bội là ) thì số hạng tổng quát dãy là: l si −1 i =1 j =0 un = ∑ (∑ bij n j t in ) dó bij ∈ ℝ * Trường hợp 3: Nếu phương trình ñặc trưng có nghiệm phức λ bội l thì nó có nghiệm liên hợp với λ với l ≥ và các nghiệm còn lại là thực và phân biệt t1 , t2 , tk −2l ðặt r = λ và ϕ = argλ thì số hạng tổng quát dãy là: k − 2l l i =1 j =1 un = ∑ ci tin +r n ∑ (a jn j −1cosnϕ + (b jn j −1 sin nϕ ) với a j , b j , ci là các số thực Các số a j , b j , ci hoàn toàn xác ñịnh biết u1 , u2 , uk * Trường hợp 4: Tổng quát tất các trường hợp trên Bạn ñọc tự ñưa công thức tổng quát dãy MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG (10) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI u1 = 0, u2 = 14, u3 = −18 un+1 = 7un − 6un − (n ≥ 3) Ví dụ 5: Cho dãy {un }n≥1 xác ñịnh sau: Chứng minh p nguyên tố thì u p chia hết cho p Giải: Phương trình ñặc trưng dãy ñã cho là: t − 7t + = Có ba nghiệm là: t1 = 1, t2 = 2, t3 = −3 Do ñó số hạng tổng quát phương trình ñã cho là: un = a (1)n + b(2) n + c(−3) n với ∀n ≥ và a, b, c ∈ ℝ Từ giả thiết ban ñầu ta ñược a = b = c = Vậy số hạng tổng quát dãy ñã cho là: un = + 2n + ( −3) n với ∀n = 1, 2, Vì p là số nguyên tố nên theo ñịnh lý Ferma nhỏ ta có: p ≡ 2(mod p ) (−3) p ≡ 3(mod p ) Suy ra: u p = + p + (−3) p ≡ (1 + − 3)(mod p) ≡ 0(mod p) (ñpcm) Vậy p nguyên tố thì u p chia hết cho p Vấn ñề 2: Nếu từ số hạng tổng quát un dãy: un+ k = a1un+ k −1 + a2un+ k − + + ak un ( a1 , a2 , ak ∈ ℝ ( k > 3) (2.1) Liệu ta có thể tìm ñược số hạng tổng quát un dãy cho sau hay không: un + k = a1un + k −1 + a2un + k − + + ak un + f n ( a1 , a2 , ak ∈ ℝ(k > 3) (2.2) MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 10 (11) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Với f n là hàm số biến là n Phương pháp chung ñể giải bài toán dạng này sau: Số hạng tổng quát dãy (2.2) có dạng: un, = un + un* Trong ñó un là số hạng tổng quát dãy: un+ k = a1un+ k −1 + a2un+ k − + + ak un ( a1 , a2 , ak ∈ ℝ(k > 3) Và un* là dãy bất kì thỏa mãn (2.2) và ñược gọi là nghiệm riêng (2.2) Sau ñây là số trường hợp thường gặp ñối với hàm f n ðể xác ñịnh các tham số các dạng nghiệm riêng un* này người ta thường dùng phương pháp hệ số bất ñịnh * Trường hợp 1: f n là ña thức bậc m n ; m ∈ ℕ f n = Pm ( n) , m∈ℕ a Nếu tất các nghiệm phương trình ñặc trưng ñều khác thì un* = Qm (n) , m∈ℕ Trong ñó Qm (n) là ña thức có cùng bậc m với Pm (n) b Nếu có nghiệm λ = bội s thì: un* = n s Qm (n) , m∈ℕ Trong ñó Qm (n) là ña thức có cùng bậc m với Pm (n) Ví dụ 6: Tìm số hạng tổng quát dãy số sau: un+ − un+3 − 3un + + 5un +1 − 2un = ( n ≥ ) Giải: Phương trình ñặc trưng : t − t − 3t + 5t − = có các nghiệm t1 = (bội 3), t2 = −2 (bội 1) và f n = là ña thức có bậc nên ta tìm nghiệm riêng dạng: un* = n3a , a = const Thay vào công thức số hạng tổng quát dãy số ta ñược: a(n + 4)3 − a(n + 3)3 − 3a(n + 2)3 + 5a(n + 1)3 − 2an3 = MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 11 (12) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Do nó ñúng với n ∈ ℕ nên ta ñược a = 18 Vậy công thức số hạng tổng quát dãy ñã cho là: un = a + bn + cn + d (−2) n + n , 18 a , b, c , d ∈ ℝ * Trường hợp 2: f n = Pm (n) β n với f n là ña thức bậc m n ; m ∈ ℕ a Nếu các nghiệm phương trình ñặc trưng ñều là các nghiệm khác β thì: un* = Qm (n) β n Trong ñó Qm (n) là ña thức có cùng bậc m với Pm (n) b Nếu β là nghiệm (bội s ) phương trình ñặc trưng thì : un* = n s Qm ( n) β n Ví dụ 7: Tìm số hạng tổng quát dãy số sau: un+ − 10un +3 + 35un + − 50un+1 + 24un = 48.5n ( n ≥ ) Giải: Phương trình ñặc trưng t − 10t − 35t − 50t + 24 = có các nghiệm: t1 = 1, t2 = 2, t3 = 3, t4 = ñều khác nên un* = a5n Thay vào công thức số hạng tổng quát dãy và rút gọn cho 5n ≠ ta ñược: a = Vậy công thức số hạng tổng quát dãy ñã cho là: un = a + b 2n + c3n + d 4n + 2.5n , a, b, c, d ∈ ℝ * Trường hợp 3: f n = α cos nx +β sin nx ñó α , β , x là các số cho trước: nghiệm riêng un* có dạng: un* = a cos nx +b sin nx Bài 4: Tìm số hạng tổng quát dãy số sau: nπ un +3 − 2un + − un +1 + 2un = (2 − 2)cos + 2sin nπ Hướng dẫn: nghiệm riêng un* có dạng: un* = acos (n ≥ 0) nπ nπ , a=1, b=0 + b sin 4 * Trường hợp 4: f n = f n1 + f n + + f nk Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng uni* ứng với hàm: f ni , i=1,2,…k Nghiệm riêng un* ứng với hàm f n là: * un* = un*1 + un*2 + + unk MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 12 (13) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Bài5: Tìm số hạng tổng quát dãy số sau: nπ nπ un + − 3un +3 + 3un + − 3un +1 + 2un = sin − cos + 10.2n + 2 3 Vấn ñề 3: Trở lại với dãy tựa afine: aun+1 + bun = f n (3.1) với a, b là các số khác cho trước và f n là hàm số biến là n Nếu hàm f n là hàm số bất kì thì liệu bài toán có giải ñược cách trọn vẹn hay không? Bằng phương pháp biến thiên số, ta có thể tìm ñược lời giải cho bài toán trên sau: b a Số hạng tổng quát dãy: aun +1 + bun = (cấp số nhân) là: un = C λ n ñó λ = − ðể tìm nghiệm riêng (3.1) ta xem C biến thiên theo n nghĩa là C là hàm n và tìm un = Cn λ n Thay vào (3.1) ta ñược: aCn +1λ n +1 + bCn λ n = f n b a −bλ n (Cn +1 − Cn ) = f n f (Cn +1 − Cn ) = − nn bλ Lấy tổng hai vế từ ñến n − ta ñược: Suy ra: aCn+1λ n (− ) + bCn λ n = f n n −1 f k ∑ b k =0 λ k n −1 f Do ñó nghiệm riêng dãy là: un* = C0 − ∑ kk λ n b k =0 λ Cn = C0 − Vậy số hạng tổng quát dãy là: n −1 f un = C λ n + C0 − ∑ kk λ n , b k =0 λ C = const , C0 phụ thuộc vào u0 Ví dụ 8: Tìm số hạng tổng quát dãy: un +1 = 5un + (n − 3n + 1)n ! u1 = Ta có: a = 1, c = −5 ⇒ un* = Cn 5n Theo công thức trên ta có: n −1 [(k + 1)2 − 5k ]k ! Cn = C0 − (− )∑ k =0 5.5k MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 13 (14) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI [(k + 1) − 5k ]k ! 5k + k =0 n −1 [(k + 1)(k + 1)! k k ! = C0 + ∑ − k +1 5( k +1)+1 k =0 n.n ! = + n +1 − n.n ! = n +1 n.n ! n.n ! Do ñó: un = C 5n + n+1 5n = C 5n + 5 u0 = ⇒ C = n −1 = C0 + ∑ Vậy số hạng tổng quát dãy là: un = n.n ! Bài tập ñề nghị(Bài 6) Tìm số hạng tổng quát dãy: un+1 = un + (n + n + 1)n !, u0 = Vấn ñề 4: Dãy tựa afine với hệ số biến thiên: un +1 = qnun + f n n = 0,1, Nghiệm tổng quát dãy có dạng: un = + v ñó là nghiệm dãy: un +1 = qn un và vn* là nghiệm riêng dãy * n n −1 un = C ∑ qi Dễ tìm ñược i =1 * n và v ñược tìm phương pháp biến thiên số vấn ñề Ví dụ 9: Tím số hạng tổng quát dãy: un +1 = nun + n.n ! u1 = Giải: Nghiệm dãy: vn+1 = nvn là = C (n − 1)! Do ñó nghiệm riêng dãy có dạng: vn* = Cn (n − 1)! Thay vào dãy ta ñược: Cn+1 = Cn + n 1 Cn = ( n − ) 2 1 Suy : un = C (n − 1)!+ (n − ) (n − 1)! 2 Từ ñó: MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 14 (15) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Do u1 = nên C = Vậy số hạng tổng quát dãy là: 1 un = (n − 1)!+ (n − ) (n − 1)! 2 n ≥1 III.Dãy truy hồi có dạng: un+1 = f ( un ) Phần này ta khảo sát loại dãy truy hồi có dạng: un+1 = f ( un ) Rõ ràng tính chất dãy {un } hoàn toàn phụ thuộc vào hàm f và phần tử xuất phát u0 Giả sử f : M → M là ánh xạ cho trước và u0 ∈ M f ñơn ñiệu trên M + Nếu f ñơn ñiệu tăng trên M Nếu u0 ≤ u1 ⇒ f (u0 ) ≤ f (u1 ) ⇒ u1 ≤ u2 Từ ñó dễ chứng minh ñược ( un )n≥0 là dãy tăng Hoàn toàn tương tự u0 ≥ u1 ⇒ un +1 ≤ un ⇒ ( un ) n≥ là dãy giảm +Nếu f ñơn ñiệu giảm trên M Khi ñó ta xét ánh xạ tích f = f f là hàm tăng trên M Áp dụng kết trên ta có: -Nếu u0 ≤ u2 ⇒ dãy {u2 n }n≥0 là dãy tăng và {u2 n +1}n≥ là dãy giảm -Nếu u0 ≥ u2 ⇒ dãy {u2 n }n≥0 là dãy giảm và {u2 n +1}n≥ là dãy tăng f liên tục trên M và M ñóng ℝ Giả sử {un }n≥0 hội tụ và nó hội tụ α thì α ∈ M (do M ñóng ℝ ) Vì f liên tục trên M nên { f ( un )}n≥0 hội tụ f (α ) Do ñó : α = f (α ) ⇒ α là nghiệm ∈ M phương trình: f (α ) = α Ví dụ 10: Hãy khảo sát dãy số {un }n≥0 với u0 = 1, un +1 = un ∀n ≥ u +1 n Giải: Nhận thấy un ≥ 0∀n ⇒ {un }n≥ là dãy dương Ta có : un+1 − un = un un3 − u = − < 0∀n ≥ n un2 + un2 + ⇒ un +1 < un ∀n ≥ ⇒ dãy {un }n ≥0 là dãy giảm thực x là ánh xạ liên tục trên [ 0,1] x +1 là nghiệm pt: f ( a ) = a với Rõ ràng {un }n≥0 nằm ñoạn [ 0,1] và f ( x ) = Do ñó giới hạn a dãy {un }n≥0 a ∈ [ 0,1] ⇒ a = a ⇔a=0 a +1 Vậy dãy ñã cho là dãy ñơn diệu giảm thực sự,bị chặn và có giới hạn là a=0 Ví dụ 11: Cho dãy {un }n≥0 xác ñịnh sau : MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 15 (16) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI u1 = un = + un −1 ∀n ≥ Hãy xác ñịnh giới hạn dãy : lim un x →∞ Giải:Rõ ràng dãy ñã cho là dãy dương Xét ánh xạ: f ( x ) = + x trên ( 0, +∞ ) ⇒ f ′( x) = >0 2+ x ∀x ∈ ( 0, +∞ ) ⇒ f ñơn ñiệu tăng trên ( 0, +∞ ) mà u2 = + > = u1 Do ñó ta có: un+1 > un∀n ≥ ⇒ dãy số ñã cho là dãy số tăng Theo nguyên lý quy nạp ta có: un < (1) ∀n ∈ N Tuy : + n = ⇒ u1 = < ⇒ (1) ñúng +Giả sử (1) ñúng ñến n = K tức là : uk < ta chứng minh (1) ñúng với n = k + Tức là : uk +1 < Ta có : uk +1 = + uk < + (theo giả thiết quy nạp) ⇒ uk +1 < (ñpcm) {un } là dãy tăng và bị chặn trên ñó ∃ lim un = a ) n →∞ ) Do ánh xạ f ( x ) = + x liên tục từ 2, vào 2, nên ta có giới hạn a là nghiệm phương trình : f ( a ) = a ⇒ 2, a = + a ⇔ a − a − = ⇔ a = (do α ≥ ) ) Vậy lim un = n →∞ Ví dụ 12: Cho dãy {un }n≥0 xác ñịnh sau: u1 = un2 + u n ∀n ≥ 2007 u u u Tìm lim + + + n n →∞ u un +1 u3 un +1 = Giải: 1 un2 u Theo giả thiết ta có : un+1 − un = ⇔ n = 2007 − ∀n ≥ 2007 un +1 un un +1 Do ñó : n 1 u u1 u2 + + + n = 2007∑ − = 2007 1 − (1) u u3 un +1 ui +1 i =1 ui un +1 un2 + un > un (do un > 0∀n ≥ ) ⇒ {un } là dãy ñơn ñiệu tăng 2007 Giả sử {un } bị chặn trên Khi ñó ∃ lim un = a >1 (a hữu hạn ) Mà un+1 = x →∞ MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 16 (17) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI x2 + x liên tục từ (1, +∞ ) và (1, +∞ ) Do ñó a là nghiệm phương 2007 a2 trình f ( a ) = a trên (1, +∞ ) ⇒ a = + a ⇔ a = ∉ (1, +∞ ) (vô lý ) 2007 ⇒ {un }n ≥0 không bị chặn trên ⇒ lim un = +∞ (do {un } tăng) ⇒ lim = n →+∞ n →∞ u n Ánh xạ f ( x ) = u1 u2 u + + + n = lim 2007 1 − = 2007 un +1 n →∞ u2 u3 un +1 Từ (1) ta có : lim n →∞ Ví dụ 13: Khảo sát hội tụ và tính giới hạn (nếu có) dãy {un }n≥0 xác ñịnh công thức: Aα , n=1,2,… với u0 cho trước, A > , < α < là các số un = (1 − α )un −1 + 1−α un −1 α cho trước Giải: Xét hàm số: f ( y ) = (1 − α ) y + Aα 1−α y α − f '( y ) = (1 − α )(1 − Ay α ) Ta có bảng biến thiên: y Aα f '( y ) - +∞ +∞ + +∞ f ( y) Aα Từ ñó suy ra: f ( y ) ≥ f ( Aα ) = Aα (1) Vì u0 > ⇒ un > 0∀n ≥ Từ (1) suy un ≥ Aα ∀n = 1, α −1 Mặt khác ta có: un − un −1 = α un −α1 ( A − unα−1 ) ≤ 0∀n ≥ Do ñó: {un }n≥0 là dãy không tăng và bị chặn nên nó có giới hạn hữu hạn Giới hạn ñó là nghiệm phương trình: f ( y ) = y trên (0, +∞) Giải phương trình α này ta ñược nghiệm: y = A Vậy giới hạn dãy số ñã cho là: y = Aα MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 17 (18) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI IV Dãy truy hồi quy hàm lượng giác: Ta xét số ví dụ sau: + un −1 Hai dãy {vn },{w n } xác ñịnh sau: v n = 4n (1 − un ) và w n = u1u2 un Ví dụ 14: Cho dãy {un }n≥0 thỏa mãn ñiều kiện: −1 < u0 < , un = Tìm lim và lim w n n →∞ n→∞ Giải: Chọn α ∈ (o, π ) cho u0 = cosα + cosα α = cos 2 ⇒ u1 = ⇒ v1 = 4(1 − u1 ) = 4.2sin α 22 Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh ñược: un = cos Do ñó: lim = n →∞ w n = u1u2 un = α2 sin α n sin lim w n = α 2n sin α α 2n α Bài tập ñề nghị:(Bài 7) Cho u0 = 2, v0 = Lập hai dãy số theo quy tắc sau: n →∞ un +1 = 2un và vn+1 = un+1vn un + a Lập công thức số hạng tổng quát dãy b Tìm lim un và lim n →∞ n →∞ đáp sô: Công thức số hạng tổng quát hai dãy là: 2n +1 π un = = tan n π π π π 3 cos = cos 2.3 π cos cos 2n π π cos n 2 3 Từ ñó tính: lim un và lim 2.3 cos 22 n →∞ cos n 2n +1 π = sin n 3 n →∞ 2.Cho dãy {u n }n ≥1 thỏa mãn: u1 = un +1 = 1 − − un2 MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 18 , = 4n.2sin α n+1 (19) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Chứng minh tồn số A cho dãy {v n }={ un }(n ∈ ℕ ) có giới hạn An khác ***** Trên ñây là số dạng dãy truy hồi thường gặp toán học sơ cấp Hy vọng sau bài viết này chúng ta có ñược kiến thức số loại dãy truy hồi và ứng dụng chúng TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Dương Quốc Việt (Chủ biên)-đàm Văn Nhỉ, Giáo trình đại số sơ cấp-Nhà xuất ðại học sư phạm 2007 Phan Huy Khải, 10000 bài toán sơ cấp dãy số-Nhà xuất Hà Nội Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ-Nhà xuất Giáo dục Lê đình Thịnh (Chủ biên), Phương trình sai phân và số ứng dụng-Nhà xuất Giáo dục MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 19 (20)