CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA PHÉP VỊ TỰ Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết-vẽ ảnh tạo ảnh qua phép vị tự Bài Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I a) Tìm ảnh điểm qua phép vị tự tâm tỉ số k= b)Tìm ảnh điểm B qua phép vị tự tâm I tỉ số k = −1 c) Tìm ảnh điểm A qua phép vị tự tâm B tỉ số k = −2 Lời giải uur uuur I = V (B) AI = AB ( A; ) 2 a) Ta có: nên A = V ( B) uur uur (I; ) IA = − IB b) Ta có: nên uuur uuu r C = V(B;−2) ( A) c) Ta gọi C điểm thỏa: nên ta có: BC = −2 BA Điểm C xác định hình Bài Cho tam giác ABC có M , N , P trung điểm AB, AC, BC , G trọng tâm tam giác V a) Tìm ảnh tam giác AMN qua ( A;2) b) Tìm ảnh tam giác ABC qua V (G;− ) C = V( A;−2) ( E ) c) Tìm điểm E cho C = V(B;2) ( D ) d) Tìm điểm D cho Lời giải A = V( A;2) ( A) B = V( A;2) (M) ⇒ ∆ABC = V( A;2) (∆AMN ) C = V( A;2) (N) a) ta có: P = V(G; −1 ) ( A) N = V(G; −1) (B) ⇒ ∆PNM = V(G; −1 ) ( ∆ABC ) 2 M = V −1 (C) (G; ) b) ta có: uuur uuur uuur uuur C = V( A;−2) ( E ) ⇔ AC = −2 AE ⇔ AE = − AC c) nên E điểm đối xứng với N qua A uuur uuur uuur uuur C = V(B;2) ( D) ⇔ BC = BD ⇔ BD = BC d) nên D trùng với điểm P Dạng 2: Tọa độ ảnh, tạo ảnh điểm qua phép vị tự PHƯƠNG PHÁP Sử dụng định nghĩa phép vị tự Đưa định nghĩa dạng tọa độ Giải hệ phương trình kết luận Ví dụ Ta có A ( 3; ) I ( 2;5 ) , k = Tìm ảnh A ' điểm qua phép vị tự tâm Lời giải V( I ;2 ) : A → A ' x ' = 2.3 + ( − ) 2=4 ⇒ ⇒ A ' ( 4;3) y ' = 2.4 + ( − ) = Ví dụ I ( −2;1) , M ( 1;1) , M '( −1;1) Cho nhiêu? , phép vị tâm I biến điểm M thành M ' có hệ số k bao Lời giải uuur uuuu r uuuur uuur IM ( 3;0 ) , IM ' ( 1;0 ) ⇒ IM ' = 3.IM ⇒ k = Ta có ; Ví dụ Ta có Cho M ( −3;5) , M ' ( 4;6) Tìm tâm I phép vị biến điểm M thành M ' có hệ số k = Lời giải V( I ;2 ) : M → M ' 4 = ( −3) + ( − ) a a = −10 ⇒ ⇒ ⇒ I ( −10; ) b = = 5.2 + ( − ) b Dạng 3: Phương trình ảnh, tạo ảnh đường thẳng qua phép vị tự PHƯƠNG PHÁP Để tìm ảnh, tạo ảnh d ' đường thẳng d qua phép vị tự, ta thường sử dụng ba cách sau + Cách 1: d ' song song trùng với d suy uur uu r nd ' = nd Chọn M ∈ d Gọi M ' ảnh M qua phép vị tự ⇒ M ' ∈ d ' Tìm tọa độ M ' viết phương trình đường thẳng d ' + Cách 2: Chọn M ∈ d Gọi M ' ảnh M qua phép vị tự ⇒ M ' ∈ d ' Chọn N ∈ d Gọi N ' ảnh N qua phép vị tự ⇒ N ' ∈ d ' Tìm tọa độ M ' , N ' viết phương trình đường thẳng d ' qua điểm M ' N ' + Cách 3: Gọi Gọi M ( x; y ) ∈ d M ' ( x '; y ' ) ảnh M qua phép vị tự Tính x; y theo x '; y ' thay vào phương trình d , suy phương trình d ' I ( 2;1) Bài Cho d : x − 2y + = Tìm ảnh d' d qua phép vị tự tâm có hệ số k = Lời giải uur uu r : d → d ' ⇒ d / / d ' (v`i I ∉ d ) ⇒ nd ' = nd = ( 1; −2 ) Ta có V( I ;2) Chọn M ( 1;1) ∈ d ⇒ V( I ;2 ) : M → M ' ∈ d ' uuuu r uuur x '− = 2(1 − 2) x ' = ⇒ IM ' = IM ⇒ ⇒ ⇒ M ' ( 0;1) y '− = 2(1 − 1) y' =1 Phương trình đường thẳng d ' : x − ( y − 1) = ⇔ x − y + = Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x + y − = Tìm ảnh d ′ d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 Lời giải Chọn M ( 1;1) ∈ d Khi Chọn V ⇒ M ' ∈ d ' Gọi M ' ảnh M qua ( O ,−2) uuuuu r uuuu r OM ' = −2OM ⇒ M ' ( −2; −2 ) N ( 3; −4 ) ∈ d Khi V ⇒ N ' ∈ d ' Gọi N ' ảnh N qua ( O , −2) uuuur uuur ON ' = −2ON ⇒ N ' ( −6;8 ) Phương trình đường thẳng d ′ qua điểm M ' N ' : x + y + 14 = Dạng 4: Phương trình ảnh, tạo ảnh đường tròn qua phép vị tự ( C ) : x + y − x + y + = Viết phương trình đường Bài Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn −1 k= C′) C) ( ( tròn ảnh đường tròn qua phép vị tự tâm O , tỷ số Lời giải Đường tròn ( C ) : x2 + y − x + y + = ( C′) Vì đường trịn có tâm ( C) ảnh đường trịn I ( 1; − ) qua phép vị tự tâm O , tỷ số R′ =| k | R = = V Giả sử uuur I = I ′ ⇔ OI ′ = −1 ( ) O, ÷ Vậy đường tròn ( C′) −1 uur OI ⇒ I ′ −1 ;1 ÷ −1 I ′ ;1÷ có tâm , bán kính R′ = , bán kính R = 1 x + ÷ + ( y − 1) = ′ C ( ) : 2 Suy phương trình k= −1 nên ( C ′ ) có bán kín 2 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường trịn (C) có phương trình x + y + 6x - 10y + 32 = Viết ( C ′ ) ảnh đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm J (0;1) tỉ số k = phương trình đường trịn Lời giải Bài Đường trịn (C) có tâm I (- 3;5) bán kính R = Gọi (C’) ảnh (C) qua phép vị tự tâm J (0;1) tỉ số k = I '( x;y) Khi đó, (C’) có bán kính R ' = 3R = có tâm uur uu r ìï x = - J I ' = 3J I Û ( x;y - 1) = 3( - 3;4) Û ïí ïï y = 13 ỵ Do đó, 2 Vậy phương trình đường trịn (C’’): ( x + 9) + ( y − 13) = 18 Dạng 5: Xác định phép vị tự Bài Cho tam giác ABC , có A′, B′, C ′ trung điểm BC , AC , AB Xác định phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A′B′C ′ Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi G trọng tâm tam giác A′B′C ′ uuur r uuur r uuuu r uuu uuu uuur V ( A ) = A′, V ( B ) = B′,V ( C ) = C ′ GA′ = − GA, GB′ = − GB, GC ′ = − GC G ,− ÷ G ,− ÷ G ,− ÷ 2 2 2 Ta có , hay Do Phép vị tự V 1 G ,− ÷ 2 biến tam giác ABC thành tam giác A′B′C ′ O; R ) O′; R ) O Bài Cho hai đường tròn ( ( ( không trùng với O′ ) Xác định phép vị tự O; R ) O′; R ) biến đường tròn ( thành đường tròn ( Lời giải uuur uur V ( O ) = O′ Gọi I trung điểm OO′ , Ta có IO′ = − IO , hay ( I,−1) Lại có hai đường trịn cho có bán kính Do Phép vị tự V( I, −1) biến đường tròn ( O; R ) thành đường tròn ( O′; R ) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M ′ N ′ uuuuur uuuu r ′ ′ M N = k MN M ′N ′ = −kMN A C uuuuur uuuu r M ′N ′ = k MN uuuuur uuuu r ′ ′ M N = k MN M ′N ′ = k MN B uuuuur uuuu r M ′N ′ = MN D M ′N ′ / / MN và M ′N ′ = kMN Lời giải Chọn B Theo định lý tính chất phép vị tự A ( 1; ) B ( −3; ) I ( 1;1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm , Phép vị tự tâm I Câu tỉ số k =− biến điểm A thành A′ , biến điểm B thành B′ Mệnh đề sau đúng? A A′B′ = AB uuuur A′B′ = ; − ÷ 3 3 B C A′B′ = Lời giải D uuuur A′B′ = ( −4; ) Chọn B uuu r AB = ( −4; ) Ta có uuuur uuur A′B′ = − AB = ; − ÷ 3 3 Từ giả thiết, ta có M 4;6 M ′ −3;5 ) Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho hai điểm ( ) ( Phép vị tự tâm I tỉ số A k= biến điểm M thành M ′ Khi tọa độ điểm I I ( −4;10 ) B I ( 11;1) C Lời giải Chọn D I ( 1;11) D I ( −10; ) a= x′ = kx + ( − k ) a ⇔ y′ = ky + ( − k ) b b = x′ − kx 1− k y′ − ky 1− k Tọa độ điểm I là: −3 − a = 1− ⇔ a = −10 ⇔ b=4 − b= 1− d : x + y − = 0, I ( −1; ) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Tìm ảnh d ′ d qua phép vị tự tâm I tỉ số k = −2 A x − y + = B −2 x + y + = C x + y + = D Lời giải x+ y+2=0 Chọn C V( I , −2) ( d ) = d ′ ⇒ d / / d ′ nên d ′ có dạng x + y + c = x′ = M ( 2;0 ) ∈ d ⇒ V( I ;−2 ) ( M ) = M ′ ( x; y ) ∈ d ′ ⇒ y ' = −2 vào d ′ :10 − + c = ⇒ c = Chọn Vậy d ′ : x + y + = Câu ( C ) : x + y − x + y − = Viết phương trình đường Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn tròn ( C′) ảnh đường tròn ( C) qua phép vị tự tâm O , tỷ số k = −1 ( x − 1) A + ( y + ) = ( x + 1) B ( x + 1) + ( y − ) = D C 2 ( x − 1) + ( y − ) = 2 + ( y − ) = Lời giải Chọn A Đường tròn ( C ) : x2 + y2 − 2x + y − = có tâm I ( 1; − ) , bán kính R = ( C ′ ) ảnh đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm O , tỷ số k = −1 nên ( C ′ ) có Vì đường trịn bán kính R′ =| k | R = 1.3 = Giả sử uuur uur V( O ;−1) ( I ) = I ′ ⇔ OI ′ = −OI ⇒ I ′ ( −1; ) Vậy đường trịn ( C′) có tâm I ′ ( −1; ) , bán kính R′ = 2 C ′ ) ( x + 1) + ( y − ) = ( Suy phương trình :