Chơng I: Các khái niệm Định nghĩa 1.1: Giử sử E không gian vectơ (trên K) N hàm E K x x đợc gọi chuẩn E thoả mÃn điều kiện sau: i, x 0 , x E x 0 x 0 ii, x x , λ K, x E iii, x y x y , x,y E Kh«ng gian tun tÝnh E cïng víi mét chn , x,y E đợc gọi không gian định chuẩn, ta ký hiệu (E, ) hay E Định nghĩa 1.2: X không gian mêtric, x n X , x đợc gọi dÃy côsi > 0, n0: n, m n0 cã d x n x m d xn , x m n, m Định nghĩa 1.3: Không gian mêtri X đợc gọi không gian mêtric đầy đủ dÃy côsy X hội tụ tới điểm thuộc X Định nghĩa 1.4: Giả sử E không gian định chuẩn E không gian mêtric đầy đủ E đợc gọi không gian banach Định nghĩa 1.5: Cho V không gian vectơ đờng K Giả sử V có hệ vectơ sau ®©y ,, n Ta nãi hƯ (1) độc lập tuyến tính x1 x n x n 0 0 n Tập hợp S V độc lập tuyến tính tập xác định khác S độc lập tuyến tính Và S lµ phơ thc tun tÝnh nÕu vµ chØ nÕu không độc lập tuyến tính Quy ớc: Tập rỗng độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.6: Một tập không gian vectơ V có số Hamel i, S độc lập tuyến tính ii, V = Sfan S, tức V tổ hợp tuyến tính hữu hạn S ( n x V: x i xi ), xi S, i K) i Đinh nghĩa1.7: Mọi không gian tuyÕn tÝnh V ≠ {0} cã c¬ së Hamel Chøng minh: Gọi M tập hợp tất tập ®éc lËp tun tÝnh cđa V Do V ≠ {0} nên V tồn phần tử x {x} M Do M ≠ Φ Gi¶ sư ε ={Mi} t ý thc M n Th× M(=UMi) M LÊy xi i dÃy hữu hạn n M th× xi i 1 M i Suy ra: xi in1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh Vì M M Mặt khác, theo điều kiện Zon'sLamme (135) Đợc thoả mÃn M có phần tư lín nhÊt S B©y giê ta sÏ chøng minh Sfan S = V: Giả sử ngợc lại Sfan S ≠ V suy z V - Sfan S Rõ ràng (S {z}) độc lập tun tÝnh cđa V vµ chøa z Nh vËy S {z} M vµ (1) S Z Mâu thuẫn với S phần tử lớn Vậy Sfan S = V Do S sè Hamel V ThÝ dơ 1: Cho V={Φ} lµ không gian tuyến tính tầm thờng, V có sở Hamel Chứng minh: Giả sử V không gian tuyến tính khác Gọi Mi tập hợp tất tập độc lập tuyến tính Mi V Mi chứa Khi ta có Sfan M V i Theo gi¶ thiÕt V = {} không gian tuyến tính tầm thờng Do Φ Mi Sfan M i V (1) Mặt khác ta lại có M i V Sfan M i V (2) Tõ (1) vµ (2) Sfan = V Vậy sở V ThÝ dơ 2: Trong kh«ng gian tun tÝnh thức, tập hợp chứa phần tử khác R hình thành nên sở Hamel R Nh R hữu hạn chiều Chứng minh: Gi¶ sư E = R, A E , A={1} Khi ®ã A ®éc lËp tuyÕn tÝnh (1) Sfan A={r.1, r R} = R VËy Sfan A = R (2) Từ (1) (2) suy ra: A së Hamel R ThÝ dơ 3: Trong kh«ng gian tuyến tính phức C, tập hợp chứa phần tử khác không hình thành nên së Hamel C Chøng minh: Gi¶ sư F C, B F, B = {1 + 0i} Khi B tập độc lập tuyến tính (1)' Mặt kh¸c Sfan B ={(x + iy)(1 + 0i), x + iy C} = C VËy Sfan B = C (2)' Tõ (1) vµ (2)' ta suy ra: B lµ số Hamel C Thí dụ 4: Trong không gian tuyến tính thực CR liên kết với không gian tuyến tính phức có sở Hamel hệ (1, i) = B Chøng minh: ThËt vËy, ta nhËn thÊy B = {1, i)=} độc lập tuyến tính Vì .1 M i 0 M i 0 0, M 0 M N 0 (1) Ta l¹i cã α C, a ib (a,b B) th× 1.a b.i Suy biểu diễn đợc qua hệ {1; i} = B (2) VËy tõ (1) vµ (2) ta suy B sở Hamel C Thí dụ 5: Trong không gian tuyến tính thực hữu hạn chiều Rn cịng cã c¬ së Hamel Chøng minh: XÐt vectơ đơn vị: e1,,en với e1=(1, 0, 0, , 0); e2(0, 1, 0,…, 0); en(0, 0,…, 1) Rn Khi B = {e1,, en} độc lập tuyến tÝnh tõ ®ã 1e1 e2 n en , , n n 0 , ( αi R, i 1, n ) Mặt khác, cho x , , , n Rn th× x 1e1 n en Nh vËy vectơ x Rn tổ hợp tuyến tính phần tử B hay Rn = Sfan B Vậy B sở Rn Định 1.8: Cho V không gian hữu hạn chiều Khi tất sở V có số lợng phần tử hay có số vectơ Chứng minh: Cho S T së Hamel cđa V Cho S cã n phÇn tư x1, x2,, xn, T có n + phần tư y1, y2,…, yn+1 Khi ®ã chóng ta cã thĨ viÕt: n y i a¹i x j , i=1,2,…,n j 1 Tõ ®ã y1, y2,…, yn ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ma trËn [a ij] cã h¹ng b»ng n, tõ ®ã ta cã: n y n 1 a n 1, j x j j Và vectơ a n1 ,1, a n1 ,2, , a n1 , n tổ hợp tuyến tính hàng vectơ ma trËn [aij] Nh vËy vect¬ y1, y2,…, yn, yn+1 không độc lập tuyến tính Chứng tỏ tập hợp n + vectơ T phụ thuộc tuyến tính Nhng T sở Hamel gồm vectơ độc lập tuyến tính T có m ( n ) vect¬ T¬ng tù nh vËy sù n m Vì phần tử T S biểu diễn nh Định nghĩa 1.11: Cho v không gian tuyến tính hữu hạn chiều ta gọi n số chiều không vectơ V ký hiệu lµ dim V ThÝ dơ: 1> dim R = = dim C 2> dim CR = 3> dim Rn = n = dim Cn Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vô hạn chiều không tìm đợc xác sở Hamel Định nghĩa 1.12: Cho X không gian banach trªn trêng K mét d·y x n X đợc gọi sở Schauder X x X , tồn d·y x n K cho x i xi (1) i 1 Sù hội tụ chuỗi (1) hội tụ theo chuÈn X lim x n n x i i i Rõ ràng phần tử d·y n phơ thc vµo x vµ ta xác định hàm tuyến tính f n X: f n x n n n (n=1, 2,…) D·y f n dÃy số kết hợp hệ số hàm t¬ng øng øng víi c¬ së x n Mỗi i hàm x Kéo theo phần tử dÃy kết hợp với hệ số hàm x X ta biĨu diƠn nhÊt díi d¹ng x f i x x i i Mỗi fn liên tục, sở x n đợc gọi sở Schauder Định lý 1.13: Không gian ba nácl có sở không gian khả ly Chứng minh: Cho X không gian ba nácl đờng K (R C) với sở x n XÐt tËp hỵp n A ri xi : ri ' hữu tỷ K i 1 vµ a N Râ rµng A tập đếm đợc X Bây ta sÏ chøng minh A trï mËt X Cho ε > tuú ý bëi v× d·y x n sở X, Sfan nn X Khi ®ã x X , y y Sfan ·nn cho x y Ta cã thÓ viÕt k y i x m Khi ®ã: i 1 x i k k xnk r1 x n1 rk x nk i ri x ni n1 i > 0, tìm đợc số hữu tỷ ri để i ri 2k x ni Ta cã: x k r x i i 1 k ni x k x i i 0 k n i 1 i 1 k ni k x r x i i 1 ni i i 1 ni i xn1 i ri xn1 k k i 1 i 1 i xn1 x x n1 2k x ni 2 Điều cho x X tồn phÇn n Z ri x ni cho x Z tư i 1 V× vËy A trï mËt X ThÝ dơ 1.14: ThÝ dơ 1; C¸c vectơ đơn vị li sở Schauder cña C0 Cho x i k phần tử C0 Nh với n N cho ta x n i 1e1 n en e i i i 1 C0 , , n , n 1 , n 0,0, , n 1 , n 2 C Sup i 0 n nt i C0 C0 (v× lim i i 0 ) VËy x lim i ei i ei (2) n i 1 i 1 D·y i K tho¶ m·n (2) lµ nhÊt NÕu cã thĨ cho i K dÃy khác thoả mÃn (2) Khi ®ã e e i i i 1 i i i i 1 i ei 0 i 1 n lim i i ei 0 n i 1 lim Sup i i 0 1i n H¬n n÷a: i i Sup i i n 1i n i i , i N Vậy {ei} sở Schauder củ C0 Thí dụ 2: vectơ đơn vị {ei} sở Schauder cña l1 Chøng minh: Cho x i K phần tử l1 i , i 1 u N ta cã: x n 0,0, , n 1 , n 2 , i ei i 1 lim e1 n i ei x n i 1 0 x e i n 1 n lim e i i 0 n i 1 e1 n i (khi n -> ∞) x lim i ei i ei (3) n i 1 i 1 Rõ ràng i thoả mÃn (3) lµ nhÊt NÕu cã thĨ cho i dÃy khác thoả mÃn (3) th× i i i i i 1 lim i n i 1 lim i i ei 0 n i 1 i 1 n n e e i 0 i i , i N Do vËy {ei} sở Schauder e1 Thí dụ 3: Các vectơ đơn vị {ei} sở lp, P Chøng minh: Cho x i k phần tử lP P i , i 1 víi n n Ta cã: x n e 0,0, , n 1 , n2 ,0, i i i 1 eP P i i n 1 P eP (khi n ) n VËy x lim i ei i ei (4) n i 1 i 1 Râ ràng dÃy i thoả mÃn (4) lµ nhÊt NÕu cã thĨ cho i dÃy thoả mÃn (4) thì: i 1 i 1 i ei i ei n lim i n lim i i ei 0 n i 1 i 0 i i , i N n i Do {ei} sở Schauder lP Thí dụ 4: Các vectơ đơn vị {ei} không sở Schauder l Đúng không gian l đợc cụ thể sở Schauder Chứng minh: Giả sử x i k phần tử l Thì {i} Sup bị chặn hay x e , n N Ta cã: 0,0, , n 1 , n 2 , i i i 1 i n e e Sup i n 1i Vậy không tồn x i ei i 1 B©y giê ta đa so sánh sở Hamel sở Schauder Trờng hợp 1: dim X Trong trờng hợp sở Hamel X sở Schauder ngợc lại Thật vậy: Lấy A={x1,x2,,xn} X Khi A sở Hamel X ta chứng minh cho A sở Schauder Vì A sở Hamel nên với x X ta cã thĨ biĨu diƠn n nhÊt nh sau x i xi víi i K i n= i Đặt n i 0 nÕu n ≠ VËy k n xn nên A sở Schauder X n Ngợc lại: Lấy B x1 , x2 , , xn , xn1 , X sở Schauder X Ta chúng minh B sở Hamel X Vì B sở Schauder X nên với x X tồn dÃy n k cho x n xn i i=n n Đặt i i ≠ n n th× x i xi Vậy A së Hamel α i 1 Trêng hỵp 2: dim X = N0 (lùc lỵng cđa N = N ~ đếm đợc) Trong trờng hợp sở Hamel sỏ Schauder Thật Đặt S xn : n N sở Hamel X Mỗi n x X ta biểu diÔn nhÊt nh sau x ni x ni ( ni K, k N i 1 ) ni , n ni 0, n ni Đặt: n Thì x n xn n Điều ngợc lại không tức sở Schauder không sở Hamel X ThËt vËy, xÐt kh«ng gian tuyÕn tÝnh i K : i hầu hết giá trị i} Víi chuÈn i Sup i Xét vectơ đơn vị {e , e ,, 1i en} Φ víi e1 = (1, 0,…, 0); e2 = (0, 1,…, 0),…,en(0, 0,…, 1) Khi {en} dÃy vectơ thoả mÃn Sfan en , n Vậy {en} sở Hamel Ta chứng minh đợc {en} sở Schauder , Thật với x : x , , n Ta cã x 1e1 e2 n en i ei i 1 Vậy {en} sở Schauder , Bây ta xây dựng sở Schauder nhng sở Hamel Giả sử {xn} dÃy vectơ với x1 1, ,0,0, 1 x 0, , ,0, x n 0,0,0, ,0, ,0, n Khi {xn} sở Schauder nhng không sở Hamel Thật vậy, giả sử x 1 , , m ,0,0 Khi ta m tìm đợc dÃy i i 1 K Tho¶ m·n: 1 1 2 1 3 3 3 ………………… 1 m m m m m m Khi ®ã: x i xi i 1 j 1 i m 1 lỴ j i, m m xi víi , m chẵn j i chuỗi hội tụ theo chuẩn Nh {xn} sở Schauder nhng không sở Hamel e1 xi cách biểu diễn nhÊt cđa e nhng nã i 1 i 1 lµ tổng vô hạn Ta diễn giải m x 1 i i 1 i j m xi x Nh sau: i m 1 Tõ x 1 , , , m ,0,0, 1 1 1 x 1 , 1 , m m , 2 3 m m 1 m m ,0, m m 1 1 x 1, ,0, , 1 0, , ,0, 0,0, , , m m m 1 0,0, 0, , ,0, m m m 1 10 m 1 1 xi i 0,0, , 0, , ,0, m 0,0, , 0, , ,0, m m m 1 m 1 m i 1 1 0,0, , 0, , ,0, m m 2 m 3 m xi i i 1 1 j m xi i in 1 m VËy x i xi i 1 j 1 m xi , víi i m 1 j i ,1m lỴ j i, m chẵn chuỗi hội tụ theo chuẩn Nh {xn} sở Schauder nhng không sở i Hamel Vì e1 1 xi x1 x2 x3 x4 cách biểu diễn i e nhng tổng vô hạn Trờng hợp III: dim X > N0 hay dim X = ∞ Trong trờng hợp sở Hamel không sở Schauder sở Schauder không sở Hamel Vì giả sử E ei iI sở Hamel X, nhng lực lợng E lại không đếm đợc Xét không gian Banácl C0 , ta cã dim C0 2 N N Mà ta đà chứng minh đợc ei iI sở Schauder C0 Vậy ei iI sở Schauder nhng lực lợng lại đếm đợc Vậy lực lợng ei iI không tơng thích với nên sở Hamel không sở Schauder ngợc lại 2.20 Ví dụ: 1> Trong C0 d·y xn nj j i (1) (n=1,2,…) lµ c¬ së ,nÕu n=j ThËt vËy nj ,nÕu n ≠ j(n, j = 1, 2,…) víi x n C0 ta cã: x n x i i 1 i Sup i n n 1i Mặt khác: từ i xi Di xi ta cã i 1 i 1 lim max n i Di 0 1i n Suy i Di (i = 1, 2,…) 11 2> Trong eP (P ≥ 1) d·y xn nj j 1 (n = 1, 2,…) sở Thật vậy: Với x n e P Mặt khác từ P P ta cã: x i xi i n i 1 i n 1 n x D x i i i 1 i i ta cã: i 1 lim n P n i 1 i P Di 0 suy i Di (i = 1, 2, ) C¬ së (1) đợc gọi sở tự nhiên hay sở vectơ đơn vị C0 hay eP (P 1) 3> Trong kh«ng gian C, d·y: x0 1,1, , xn nj j 1 (n = 2, 3…) (2) sở Thật vậy: Với x n C ta cã biĨu diƠn nhÊt d¹ng: x lim n x0 i n i 1 lim n n xi 4>, Trong KG Banach C([0,1]) d©y x0 t 1 , x1 t t 2l 2l , k 1 k 1 0 (3) x k e t l nÕu t k 1 2l 2l 1 2l 2l tuyÕn tÝnh trªn k 1 , k 1 vµ k 1 , k 1 2 nÕu t (l = 1, 2,…, 2k; k = 0, 1, 2,) sở Tổng quát hơn, giả sư an 0,1 lµ d·y t ý trù mật [0,1] với n 2, gọi n n đoạn [0,1] Xác định phân hoạch < a1< a2< < an-1< chøa an Khi ®ã d·y: 0víi t n xn t t a n (n = 2, 3,…) (4) 1với tuyến tính với t khác c¬ së cđa KG C([0,1]) 12 x C 0,1 tho¶ m·n x(0) = x(1) = ®Ỉt: ThËt vËy víi x a1 , n x a n n x a i i n (n = 3, 4,…) (5) i 2 n S n x i xi (n = 2, 3,) (6) i Khi đó, x2,, xn tuyến tính đoạn [0,1] xác định phân hoạch nên Sn tuyến tính Hơn từ (4) ta có: x j a j 1 vµ xi a j 0 víi i = j + 2, j +3,…, n (j = 1,…, n - 1) Tõ (5) ta nhận đợc: j n i i j S n x a j i xi a j j 1 x j 1 a j i xi a j (7) j i xi a j x a j i 2 j x a x a i i j i 2 j (j = 1,…, n - 1) Ngợc lại, giả sử Sn(x) hàm thoả mÃn , điểm in11 , th× ta cã a 0, a1 , a2 , , a n , a1 1 liªn tiÕp bÊt kú cđa 1 (8) S n ai1 1 ai2 x ai1 1 x ai2 Cho > tuỳ ý Vì x liên tục [0,1] nên tồn cho x t ' x t" víi mäi t ' , t" 0,1 , tho¶ m·n t ' t" Do dÃy {aj} trù mật [0,1] nên tồn số nguyên đơng N N tho¶ m·n víi n > N, ta cã max ai1 ai2 , (giá trị max lấy cặp điểm liên tiếp dÃy in11 Bây giờ, lấy t [0,1] tuỳ ý, tồn với thoả n m·n t ai 1 víi , hai điểm liên tiếp i 1 n N tho¶ m·n t ai1 , ai2 Khi ®ã theo (8) x t S n t x t x ai1 1 ai2 x t x ai1 1 x t x ai2 max x t ' x t" , n N , x S n , n N t ',t " ai1 , tøc x lim S n i xi n i B©y giê víi x(0) = x(1) = 1, gi¶ sư x 0,1 t ý 13 Khi ®ã víi x 0,1 xác định x t x t x 0 x1 x 0 t , t 0,1 Ta cã: x 0 x1 0 tøc x cã biĨu diƠn d¹ng x i xi i Do cách đặt = x(0) = x(1) - x(0) ta nhận đợc x i xi i Mặt khác giả sử x i i 0 i 0 Khi ®ã x t 0 , i i t 0,1 i 0 B»ng cách đặt t = 0, 1, a1, a2, từ (4) ta nhận đợc tơng ứng n = (n = 0,1, 2,) từ chứng tỏ (4) sở C 0,1 Đặc biệt, sở (3) đợc gọi sở Schauder cña C 0,1 14 ... xác định hàm tuyến tính f n X: f n x n n n (n=1, 2,…) D·y f n lµ dÃy số kết hợp hệ số hàm tơng ứng ứng với sở x n Mỗi i hàm x Kéo theo phần tử dÃy kết hợp với hệ số hàm x... hay Rn = Sfan B Vậy B sở Rn Định 1.8: Cho V không gian hữu hạn chiều Khi tất sở V có số lợng phần tử hay có số vectơ Chứng minh: Cho S T sở Hamel cđa V Cho S cã n phÇn tư x1, x2,…, xn, T có n... tính cđa V vµ chøa z Nh vËy S {z} M (1) S Z Mâu thuẫn với S phần tử lớn Vậy Sfan S = V Do S số Hamel V Thí dụ 1: Cho V={} không gian tuyến tính tầm thờng, V có sở Hamel Chứng minh: Giả sử