Đang tải... (xem toàn văn)
Biết tam giác ABC vuông tại B, BAC kính O1 theo R Câu 5 1 điểm Độ dài ba cạnh của tam giác ABC là 3 số nguyên tố, chứng minh diện tích tam giác ABC không phải là số nguyên.[r]
(1)NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CỦA MỘT TRƯỜNG CHUYÊN CỦA CÁC TỈNH/TP NĂM HỌC 2013-2014 Môn TOÁN (P1) Phan NhËt HiÕu (su tÇm) Tel: Mail: 01699.54.54.52 hieu.phannhat3112@gmail.com nhathieu.htagroup@gmail.com 0/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (2) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com ĐỀ SỐ 1: (Chuyên Amsterdam, chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội – 2013/2014) Bài 1: 1) Tìm các số tự nhiên n để 72013+3n có chữ số hàng đơn vị là 2) Cho a, b là các số tự nhiên lớn và p là số tự nhiên thỏa mãn 1 Chứng p a b2 minh p là hợp số Bài 2: 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2−3y2+2xy−2x+6y−8=0 2) Giải hệ phương trình 2x2+xy+3y2−2y−4=0 3x2+5y2+4x−12=0 Bài 3: Cho a, b là các số thực thỏa mãn a+b+4ab=4a2+4b2 Tìm giá trị lớn biểu thức A=20(a3+b3)−6(a2+b2)+2013 Bài 4: Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân Đường tròn (O) tiếp xúc vói BC, AC, AB M, N, P Đường thẳng NP cắt BO, CO E và F và OCA bù 1) Chứng minh OEN 2) Bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn 3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF Chứng minh O, M, K thẳng hàng Bài 5: Trong mặt phẳng cho điểm A1, A2, , A6 đó không có điểm nào thẳng hàng và điểm luôn có điểm có khoảng cách nhỏ 671 Chứng minh điểm đã cho luôn tồn điểm là đỉnh tam giác có chu vi nhỏ 2013 1/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (3) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com ĐỀ SỐ 2: (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – 2013/2014 – 120 phút) Câu 1: Cho biểu thức P( x x ): x x 2 x2 x Rút gọn P Tìm giá trị x để P=3 Câu 2: Cho hệ phương trình x my 3 m mx y m Giải hệ với m=3 Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x2−x−y>0 Câu 3: Giải phương trình 2 x2 x x 1 3 x2 x 4 x2 Câu 4: Cho điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng và theo thứ tự đó cho AB≠BC Trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC dựng các hình vuông ABDE và BCFK Gọi I là trung điểm EF, đường thẳng qua I vuông góc với EF cắt các đường thẳng BD và AB M và N CMR: Các tứ giác AEIN và EMDI nội tiếp, Ba điểm A, I, D thẳng hàng và B, N, E, M, F cùng thuộc đường tròn AK, EF, CD đồng quy Câu 5: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=9 Tính giá trị nhỏ biểu thức: y3 z3 x3 S x xy y y yz z z zx x 2/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (4) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com ĐỀ SỐ 3: (Quốc Học Huế - TT Huế - 2013/2014 – 120 phút) Bài 1: (1.5đ) Giải hệ phương trình x y y x 1 y x Bài 2: (1.5đ) Cho phương trình x4+(1−m)x2+2m−2=0 (m là tham số) Tìm các giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt Trong trường hợp pt có nghiệm phân biệt là x1, x2, x3, x4, hãy tìm các giá trị m cho x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 x3 x4 x2 x3 x4 2013 x4 x3 x2 x1 Bài 3: (1.5đ) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z xyz Tính giá trị biểu thức T x(4 y )(4 z ) y (4 z )(4 x) z (4 x)(4 y ) xyz Cho số tự nhiên có chữ số Khi chia số đó cho tổng các chữ số nó thương là q dư r Nếu đổi chỗ chữ số số đó cho tổng các chữ số nó thương 4q dư r Tìm số đã cho Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính BC Lấy điểm A trên đường tròn cho AB>AC (A khác C) Vẽ hình vuông ABDE (D và E cùng nằm trên nửa mp bờ AB không chứa C) Gọi F là giao điểm thứ AD với đường tròn và K là giao điểm CF với DE Chứng minh KB là tiếp tuyến đường tròn (O) Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng vuông góc với CI I cắt CA, CB theo thứ tự M, N Chứng minh: a) AM.BN=IM2=IN2 b) IA2 IB IC BC AC AB Bài 5: (2 điểm) (a 1)6 (b 1)6 128 b5 a5 n Tìm số tự nhiên có chữ số n 100a 10b c cho biểu thức đạt giá trị abc Cho số dương a và b thỏa mãn điều kiện a+b≤2 Chứng minh nhỏ 3/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (5) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com ĐỀ SỐ 4: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – 2013/2014 – 120 phút) Bài (1.5 điểm) Cho phương trình x2 + 4x – m = Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm Tìm tọa độ điểm thuộc đồ thị hàm số y = 4x2 Biết điểm có tung độ Cho hàm số y = (m + 5)x + 3m (với m≠-5) Tìm m để hàm số đồng biến trên (“!ngược”???) Cho đường tròn đường kính BC = 5cm và điểm A thuộc đường tròn đó cho AC = cm tính tan ABC Bài (2.0 điểm) 3x3 3x Cho biểu thức M 3: x 3 x x4 với x >0 Rút gọn M Chứng minh với x > thì M ≥ Tìm x để M = Bài (2.5 điểm) Tìm hai số dương biết tích hai số đó 180 và tăng số thứ têm 5, đồng thời bớt số thứ thì tích hai số 180 x y m x 2m m x y x m Cho hệ phương trình (1) a Giải hệ (1) m = b Chứng minh (x, y) là nghiệm hệ phương trình (1) thì x y 1 5x y 1 x x Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Nửa đường tròn đường kính AB cắt các đoạn thẳng CA, CB M, N (khác A, B) Gọi H là giao điểm AN và BM Chứng minh tứ giác CMHN nội tiếp và BAC ANM 900 Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Kẻ đường kính CD đường tròn (O) chứng minh AH = BD Gọi I là trung điểm AB Đường thẳng qua H và vuông góc với IH cắt các cạnh CA, CB P, Q Chứng minh H là trung điểm PQ Bài (1.0 điểm) Tìm x và y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: x y và x y x y xy 3x y x y 3x y 4/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (6) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com ĐỀ SỐ 5: (Chuyên Trần Phú – Hải Phòng – 2013/2014) Câu (2 điểm): x x 10 x 3 x 7 a Cho biểu thức A : x x x x x 8 x x Tìm x cho A < b Tìm m để phương trình x 2m x 3m có hai nghiệm phân biết x1, x2 thỏa mãn x2 = 2x1 + Câu (2 điểm): x7 2 2x xy y y b Giải hệ phương trình: x2 y2 a Giải phương trình: 5x 3x 13 Câu (3 điểm) Cho điểm A, B cố định Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn (O) đường kính AB cho AC > BC Tiếp tuyến C (O) cắt tiếp tuyến A D, cắt AB E Hạ AH vuông goác với CD H a Chứng minh: AD.CE = CH.DE b Chứng minh: OD.BC là số c Giả sử đường thẳng qua E vuông góc AB cắt AC, BD F, G Gọi I là trung điểm AE Chứng minh trực tâm IFG là điểm cố định Câu (1 điểm): x a Chứng mình x y thì x y y 1 1 b Cho a, b, c Chứng minh a b c 10 a b c Câu (2 điểm): 5/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (7) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com a Cho a, b là hai số nguyên dương thỏa mãn (a + 20), (b + 13) cùng chia hết cho 21 Tìm số dư phép chia A 4a 9b a b cho 21 b Có thể phủ kín 20x13 ô vuông các miếng lát có hai dạng (có thể xoay và sử dụng đồng thời hai dạng miếng lát) cho các miếng lát không chồng lên không? 6/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (8) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com ĐỀ SỐ 6: (Chuyên KHTN-ĐHQGHN – vòng – 2013/2014) Câu 1 Giải phương trình 3x x 1 x x y y Giải hệ phương trình x xy y xy Câu Giả sử a, b, c là các số thực khác thỏa mãn đẳng thức a b b c c a 8abc Chứng minh rằng: a b c ab bc ca a b b c c a a b b c b c c a c a a b Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có chữ số abcde cho abc 10d e chia hết cho 101 Câu cắt Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O) với AB<AC Đường phân giác BAC (O) D ≠ A Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua O Giả sử (ABM) cắt AC F Chứng minh rằng: BDM ~ BCF EF AC Câu Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thõa mãn abc bcd cad bad , Tìm giá trị nhỏ của: P a b3 c3 9d 7/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (9) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com ĐỀ SỐ 7: (Chuyên KHTN-ĐHQGHN – vòng – 2013/2014) Câu 1: x y y x xy xy y x Giải hệ Giải phương trình: x x x x Câu 2: Giải phương trình nghiệm nguyên ẩn x, y : x y 20412 Với x, y là các số thực dương thỏa mãn x y , tìm giá trị cực tiểu biểu thức: 1 1 P x2 y x y Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp HBC P B, C , H và nằm tam giác ABC PB cắt (O) M ≠ B, PC cắt (O) N ≠ C BM cắt AC E CN cắt AB F Đường tròn ngại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt Q ≠ A Chứng minh M, N, Q thẳng hàng Chứng minh PQ qua trung điểm BC Giả sử AP là phân giác MAN Câu 4: Giả dụ dãy số thực có thứ tự x1 x2 x192 thỏa mãn điều kiện x1 x2 x3 xn x1 x2 x192 2013 Hãy chứng minh x192 x1 2013 96 8/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (10) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com ĐỀ SỐ 8: (Chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội – Vòng – 2013/2014) Câu (2.5 điểm) a b 2a a b b ab a a b Cho biểu thức Q 3a 3b ab a a b a Với a, b > 0, a≠b Chứng minh giá trị Q không phụ thuộc vào a, b Các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh đẳng thức: a 2 b2 c2 a4 b4 c4 Câu ( điểm) Cho Parabol (P): y x và đường thẳng (d): y mx (tham số m ≠ 0) 2m2 Chứng minh với m ≠ 0, (d) cắt (P) tai hai điểm phâm biệt Gọi A x1 ; y1 , B ( x2 ; y2 ) là giao điểm đó Tìm giá trị nhỏ M y12 y22 Câu (1.5 điểm) Giả sử a, b, c là các số thực, a ≠ b cho hai phương trình x ax , x bx c có nghiệm chung, và hai phương trình x x a , x cx b có nghiệm chung Tính a + b + c Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC không cân, có góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1, BB1, CC1 cắt H A1C1 cắt AC D X là giao điểm thứ BD và (O) Chứng minh DX.DB = DC1.DA1 Gọi M là trung điểm AC Chứng minh DH BM Câu (1 điểm) Các số x, y, z thỏa mãn: x 2011 y 2012 z 2013 y 2011 z 2012 x 2013 y 2011 z 2012 x 2013 z 2011 x 2012 y 2013 Chứng minh rằng: x = y = z 9/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (11) NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 Mail: nhathieu.htagroup@gmail.com ĐỀ SỐ (Chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội – Vòng – 2013/2014) Câu (2.5 điểm) Các số thực a, b, c đông thời thỏa mã đửng thức: a b b c c a abc a b3 b3 c c a a 3b3c Chứng minh abc = Các số thực dương a, b thỏa mãn ab 2013a 2014b Chứng minh bất đẳng thức: ab 2013 2014 Câu (2 điểm) Tìm tất các cặp số hữu tỷ (a; b) thỏa mãn hệ phương trình: x3 y x y 2 6 x 19 xy 15 y Câu (1 điểm) Với số nguyên dương n, ký hiệu Sn là tổng n số nguyên tố đầu tiên Chứng minh rằng, dãy số S1, S2, … không tồn hai số chính phương liên tiếp Câu (2.5 điểm) Tam giác ABC không cân, nội tiếp (O), BD là phân giác góc ABC Đường thẳng BD cắt (O) điểm thứ hai E Đường tròn (O1) đường kính DE cắt (O) điểm thứ hai F Chứng minh đưởng thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD qua trung điểm AC 600 và bán kính (O) R, tính bán Biết tam giác ABC vuông B, BAC kính (O1) theo R Câu (1 điểm) Độ dài ba cạnh tam giác ABC là số nguyên tố, chứng minh diện tích tam giác ABC không phải là số nguyên Câu (1 điểm) a1 , a2 , , a11 là các số nguyên dương lớn hay Đôi khác và thỏa mãn a1 a2 a11 407 Tồn hay không số nguyên dương n cho tổng các số dư phép chia n cho 22 số a1 , a2 , , a11 , 4a1 , 4a2 , , 4a11 2012 10/ Phan Nhật Hiếu / Toán / Đề thi tuyển sinh vào 10 – số trường chuyên (12)