TIẾT 7 CHƯƠNG i HÌNH 11

CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA PHÉP VỊ TỰ Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết-vẽ ảnh tạo ảnh qua phép vị tự Bài Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I a) Tìm ảnh điểm qua phép vị tự tâm tỉ số k= b)Tìm ảnh điểm B qua phép vị tự tâm I tỉ số k = −1 c) Tìm ảnh điểm A qua phép vị tự tâm B tỉ số k = −2 Lời giải uur uuur I = V (B) AI = AB ( A; ) 2 a) Ta có: nên A = V ( B) uur uur (I; ) IA = − IB b) Ta có: nên uuur uuu r C = V(B;−2) ( A) c) Ta gọi C điểm thỏa: nên ta có: BC = −2 BA Điểm C xác định hình Bài Cho tam giác ABC có M , N , P trung điểm AB, AC, BC , G trọng tâm tam giác V a) Tìm ảnh tam giác AMN qua ( A;2) b) Tìm ảnh tam giác ABC qua V (G;− ) C = V( A;−2) ( E ) c) Tìm điểm E cho C = V(B;2) ( D ) d) Tìm điểm D cho Lời giải  A = V( A;2) ( A)   B = V( A;2) (M) ⇒ ∆ABC = V( A;2) (∆AMN )  C = V( A;2) (N) a) ta có:    P = V(G; −1 ) ( A)    N = V(G; −1) (B) ⇒ ∆PNM = V(G; −1 ) ( ∆ABC ) 2   M = V −1 (C) (G; )  b) ta có:  uuur uuur uuur uuur C = V( A;−2) ( E ) ⇔ AC = −2 AE ⇔ AE = − AC c) nên E điểm đối xứng với N qua A uuur uuur uuur uuur C = V(B;2) ( D) ⇔ BC = BD ⇔ BD = BC d) nên D trùng với điểm P Dạng 2: Tọa độ ảnh, tạo ảnh điểm qua phép vị tự PHƯƠNG PHÁP  Sử dụng định nghĩa phép vị tự  Đưa định nghĩa dạng tọa độ  Giải hệ phương trình kết luận Ví dụ Ta có A ( 3; ) I ( 2;5 ) , k = Tìm ảnh A ' điểm qua phép vị tự tâm Lời giải V( I ;2 ) : A → A '  x ' = 2.3 + ( − ) 2=4 ⇒ ⇒ A ' ( 4;3)  y ' = 2.4 + ( − ) = Ví dụ I ( −2;1) , M ( 1;1) , M '( −1;1) Cho nhiêu? , phép vị tâm I biến điểm M thành M ' có hệ số k bao Lời giải uuur uuuu r uuuur uuur IM ( 3;0 ) , IM ' ( 1;0 ) ⇒ IM ' = 3.IM ⇒ k = Ta có ; Ví dụ Ta có Cho M ( −3;5) , M ' ( 4;6) Tìm tâm I phép vị biến điểm M thành M ' có hệ số k = Lời giải V( I ;2 ) : M → M ' 4 = ( −3) + ( − ) a  a = −10 ⇒ ⇒ ⇒ I ( −10; ) b =  = 5.2 + ( − ) b  Dạng 3: Phương trình ảnh, tạo ảnh đường thẳng qua phép vị tự PHƯƠNG PHÁP Để tìm ảnh, tạo ảnh d ' đường thẳng d qua phép vị tự, ta thường sử dụng ba cách sau + Cách 1: d ' song song trùng với d suy uur uu r nd ' = nd Chọn M ∈ d Gọi M ' ảnh M qua phép vị tự ⇒ M ' ∈ d ' Tìm tọa độ M ' viết phương trình đường thẳng d ' + Cách 2: Chọn M ∈ d Gọi M ' ảnh M qua phép vị tự ⇒ M ' ∈ d ' Chọn N ∈ d Gọi N ' ảnh N qua phép vị tự ⇒ N ' ∈ d ' Tìm tọa độ M ' , N ' viết phương trình đường thẳng d ' qua điểm M ' N ' + Cách 3: Gọi Gọi M ( x; y ) ∈ d M ' ( x '; y ' ) ảnh M qua phép vị tự Tính x; y theo x '; y ' thay vào phương trình d , suy phương trình d ' I ( 2;1) Bài Cho d : x − 2y + = Tìm ảnh d' d qua phép vị tự tâm có hệ số k = Lời giải uur uu r : d → d ' ⇒ d / / d ' (v`i I ∉ d ) ⇒ nd ' = nd = ( 1; −2 ) Ta có V( I ;2) Chọn M ( 1;1) ∈ d ⇒ V( I ;2 ) : M → M ' ∈ d ' uuuu r uuur  x '− = 2(1 − 2)  x ' = ⇒ IM ' = IM ⇒  ⇒ ⇒ M ' ( 0;1)  y '− = 2(1 − 1) y' =1 Phương trình đường thẳng d ' : x − ( y − 1) = ⇔ x − y + = Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x + y − = Tìm ảnh d ′ d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 Lời giải Chọn M ( 1;1) ∈ d Khi Chọn V ⇒ M ' ∈ d ' Gọi M ' ảnh M qua ( O ,−2) uuuuu r uuuu r OM ' = −2OM ⇒ M ' ( −2; −2 ) N ( 3; −4 ) ∈ d Khi V ⇒ N ' ∈ d ' Gọi N ' ảnh N qua ( O , −2) uuuur uuur ON ' = −2ON ⇒ N ' ( −6;8 ) Phương trình đường thẳng d ′ qua điểm M ' N ' : x + y + 14 = Dạng 4: Phương trình ảnh, tạo ảnh đường tròn qua phép vị tự ( C ) : x + y − x + y + = Viết phương trình đường Bài Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn −1 k= C′) C) ( ( tròn ảnh đường tròn qua phép vị tự tâm O , tỷ số Lời giải Đường tròn ( C ) : x2 + y − x + y + = ( C′) Vì đường trịn có tâm ( C) ảnh đường trịn I ( 1; − ) qua phép vị tự tâm O , tỷ số R′ =| k | R = = V Giả sử   uuur I = I ′ ⇔ OI ′ = −1  ( ) O, ÷  Vậy đường tròn ( C′) −1 uur OI ⇒ I ′  −1 ;1  ÷    −1  I ′  ;1÷ có tâm   , bán kính R′ = , bán kính R = 1  x + ÷ + ( y − 1) =  ′ C ( ) :  2 Suy phương trình k= −1 nên ( C ′ ) có bán kín 2 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường trịn (C) có phương trình x + y + 6x - 10y + 32 = Viết ( C ′ ) ảnh đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm J (0;1) tỉ số k = phương trình đường trịn Lời giải Bài Đường trịn (C) có tâm I (- 3;5) bán kính R = Gọi (C’) ảnh (C) qua phép vị tự tâm J (0;1) tỉ số k = I '( x;y) Khi đó, (C’) có bán kính R ' = 3R = có tâm uur uu r ìï x = - J I ' = 3J I Û ( x;y - 1) = 3( - 3;4) Û ïí ïï y = 13 ỵ Do đó, 2 Vậy phương trình đường trịn (C’’): ( x + 9) + ( y − 13) = 18 Dạng 5: Xác định phép vị tự Bài Cho tam giác ABC , có A′, B′, C ′ trung điểm BC , AC , AB Xác định phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A′B′C ′ Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi G trọng tâm tam giác A′B′C ′ uuur r uuur r uuuu r uuu uuu uuur V  ( A ) = A′, V  ( B ) = B′,V  ( C ) = C ′ GA′ = − GA, GB′ = − GB, GC ′ = − GC  G ,− ÷  G ,− ÷  G ,− ÷ 2 2   2 Ta có , hay   Do Phép vị tự V 1  G ,− ÷ 2  biến tam giác ABC thành tam giác A′B′C ′ O; R ) O′; R ) O Bài Cho hai đường tròn ( ( ( không trùng với O′ ) Xác định phép vị tự O; R ) O′; R ) biến đường tròn ( thành đường tròn ( Lời giải uuur uur V ( O ) = O′ Gọi I trung điểm OO′ , Ta có IO′ = − IO , hay ( I,−1) Lại có hai đường trịn cho có bán kính Do Phép vị tự V( I, −1) biến đường tròn ( O; R ) thành đường tròn ( O′; R ) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M ′ N ′ uuuuur uuuu r ′ ′ M N = k MN M ′N ′ = −kMN A C uuuuur uuuu r M ′N ′ = k MN uuuuur uuuu r ′ ′ M N = k MN M ′N ′ = k MN B uuuuur uuuu r M ′N ′ = MN D M ′N ′ / / MN và M ′N ′ = kMN Lời giải Chọn B Theo định lý tính chất phép vị tự A ( 1; ) B ( −3; ) I ( 1;1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm , Phép vị tự tâm I Câu tỉ số k =− biến điểm A thành A′ , biến điểm B thành B′ Mệnh đề sau đúng? A A′B′ = AB uuuur   A′B′ =  ; − ÷ 3 3 B C A′B′ = Lời giải D uuuur A′B′ = ( −4; ) Chọn B uuu r AB = ( −4; ) Ta có uuuur uuur   A′B′ = − AB =  ; − ÷ 3 3 Từ giả thiết, ta có M 4;6 M ′ −3;5 ) Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho hai điểm ( ) ( Phép vị tự tâm I tỉ số A k= biến điểm M thành M ′ Khi tọa độ điểm I I ( −4;10 ) B I ( 11;1) C Lời giải Chọn D I ( 1;11) D I ( −10; )  a=  x′ = kx + ( − k ) a  ⇔   y′ = ky + ( − k ) b b =  x′ − kx 1− k y′ − ky 1− k Tọa độ điểm I là:  −3 −  a =  1−  ⇔  a = −10 ⇔   b=4  −  b=  1−   d : x + y − = 0, I ( −1; ) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Tìm ảnh d ′ d qua phép vị tự tâm I tỉ số k = −2 A x − y + = B −2 x + y + = C x + y + = D Lời giải x+ y+2=0 Chọn C V( I , −2) ( d ) = d ′ ⇒ d / / d ′ nên d ′ có dạng x + y + c =  x′ = M ( 2;0 ) ∈ d ⇒ V( I ;−2 ) ( M ) = M ′ ( x; y ) ∈ d ′ ⇒   y ' = −2 vào d ′ :10 − + c = ⇒ c = Chọn Vậy d ′ : x + y + = Câu ( C ) : x + y − x + y − = Viết phương trình đường Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn tròn ( C′) ảnh đường tròn ( C) qua phép vị tự tâm O , tỷ số k = −1 ( x − 1) A + ( y + ) = ( x + 1) B ( x + 1) + ( y − ) = D C 2 ( x − 1) + ( y − ) = 2 + ( y − ) = Lời giải Chọn A Đường tròn ( C ) : x2 + y2 − 2x + y − = có tâm I ( 1; − ) , bán kính R = ( C ′ ) ảnh đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm O , tỷ số k = −1 nên ( C ′ ) có Vì đường trịn bán kính R′ =| k | R = 1.3 = Giả sử uuur uur V( O ;−1) ( I ) = I ′ ⇔ OI ′ = −OI ⇒ I ′ ( −1; ) Vậy đường trịn ( C′) có tâm I ′ ( −1; ) , bán kính R′ = 2 C ′ ) ( x + 1) + ( y − ) = ( Suy phương trình :