các hàm ước số và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THẾ HẠNH CÁC HÀM ƢỚC SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THẾ HẠNH CÁC HÀM ƢỚC SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN – 2017 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG HÀM SỐ MOBIUS 1.1 Vành hàm số số học 1.2 Hàm ƣớc số 11 1.3 Hàm số Mưbius 13 CHƢƠNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM SỐ SỐ HỌC VÀ BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG DIRICHLLET 17 2.1 Giá trị trung bình hàm số số hoc 17 2.2 Bài toán ƣớc lƣợng Dirichllet 24 2.3 Một định lý Ramanujan 28 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Tin học, làm việc với số nguyên người ta thường làm việc với đại lượng như: Số ước tổng ước số nguyên; tổng luỹ thừa bậc k ước số nguyên; phân tích số nguyên thành tích nhân tử có thứ tự Vì vậy, hàm đếm ước số (hàm đếm), hàm phân tích thành tích nhân tử có thứ tự (hàm phân tích nhân tử) hàm tổng ước số (hàm tổng) đóng vai trị quan trọng Số học có nhiều ứng dụng Tin học Với mục đích tìm hiểu ứng dụng hàm đếm, hàm phân tích nhân tử hàm tổng, lựa chọn đề tài luận văn “Các hàm ƣớc số ứng dụng” nhằm để nghiên cứu tìm tịi ứng dụng Số học Tin học hàm ước số nói Phƣơng pháp nghiên cứu Trong thực luận văn, sử dụng công cụ phương pháp nghiên cứu sau đây: - Một số hàm số số học có tính chất nhân: Hàm đếm ước, hàm ước, luỹ thừa hàm ước, hàm phân tích nhân tử, hàm Mobius - Hàm nguyên - Đại lượng giới nội O  f  kỹ thuật đánh giá xấp xỉ - Giá trị trung bình hàm số số học Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm có hai chương Chương trình bày nội dung về: Hàm số số học, hàm đếm ước số (hàm đếm), hàm phân tích nhân tử, hàm Mưbius, tốn ước số Dirichllet Chương giới thiệu khái niệm giá trị trung bình hàm số số học định lý xác lập mối liên hệ sau ba hàm số số học hàm đếm, hàm phân tích nhân tử, hàm Mưbius thể qua công thức sau  n  d  n      d   ,   2 n đó: n số nguyên dương; d  n  hàm đếm số ước n ; d  n  hàm số biểu thị số cách phân tích n thành tích nhân tử,   n  hàm số Möbius Sử dụng định lý trên, luận văn trình bày thực chứng minh chi tiết Định lý Ramanujan nhằm để tính tốn giá trị trung bình bình phương hàm đếm ước số d  n  Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người dành nhiều thời gian công sức để giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, ngành Toán thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên Phòng Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh - tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi hồn thành khóa học Trong q trình học tập viết luận văn, tác giả có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy cô giáo đồng nghiệp TÁC GIẢ MỘT SỐ KÝ HIỆU THƢỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN ● : Vành số nguyên ● A : Vành hàm số số học ● gcd  x, y  : Ước chung lớn số nguyên x, y ● lcm  x, y  : Bội chung nhỏ số nguyên x, y ● d n : d ước n hay n bội d ● p k : Luỹ thừa nguyên tố ●  p  n  : Số mũ luỹ thừa cao ước nguyên tố p n ● rad  n  : Căn số nguyên n (Tích ước nguyên tố phân biệt n ) k  ●   : Số tổ hợp chập i k (Hệ số tổ hợp chập i k ) i  ● F  x    f  n  : Giá trị trung bình hàm số số học f n x ●   n  : Hàm số nhận giá trị với n  nhận giá trị với n  ● d  n  : Hàm số biểu thị số ước số số nguyên dương n ●d  n  : Hàm số biểu thị số cách phân tích thành nhân tử n ●   n  : Hàm số Euler (hàm số phi Euler) ●   n  : Hàm số Möbius ● f g f  O  g  : Tồn c  cho f  x   cg  x  , x  D ● f  O 1 : Tồn số thực c  cho f  x   c, với x  D ● f k g : Tồn số thực c  không phụ thuộc vào k cho f  x   cg  x  , với x  D (trong g  x   0, x  D ) CHƢƠNG HÀM ĐẾM CÁC ƢỚC SỐ VÀ HÀM PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ 1.1 Hàm số có tính chất nhân 1.1.1 Định nghĩa Một hàm số f xác định tập hợp số nguyên dương nhận giá trị trường số phức  gọi hàm số số học Hàm số số học f gọi hàm có tính chất nhân (hàm nhân) với cặp số nguyên dương m, n nguyên tố nhau, ta có f  mn   f  m  f  n  Trong trường hợp đẳng thức với số nguyên dương m, n hàm số số học f gọi hàm có tính chất nhân mạnh Hàm số số học f gọi hàm cộng tính với cặp số nguyên dương m, n nguyên tố nhau, ta có f  mn   f  m   f  n  Những ví dụ đơn giản hàm có tính chất nhân mạnh id Nhận xét 1) Nếu f   n   n; 1 n   1, n  hàm nhân n số ngun dương có phân tích tiêu 1 2 chuẩn dạng n  p1 p2 pk  , f (n)  f ( p1 ) f ( p )  k k f ( pk ) Nói khác đi, hàm nhân hoàn toàn xác định giá trị hàm luỹ thừa nguyên tố 2) Nếu f hàm nhân f 1  f  n   0, n   3) Nếu f hàm nhân f khơng đồng khơng f 1  4) Nếu f hàm cộng tính f 1  1.1.2 Mệnh đề Giả sử hàm số số học f g hàm nhân Khi đó, hàm tích theo điểm f g xác định  f g  n   f  n  g  n  , n   hàm nhân Chứng minh Nếu cặp số nguyên dương m, n nguyên tố h  mn    f g  (mn)  f (mn) g(mn)  f  m f  n g  m g  n   f  m g  m  f  n  g  n    f g  m  f g  n   h  m  h  n  Ta có điều phải chứng minh □ Chú ý Giả sử hàm số số học f g hàm nhân Khi đó, hàm tổng theo điểm f  g xác định f  g  n   f  n   g  n  , n   hàm nhân 1.1.3 Định lý (Công thức tổng trải) Nếu số ngun dương n có phân tích tiêu chuẩn dạng n  p1 p2 ps với hàm nhân f , ta có s j   f  d    1   f  pij    dn j 1 i 1   n Chứng minh Vì f hàm nhân nên ta có f p  f d      dn 0 i  i i 1, , n 1 s ps   f p  1 0 i  i i 1, , n   s f ps j     1   f  pij   j 1 i 1   n Như vậy, hệ thức □ 1.1.4 Định lý Giả sử f hàm có tính chất nhân Khi đó, hàm số số học F (n)   f (d ), n   dn có tính chất nhân Chứng minh Ta rằng, m, n cặp số nguyên dương nguyên tố F (mn)  F (m) F (n) Thật vậy, gcd(m, n)  nên ước số tích mn viết dạng tích d  d1d2 d1 ước m d uớc n , d1 , d nguyên tố Do F (mn)     f (d )  d mn   f (d1d )  d1 m, d n f (d1) f (d ) d1 m, d n f (d1 )  f (d )  F (m) F (n) d1 m d2 n Định lý chứng minh □ 1.1.5 Định lý Cho hàm nhân f Khi đó, với số nguyên dương m, n ta ln có cơng thức f  lcm  m, n f  gcd  m, n    f  m  f  n  Chứng minh Ta chứng minh công thức phép quy nạp toán học Nếu m  n  , kết hiển nhiên Giả sử số tự nhiên m, n  có phân tích (tựa chuẩn tắc) n  p1k prk ; m  p1l prl , k1 , , kr , l1 , , lr số r r nguyên không âm Khi đó, ta có r r lcm  m, n   pimax k ,l  ; gcd  m, n    pimin k ,l  i i i i i 1 Bởi i 1 max  k , l  ,min  k , l   k , l  i i i i i i f hàm nhân, nên ta có: r   max  ki ,li   r   ki ,li   . f  pi   i 1   f  lcm  m, n  f  gcd  m, n   = f  pi i 1 r r   i1     f piki  f pili  f (m) f (n) i 1 Vậy, công thức thoả mãn cho số nguyên dương m n □ 1.1.6 Định lý Nếu f g hàm số số học thoả mãn n n g (n)     f (i ), n  i 1  i   , ta có “cơng thức đảo ngược tổng” sau s n f (n)   (1) n1  g (i) i 1 i  Chứng minh Ta xét hệ phương trình sau với ẩn f  n  :   1    f (1)  g (1)   1   2  2    f (1)    f (2)  g (2)  1   2  3  3   3    f (1)    f (2)    f (3)  g (3)  2  3  1    n  n  n  1  f (1)  1  f (2)    n  f (n)  g (n)         Dùng phương pháp lần lượt, ta có  1  1 f (1)    f (1)  (1)11   g (1)  1  1  2  2  2 f (2)     f (1)  g (2)  (1) 21   g(1)  (1) 2   g (2) 1  1   2   3 3  3 3   2 f (3)     f (1)    f (2)  g (3)    g(1)     (1)1   g(1)  (1) g (2)   g (3) 1   2 1   2 1    3 3  3  (1)31   g(1)  (1)3   g (2)  (1)33   g(3) 1   2  3 Tương tự n n f (n)   (1) ni  g (i) □ i 1 i  1.1.7 Định lý Giả sử f hàm nhân Nếu   lim f p k  p k  p k chạy qua luỹ thừa nguyên tố lim f  n   n 20 b b b a na a f  b    f  t  dt   f  n   f  a    f  t  dt Do   b b na a   f  a  , f  b    f  n    f  t  dt  max f  a  , f  b  Giả sử f  t  hàm đơn điệu không âm  y, x  a   y   1, b   x  Ta có y  a  b  x Nếu f  t  hàm tăng  y  n x f n   a  n b b f n   f  t  dt  f  b  a x   f  t  dt  f  x  y Bởi a f  a    f  t  dt y x f  x    f  t  dt , b nên  y  n x b f  n    f  t  dt  f  a  a x x a b y   f  t  dt   f  t  dt  f  a    f  t  dt y x   f  t  dt  f  x  y Do 21  y  n x x f  n    f  t  dt  f  x  y Nếu f  t  hàm giảm  y  n x f n   a  n b b f n   f  t  dt  f  a  a x   f  t  dt  f  y  y Bởi x f  b    f  t  dt b a f  y    f  t  dt , y nên  y  n x b f  n    f  t  dt  f  b  a x x a b y   f  t  dt   f  a    f  t  dt   f  t  dt y x   f  t  dt  f  y  y Do  y  n x x f  n    f  t  dt  f  y  y 22 Vậy x  y  n x   f  n    f  t  dt  max f  y  , f  x  y Do đó, f  t  hàm không âm đơn dạng đoạn 1,   , f  t  bị chặn đẳng thức x F  x    f  n    f  t  dt  O 1 n x suy từ x  y  n x   f  n    f  t  dt  max f  y  , f  x  y Chúng ta kết thúc chứng minh định lý □ 2.1.4 Định lý Với x  , ta có  log n  x log x  x  O  log x  n x Chứng minh Hàm f  t   log t tăng đoạn 1, x  Theo Định lý 2.1.3 ta có x 1 log tdt   log n   log tdt  log x x n x Do  log n  x log x  x  O  log x  n x Chúng ta kết thúc phép chứng minh định lý □ 2.1.5 Định lý Giả sử r số nguyên dương Với x  1, ta có logr n  n  r  logr 1 x  O 1 , n x đại lượng bị chặn O 1 phụ thuộc vào r 23 Chứng minh Hàm f  t   logr t không âm đơn dạng nửa đoạn 1,   (xem t r r Định nghĩa 2.1.2) với giá trị cực đại   t0  er Theo Định lý 2.1.3 ta có e x logr t logr n   n 1 t dt  O 1  r  logr 1 x  O 1 n x Chúng ta kết thúc chứng minh định lý □ 2.1.6 Định lý (xem [4, tr.210]) Giả sử k số nguyên dương Khi  n1 nk  x n1  n1 nk  x cho n1 nk    logk x  O logk 1 x , k! tổng chạy k - số nguyên dương  n1 , , nk  nk  x 2.1.7 Định lý tổng riêng (xem [4, tr.211]) Giả sử f  n  g  n  hàm số số học f  n  có hàm tổng F  x    f  n  Giả sử a b số nguyên n x cho a  b Khi b  n  a 1 b 1   f  n  g  n   F  b  g  b   F  a  g  a  1   F  n  g  n  1  g  n  n  a 1 Giả sử x y số thực không âm với  y    x  giả sử g  t  hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  y, x  Khi  y  n x f  n  g  n   F  x  g  x   F  y  g  y   yx F  t g '  t  dt Đặc biệt, x  g  t  hàm số có đạo hàm liên tục đoạn 1, x  x  f  n  g  n   F  x  g  x   1 F  t g '  t  dt n x 24 Khi r  Định lý 2.1.5 ta có  n  log x  O 1 n x Sử dụng công thức tổng riêng, suy kết gọn sau 2.1.8 Định lý (xem [4, tr.213]) Với x  , ta có  n  log x    r  x  , n x     1  tdt  1 t2 r  x  x Số   0, 577 gọi số Euler Một toán mở tiếng Lý thuyết số, xác định số Euler số hữu tỉ số vô tỉ (xem [4, tr 213]) 2.2 Bài toán ƣớc lƣợng Dirichllet Bài toán ước lượng (đánh giá) hàm tổng D  x   d n n x gọi Bài toán ước lượng Dirichllet Trong tiết này, nhận ba lời giải Bài toán ước lượng Dirichllet 2.2.1 Định lý Với x  ta có D  x   d  n   x log x   2  1 x  O  n x  x Chứng minh Chúng ta giải thích hàm ước số d  n  hàm tổng D  x  ý nghĩa hình học Một điểm lưới mặt phẳng điểm mà toạ độ 25 số nguyên Một điểm lưới dương mặt phẳng điểm mà toạ độ số nguyên dương Trên mặt phẳng toạ độ uv ta có d  n   1  dn điểm lưới  u, v   đếm số n uv đường hyperbola phẳng uv  n nằm góc toạ độ u  0, v  Hàm tổng D  x  đếm điểm lưới góc toạ độ nằm đường hyperbola uv  x , tức số điểm lưới dương  u, v  cho  u  x  v  x / u Các điểm lưới chia thành ba lớp rời nhau: (i)  u  x,  v  x, (ii)  u  x , x  v  x / u , (iii ) x  u  x,  v  x / u Lớp thứ ba chứa điểm lưới  u , v  cho  v  x, x  v  x / v Từ sử dụng Định lý 2.1.8 với tham gia số Euler  , ta có x   x       x          x   u  1v  x   v   1u  x    x    x       x    u     D  x   x      1u  x   x           x  u     1u  x     x  x         x   u u   1u  x   x   x   xO x u 1u  x 1u  x       2x  log x    O    x  O x  x    x log x   2  1 x  O x  2x  2 u      Định lý chứng minh □ 26 2.2.2 Định lý Với x  ta có   x    log n  d  n   2   O   x n x Chứng minh Theo Định lý 2.2.1 ta có D  x   d  n   x log x   2  1 x  O   x n x Sử dụng Định lý 2.1.4, ta có  log n  x log x  x  O  log x  n x Lấy đẳng thức thứ hai trừ cho đẳng thức thứ ta thu   x    log n  d  n   2   O  n x  x  2 x  O  log x   O  x  □ 2.2.3 Định nghĩa Một cách phân tích có thứ tự số nguyên dương n thành nhân tử -  d1 , , dl  cho n  d1 d Hàm ước số d  n  đếm số cách phân tích có thứ tự n thành tích có hai nhân tử, cách phân tích n  dd ' hoàn toàn xác định nhân tử thứ d Với số nguyên dương , định nghĩa hàm d  n  số cách phân tích n thành nhân tử Như vậy, d1  n   1, d2  n   d  n  với số nguyên dương n 2.2.4 Định lý Hàm d  n  hàm nhân Chứng minh Giả sử gcd  m, n   Với cách phân tích có thứ tự mn thành tích thành nhân tử xây dựng cách phân tích có thứ tự m n phần sau: Nếu mn  d1 d cách phân tích có thứ tự mn thành tích nhân tử, với i  1, , tồn số nguyên ei f i cho ei chia hết m , f i chia hết n di  ei fi Do đó, m  e1 e n  f1 f cách phân tích có thứ tự m n tương ứng Cách xây dựng thuận 27 nghịch hai chiều, thiết lập song ánh (một – một) cách phân tích có thứ tự mn với cặp đơi phân tích có thứ tự m n Từ suy d  mn   d  m  d  n  , hay hàm d  n  hàm nhân □ 2.2.5 Định lý Với số nguyên dương d  , ta có  p       1 1  với luỹ thừa nguyên tố p Chứng minh Một cách phân tích luỹ thừa ngun tố p viết dạng p  p 1       Từ suy rằng, d âm cho 1  tự thành p ,  1 , ,  - số nguyên không  p  số phân hoạch có thứ  thành phần Chúng ta xét dãy    ô vuông màu đỏ Nếu chọn  vng tơ màu xanh, cịn lại  ô vuông màu đỏ chia thành thành dãy (có thể rỗng) vng màu đỏ liên tiếp phân cách ô vuông màu xanh Mỗi phân hoạch có thứ tự  thành thành phần khơng âm xây dựng cách cách d  p  số cách để chọn   ô vuông từ tập hợp gồm    ô vuông, nghĩa d  p       1 1  □ Sau đây, tiếp tục nhận thêm lời giải Bài toán ước lượng Dirichllet 2.2.6 Định lý Với số nguyên dương Dl  x    dl  n   n x  , ta có   x logl 1 x  O x logl 2 x  l  1! Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo l Từ Định lý 2.2.1 với  ta có 28 D2  x   x log x  O  x  Bây giả sử kết với số nguyên  d d l  Ký hiệu tổng chạy tất l   d1 , , dl  số nguyên dương Áp dụng Định lý 2.1.6 nhận Dl 1  x    dl 1  n     n x n x d1 d l 1 n   n x d1 dl n  x    dl  x  d1 dl    d1 x  d1 dl  x d1   O d dl       d l 1  x     x logl x  O x logl 1 x  O Dl  x  l!  x logl x  O x logl 1 x l!   Phép chứng minh định lý kết thúc □ 2.3 Một Định lý Ramanujan Theo Định lý 2.2.1, tính giá trị trung bình hàm ước d  n  Trong tiết này, xác định giá trị trung bình bình phương hàm ước Chúng ta bắt đầu với biểu diễn d  n  2.3.1 Định lý d n   n      d    2 n   29 Chứng minh Định nghĩa hàm số số học  sau:   n     n  n số phương   n   trường hợp lại, với  hàm số Mobius Khi đó,  hàm có tính chất nhân Theo tính chất phép tích chập (Định lý 1.1.9), hàm   d hàm có tính chất nhân n   d4  n      d  d4    d   dn  n      d4     2 n  Chúng ta chứng minh     d4 p    1 , với luỹ thừa nguyên tố p Thật vậy, theo Định lý 2.2.5 với d  , ta có  p     3   Do   d4  p    4  p      d4     d4  p       2 p  Nếu        d4 p  p      d   2 2 n          d p  d p 2         1           1       Bởi d p    nên suy d p    1    d4 p , với luỹ thừa nguyên tố p Vì hàm d   d hàm có tính chất nhân, nên chúng hồn toàn xác định qua luỹ thừa nguyên tố Từ suy 30 d n   n      d    ,  2 n  với số nguyên dương n Định lý chứng minh □ 2.3.2 Bổ đề Đối với hàm số Mobius   n  ta có đánh giá sau  n x   n n2  1  O   2  x Chứng minh Hàm zeta Riemann  s    s n 1 n hội tụ tuyệt s  Tương tự hàm    n n 1 ns G s   hội tụ tuyệt s  Từ   d  s  s k 1 k d 1 d    d   sG s       kd       d   1, n s k 1 d 1  n 1 s dn nhờ sử dụng tính chất sau hàm Mobius 1 n  1, 0 n    d    dn Như    n  G  s    s , s  n 1 n  s Vì 2   2    , n 1 n  31 ta suy    n       n1 n Vì  n x   n n      n 1   n n     n x  n n 2 n x n  x Điều nghĩa  n x   n n  1  O     x Phép chứng minh Bổ đề 2.3.2 kết thúc □ 2.3.3 Định lý (Ramanujan)  d  n  ~  x  log x  n x x   Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2.6 với D4  x    d  n   n x  , ta có   x log3 x  O x log2 x Theo Định lý 2.2.7 ta nhận đánh giá sau  d  n       d n x n x  n  n   2      d  k        d  k    2k  x  x k  x /  x   2    x  x  x x x        log3  O  log2        x  6    x   x x   log  O x log     x  2 2    x      D 32 Chúng ta đánh giá tổng  d  n  Đối với hạng tử thứ tổng này, áp dụng n x Bổ đề 2.3.2, ta nhận đánh giá sau    x x log   x        3 i x i x  3 1  log logi      2 i 0  i    x      x log3   log3 x   O x log x     x   x       x log3      O log x  O x log x     6  x   x     x log3 x  O x log2 x     Tương tự, hạng tử thứ hai tổng  d  n  , ta có n x x  x  log2 x   x log2 x   x  x log2 x Vì vậy, ta nhận đánh giá cần chứng minh sau  d  n  ~  x  log x  n x x   Định lý Ramanujan chứng minh □ 33 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau: Hàm số số học, hàm đếm ước số, hàm phân tích nhân tử, hàm Mưbius Bài toán ước lượng Dirichllet số lời giải Giá trị trung bình hàm số số học; xác định giá trị trung bình hàm ước Phép chứng minh chi tiết định lý xác lập mối liên hệ ba hàm số số học: hàm đếm ước số d  n  , hàm phân tích bốn nhân tử d  n  , hàm Möbius   n  Phép chứng chi tiết định lý Ramanujan Xác định giá trị trung bình hàm số d  n  Qua nội dung trình bày luận văn, tác giả mong muốn làm sáng tỏ thêm tính thống chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tốn Giải tích phát triển chung Toán học số hàm số số học Hy vọng rằng, thời gian tới chúng tơi tiếp tục có tìm hiểu sâu sắc vấn đề mà luận văn quan tâm 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Thị Hồng Loan, Phan Đức Tuấn (2017), Số học đại, Nhà xuất Đại học Vinh TIẾNG ANH [3] D V Burton (2002), Elementary Number Theory, McGraw-Hill [4] M B Nathason (2000), Elementary Methods in Number Theory, Springer [5] S G Telang (2001), Number Theory, McGraw-Hill ... CHƢƠNG HÀM SỐ MOBIUS 1.1 Vành hàm số số học 1.2 Hàm ƣớc số 11 1.3 Hàm số Mưbius 13 CHƢƠNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM SỐ SỐ HỌC VÀ BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG DIRICHLLET 17 2.1 Giá trị trung bình hàm số số... trung bình hàm số số học f n x ●   n  : Hàm số nhận giá trị với n  nhận giá trị với n  ● d  n  : Hàm số biểu thị số ước số số nguyên dương n ●d  n  : Hàm số biểu thị số cách phân tích... thực luận văn, sử dụng công cụ phương pháp nghiên cứu sau đây: - Một số hàm số số học có tính chất nhân: Hàm đếm ước, hàm ước, luỹ thừa hàm ước, hàm phân tích nhân tử, hàm Mobius - Hàm nguyên - Đại